高中数学新人教A版必修1学案：2.1.1指数与指数幂的运算（二）（含解析）

2.1.1　指数与指数幂的运算(二)
学习目标　1.学会根式与分数指数幂之间的相互转化.2.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.3.了解无理数指数幂的意义．
知识点一　分数指数幂
思考　根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子，你能从中总结出怎样的规律？
①＝＝a2＝(a>0)；
②＝＝a4＝(a>0)；
③＝＝a3＝(a>0)．
答案　当a>0时，根式可以表示为分数指数幂的形式，其分数指数等于根式的被开方数的指数除以根指数．
梳理　分数指数幂的定义：
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
知识点二　有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点三　无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．(　×　)
2．(　×　)
3．当a>0时，(ar)s＝(as)r.(　√　)
4．(　√　)
类型一　根式与分数指数幂之间的相互转化
命题角度1　分数指数幂化根式
例1　用根式的形式表示下列各式(x>0)．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　(1)＝.
(2)＝.
反思与感悟　实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较方便．而在求函数的定义域中，根式形式较容易观察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实掌握．
跟踪训练1　用根式表示(x>0，y>0)．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
解　
命题角度2　根式化分数指数幂
例2　把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
(1)；　(2)；
(3)；　(4).
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式化为分数指数幂
解　(1)
(2)
(3)
(4)
反思与感悟　指数的概念从整数指数扩充到实数指数后，当a≤0时，有时有意义，有时无意义．如但就不是实数了．为了保证在取任何实数时，都有意义，所以规定a>0.当被开方数中有负数时，幂指数不能随意约分．
跟踪训练2　把下列根式化成分数指数幂：
(1) ；(2) (a>0)；(3)b3·；(4).
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式化为分数指数幂
解　(1)
(2)
(3)
(4)
类型二　运用指数幂运算公式化简求值
例3　计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的加减运算
解　
＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
解　原式＝
(3)
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
解　
反思与感悟　一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．
跟踪训练3　(1)化简：
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的四则混合运算
解　原式＝
(2)化简：
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
解　
(3)已知求的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
解　由两边同时平方得x＋2＋x－1＝25，整理，得x＋x－1＝23，则有＝23.
类型三　运用指数幂运算公式解方程
例4　已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝9a，求a的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
解　方法一　∵a>0，b>0，又ab＝ba，
方法二　∵ab＝ba，b＝9a，∴a9a＝(9a)a，
即(a9)a＝(9a)a，∴a9＝9a，a8＝9，a＝.
反思与感悟　指数取值范围由整数扩展到有理数乃至实数，给运算带来了方便，我们可以借助指数运算法则轻松对指数变形，以达到代入、消元等目的．
跟踪训练4　已知67x＝27,603y＝81，求－的值．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
解　由67x＝33，由603y＝81，
＝＝9＝32，∴－＝2，故－＝－2.
1．化简的值为(　　)
A．2B．4C．6D．8
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　B
2．等于(　　)
A．25B.C．5D.
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　D
3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A．－＝ B.＝
C． D．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式化为分数指数幂
答案　C
4．()4＝________.
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式化为分数指数幂
答案　a2
5．计算的结果是________．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
答案　16
1．指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里面的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．
2．指数幂的运算一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解．
一、选择题
1．化简式子的结果是(　　)
A.B．－C.D．－
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式化为分数指数幂
答案　C
解析　
2．化简·的结果为(　　)
A．－ B．－
C. D.
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式化为分数指数幂
答案　A
解析　显然a≥0.
3.·等于(　　)
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式化为分数指数幂
答案　B
解析　
4．中x的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B.∪
C. D.
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　C
解析　要使该式有意义，需3－2x>0，即x<.
5．这三个数的大小关系为(　　)
A． B．
C． D．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的互化
答案　B
解析　
∵<<，
6．如果x＝1＋2b，y＝1＋2－b，那么用x表示y等于(　　)
A.B.C.D.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　D
解析　由x＝1＋2b，得2b＝x－1，y＝1＋2－b＝1＋
＝1＋＝.
7．设则等于(　　)
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　C
解析　将两边平方，得
即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2，所以＝m2＋2.
8若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)
A. B．2或－2
C．－2 D．2
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　D
解析　设ab－a－b＝t.∵a>1，b>0，
∴ab>1，a－b<1，
∴t＝ab－a－b>0，
则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4，
∴t＝2.
二、填空题
9．计算＝________.
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
答案　
解析　原式＝＝47－9＝4－2＝.
10．若a>0，且ax＝3，ay＝5，则________.
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
答案　9
解析　
11．(＋)2015×(－)2016＝________.
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的四则混合运算
答案　－
解析　(＋)2015×(－)2016
＝[(＋)(－)]2015×(－)
＝12015×(－)＝－.
12．化简的值为________．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
答案　
解析　原式＝
＝.
三、解答题
13．计算：
(1)7－3－6＋；
(2)
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的四则混合运算
解　(1)原式＝
(2)原式=
四、探究与拓展
14．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)·(c－1)．
考点　有理数指数幂的运算性质
题点　附加条件的幂的求值
证明　∵2a·3b＝6＝2×3，∴2a－1·3b－1＝1.
∴(2a－1·3b－1)d－1＝1，
即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1. ①
又2c·3d＝6＝2×3，∴2c－1·3d－1＝1.
∴(2c－1·3d－1)b－1＝1，
即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1. ②
由①②知2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．
15．已知函数f(x)＝，g(x)＝.
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(已知y＝在R上是增函数)
(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的四则混合运算
(1)证明　设x1>x2>0，∵y＝在R上是增函数，
又∵
∴f(x1)－f(x2)＝
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)解　经计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0，由此猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0.
证明如下：
f(x2)－5f(x)g(x)