高中数学新人教A版必修1学案：2.1.1指数与指数幂的运算（一）（含解析）

§2.1　指数函数
2.1.1　指数与指数幂的运算(一)
学习目标　1.理解n次方根、n次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
知识点一　n次方根、n次根式
思考　若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？
答案　这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±.
梳理　(1)a的n次方根的定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)a的n次方根的表示
n的奇偶性
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数

a∈R
n为偶数
±
[0，＋∞)
(3)根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二　根式的性质
(1)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)()n＝a(n∈N*，且n>1)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
1．当a≥0时，表示一个数．(　√　)
2．实数a的n次方根有且只有一个．(　×　)
3．当n为偶数，a≥0时，≥0.(　√　)
4.＝n.(　×　)
类型一　根式的意义
例1　求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
考点　n次方根及根式概念
题点　根式化简中变量的取值范围
解　＝
＝|a－3|，
要使|a－3|＝(3－a)成立，
需解得a∈[－3,3]．
反思与感悟　对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要有意义，必不为负．
跟踪训练1　若＝a－1，求a的取值范围．
考点　n次方根及根式概念
题点　根式化简中变量的取值范围
解　∵＝|a－1|＝a－1，
∴a－1≥0，∴a≥1.
类型二　利用根式的性质化简或求值
例2　化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
解　(1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
反思与感悟　n为奇数时n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，n才有意义，且n＝a；
而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
跟踪训练2　求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
解　(1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
类型三　有限制条件的根式的化简
例3　设－3考点　根式的化简
题点　条件根式的化简
解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，
∵－3∴当－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
引申探究
例3中，若将“－3解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.
∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，
∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
反思与感悟　当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号．
跟踪训练3　已知x∈[1,2]，化简()4＋＝________.
考点　根式的化简
题点　条件根式的化简
答案　1
解析　∵x∈[1,2]，∴x－1≥0，x－2≤0，
∴()4＋
＝x－1＋
＝x－1－(x－2)
＝1.
1．已知x5＝6，则x等于(　　)
A.B.C．－D．±
考点　n次方根及根式概念
题点　n次方根及根式概念
答案　B
2．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)
A.B.C.D.
考点　n次方根及根式概念
题点　n次方根及根式概念
答案　C
3．()4运算的结果是(　　)
A．2B．－2C．±2D．不确定
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
答案　A
4.的值是________．
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
答案　－2
5.＋的值是________．
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
答案　0或2(a－b)
解析　＋＝|a－b|＋(a－b)＝
1．根式的概念：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.n为奇数时，x＝，n为偶数时，x＝±(a>0)；负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
2．掌握两个公式：(1)()n＝a；(2)n为奇数，＝a，n为偶数，＝|a|＝
3．一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况.
一、选择题
1．已知m10＝2，则m等于(　　)
A.B．－C.D．±
考点　n次方根及根式概念
题点　n次方根及根式概念
答案　D
解析　∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．
∴m＝±.故选D.
2．化简(2x>1)的结果是(　　)
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
考点　根式的化简
题点　条件根式的化简
答案　C
解析　＝|1－2x|，
∵2x>1，∴1－2x<0，
∴|1－2x|＝－(1－2x)＝2x－1.
3．化简的值是(　　)
A. B．－
C．± D．－
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
答案　B
解析　＝＝－.
4．化简等于(　　)
A．e－e－1 B．e－1－e
C．e＋e－1 D．0
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
答案　A
解析　＝
＝＝
＝|e－1－e|＝e－e－1.
5．若2A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
考点　根式的化简
题点　条件根式的化简
答案　C
解析　∵20，a－3<0，
∴＋＝|2－a|＋|3－a|
＝a－2＋3－a＝1.
6．5－2的平方根是(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.－，－
考点　n次方根及根式概念
题点　n次方根及根式概念
答案　D
解析　±＝±＝±
＝±(－)．
7．化简的值是(　　)
A．x B．－x
C．－x D．x
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
答案　C
解析　要使有意义，需－x3≥0，即x≤0.
∴＝＝|x|＝－x.
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则的值为(　　)
A．a＋b B．－(a＋b)
C．a－b D．b－a
考点　根式的化简
题点　条件根式的化简
答案　D
解析　由图知f(－1)＝a－b＋0.1<0，
∴a－b<0.
∴＝|a－b|＝－(a－b)＝b－a.
二、填空题
9．若x<0，则|x|－＋＝________.
考点　根式的化简
题点　条件根式的化简
答案　1
解析　∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋
＝－x＋x＋1＝1.
10.＝________.
考点　根式的化简
题点　二重根式的化简
答案　3－2
解析　方法一　＝＝
＝＝3－2.
方法二　＝＝3－2.
11．把a根号外的a移到根号内等于________．
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
答案　－
解析　要使有意义，需a<0.
∴a＝－|a|
＝－＝－.
12．化简＋＋的值为______．
考点　根式的化简
题点　二重根式的化简
答案　－6
解析　∵＝－6，
＝|－4|＝4－，
＝－4，
∴原式＝－6＋4－＋－4＝－6.
三、解答题
13．设f(x)＝，若0考点　根式的化简
题点　条件根式的化简
解　f?＝＝
＝＝，
因为0故f?＝－a.
四、探究与拓展
14．化简(1－a)·＝________.
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
答案　－
解析　方法一　要使函数有意义需a－1>0.
(1－a) ＝－＝－.
方法二　要使函数有意义需a－1>0，(1－a)＝(1－a)＝
＝－.
15．计算：
(1) －＋；
(2)＋－；
(3) ·(＋1)＋(－)0.
考点　根式的化简
题点　根据根式的意义进行化简
解　(1)原式＝－＋
＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋
＝－8.
(3)原式＝·(＋1)＋1
＝(－1)·(＋1)＋1
＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.