高中数学新人教A版必修1学案：2.1.2指数函数及其性质（一）（含解析）

2.1.2　指数函数及其性质(一)
学习目标　1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．
知识点一　指数函数
思考　细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？
答案　y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．
梳理　一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二　指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
1．y＝xx(x>0)是指数函数．(　×　)
2．y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数．(　×　)
3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝ax恒过点(0,1)．(　√　)
4．y＝ax(a>0且a≠1)的最小值为0.(　×　)
类型一　求指数函数的解析式
例1　已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
考点　待定系数法求指数函数解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
解　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，
得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.
反思与感悟　(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
跟踪训练1　已知指数函数y＝(2b－3)ax经过点(1,2)，求a，b的值．
考点　待定系数法求指数函数解析式
题点　待定系数法求指数函数解析式
解　由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2.
将点(1,2)代入y＝ax，得a＝2.
类型二　求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
命题角度1　f?ax?型
例2　求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
考点　指数函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．
∵y＝＝1－，
又∵3x>0,1＋3x>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴值域为(0,1)．
(2)函数的定义域为R，
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，
同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为.
反思与感悟　解决此类题可采用换元法，利用二次函数与指数函数的性质求解．
跟踪训练2　求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
考点　指数函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1，
∴原函数的值域为[0,1)．
(2)原函数的定义域为R.
方法一　设ax＝t，则t∈(0，＋∞)，
y＝＝＝1－.
∵t>0，∴t＋1>1，
∴0<<1，∴－2<<0，
∴－1<1－<1.
即原函数的值域为(－1,1)．
方法二　由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－.
∵ax>0，∴－>0，∴－1∴原函数的值域是(－1,1)．
命题角度2　af?x?型
例3　求函数y＝的定义域、值域．
考点　指数函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　要使函数有意义，
则x应满足32x－1－≥0，
即32x－1≥3－2.
∵y＝3x在R上是增函数，
∴2x－1≥－2，解得x≥－.
故所求函数的定义域为.
当x∈时，32x－1∈.
∴32x－1－∈[0，＋∞)．
∴原函数的值域为[0，＋∞)．
反思与感悟　y＝af(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝af(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝at的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝at的范围．
跟踪训练3　求下列函数的定义域、值域：
考点　指数函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)由x－1≠0得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由≠0得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0得x≥，
所以函数定义域为.
由≥0得y≥1，
所以函数值域为{y|y≥1}．
类型三　指数函数图象的应用
命题角度1　指数函数整体图象
例4　在如图所示的图象中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图象可能是(　　)
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的位置与底数的关系
答案　A
解析　根据图中二次函数图象可知c＝0，
∴二次函数y＝ax2＋bx，∵>0，
∴二次函数的对称轴为x＝－<0，
排除B，D.
对于A，C，都有0<<1，∴－<－<0，C不符合．
故选A.
反思与感悟　函数y＝ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(－1,5) B．(－1,4) C．(0,4) D．(4,0)
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象过定点问题
答案　A
解析　当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
命题角度2　指数函数局部图象
例5　若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的应用
解　y＝|2x－1|＝
图象如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，需0<2a<1，即0反思与感悟　指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．
跟踪训练5　函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的应用
答案　B
解析　函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
1．下列各函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝x
考点　指数函数的概念
题点　指数函数的判断
答案　D
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．a>0且a≠1 B．a≥0且a≠1
C．a>且a≠1 D．a≥
考点　指数函数的概念
题点　根据指数函数的定义求参数的值
答案　C
3.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的位置与底数的关系
答案　D
4．函数的值域是________．
考点　指数函数的值域
题点　指数型复合函数的定义域
答案　(0,1]
5．函数f(x)＝＋的定义域为________．
考点　指数函数的定义域
题点　指数型复合函数的定义域
答案　(－3,0]
解析　由题意，自变量x应满足
解得－31．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.
2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．
3．由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．
4．求函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：
(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；
(2)求t＝f(x)的值域t∈M；
(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域．
一、选择题
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则(　　)
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a>0且a≠1
考点　指数函数的概念
题点　根据指数函数的定义求参数的值
答案　C
解析　由题意得解得a＝2.
2．函数y＝ax－a (a>0且a≠1)的大致图象可能是(　　)
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的位置与底数的关系
答案　C
解析　如果函数的图象是A，那么由1－a＝1，得a＝0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a1－a<0，得0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么由0<1－a<1，得03．设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的是(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)
考点　指数函数的性质
题点　指数函数的性质
答案　D
解析　f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A对；
f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，B对；
f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C对；
[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n≠(axy)n，D错．
4．设f(x)＝若方程f(x)＝a(a为实常数)有2个根，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
考点　指数函数的求值
题点　指数函数的求值
答案　D
解析　f(x)的图象如图所示．
由图可知，当且仅当a≥1时，
y＝a与y＝f(x)有两个交点，
从而f(x)＝a有2个根．
5．函数y＝3x与y＝3－x的图象关于下列哪条直线对称(　　)
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线y＝－x
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数的图象与性质
答案　B
解析　若点(x0，y0)在y＝3x的图象上，即y0＝，
则
∴(－x0，y0)在y＝3－x的图象上，反之亦然，
∴y＝3x与y＝3－x关于y轴对称．
6．已知函数f(x)＝(a2－1)x，若x>0时总有f(x)>1，则实数a的取值范围是(　　)
A．1<|a|<2 B．|a|<2
C．|a|>1 D．|a|>
考点　指数函数的概念
题点　根据指数函数的定义求参数的取值范围
答案　D
解析　由题意知a2－1>1，解得a>或a<－，故选D.
7．若函数f(x)＝，则此函数在(－∞，＋∞)上(　　)
A．单调递减且无最小值
B．单调递减且有最小值
C．单调递增且无最大值
D．单调递增且有最大值
考点　指数函数的最值
题点　指数函数的最值
答案　A
解析　函数f(x)的定义域是R，设2x＝t，x∈R，得t>0，则f(t)＝.画出函数f(t)＝(t>0)的图象，如图．观察f(t)的图象，得此函数单调递减且无最小值．
8.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于(　　)
A.B.C．2D．3
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的应用
答案　A
解析　设点C(0，m)(m>0)则由已知可得A，E，B.又因为点E，B在指数函数的图象上，所以
①式两边平方得m2＝a， ③
②③联立，得m2－2m＝0，
所以m＝0(舍)或m＝2，
所以a＝.
二、填空题
9．函数y＝的定义域是________．
考点　指数不等式的解法
题点　指数不等式的解法
答案　(－∞，5]
解析　由32－2x≥0，得2x≤25，∴x≤5.
10．已知5a＝0.3,0.7b＝0.8，则ab与0的大小关系是________．
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的应用
答案　ab<0
解析　由f(x)＝5x与g(x)＝0.7x的图象可知，5a＝0.3<1时，a<0，同理b>0.所以ab<0.
11．给出函数f(x)＝则f(x)的值域为________．
考点　指数函数的值域
题点　与指数函数有关的值域问题
答案　[8，＋∞)
解析　当x≥3时，2x≥23＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．
三、解答题
12．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝3；
(2)y＝5－x－1.
考点　指数函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　(1)令1－x≥0，得x≤1.
∴定义域为(－∞，1]．
设t＝≥0，
则3t≥30＝1，
∴值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R，∵5－x>0，∴5－x－1>－1，
∴值域为(－1，＋∞)．
13．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值．
考点　指数函数的值域
题点　指数型复合函数的值域
解　f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝2＋，
∵x∈[－3,2]，∴≤2－x≤8，则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，
当2－x＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a－1)
b____0.(填“>”“<”“＝”)
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的位置与底数的关系
答案　<
解析　已知函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．
由图象可得
解得a>1且b<0，∴(a－1)b<0.
15．已知函数y＝|x＋1|.
(1)画出函数的图象(简图)；
(2)由图象指出函数的单调区间；
(3)由图象指出当x取何值时函数有最值，并求出最值．
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的应用
解　(1)方法一　y＝|x＋1|＝
其图象由两部分组成：
一部分：y＝x(x≥0)的图象y＝x＋1(x≥－1)的图象；
另一部分：y＝3x(x<0)的图象y＝3x＋1(x<－1)的图象．
得到的函数图象如图所示．
方法二　①可知函数y＝|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝x(x≥0)的图象，当x<0时，其图象与y＝x(x≥0)的图象关于y轴对称，从而得出y＝|x|的图象．
②将y＝|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得y＝|x＋1|的图象，如图所示．
(2)由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
(3)由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．