高中数学新人教A版必修1学案：2.2.2对数函数及其性质（二）（含解析）

2.2.2　对数函数及其性质(二)
学习目标　1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式.4.了解反函数的概念及它们的图象特点．
知识点一　不同底的对数函数图象的相对位置
思考　y＝log2x与y＝log3x同为(0，＋∞)上的增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
答案　可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
梳理　一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0知识点二　反函数的概念
思考　如果把y＝2x视为A＝R→B＝(0，＋∞)的一个映射，那么y＝log2x是从哪个集合到哪个集合的映射？
答案　如图，y＝log2x是从B＝(0，＋∞)到A＝R的一个映射，相当于A中元素通过f：x→2x对应B中的元素2x，y＝log2x的作用是B中元素2x原路返回对应A中元素x.
梳理　一般地，像y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数．
(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数的单调性相同．但单调区间不一定相同．
1．y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(×)
2．在(0，＋∞)上为增函数．(×)
3．lnx<1的解集为(－∞，e)．(×)
4．y＝ax与x＝logay的图象相同．(√)
类型一　对数型复合函数的单调性
命题角度1　求单调区间
例1　求函数的单调区间．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
解　令1－|x|>0，即|x|<1.
解得的定义域为(－1,1)．
＝
在区间(－1,0]上，y＝1＋x为增函数，
故为减函数．
同理在区间(0,1)上为增函数，
∴的增区间为(0,1)，减区间为(－1,0]．
反思与感悟　求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1　求y＝ln的单调区间．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
解　y＝ln的定义域为(1，＋∞)，在区间(1，＋∞)上，y＝为减函数，
∴y＝ln也为减函数．
∴y＝ln的减区间为(1，＋∞)，没有增区间．
命题角度2　已知复合函数单调性求参数范围
例2　已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，
∴是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]．
反思与感悟　若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2　若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　B
解析　函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1类型二　对数型复合函数的奇偶性
例3　判断函数f(x)＝ln的奇偶性．
考点　对数函数的综合问题
题点　与奇偶性有关的对数函数综合问题
解　由>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一　f(－x)＝ln＝ln－1＝－ln
＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln是奇函数．
方法二　f(x)＋f(－x)＝ln＋ln
＝ln＝ln1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln是奇函数．
引申探究
若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
解　由>0得－b∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝ln.
f(－x)＋f(x)＝ln＋ln
＝ln
＝ln1＝0，
∴有f(－x)＝－f(x)，
∴此时f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
反思与感悟　(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3　判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性．
考点　对数函数的综合问题
题点　与奇偶性有关的对数函数综合问题
解　方法一　由－x>0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f(－x)＝lg(＋x)
＝lg
＝lg
＝－lg(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
方法二　由－x>0可得x∈R，
f(x)＋f(－x)＝lg(－x)＋lg(＋x)
＝lg[(－x)(＋x)]
＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
类型三　简单的对数型不等式的解法
例4　已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)，解关于x的不等式loga(1－ax)＞f(1)．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
解　∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)，
∴1－a＞0，∴0＜a＜1，
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴即∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1)．
反思与感悟　对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)．
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向．
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4　函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　C
解析　要使函数有意义，则有
即解得x>2，
即函数的定义域为(2，＋∞).
1.如图所示，曲线是对数函数f(x)＝logax的图象，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
考点　对数函数的图象
题点　对数函数的图象
答案　A
2．如果那么(　　)
A．yC．1考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
3．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)
A．bC．c考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　B
解析　∵a＝log37，∴1∵b＝21.1，∴b>2.
∵c＝0.83.1，∴0即c4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________.
考点　函数的反函数
题点　求函数的反函数
答案　log2x
5．函数f(x)＝lnx2的减区间为____________．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　(－∞，0)
1．与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．
2．y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于直线y＝x对称，因为点(a，b)与点(b，a)关于直线y＝x对称．
一、选择题
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C. D.
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　A
解析　要使函数有意义，需满足
∴　∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝那么f?的值为(　　)
A．27B.C．－27D．－
考点　对数函数的求值
题点　对数函数的求值
答案　B
解析　f?＝log2＝log22－3＝－3，f?＝f(－3)＝3－3＝.
3．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　D
解析　a＝log36＝log32＋1，b＝log52＋1，c＝log72＋1，
在同一坐标系内分别画出y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图象，
当x＝2时，由图易知log32>log52>log72，
∴a>b>c.
4．已知loga<1，那么a的取值范围是(　　)
A．0
C.1
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　当a>1时，由loga，得a>1；当0故0综上可知，a的取值范围是.
5．若函数y＝loga|x－2|(a>0，且a≠1)在区间(1,2)上是增函数，则f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性为(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　D
解析　当1(2，＋∞)上是一个单调递减函数．
6．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1,2] B.
C. D．(0,2]
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　C
解析　∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.
7．若＝loga，且|logba|＝－logba，则a，b满足的关系式是(　　)
A．a>1且b>1 B．a>1且0C．01 D．0考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　C
解析　依题意有loga≥0，∴0又logba<0，∴b>1.
8．已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg2)＋f?等于(　　)
A．－1B．0C．1D．2
考点　对数函数的综合问题
题点　与奇偶性有关的对数函数综合问题
答案　D
解析　易知函数f(x)的定义域为R，f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln1＋2＝2，由上式关系知，f(1g2)＋f?＝f(lg2)＋f(－lg2)＝2.
二、填空题
9．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点，则a＝________.
考点　函数的反函数
题点　反函数的图象与性质
答案　
解析　因为点在y＝f(x)的图象上，
所以点在y＝ax的图象上，则有＝a，
即a2＝2，又因为a>0，所以a＝.
10．函数y＝log2(x2－1)的增区间为________．
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　(1，＋∞)
解析　由x2－1>0解得定义域为{x|x<－1或x>1}，
又y＝log2x在定义域上单调递增，y＝x2－1在(1，＋∞)上单调递增，
∴函数的增区间为(1，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝lg(x＋1)，则不等式0考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　
解析　不等式0即0由得－1由0因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，
解得－由得－三、解答题
12．已知函数y＝lg是奇函数，求实数a的值．
考点　对数函数的综合问题
题点　与奇偶性有关的对数函数综合问题
解　由函数y＝lg是奇函数，得
lg＝－lg＝lg，
即－a＝，
化简得4－4a＋a2(1－x2)＝1－x2，
所以解得a＝1.
13．已知f(x)＝log(x2－ax－a)．
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调区间及值域；
(2)若f(x)在上为增函数，求实数a的取值范围．
考点　对函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝log(x2＋x＋1)，
∵x2＋x＋1＝2＋≥，
∴log(x2＋x＋1)≤log＝2－log23，
∴f(x)的值域为(－∞，2－log23]．
∵y＝x2＋x＋1在上递减，在上递增，y＝logx在(0，＋∞)上递减，
∴f(x)的增区间为，
减区间为.
(2)令u(x)＝x2－ax－a＝2－－a，
∵f(x)在上为单调增函数，
又∵y＝logu(x)为单调减函数，
∴u(x)在上为单调减函数，且u(x)＞0在上恒成立.
因此即
解得－1≤a≤.
故实数a的取值范围是.
四、探究与拓展
14．若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．
考点　对数函数的综合问题
题点　与单调性有关的对数函数综合问题
答案　
解析　当a>1时，y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上是增函数，
∴f(x)max＝a＋loga2，f(x)min＝a0＋loga1＝1，
∴a＋loga2＋1＝a，∴loga2＝－1，a＝(舍去)；
当0y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上是减函数，
∴f(x)max＝a0＋loga(0＋1)＝1，f(x)min＝a＋loga2，
∴a＋loga2＋1＝a，∴a＝.
综上所述，a＝.
15．如图所示，过函数f(x)＝logcx(c>1)的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a,0)，N(b,0)(b>a>1)，线段BN与函数g(x)＝logmx(m>c>1)的图象交于点C，且AC与x轴平行．
(1)当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
(2)当b＝a2时，求－的最小值．
考点　对数函数的综合问题
题点　与单调性有关的对数函数综合问题
解　(1)由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，
因为AC与x轴平行，所以logm4＝log32，所以m＝9.
(2)由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，
因为AC与x轴平行，所以logmb＝logca，
因为b＝a2，所以m＝c2，
所以－＝－＝2－1，
所以当＝1时，－取得最小值－1.