高中数学新人教A版必修1学案：2.2.2对数函数及其性质（一）（含解析）

2.2.2　对数函数及其性质(一)
学习目标　1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点一　对数函数的概念
思考　已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？
答案　由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x，y分别表示自变量、因变量．上式可改为y＝log2x，x∈(0，＋∞)．
梳理　一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
知识点二　对数函数的图象与性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
定义
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；
x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)
x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；
x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
对称性
函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称
1．由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(　√　)
2．y＝2log2x是对数函数．(　×　)
3．y＝ax与y＝logax的单调区间相同．(　×　)
4．由loga1＝0，可得y＝logax恒过定点(1,0)．(　√　)
类型一　对数函数的定义域的应用
例1　求下列函数的定义域．
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
(2)y＝log2(16－4x)．
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
解　(1)由得－3∴函数的定义域是{x|－3(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}．
引申探究
1．把本例(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域．
解　由得x>3.
∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x>3}．
2．求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？
解　(x＋3)(x－3)>0，即或
解得x<－3或x>3.
∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x<－3或x>3}．
相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.
反思与感悟　求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
跟踪训练1　求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
解　(1)要使函数有意义，需
即即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需即
所以－1故所求函数的定义域为{x|－1类型二　对数函数单调性的应用
命题角度1　比较同底对数值的大小
例2　比较下列各组数中两个值的大小．
(1)log23.4，log28.5；
(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　(1)考察对数函数y＝log2x，
因为它的底数2>1，
所以它在(0，＋∞)上是增函数，
又3.4＜8.5，
于是log23.4(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，
所以它在(0，＋∞)上是减函数，
又1.8＜2.7，
于是log0.31.8>log0.32.7.
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又5.1＜5.9，
于是loga5.1当0又5.1＜5.9，
于是loga5.1>loga5.9.
综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9，
当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.
反思与感悟　比较两个同底数的对数大小，首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论．对于不同底的对数，可以估算范围，如log22跟踪训练2　设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　A
解析　∵a＝log3π＞1，b＝log23，
其中log22则＜b＜1，c＝log32＜，∴a＞b＞c.
命题角度2　求y＝logaf?x?型的函数值域
例3　函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________．
考点　对数函数的值域
题点　对数函数的值域
答案　(0，＋∞)
解析　f(x)的定义域为R.
∵3x>0，∴3x＋1>1.
∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0.
即f(x)的值域为(0，＋∞)．
反思与感悟　在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系．故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围．
跟踪训练3　已知f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．
考点　对数函数的值域
题点　真数为二次函数的对数型函数的值域
解　要使函数式有意义，需解得定义域为(－3,1)．
f(x)＝log2[(1－x)(x＋3)]＝log2[－(x＋1)2＋4]．
∵x∈(－3,1)，
∴－(x＋1)2＋4∈(0,4]．
∴log2[－(x＋1)2＋4]∈(－∞，2]．
即f(x)的值域为(－∞，2]．
类型三　对数函数的图象
例4　画出函数y＝lg|x－1|的图象．
考点　对数函数的图象
题点　含绝对值的对数函数的图象
解　(1)先画出函数y＝lgx的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图)．
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图)．
反思与感悟　现在画图象很少单纯依靠描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点．
跟踪训练4　画出函数y＝|lg(x－1)|的图象．
考点　对数函数的图象
题点　含绝对值的对数函数的图象
解　(1)先画出函数y＝lgx的图象(如图)．
(2)再画出函数y＝lg(x－1)的图象(如图)．
(3)再画出函数y＝|lg(x－1)|的图象(如图)．
1．下列函数为对数函数的是(　　)
A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1)
B．y＝loga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a＞1且a≠2)
D．y＝2logax(a＞0且a≠1)
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
答案　C
2．函数y＝log2(x－2)的定义域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
答案　C
3．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)
考点　对数函数的图象
题点　对数函数的图象
答案　C
解析　函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.
4．函数f(x)＝log0.2(2x＋1)的值域为________．
考点　对数函数的值域
题点　对数函数的值域
答案　(－∞，0)
5．若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．
考点　对数函数的性质
题点　对数函数图象过定点问题
答案　(1,3)
1．含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数．
判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式．如：y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数．
2．研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质．
一、选择题
1．给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx.
其中是对数函数的有(　　)
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点　对数函数的概念
题点　对数函数的概念
答案　A
解析　①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
答案　C
解析　∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，
N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－13．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的(　　)
考点　对数函数的图象
题点　同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象
答案　B
解析　y＝ax与y＝loga(－x)的单调性相反，排除A，D.y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，排除C，故选B.
4．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为(　　)
A．－2B．2C.D．－
考点　对数函数的性质
题点　对数函数图象过定点问题
答案　B
解析　代入(6,3)，3＝loga(6＋2)＝loga8，
即a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
5．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示：其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是(　　)
考点　对数函数的图象
题点　同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象
答案　D
解析　由f(x)的图象可知0∴g(x)的图象应为D.
6．下列不等号连接错误的一组是(　　)
A．log0.52.2>log0.52.3
B．log34>log65
C．log34>log56
D．logπe>lnπ
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
答案　D
解析　对A，根据y＝log0.5x为单调减函数易知正确．
对B，由log34>log33＝1＝log55>log65可知正确．
对C，由log34＝1＋log3>1＋log3>1＋log5＝log56可知正确．
对D，由π>e>1，得lnπ>1>logπe可知错误．
7．已知f(x)＝2＋log3x，x∈，则f(x)的最小值为(　　)
A．－2B．－3C．－4D．0
考点　对数函数的值域
题点　对数函数的值域
答案　A
解析　∵≤x≤9，
∴log3≤log3x≤log39，即－4≤log3x≤2，
∴－2≤2＋log3x≤4.
∴当x＝时，f(x)min＝－2.
8．已知函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，那么(　　)
A．f(x)在(－∞，0)上是增函数
B．f(x)在(－∞，0)上是减函数
C．f(x)在(－∞，－1)上是增函数
D．f(x)在(－∞，－1)上是减函数
考点　对数函数的图象
题点　含绝对值的对数函数的图象
答案　C
解析　当x∈(－1,0)时，|x＋1|∈(0,1)，
∵loga|x＋1|>0，∴0画出f(x)的图象如图：
由图可知选C.
二、填空题
9.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是____________．
考点　对数函数的定义域
题点　对数函数的定义域
答案　{x|2解析　由题意知，f(x)>0，由所给图象可知f(x)>0的解集为{x|210．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a，b，c的大小关系是______________．
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　a>c>b
解析　因为π>2，所以a＝log2π>1，所以b＝logπ<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0c>b.
11．已知函数f(x)＝|lgx|，若0考点　对数函数的图象
题点　含绝对值的对数函数的图象
答案　(5，＋∞)
解析　因为f(a)＝f(b)，且0g(1)＝1＋＝5，即a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．
三、解答题
12．已知f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图象上时，点在函数y＝g(x)的图象上．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
考点　对数函数的解析式
题点　对数函数的解析式
解　(1)设＝x′，＝y′，
则x＝3x′，y＝2y′.
∵(x，y)在y＝f(x)的图象上，
∴y＝log2(x＋1)，
∴2y′＝log2(3x′＋1)，y′＝log2(3x′＋1)，
即点(x′，y′)在y＝log2(3x＋1)的图象上．
∴g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)f(x)－g(x)＝0，即log2(x＋1)＝log2(3x＋1)＝log2，
∴x＋1＝，
∴
解得x＝0或x＝1.
13．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝log2×log2的最大值与最小值．
考点　对数函数的值域
题点　对数函数的值域
解　∵f(x)＝log2×log2
＝(log2x－2)(log2x－1)
＝2－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，即x＝2＝2时，f(x)取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取最大值2.
∴函数f(x)的最大值是2，最小值是－.
四、探究与拓展
14．已知loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围是________．
考点　对数函数的图象
题点　对数函数的图象
答案　
解析　由题意知loga(3a－1)>0＝loga1.
当a>1时，y＝logax是增函数，
∴解得a>，∴a>1；
当0∴解得∴综上所述，a的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
考点　对数函数的值域
题点　求对数函数的定义域与值域
解　(1)若f(x)的定义域为R，则y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴的上方，
所以
所以a>1.
(2)若f(x)的值域为R，则y＝ax2＋2x＋1的图象一定要与x轴有交点，且能取得y轴正半轴的任一值，
所以a＝0或
所以0≤a≤1.