高中数学新人教A版必修1学案：2.3幂函数（含解析）

§2.3　幂函数
学习目标　1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xα的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
知识点一　幂函数的概念
思考　y＝，y＝x，y＝x2三个函数有什么共同特征？
答案　底数为x，指数为常数．
梳理　一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
2．五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞)上增，
在(－∞，0]上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减
知识点三　一般幂函数的图象特征
一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
(5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．
1．y＝－是幂函数．(　×　)
2．当x∈(0,1)时，x2>x3.(　√　)
3．与定义域相同．(　×　)
4．若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.(　√　)
类型一　幂函数的概念
例1　已知是幂函数，求m，n的值．
考点　幂函数的概念
题点　由幂函数定义求参数值
解　由题意得
解得或
所以m＝－3或1，n＝.
反思与感悟　幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝4都不是幂函数．
跟踪训练1　在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　幂函数的概念
题点　判断函数是否为幂函数
答案　B
解析　因为y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常数函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y＝1不是幂函数．
类型二　幂函数的图象及应用
例2　若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)考点　幂函数的图象
题点　幂函数的图象与性质
解　设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以，将点(，2)代入f(x)＝xα中，得2＝()α，解得α＝2，则f(x)＝x2.同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系里作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：
(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
(3)当－1引申探究
若对于本例中的f(x)，g(x)，定义h(x)＝试画出h(x)的图象．
解　h(x)的图象如图所示：
反思与感悟　由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．
跟踪训练2　幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则αβ等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
考点　幂函数的图象
题点　幂函数的图象与性质
答案　A
解析　由条件知，M，N，
∴＝β，＝α，
∴αβ＝α＝α＝，
∴αβ＝1.故选A.
类型三　幂函数性质的应用
命题角度1　比较大小
例3　设则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
考点　比较幂值的大小
题点　利用单调性比较大小
答案　B
解析　∵y＝x在R上为减函数，∴，即a∴即a>c.∴b>a>c.故选B.
反思与感悟　此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
跟踪训练3　比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.3与0.3；
(2)－1与－1；
(3)0.3与
考点　比较幂值的大小
题点　利用中间值比较大小
解　(1)∵0<0.3<1，
∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．
又>，∴0.3>0.3.
(2)∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
又－<－，
∴－1>－1.
(3)∵y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数，
∴由>0.3，可得0.3>0.30.3.①
又y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，
②
由①②知
命题角度2　幂函数性质的综合应用
例4　已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为
因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a解得故a的取值范围是.
反思与感悟　幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值．
跟踪训练4　已知幂函数
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
考点　幂函数的性质
题点　利用幂函数的性质解不等式
解　(1)∵m∈N*，
∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数．
令m2＋m＝2k，k∈N*，则f(x)＝，
∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．
(2)
∴m2＋m＝2，
解得m＝1或m＝－2(舍去)，
由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数，
∴f(2－a)>f(a－1)等价于2－a>a－1≥0，
解得1≤a<.

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A.B．1C.D．2
考点　幂函数的概念
题点　由幂函数定义求参数值
答案　C
解析　由幂函数的定义知k＝1.又f＝，
所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.
2．以下结论正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
考点　幂函数的综合问题
题点　幂函数的综合问题
答案　D
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)
A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3
考点　幂函数的定义域和值域
题点　幂函数的定义域
答案　A
4．若a<0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是(　　)
A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a
C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a
答案　B
解析　5－a＝a，因为a<0时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递减，且<0.5<5，所以5a<0.5a<5－a.
5．先分析函数的性质，再画出其图象．
考点　幂函数的图象
题点　幂函数的图象与性质
解　＝，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：
1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸．
3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.
一、选择题
1．下列函数中是幂函数的是(　　)
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝ D．y＝x＋1
考点　幂函数的概念
题点　判断函数是否为幂函数
答案　C
解析　根据幂函数的定义知，y＝是幂函数，
y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
2．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为(　　)
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3
考点　幂函数的性质
题点　幂函数的单调性
答案　A
解析　由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.
3．已知幂函数(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
考点　幂函数的性质
题点　幂函数的单调性
答案　B
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
4．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
考点　幂函数的图象
题点　幂函数有关的知图选式问题
答案　C
解析　选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
5．已知f(x)＝x，若0A．f(a)B．f?C．f(a)D．f?考点　比较幂值的大小
题点　利用单调性比较大小
答案　C
解析　因为函数在(0，＋∞)上是增函数，
又06．设则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
考点　比较幂值的大小
题点　利用单调性比较大小
答案　A
解析　根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，在x>0时是增函数，所以a>c，y＝x在x>0时是减函数，所以c>b，所以a>c>b.
7．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
考点　幂函数的图象
题点　幂指数大小关系问题
答案　B
解析　令x＝2，由图知C1，C2，C3，C4对应纵坐标依次减小，而故选B.
8．对于幂函数f(x)＝x，若0A．f>
B．f<
C．f＝
D．无法确定
考点　幂函数的图象
题点　幂函数的图象与性质
答案　A
解析　幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)是增函数，大致图象如图所示．
设A(x1,0)，C(x2,0)，其中0(|AB|＋|CD|)，∴f>，故选A.
二、填空题
9．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)
考点　比较幂值的大小
题点　利用中间值比较大小
答案　>
解析　∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，
∴5.25－1>5.26－1；
∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
10．函数f(x)＝(x＋3)－2的单调增区间是________．
考点　幂函数的性质
题点　幂函数的单调性
答案　(－∞，－3)
解析　y＝x－2＝的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y＝(x＋3)－2是由y＝x－2向左平移3个单位得到的．
∴y＝(x＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．
11．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
考点　求幂函数的解析式
题点　求幂函数的解析式
答案　f(x)＝x－1
解析　∵函数的图象与x轴、y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
三、解答题
12．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)讨论F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)的奇偶性，并说明理由．
考点　幂函数的综合问题
题点　幂函数的综合问题
解　(1)由于幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，所以m2－2m－3<0，求得－1因为m∈Z，所以m＝0,1,2.
因为f(x)是偶函数，所以m＝1，故f(x)＝x－4.
(2)F(x)＝af(x)＋(a－2)x5·f(x)
＝a·x－4＋(a－2)x.
当a＝0时，F(x)＝－2x，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝－F(－x)，
所以F(x)＝－2x是奇函数；
当a＝2时，F(x)＝，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F(x)＝F(－x)，
所以F(x)＝是偶函数；
当a≠0且a≠2时，F(1)＝2a－2，F(－1)＝2，
因为F(1)≠F(－1)，F(1)≠－F(－1)，
所以F(x)＝＋(a－2)x是非奇非偶函数．
13．已知幂函数f(x)的图象过点(25,5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lgx)，求g(x)的定义域、值域．
考点　幂函数的综合问题
题点　幂函数的综合问题
解　(1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
∴α＝，∴f(x)＝x.
(2)∵g(x)＝f(2－lgx)＝，
∴要使g(x)有意义，只需2－lgx≥0，
即lgx≤2，解得0＜x≤100.
∴g(x)的定义域为(0,100]，
又2－lgx≥0，∴g(x)的值域为[0，＋∞)．
四、探究与拓展
14．(2017·黄冈检测)为了保证信息的安全传输需使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________．
考点　求幂函数的解析式
题点　求幂函数的解析式后再求值
答案　9
解析　依题意有2＝4α，∴α＝.
∴当y＝3时，x＝3，得x＝9.
15．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
考点　幂函数的性质
题点　幂函数的单调性
答案　
解析　当x≤0时，由f(x)＝ax为减函数，知00时，由f(x)＝3a－x为减函数，知a∈R，且要满足a0≥3a，解得a≤.综上可知，实数a的取值范围为.