高中数学新人教A版必修1学案：第二章基本初等函数（I）习题课对数函数（含解析）

习题课　对数函数
学习目标　1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．
知识点一　对数概念及其运算
1．由指数式对数式互化可得恒等式：?＝N (a>0，且a≠1)．
2．对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即N>0；
(2)loga1＝0；
(3)logaa＝1.
3．运算公式
已知a>0，且a≠1，M，N>0.
(1)logaM＋logaN＝loga(MN)；
(2)logaM－logaN＝loga；
(3)＝logaM；
(4)logaM＝＝(c>0，且c≠1，M≠1)．
知识点二　对数函数及其图象、性质
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数．
(1)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；值域为R；
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过点(1,0)；
(3)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；
当0(4)直线y＝1与函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象交点为(a,1)．
(5)y＝logax与y＝ax的图象关于y＝x对称．
y＝logax与y＝的图象关于x轴对称．
1．y＝x与y＝是相等函数．(　×　)
2．＝logab.(　×　)
3．若ax>b，则x>logab.(　×　)
4．y＝loga(x＋1)恒过定点(0,0)．(　√　)
类型一　对数式的化简与求值
例1　(1)计算：
(2)已知2lg＝lgx＋lgy，求
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
解　(1)方法一　利用对数定义求值：
设
则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，
∴x＝－1.
方法二　利用对数的运算性质求解：
(2)由已知得lg2＝lgxy，
∴2＝xy，即x2－6xy＋y2＝0.
∴2－6＋1＝0.
∴＝3±2.
∵
∴＞1，∴＝3＋2，
∴
反思与感悟　在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．
跟踪训练1　(1)
＝________.
(2)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　(1)－　(2)2
解析　(1)∵＝
＝1－lg3，
lg＋lg8－lg＝lg3＋3lg2－
＝(lg3－1)＋3lg2＝(lg3＋2lg2－1)，
lg0.3·lg1.2＝lg·lg＝(lg3－1)(lg12－1)
＝(lg3－1)(lg3＋2lg2－1)，
∴原式＝－.
(2)∵f(ab)＝lg(ab)＝1，
∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝lg(a2b2)＝2lg(ab)＝2.
类型二　对数函数图象的应用
例2　已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，求abc的取值范围．
考点　对数函数的图象
题点　指数、对数函数图象的应用
解　f(x)的图象如图：
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，
不妨设a则直线y＝m与f(x)交点横坐标从左到右依次为a，b，c，
由图象易知0∴f(a)＝|lna|＝－lna，f(b)＝|lnb|＝lnb.
∴－lna＝lnb，lna＋lnb＝0，lnab＝ln1，∴ab＝1.
∴abc＝c∈(e，e2)．
反思与感悟　函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．
跟踪训练2　已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．
考点　对数函数的图象
题点　指数、对数函数图象的应用
解　∵f(x)＝logax，则y＝|f(x)|的图象如图．
由图知，要使x∈时恒有|f(x)|≤1，
只需≤1，即－1≤loga≤1，
即logaa－1≤loga≤logaa，亦当a＞1时，
得a－1≤≤a，即a≥3；
当0＜a＜1时，a－1≥≥a，得0＜a≤.
综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．
类型三　对数函数的综合应用
例3　已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
考点　对数函数的综合问题
题点　与最值有关的对数函数综合问题
解　(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，
即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，∴F(x)min＝F(0)＝0.
故m≤0即为所求．
反思与感悟　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练3　已知函数f(x)的定义域是(－1,1)，对于任意的x，y∈(－1,1)，有f(x)＋f(y)＝f?，且当x＜0时，f(x)＞0.
(1)验证函数g(x)＝ln，x∈(－1,1)是否满足上述这些条件；
(2)你发现这样的函数f(x)还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．
考点　对数函数的综合问题
题点　与奇偶性有关的对数函数的综合问题
解　(1)因为g(x)＋g(y)＝ln＋ln
＝ln＝ln，
g＝ln＝ln，
所以g(x)＋g(y)＝g成立．
又当x＜0时，1－x＞1＋x＞0，所以＞1，
所以g(x)＝ln＞0成立，
综上g(x)＝ln满足这些条件．
(2)发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
将x＝y＝0代入条件，得f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0.
将y＝－x代入条件得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0?f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是奇函数．
又发现这样的函数f(x)在(－1,1)上是减函数．
因为f(x)－f(y)＝f(x)＋f(－y)＝f，
当－1＜x＜y＜1时，＜0，由条件知f＞0，
即f(x)－f(y)＞0?f(x)＞f(y)，
所以函数f(x)在(－1,1)上是减函数.
1．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式化为指数式
答案　B
解析　由logx＝z，得xz＝，
∴7＝(xz)7，即y＝x7z.
2．当0A.B.C．(1，) D．(，2)
考点　对数函数的图象
题点　同一坐标系下的指数函数与对数函数的图象
答案　B
解析　当a>1,0当0即logaa2，
又a∈(0,1)，∴a∈.
3．已知函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为(　　)
A．[－1,1]B.C．[1,2]D．[，4]
考点　对数函数的定义域
题点　与对数函数有关的抽象函数的定义域
答案　D
解析　∵－1≤x≤1，∴2－1≤2x≤2，即≤2x≤2.
∴y＝f(x)的定义域为，即≤log2x≤2，
∴≤x≤4.
4．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　当x0≥2时，由log2(x0－1)>1，得log2(x0－1)>log22，所以x0－1>2，得x0>3；当x0<2时，由得所以x0<－1，所以x0的取值范围是(－∞，－1)∪
(3，＋∞)．
5．已知则________.
考点　对数式与指数式的互化
题点　对数式与指数式的互化
答案　3
解析　设则a＝x，
又
即
∴x＝2，解得x＝3.
1．指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．
3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式＝·logab，logab＝在解题中的灵活应用．
4．在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．
5．同底的指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．
一、选择题
1．已知a＝log0.60.5，b＝ln0.5，c＝0.60.5，则(　　)
A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　B
解析　∵y＝log0.6x在(0，＋∞)上为减函数，
∴log0.60.61.
同理，ln0.5∵0<0.60.5<0.60，即0∴a>c>b.
2．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是(　　)
考点　对数函数的图象
题点　同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
答案　A
解析　由函数解析式可知f(x)＝f(－x)，即函数为偶函数，排除C；由函数过(0,0)点，排除B，D.
3．已知a>0，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　)
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　由a>0，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得：
当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，
代入验证只有D满足题意．
4．已知x，y，z都是大于1的正数，m>0，且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为(　　)
A.B．60C.D.
考点　对数的运算
题点　用代数式表示对数
答案　B
解析　由已知得logm(xyz)＝logmx＋logmy＋logmz＝，而logmx＝，logmy＝，故logmz＝－logmx－logmy＝－－＝，即logzm＝60.
5．函数f(x)＝loga[(a－1)x＋1]在定义域上(　　)
A．是增函数 B．是减函数
C．先增后减 D．先减后增
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　A
解析　∵当a>1时，y＝logau，u＝(a－1)x＋1都是增函数，
当0∴f(x)在定义域上为增函数．
6．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　D
解析　f(x)≤2等价于或
解得0≤x≤1或x>1.
∴x的取值范围是[0，＋∞)．
7．(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0B．0C．0D．0考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　A
解析　由函数图象可知，f(x)在R上单调递增，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－18．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：
f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，
则是“同形”函数的是(　　)
A．f2(x)与f4(x) B．f1(x)与f3(x)
C．f1(x)与f4(x) D．f3(x)与f4(x)
考点　对数函数的图象
题点　对数函数的图象
答案　A
解析　因为f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，所以f2(x)＝log2(x＋2)，沿着x轴先向右平移2个单位得到y＝log2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，根据“同形”函数的定义，f2(x)与f4(x)为“同形”函数．f3(x)＝log2x2＝2log2|x|与f1(x)＝2log2(x＋1)不“同形”，故选A.
二、填空题
9．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
考点　对数函数的图象
题点　指数、对数函数图象的应用
答案　
解析　由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，所以区间[a，b]的最短长度为1－＝，
所以b－a的最小值为.
10．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1；②0a>1；④0其中可能成立的关系式序号为________．
考点　对数函数的图象
题点　指数、对数函数图象的应用
答案　②③⑤
解析　由图易知，loga＝logb有且仅有3种情形：
011．已知0考点　对数不等式
题点　解对数不等式
答案　(3,4)
解析　∵0∴a<1＝a0等价于logb(x－3)>0＝logb1.
∵0三、解答题
12．已知函数f(x)＝2＋log2x，x∈[1,4]．
(1)求函数f(x)的值域；
(2)设g(x)＝[f(x)]2－f(x2)，求g(x)的最值及相应的x的值．
考点　对数函数的综合问题
题点　与定义域、值域有关的对数函数综合问题
解　(1)∵f(x)＝2＋log2x在[1,4]上是增函数，
又f(1)＝2＋log21＝2，f(4)＝2＋log24＝2＋2＝4，
∴函数f(x)的值域是[2,4]．
(2)g(x)＝[f(x)]2－f(x2)
＝4＋4log2x＋(log2x)2－(2＋log2x2)
＝(log2x)2＋2log2x＋2
＝(log2x＋1)2＋1.
由得1≤x≤2，
∴g(x)的定义域是[1,2]．
∴0≤log2x≤1.
∴当log2x＝0，即x＝1时，g(x)有最小值g(1)＝2；
当log2x＝1，即x＝2时，g(x)有最大值g(2)＝5.
13．已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(a＞1＞b＞0)．
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；
(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
考点　对数函数的综合问题
题点　与单调性有关的对数函数综合问题
解　(1)由ax－bx＞0，得x＞1，且a＞1＞b＞0，
得＞1，所以x＞0，
即f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)任取x1＞x2＞0，a＞1＞b＞0，
则a＞a＞1,0所以a－b＞a－b＞0，
即lg(a－b)＞lg(a－b)．
故f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．
故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1)，这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．
四、探究与拓展
14．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f(1)>f?，求x的取值范围．
考点　对数不等式
题点　解对数不等式
解　因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，
所以f(x)在区间(－∞，0)上是单调增函数，
所以不等式f(1)>f?可化为
lg>1或lg<－1，
所以lg>lg10或lg所以>10或0<<，
所以010.
所以x的取值范围为∪(10，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；
(2)若g(x)＝log2(2x－1)(x>0)，且关于x的方程g(x)＝m＋f(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．
考点　对数函数的综合问题
题点　与单调性有关的对数函数综合问题
(1)证明　因为函数f(x)＝log2(2x＋1)，
任取x1则f(x1)－f(x2)＝log2(2＋1)－log2(2＋1)
＝log2，
因为x1所以log2<0，
所以f(x1)所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增．
(2)解　g(x)＝m＋f(x)，即g(x)－f(x)＝m.
设h(x)＝g(x)－f(x)
＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2
＝log2.
设1≤x1则3≤2＋1<2＋1≤5，
≥>≥，
－≤<≤－，
所以≤1－<1－≤，
所以log2≤h(x1)即h(x)在[1,2]上为增函数且值域为.
要使g(x)－f(x)＝m有解，需m∈.