高中数学新人教A版必修1学案：第二章基本初等函数（I）章末复习（含解析）

章末复习
学习目标　1.构建知识网络.2.进一步熟练指数、对数运算，加深对公式成立条件的记忆.3.以函数观点综合理解指数函数、对数函数、幂函数．
1．知识网络
2．要点归纳
(1)分数指数幂
①＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)根式的性质
①()n＝a.
②当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
(3)指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
(4)指数式与对数式的互化式
logaN＝b?ab＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(5)对数的换底公式
logaN＝(a>0，且a≠1，m>0，且m≠1，N>0)．
推论：＝logab(a>0，且a≠1，m，n>0，且m≠1，n≠1，b>0)．
(6)对数的四则运算法则
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(7)指数函数
①理解指数函数概念及单调性．
②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点．
(8)对数函数
①理解对数函数概念及单调性．
②会画具体对数函数图象并掌握图象通过的特殊点．
③了解y＝ax，y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
(9)幂函数
①了解幂函数的概念．
②结合y＝xα，α＝－1，，1,2,3的图象，了解它们的性质．
1.＝a.(　×　)
2．y＝log2(2x)的图象可由y＝log2x的图象向上平移一个单位得到．(　√　)
3．y＝ax－1(a>0且a≠1)恒过定点(1,1)．(　√　)
4．y＝的增区间为(－∞，0]．(　×　)
类型一　指数、对数的运算
例1　化简：(1)
考点　根式与分数指数幂的互化
题点　根式与分数指数幂的乘除运算
解　原式＝
(2)2log32－log3＋log38－.
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
解　原式＝log34－log3＋log38－
＝log3－
＝log39－9＝2－9＝－7.
反思与感悟　指数、对数的运算应遵循的原则
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
跟踪训练1　计算80.25×＋(×)6＋log32×log2(log327)的值为________．
考点　对数的运算
题点　指数对数的混合运算
答案　111
解析　∵log32×log2(log327)＝log32×log23
＝×＝1，
∴原式＝＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111.
类型二　函数图象及其应用
命题角度1　由解析式判断函数图象
例2　定义运算a?b＝则函数f(x)＝1?2x的图象是(　　)
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数的图象与性质
答案　A
解析　∵当x≥0时，2x≥1，当x<0时，2x<1，
∴f(x)＝1?2x＝故选A.
反思与感悟　指数函数，对数函数，幂函数合称基本初等函数(Ⅰ)．其基本性体现之一就是可以作为构成新函数的“原料”．
跟踪训练2　函数y＝2x－x2的图象大致是(　　)
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的应用
答案　A
解析　在同一坐标系内分别画出y＝2x，y＝x2的图象．由图可知，当x2x，∴2x－x2<0，排除C，D.又当x＝2,4时，x2＝2x，排除B.
命题角度2　应用函数图象特点研究性质
例3　如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)
A．{x|－1＜x≤0}
B．{x|－1≤x≤1}
C．{x|－1＜x≤1}
D．{x|－1＜x≤2}
考点　对数函数的图象
题点　同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
答案　C
解析　借助函数的图象求解该不等式．
令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.
由得
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1反思与感悟　指数函数、对数函数、幂函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点，最值，解不等式的工具，所以要能熟练画出这三类函数图象，并会进行平移、伸缩，对称、翻折等变换．
跟踪训练3　设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数图象的应用
答案　B
解析　在同一坐标系中画y＝x3与y＝x－2的图象，如图，由图知当xx3，当x>x0时，x－2代入x＝2，2－2＝1<23，∴2>x0.再代入1，1－2＝2>13，∴x0>1.
类型三　指数函数、对数函数、幂函数的性质及应用
命题角度1　比较大小
例4　(1)比较下列各组数的大小：
①27,82；
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　∵82＝(23)2＝26，
由指数函数y＝2x在R上单调递增知26<27，即82<27.
②log20.4，log30.4，log40.4；
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
∴<<，
即log20.4③log2，
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
解　∵0<<20＝1，
log2(2)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　D
解析　设2x＝3y＝5z＝t>1，则ln2x＝ln3y＝ln5z＝lnt>0，
即x＝，2x＝lnt，y＝，3y＝lnt，z＝，5z＝lnt.
2x－3y＝lnt
＝lnt>0.
∴2x>3y.类似地有2x<5z.故选D.
反思与感悟　数的大小比较常用方法：
(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数、幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．
(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．
(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小．
跟踪训练4　比较下列各组数的大小：
(1)log0.22，log0.049；
考点　对数值大小比较
题点　对数值大小比较
解　∵log0.049＝＝
＝＝＝log0.23，
又∵y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴log0.22>log0.23，即log0.22>log0.049.
(2)a1.2，a1.3；
考点　指数幂的大小比较
题点　比较指数幂大小
解　∵函数y＝ax(a>0，且a≠1)，当底数a>1时在R上是增函数，当底数0而1.2<1.3，故当a>1时，有a1.2当0a1.3.
(3)30.4,0.43，log0.43.
考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
解　∵30.4>30＝1，
0<0.43<0.40＝1，
log0.43∴log0.43<0.43<30.4.
命题角度2　函数性质综合应用
例5　已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时的x的取值范围．
考点　指数函数与对数函数的关系
题点　指数函数与对数函数的关系
解　(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；
当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0.
①当a<0，b>0时，x>－，
解得
②当a>0，b<0时，x<－，
解得
反思与感悟　指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段，构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等手段化归为基本的指数函数、对数函数、幂函数来研究．
跟踪训练5　设函数f(x)＝则满足f(x)＋f?>1的x的取值范围是________．
考点　指数不等式的解法
题点　指数不等式的解法
答案　
解析　当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f?＝>1，当x－≤0，即0，则不等式f(x)＋f?>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f?＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－综上所述，x的取值范围是.
1．化简为(　　)
A．1B．2C．3D．0
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　B
解析　＝
＝＝2.
2．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)
考点　对数函数的图象
题点　同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
答案　B
解析　由题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称．显然不符．故选B.
3．函数f(x)＝x与函数在区间(－∞,0)上的单调性为(　　)
A．都是增函数
B．都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数
D．f(x)是减函数，g(x)是增函数
考点　指数函数与对数函数的关系
题点　指数函数与对数函数的关系
答案　D
解析　f(x)＝x在x∈(－∞，0)上为减函数，为偶函数，x∈(0，＋∞)时为减函数，所以在(－∞，0)上为增函数．
4．已知Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是________．(用“<”连接)
考点　比较幂值的大小
题点　利用中间值比较大小
答案　Q＜R＜P
解析　由函数y＝x3在R上是增函数，知
3＜3，由函数y＝2x在R上是增函数，知
＞2－3＝3，所以P＞R＞Q.
5．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点的个数为________．
考点　对数函数图象
题点　指数、对数函数图象的应用
答案　2
解析　函数f(x)＝2x|log0.5x|－1与x轴交点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝|log0.5x|，y＝的图象(图略)，易知有2个交点．
1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．
2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0]∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
考点　对数函数的定义域
题点　与对数函数复合的二次根式的定义域
答案　B
解析　由得－1＜x≤2，且x≠0.
即x∈(－1,0)∪(0,2]．
2．已知x，y为正实数，则(　　)
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy
B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgy
C．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy
D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　D
解析　2lgx·2lgy＝2lgx＋lgy＝2lg(xy)．故选D.
3．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)等于(　　)
A．3B．6C．9D．12
考点　与对数函数有关的分段函数求值
题点　与对数函数有关的分段函数求值
答案　C
解析　因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f(－2)＝1＋log2[2－(－2)]＝1＋log24＝3，f(log212)＝2＝2×2－1＝12×＝6，故f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9，故选C.
4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是(　　)
A．(－∞，1] B.
C. D．[1,2)
考点　对数函数的单调性
题点　对数型复合函数的单调区间
答案　D
解析　方法一　当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝
－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D.
方法二　f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图．
由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D.
5．函数y＝log2(|x|＋1)的图象大致是(　　)
答案　B
解析　y＝log2(|x|＋1)是偶函数，当x≥0时，y＝log2(x＋1)是增函数，其图象是由y＝log2x的图象向左平移1个单位得到，且过点(0,0)，(1,1)，只有选项B满足．
6．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
考点　与指数函数相关的函数的奇偶性
题点　与指数函数相关的函数的奇偶性
答案　D
点拨　∵f(x)＝＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
7．已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f?，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．c考点　对数值大小比较
题点　指数、对数值大小比较
答案　C
解析　由题意得，a＝f?＝f(log25)，
且log25>log24.1>2,1<20.8<2，
所以log25>log24.1>20.8，
结合函数的单调性知，
f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，
即a>b>c.
8．函数y＝(x＋2)ln|x|的图象大致为(　　)
考点　对数函数的图象
题点　含绝对值的对数函数的图象
答案　A
解析　当x＝2时，y＝4ln2>0，可排除B；当x＝－3时，y＝－ln3<0，故可排除C，D.故选A.
二、填空题
9．若lg2＝a，lg3＝b，则log512＝________.
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
答案　
解析　∵log512＝＝＝.
10．若函数y＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是________．
考点　对数函数的单调性
题点　由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围
答案　(－8，－6]
解析　令g(x)＝3x2－ax＋5，其对称轴为直线x＝.依题意，有即
11．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为________．
考点　指数函数的图象与性质
题点　指数函数的图象的应用
答案　1
解析　∵f(1＋x)＝f(1－x)，
∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1.
∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上单调递增．
∴[m，＋∞)?[1，＋∞)．∴m≥1，即m的最小值为1.
三、解答题
12．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两根，求lg(ab)·2的值．
考点　对数的运算
题点　对数的运算性质
解　∵lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两根，
∴lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，
∴(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝4－2＝2，
∴lg(ab)·2＝(lga＋lgb)·(lga－lgb)2
＝2×2＝4.
13．已知常数a(a>1)和变量x，y之间的关系式是logax＋3logxa－logxy＝3，若x＝at (t≠0)，且当t≥1时，y的最小值是8，求相应的x的值．
考点　对数函数的值域
题点　由对数函数的值域或最值求参数的值
解　把x＝at代入logax＋3logxa－logxy＝3，
得t＋－logay＝3.
∴logay＝t2－3t＋3，
∴y＝a.
又t≥1，a>1，故可令u＝t2－3t＋3，
则当t＝时，u＝t2－3t＋3有最小值为，
此时y也有最小值，即ymin＝a＝8，
此时x＝at＝a＝(a)2＝82＝64.
四、探究与拓展
14.如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．
考点　对数函数的图象
题点　同一坐标系下的对数函数与其他函数图象
答案　
解析　由图象可知，点A(xA,2)在函数y＝logx的图象上，所以2＝logxA，xA＝2＝.点B(xB,2)在函数y＝x的图象上，所以2＝，xB＝4.点C(4，yC)在函数y＝x的图象上，所以yC＝4＝.
又xD＝xA＝，yD＝yC＝，所以点D的坐标为.
15．已知函数f(x)＝xn－，且f(4)＝3.
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)若对任意实数x1，x2∈[1,3]，有|f(x1)－f(x2)|≤t成立，求t的最小值．
考点　幂函数的综合问题
题点　幂函数的综合问题
解　(1)f(4)＝4n－1＝3，即4n＝4，∴n＝1.
∴f(x)＝x－.
其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)在(0，＋∞)上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋
＝x1－x2＋＝(x1－x2).
∵x1>x2>0，
∴x1－x2>0,1＋>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(3)由题意，得t≥|f(x1)－f(x2)|成立，
只要t≥|f(x1)－f(x2)|的最大值即可．
∵f(x)在区间[1,3]上单调递增，
∴|f(x1)－f(x2)|的最大值为
|f(3)－f(1)|＝＝，
∴t≥.
故t的最小值为.