高中数学新人教A版必修1学案：3.1.2用二分法求方程的近似解（含解析）

3.1.2　用二分法求方程的近似解
学习目标　1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一　二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点二　用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．(　√　)
2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．(　√　)
3．用二分法最后一定能求出函数零点．(　×　)
4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．(　√　)
类型一　二分法的适用条件
例1　以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是(　　)
考点　二分法的概念
题点　判断是否能用二分法求解零点
答案　C
解析　使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间．
反思与感悟　运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
跟踪训练1　观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　)
考点　二分法的概念
题点　判断是否能用二分法求解零点
答案　A
类型二　二分法的操作
例2　用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确度0.02)．
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法求方程的近似解
解　由于f(0)＝－3＜0，
f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，
故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.4375
－0.030
(1.4375,1.5)
1.46875
0.168
(1.4375,1.46875)
1.453125
0.068
(1.4375,1.453125)
因为|1.453125－1.4375|＝0.015625＜0.02，
所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.4375.
反思与感悟　用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．
跟踪训练2　借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)．
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法求方程的近似解
解　原方程即2x＋3x－7＝0，令f(x)＝2x＋3x－7，
用计算器或计算机作出函数f(x)＝2x＋3x－7的对应值表与图象如下：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
f(x)＝2x＋3x－7
－6
－2
3
10
21
40
75
142
273
…
观察图或表可知f(1)·f(2)＜0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.
取区间(1,2)的中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)＜0，
所以x0∈(1,1.5)．
再取区间(1,1.5)的中点x2＝1.25，用计算器算得f(1.25)≈－0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．
同理可得，x0∈(1.375，1.5)，x0∈(1.375,1.4375)．
由于|1.375－1.4375|＝0.0625＜0.1，
所以原方程的近似解可取为1.4375.
类型三　二分法思想的考查
例3　函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点x0与的大小关系为________．
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　解析　在同一坐标系内画出y＝lnx，y＝3－x2的图象如图．
由图可知，y＝lnx与y＝3－x2有唯一的交点x0∈(1，)．
即f(x)＝lnx＋x2－3有唯一的零点x0∈(1，)．
代入区间中点x＝，
则ln1.
∴ln<3－2.
∴反思与感悟　在实际考查中，不一定要求把二分法进行多少次，但可以要求利用二分法缩小零点所在区间．
跟踪训练3　函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)内有无零点？若有，该零点是在内还是在内？
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
解　∵f(x)为R上的增函数且f(0)＝20＋03－2<0，f(1)＝21＋13－2>0，
∴f(x)在(0,1)内有且仅有1个零点x0.
又f＝＋3－2＝＝<0，
∴x0∈.
1．下列函数中，只能用二分法求其零点的是(　　)
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝x－x
考点　二分法的概念
题点　判断是否能用二分法求解零点
答案　D
2．下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是(　　)
考点　二分法的概念
题点　判断是否能用二分法求解零点
答案　C
3．方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
考点　用二分法求函数的近似解
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　C
4．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f?＝0时，则函数f(x)的零点是________．
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法求方程的近似解
答案　
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________．
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　(2,3)
1．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号．
3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．
一、选择题
1．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)
考点　二分法的概念
题点　判断是否能用二分法求解零点
答案　C
解析　只有选项C中零点左右的函数值符号相反且函数图象连续，可以利用二分法求解．
2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是(　　)
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
考点　二分法的概念
题点　二分法的概念
答案　B
解析　依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(　　)
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　A
解析　易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)＜0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25,1.5)内．故选A.
4．用二分法求函数f(x)＝lnx－的零点时，初始区间大致可选在(　　)
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(e，＋∞)
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　B
解析　由于f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，
f(2)·f(3)＜0，故初始区间可选(2,3)．
5．已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为(　　)
A．1B．2C．3D．4
考点　二分法的概念
题点　分析二分法计算的次数
答案　B
6．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.4065)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为(　　)
A．1.5B．1.375C．1.438D．1.25
考点　用二分法求函数的近似解
题点　用二分法求方程的近似解
答案　C
解析　∵f(1.4065)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.4065)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.4065,1.438)内，
又∵|1.4065－1.438|＝0.0315＜0.05，
∴方程的近似根为1.4065或1.438.故选C.
7．设a是函数f(x)＝2x－的零点，若x0>a，则f(x0)的值满足(　　)
A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0
C．f(x0)<0 D．以上都有可能
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　B
解析　画出y＝2x与y＝的图象(图略)，可知当x0>a时，2x0>，故f(x0)>0.
8．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为(　　)
A.B.C.D.
考点　用二分法求函数的近似解
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　C
解析　f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.
二、填空题
9．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．(填序号)
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
考点　二分法的概念
题点　二分法的概念
答案　①②
解析　由二分法适用条件直接可得．
10．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．(填序号)
①函数f(x)在区间(0,1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．
考点　二分法的概念
题点　二分法的概念
答案　④
解析　∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0，∴函数f(x)在(0,4)内有零点．
11．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　
解析　令f(x)＝x3－x2－1，则f(1)＝－1＜0，f(2)＝3＞0，f?＝＞0，所以f?f(1)＜0，
故可断定该实数根所在的区间为.
三、解答题
12．用二分法求方程x2－2＝0的一个正实数解的近似值．(精确到0.1)
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法求方程的近似解
解　令f(x)＝x2－2，由于f(0)＝－2＜0，f(2)＝2＞0，可确定区间[0,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝0，b0＝2
f(0)＝－2，f(2)＝2
[0,2]
x0＝1
f(x0)＝－1＜0
[1,2]
x1＝1.5
f(x1)＝0.25＞0
[1,1.5]
x2＝1.25
f(x2)≈－0.438＜0
[1.25,1.5]
x3＝1.375
f(x3)≈－0.109＜0
[1.375,1.5]
x4＝1.4375
f(x4)≈0.066＞0
[1.375,1.437 5]
由上表的计算可知，区间[1.375,1.437 5]的长度为1.4375－1.375＝0.0625＜0.1.
故1.4可作为所求方程的一个正实数解的近似值．
13．(2017·山东莱芜期中)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法求方程的近似解
解　(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0.
由题意，得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
即或
∴1故实数a的取值范围为(1,2)．
(2)若a＝，
则f(x)＝x3－x＋，
∴f(－1)＝>0，f(0)＝>0，f(1)＝－<0，
∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上，又f?＝0，
∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
四、探究与拓展
14．设方程2x＋2x＝10的根为β，β所在区间为(n，n＋1)，则n＝________.
考点　用二分法求函数零点的近似值
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　2
解析　设f(x)＝2x＋2x－10，则f(x)在R上为单调增函数，又f(0)＝－9，f(1)＝－6，f(2)＝－2，f(3)＝4，∴f(2)·f(3)＜0，∴β∈(2,3)，n＝2.
15．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(质量比真金的略轻)．现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？
考点　二分法的概念
题点　二分法在实际问题中的应用
解　利用二分法，至多四次就一定可以找出这枚假币．第一次把26枚金币平均分成两组，放在天平上称，天平一定不平衡，轻的一组(13枚金币)含假币；第二次把含假币的13枚金币分成三组，6,6,1，把6枚金币的两组放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币(称量结束)，如果不平衡，轻的一组(6枚金币)含假币；第三次把含假币的6枚金币分成两组，放在天平上称，天平不平衡，轻的一组(3枚金币)含假币；第四次把含假币的3枚金币中的两枚放在天平上称，如果平衡，说明剩下的一枚是假币，如果不平衡，轻的一边是假币．