高中数学新人教A版必修1学案：第三章函数的应用章末复习（含解析）

章末复习
学习目标　1.体会函数与方程之间的联系，会用二分法求方程的近似解.2.了解指数函数、幂函数、对数函数的增长差异.3.巩固建立函数模型的过程和方法，了解函数模型的广泛应用．
1．知识网络
2．要点归纳
(1)函数的零点与方程的根的关系：
①方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
②确定函数零点的个数有两个基本方法：借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x轴的交点个数；通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
(2)二分法
①图象都在x轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求．
②用二分法求零点近似解时，零点区间(a，b)始终要保持f(a)·f(b)<0；
③若要求精确度为0.01，则当|a－b|<0.01时，便可判断零点近似值为a(或b)．
(3)在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数．
(4)函数模型
①给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用待定系数法．
②建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域．
③所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对定义域的影响．
1．函数y＝f(x)－g(x)的零点即方程＝1的根．(　×　)
2．用二分法求函数零点近似解时，始终要保持零点区间(a，b)满足f(a)·f(b)<0.(　√　)
3．存在x0，当x>x0时，有2x>x3.(　√　)
4．建立的函数模型必须真实地反映原型的特征和关系．(　√　)
类型一　函数的零点与方程的根的关系
例1　已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是____________．
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　函数的零点与方程根的关系
答案　x1＜x2＜x3
解析　令x＋2x＝0，得2x＝－x；
令x＋lnx＝0，得lnx＝－x；
在同一平面直角坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x的图象，由图可知x1＜0＜x2＜1.
令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，
所以＝，即x3＝2＞1.
所以x1＜x2＜x3.
反思与感悟　(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断．
跟踪训练1　若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　C
解析　显然f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由条件可知f(1)·f(2)＜0，即(2－2－a)(4－1－a)＜0，
即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.
类型二　用二分法求函数的零点或方程的近似解
例2　在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A. B.
C. D.
考点　用二分法求函数的近似解
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　C
解析　∵f(x)是R上的增函数且图象是连续的，且f(0)＝e0＋4×0－3＜0，f(1)＝e＋4－3＞0，∴f(x)在(0,1)内有唯一零点．f?＝＋4×－3＝－2＜0，f?＝＋4×－3＝－1＞0，
∴f(x)在内存在唯一零点．
反思与感悟　(1)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．
(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间对应的结果是相同的，但二分的次数相差较大．
(3)取区间中点c，计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间，直到所取区间(an，bn)中，|an－bn|<ε，那么区间(an，bn)内任意一个数都是满足精确度ε的近似解．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)，当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝__________.
考点　用二分法求函数的近似解
题点　用二分法判断函数零点所在的区间
答案　2
解析　∵a＞2，
∴f(x)＝logax＋x－b在(0，＋∞)上为增函数，
且f(2)＝loga2＋2－b，f(3)＝loga3＋3－b.
∵2＜a＜3＜b＜4，∴0＜loga2＜1，－2＜2－b＜－1.
∴－2＜loga2＋2－b＜0.又1＜loga3＜2，－1＜3－b＜0，
∴0＜loga3＋3－b＜2，即f(2)＜0，f(3)＞0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(2,3)内必存在唯一零点．
类型三　函数模型及应用
例3　某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：
第t天
4
10
16
22
Q/万股
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少．
考点　函数模型的综合应用
题点　函数模型中的最值问题
解　(1)P＝(t∈N*)．
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数且a≠0)，把(4,36)，(10,30)代入得
所以a＝－1，b＝40，
所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0(3)由(1)(2)可得y＝
即y＝(t∈N*)．
当0当20ymax<(20－60)2－40＝120(万元)．
所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．
反思与感悟　由于实际问题信息量大，有时还会出现一些陌生词，所以审题时要抓住主被动变量，围绕寻找主被动变量的关系去检索题目信息，搭建模型框架再逐步细化框架．
跟踪训练3　某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．
考点　函数模型的应用
题点　指数、对数函数模型的应用
答案　24
解析　依题意得两式相除可得e22k＝，故e11k＝，故e33k＋b＝e33k·eb＝24，即该食品在33℃的保鲜时间是24小时.
1．已知函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，a≠1)，那么函数f(x)的零点有(　　)
A．0个B．1个C．2个D．至少1个
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
答案　D
解析　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图(1)，当0＜a＜1时，如图(2)，故选D.
2．如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x之间函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)
考点　函数拟合问题
题点　据实际问题选择函数模型
答案　D
解析　由晨练的图象可知，总共分为三部分，前一段随着时间的增加，离家的距离增大，接着一段时间是保持离家距离不变，根据四个选项可知只有选项D符合，同时，最后一段是随着时间的增加，离家的距离越来越小，选项D也符合．故选D.
3．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　函数的零点与方程根的关系
答案　A
解析　由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)·(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.
4．设函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是________．
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　(log32,1)
5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
考点　建立函数模型解决实际问题
题点　建立函数模型解决实际问题
答案　8
解析　由表知：汽车行驶路程为35600－35000＝600(千米)，耗油量为48升，
∴每100千米耗油量为8升．
1．对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用零点存在性定理，可用来求参数的取值范围．
2．函数模型的应用实例的基本题型
(1)给定函数模型解决实际问题；
(2)建立确定的函数模型解决问题；
(3)建立拟合函数模型解决实际问题．
3．函数建模的基本过程如图
一、选择题
1．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是(　　)
A．a＞ B．a＞或a＜－1
C．－1＜a＜ D．a＜－1
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　B
解析　当a＝0时，f(x)＝1，与x轴无交点，不合题意，所以a≠0，函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内是单调函数，f(－1)f(1)＜0，即(5a－1)(a＋1)＞0，解得a＜－1或a＞.
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0B．－2,0C.D．0
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　D
解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x＞1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点只有0.
3．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值(　　)
A．大于0B．小于0C．等于0D．无法判断
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　D
解析　观察下列各种图象：
上面各种函数y＝f(x)在(0,4)内仅有一个零点，但是图(1)中，f(0)·f(4)＞0；图(2)中，f(0)·f(4)＜0；图(3)中，f(0)·f(4)＝0.
4．若函数f(x)＝x－没有零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　B
解析　f(x)＝x－＝，其定义域为{x|x∈R且x≠0}，故a≤0.
5．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在的区间为(　　)
A. B.
C. D.
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　函数的零点与方程根的关系
答案　C
解析　因为f(x)在定义域内为单调递增函数，
而在4个选项中，只有f?f?＜0，
所以零点所在区间为.
6．下列说法中正确的个数是(　　)
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
A．1B．2C．3D．4
考点　函数零点的概念
题点　求函数的零点
答案　B
解析　根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
7．已知当x≥0时，函数y＝x2与函数y＝2x的图象如图所示，则当x≤0时，不等式2x·x2≥1的解集是(　　)
A．[－4，－2] B．[2,4]
C．[－2,2] D．[－4,2]
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　函数的零点与方程根的关系
答案　A
解析　在2x·x2≥1中，令x＝－t，由x≤0得t≥0，
∴2－t·(－t)2≥1，即t2≥2t.由所给图象得2≤t≤4，
即2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2.
8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，且其图象连续不断．若f>0>f()，则方程f(x)＝0的根的个数是(　　)
A．2 B．2或1
C．3 D．2或3
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
答案　D
解析　因为f?>0>f()，
所以f?·f?()<0，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减且图象连续不断，故f(x)＝0在内必有一个根．
又f(x)是R上的偶函数，则在内也必有一根．若f(x)的图象在R上连续，则f(x)＝0有两个根；若f(x)的图象在R上不连续，因为f(x)为偶函数，所以不连续点有可能在原点，则f(x)＝0可能有3个根，综上，方程f(x)＝0的根的个数是2或3.
二、填空题
9．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　由函数零点个数求参数的取值范围
答案　(0,2)
解析　将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解．
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，
得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．
则当010．若关于x的方程x2－x－(m＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m的取值范围是________．
考点　函数的零点与方程的根
题点　函数的零点与方程的根
答案　
解析　设f(x)＝x2－x－(m＋1)，∵f(x)＝x2－x－(m＋1)的对称轴为x＝，
∴或
∴或
∴－≤m≤1.
11．如图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水量符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶2中水量就是y2＝a－ae－nt升，桶1与桶2相同，假设过5分钟时桶1和桶2的水量相等，则桶1中的水量只有时，需再经过________分钟．
考点　函数模型的应用
题点　指数、对数函数模型的应用
答案　10
解析　由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝
设再经过t分钟，桶1中的水量只有，则ae－n(t＋5)＝，即＝3，解得t＝10.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋b.
(1)若b＝－1，函数y＝f(x)在x∈[2,3]上有一个零点，求a的取值范围；
(2)若a＝b，且对于任意a∈[2,3]都有f(x)＜0，求x的取值范围．
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　一元二次方程根的分布
解　(1)当b＝－1时，f(x)＝x2－(a＋1)x－1.
因为f(0)＝－1，若函数f(x)在[2,3]上有一个零点，
则即解得≤a≤.
即实数a的取值范围是.
(2)将b＝a代入函数f(x)的解析式，得
f(x)＝x2－(a＋1)x＋a.
令g(a)＝(1－x)a＋x2－x，a∈[2,3]．
由题意，得g(a)＜0在a∈[2,3]上恒成立，
所以即解得1＜x＜2.
故所求x的取值范围是(1,2)．
13．某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q(单位：吨)与销售价格x(单位：万元/吨)的关系可用如图所示的一条折线表示．
(1)写出月销售量Q关于销售价格x的函数关系式；
(2)如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？求月利润的最大值．
考点　函数模型的应用
题点　分段函数模型的应用
解　(1)由函数图象可知
当5≤x≤8时，Q＝－x＋25；
当8＜x≤12时，Q＝－x＋13.
所以Q＝
(2)设月利润与商品每吨定价x的函数为f(x)，
则根据题意得f(x)＝Q·(x－5)－10，
即f(x)＝
＝
所以当5≤x≤8时，
在x＝处，f(x)取得最大值；
当8＜x≤12时，在x＝9处，f(x)取得最大值6.
综上可知，该商品每吨定价为9万元时，销售该商品的月利润最大，最大利润为6万元．
四、探究与拓展
14．我们把形如y＝(a＞0，b＞0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.
考点　函数的零点与方程根的关系
题点　判断函数零点的个数
答案　4
解析　由题意知，当a＝1，b＝1时，
y＝＝
在同一平面直角坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．
15．已知函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)与0的关系为________．
考点　函数零点存在性定理
题点　函数零点有关的参数取值范围
答案　f(m－1)>0
解析　设f(x)的零点为x1，x2，则x1x2＝a，x1＋x2＝1，所以|x1－x2|＝＝＝.又a>0，所以0≤|x1－x2|<1.
由f(m)<0，知f(m－1)>0.