§1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.
3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．
知识点一 集合的概念
元素与集合的概念
(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
知识点二 元素与集合的关系
思考 1是整数吗？是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？
答案 1是整数；不是整数．没有．
梳理 元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、?.
知识点三 元素的三个特性
思考 某班所有的“帅哥”能否构成一个界限清楚的群体？某班身高高于175厘米的男生呢？
答案 某班所有的“帅哥”不能构成界限清楚的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175厘米的男生能构成一个界限清楚的群体，因为标准确定．
梳理 元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．
知识点四 常用数集及表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)
2．0∈N但0?N*.(√)
3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1?A.(×)
类型一 判断给定的对象能否构成集合
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合．
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某班的所有高个子同学；
(4)的近似值的全体．
考点 集合的概念
题点 集合的概念
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．
反思与感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．平面直角坐标系内第一象限的一些点
D．所有小的正数
考点 集合的概念
题点 集合的概念
答案 B
解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．
类型二 元素与集合的关系
命题角度1 判定元素与集合的关系
例2 给出下列关系：
①∈R；②?Q；③|－3|?N；④|－|∈Q；⑤0?N，
其中正确的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 B
解析 是实数，①对；不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；|－|＝是无理数，④错；
0是自然数，⑤错．故选B.
反思与感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
跟踪训练2 用符号“∈”或“?”填空．
－________R；－3________Q；
－1________N；π________Z.
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 ∈ ∈ ? ?
命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理
例3 集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
考点 元素与集合的关系
题点 伴随元素问题
答案 0,1,2
解析 ∵x∈N，∈N，∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，＝＝2∈N；
当x＝1时，＝＝3∈N；
当x＝2时，＝＝6∈N.
∴A中元素为0,1,2.
反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法
①使用前提：集合中的元素是直接给出的．
②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．
(2)推理法
①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．
②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．
跟踪训练3 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1?A，2∈A，则( )
A．a>－4 B．a≤－2
C．－4
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
答案 D
解析 ∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.
又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4类型三 元素的三个特性的应用
例4 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使A＝B.
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 (1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝{0,5,10}≠B.
若2a－1＝0，则a＝，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝≠B.
故不存在这样的实数a，x，使A＝B.
反思与感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
跟踪训练4 已知集合M中含有三个元素：2，a，b，集合N中含有三个元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值．
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 方法一 根据集合中元素的互异性，
有或
解得或或
再根据集合中元素的互异性，得或
方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．
∴
即
∵集合中的元素互异，
∴a，b不能同时为零．
当b≠0时，由②得a＝0或b＝.
当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．
当b＝时，由①得a＝.
当b＝0时，a＝0(舍去)．
∴或
1．下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．一切很大的数
B．好心人
C．漂亮的小女孩
D．清华大学2018年入学的全体学生
考点 集合的概念
题点 集合的概念
答案 D
2．下面说法正确的是( )
A．所有在N中的元素都在N*中
B．所有不在N*中的数都在Z中
C．所有不在Q中的实数都在R中
D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 C
3．由“book”中的字母构成的集合中元素个数为________．
考点 集合中元素的特征
题点 集合中元素的个数
答案 3
4．下列结论不正确的是________．(填序号)
①0∈N; ②∈Q; ③0?Q; ④－1∈Z.
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 ③
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 由元素互异性知m≠0，m2－3m＋2≠0.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；
若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，
当m＝0时，与m≠0相矛盾，
当m＝3时，此时集合A中的元素为0,3,2，符合题意．
故实数m＝2.
1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a?A.
3．集合中元素的三个特性
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．
一、选择题
1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1?A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )
A．0∈A B．a＝A
C．a∈A D．a?A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 ∵A中只有一个元素a且a≠0，
∴0?A，选项A错．
∵a为元素，A为集合，故B错误．
由已知选C.
3．下列结论中，不正确的是( )
A．若a∈N，则－a?N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则∈R
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 A
解析 A不对．反例：0∈N，－0∈N.
4．已知x，y为非零实数，代数式＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0?M B．1∈M
C．－2?M D．2∈M
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 D
解析 ①当x，y为正数时，代数式＋的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式＋的值为0；③当x，y均为负数时，代数式＋的值为－2，
所以集合M中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.
5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点 集合中元素的特征
题点 集合中参数的取值范围
答案 D
解析 由元素的互异性知a，b，c均不相等．
6．已知A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
A．－1?A B．－11∈A
C．3k2－1∈A D．－34?A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 C
解析 令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A；
令3k－1＝－11，解得k＝－?Z，∴－11?A；
∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.
7．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含( )
A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
考点 集合中元素的特征
题点 集合中元素的个数
答案 A
解析 由于|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，
并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．
8．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则( )
A．a∈A B．a2∈A
C.?A D．a＋1?A
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
答案 A
解析 a＝＋<＋＝4<5，∴a∈A.
a＋1<＋＋1＝5，∴a＋1∈A.
a2＝()2＋2·＋()2＝5＋2>5.∴a2?A.
＝＝＝－<5.
∴∈A.
故选A.
二、填空题
9．下列所给关系正确的个数是________．
①π∈R；②D∈/Q；③0∈N*；④|－4|D∈/N*.
考点 常用的数集及表示
题点 常用的数集及表示
答案 2
解析 ∵π是实数，是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.
10．如果有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．
考点 集合中元素的特征
题点 集合中参数的取值范围
答案 x≠0,1,2，
解析 由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，.
11．已知a，b∈R，集合A中含有a，，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若A＝B，则a＋b＝____.
考点 集合中元素的特征
题点 集合中参数的取值范围
答案 －1
解析 ∵A＝B,0∈B，∴0∈A.
又a≠0，∴＝0，则b＝0.∴B＝{a，a2,0}．
∵1∈B，a≠1，∴a2＝1，a＝－1或1(舍)．
由元素的互异性知，a＝－1，∴a＋b＝－1.
三、解答题
12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．
考点 元素与集合的关系
题点 由元素与集合的关系求参数的值
解 由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，满足题意．
∴实数a的值为－.
13．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．
考点 元素与集合的关系
题点 伴随元素问题
解 (1)2∈A，则∈A，
即－1∈A，则∈A，即∈A，则∈A，
即2∈A，所以A中其他所有元素为－1，.
(2)如：若3∈A，则A中其他所有元素为－，.
(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
若a∈A，a≠1，则有∈A且≠1，
所以又有＝∈A且≠1，
进而有＝a∈A.
又因为a≠(因为若a＝，则a2－a＋1＝0，
而方程a2－a＋1＝0无解)，
故≠，所以A中只能有3个元素，
它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
四、探究与拓展
14．已知集合A中有3个元素a，b，c，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．
考点 元素与集合的关系
题点 根据新定义求集合
答案 1,2
解析 由题意知解得
∴集合A＝{0,1,2}，则集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}．
15．已知集合A中的元素x均满足x＝m2－n2(m，n∈Z)，求证：(1)3∈A；
(2)偶数4k－2(k∈Z)不属于集合A.
考点 元素与集合的关系
题点 判断元素与集合的关系
证明 (1)令m＝2∈Z，n＝1∈Z，
得x＝m2－n2＝4－1＝3，所以3∈A.
(2)假设4k－2∈A，则存在m，n∈Z，
使4k－2＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)成立．
①当m，n同奇或同偶时，m＋n，m－n均为偶数，
所以(m＋n)(m－n)为4的倍数与4k－2不是4的倍数矛盾．
②当m，n一奇一偶时，m＋n，m－n均为奇数，
所以(m＋n)(m－n)为奇数，与4k－2是偶数矛盾．
所以假设不成立．
综上，4k－2?A.
第2课时 集合的表示
学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．
知识点一 列举法
思考 要研究集合，要在集合的基础上研究其他问题，首先要表示集合．而当集合中元素较少时，如何直观地表示集合？
答案 把它们一一列举出来．
梳理 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．适用于元素较少的集合．
知识点二 描述法
思考 能用列举法表示所有大于1的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
答案 不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合，如大于1的实数可表示为{x∈R|x＞1}．
梳理 描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集．表示方法是在花括号内画一竖线，竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围，竖线后写元素所具有的共同特征．
1.＝1.(×)
2.＝.(×)
3.＝.(√)
4.＝.(√)
类型一 用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合．
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合．
考点 用列举法表示集合
题点 用列举法表示数集
解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，
那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，
那么B＝{0,1}．
反思与感悟 (1)集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开．
(2)元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合．
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由1～20以内的所有素数组成的集合．
考点 用列举法表示集合
题点 用列举法表示数集
解 (1)满足条件的数有3,5,7，所以所求集合为{3,5,7}．
(2)设由1～20以内的所有素数组成的集合为C，
那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}．
类型二 用描述法表示集合
例2 试用描述法表示下列集合．
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示有限数集
解 (1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，
它满足条件x∈Z，且10因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10引申探究
用描述法表示函数y＝x2－2图象上所有的点组成的集合．
解 {(x，y)|y＝x2－2}．
反思与感悟 用描述法表示集合时应注意的四点
(1)写清楚该集合中元素的代号；
(2)说明该集合中元素的性质；
(3)所有描述的内容都可写在集合符号内；
(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．
跟踪训练2 用描述法表示下列集合．
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示点集
解 (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.
所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
类型三 集合表示的综合应用
命题角度1 选择适当的方法表示集合
例3 用适当的方法表示下列集合．
(1)由x＝2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合；
(2)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；
(3)直线y＝x上去掉原点的点的集合．
考点 集合的表示综合
题点 用适当的方法表示集合
解 (1)列举法：{0,2,4}；或描述法{x|x＝2n,0≤n≤2且n∈N}．
(2)列举法：{(0,0)，(2,0)}．
(3)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．
反思与感悟 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
跟踪训练3 若集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x2＋2000，x∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 {2000,2001,2004}
解析 由A＝{x∈Z|－2≤x≤2}＝{－2，－1,0,1,2}，所以x2∈{0,1,4}，x2＋2000的值为2000,2001,2004，所以B＝{2000,2001,2004}．
命题角度2 新定义的集合
例4 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝，k＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
①2016∈[1]；
②－3∈[3]；
③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]；
④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”．
其中，正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示与余数有关的整数集合
答案 C
解析 由于[k]＝，
对于①，2016除以5等于403余1，∴2016∈[1]，∴①正确；
对于②，－3＝－5＋2，被5除余2，∴②错误；
对于③，∵a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，则a－b＝5(n1－n2)能被5整除，∴a－b∈[0]，
∴③正确；
对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0,1,2,3,4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，
∴a，b属于同一“类”，∴④正确，
则正确的有①③④，共3个．
反思与感悟 命题者以考试说明中的某一知识点为依托，自行定义新概念、新公式、新运算和新法则，做题者应准确理解应用此定义，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求．
跟踪训练4 定义集合运算：A※B＝{t|t＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A※B中的所有元素之和为________．
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 6
解析 由题意得t＝0,2,4，即A※B＝{0,2,4}，
又0＋2＋4＝6，故集合A※B中的所有元素之和为6.
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 B
2．一次函数y＝x－3与y＝－2x的图象的交点组成的集合是( )
A．{1，－2} B．{x＝1，y＝－2}
C．{(－2,1)} D．{(1，－2)}
考点 用列举法表示集合
题点 用列举法表示点集
答案 D
3．第一象限中的点组成的集合可以表示为( )
A．{(x，y)|xy>0}
B．{(x，y)|xy≥0}
C．{(x，y)|x>0且y>0}
D．{(x，y)|x>0或y>0}
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 C
4．设A＝{x∈N|1≤x<6}，则A用列举法可表示为________．
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案
5．(2017·山东青岛高一检测)已知A＝，用列举法表示为A＝______________.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案
1．在用列举法表示集合时应注意：
(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；
(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．
一、选择题
1．方程组的解集不可以表示为( )
A.
B.
C．{1,2}
D．{(1,2)}
考点 集合的表示综合
题点 用适当的方法表示集合
答案 C
解析 方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一个有序实数对，故C不符合．
2．集合A＝{x∈Z|－2A．1B．2C．3D．4
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示有限数集
答案 D
解析 因为A＝{x∈Z|－2所以x的取值为－1，0,1,2，共4个．
3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示点集
答案 D
解析 集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.
4．已知x，y为非零实数，则集合M＝为( )
A．{0,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．{1，－3}
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 C
解析 当x>0，y>0时，m＝3，
当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.
当x，y异号，不妨设x>0，y<0时，
m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.
因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．
5．下列选项中，集合M，N相等的是( )
A．M＝{3,2}，N＝{2,3}
B．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
C．M＝{3,2}，N＝{(3,2)}
D．M＝{(x，y)|x＝3且y＝2}，N＝{(x，y)|x＝3或y＝2}
考点 集合的表示综合
题点 集合的表示综合问题
答案 A
解析 元素具有无序性，A正确；点的横坐标、纵坐标是有序的，B选项两集合中的元素不同；C选项中集合M中元素是两个数，N中元素是一个点，不相等；D选项中集合M中元素是一个点(3,2)，而N中元素是两条直线x＝3和y＝2上所有的点，不相等．
6．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 D
解析 对于x＝4s－3，当s依次取1,2,3,4,5时，
恰好对应的x的值为1,5,9,13,17.
7．已知集合A＝，B＝，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示与余数有关的整数集合
答案 D
解析 ∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3为偶数，故D错误．
8．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )
A．18B．17C．16D．15
答案 B
解析 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16,14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.
二、填空题
9．集合{x∈N|x2＋x－2＝0}用列举法可表示为________．
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
答案 {1}
解析 由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1.
又x∈N，∴x＝1.
10．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
考点 集合的表示综合
题点 用适当的方法表示集合
答案 3
解析 根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．
11．定义集合A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若集合A＝{x|2x＋1>0}，集合B＝，则集合A－B＝________.
考点 集合的表示综合
题点 集合的表示综合问题
答案 {x|x≥2}
解析 A＝，B＝{x|x<2}，
A－B＝＝{x|x≥2}．
三、解答题
12．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示集合的综合问题
解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，
所以它们是互不相同的集合．理由如下：
集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；
集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．
集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．
13．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合；
(2)24的所有正因数组成的集合；
(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合．
考点 集合的表示综合
题点 用适当的方法表示集合
解 (1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．
(3)在平面直角坐标系内，点(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，
所以该集合用描述法表示为{(x，y)||y|＝|x|}．
四、探究与拓展
14．已知集合A＝{x|x＝3m，m∈N*}，B＝{x|x＝3m－1，m∈N*}，C＝{x|x＝3m－2，m∈N*}，若a∈A，b∈B，c∈C，则下列结论中可能成立的是( )
A．2006＝a＋b＋c B．2006＝abc
C．2006＝a＋bc D．2006＝a(b＋c)
考点 用描述法表示集合
题点 用描述法表示与余数有关的整数集合
答案 C
解析 由于2006＝3×669－1，不能被3整除，
而a＋b＋c＝3m1＋3m2－1＋3m3－2＝3(m1＋m2＋m3－1)不满足；
abc＝3m1(3m2－1)(3m3－2)不满足；
a＋bc＝3m1＋(3m2－1)(3m3－2)＝3m－1适合；
a(b＋c)＝3m1(3m2－1＋3m3－2)不满足．
故选C.
15．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，用列举法表示集合P＋Q.
考点 集合的表示综合
题点 用另一种方法表示集合
解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
