1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．
知识点一 解析法
思考 一次函数如何表示？
答案 y＝kx＋b(k≠0)．
梳理 一般地，解析法是指：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
知识点二 图象法
一般地，图象法是指：用图象表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势．
知识点三 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？
答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
梳理 一般地，列表法是指：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
函数三种表示法的优缺点
1．y＝x＋1与y＝x＋1，x∈N是同一个函数．(×)
2．在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象．(×)
3．函数y＝f(x)的图象上任一点(x0，y0)必满足y0＝f(x0)．(√)
4．列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(√)
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(2)f(2x＋1)＝6x＋5；
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
解 方法一 设2x＋1＝t，则x＝，
∴f(t)＝6·＋5＝3t＋2.
∴f(x)＝3x＋2.
方法二 f(2x＋1)＝6x＋5＝3(2x＋1)＋2，
∴f(x)＝3x＋2.
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
考点 求函数的解析式
题点 方程组法求函数解析式
解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后利用消元法消去f(－x)．
跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
解 方法一 设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
方法二 f(x＋1)＝(x＋1－1)2＋4(x＋1－1)＋1
＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2.
(3)2f?＋f(x)＝x(x≠0)．
考点 求函数的解析式
题点 方程组法求函数解析式
解 ∵f(x)＋2f?＝x，将原式中的x与互换，
得f?＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
类型二 函数的画法及应用
命题角度1 画函数图象
例2 画出函数y＝＋x的图象．
考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象
解 当x<0时，y＝＋x＝x－1；
当x>0时，y＝＋x＝x＋1.
取点A(－1，－2)，B(0，－1)，C(0,1)，D(1,2)．
其中，由于x＝0不在定义域内，B，C两点画成空心点，图象如下：
反思与感悟 描点法作函数图象的三个关注点
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，所画图象横坐标的范围必须与定义域保持一致．
(2)图象是实线或实心点，定义域外的部分有时可用虚线或空心点来定位整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域．
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝，x∈[2，＋∞)；
(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象
解 (1)列表：
x
0
1
2
y
1
2
3
4
5
当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，
观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．
(3)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
画出图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
命题角度2 函数图象的应用
例3 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
反思与感悟 函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
跟踪训练3 函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，
f(x)与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1类型三 列表法表示函数及应用
例4 已知函数f(x)由下表给出，求满足f(f(x))>f(3)的x的值.
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
解 ∵f(3)＝1.
当f(f(x))>1时，f(x)＝1或2.
当f(x)＝1时，x＝3.
当f(x)＝2时，x＝1.
∴满足条件的x的值为1或3.
反思与感悟 列表法能直接地表示x的值与对应y的值，解题时要充分利用这个特点给x求y或给y求x.
跟踪训练4 若函数f(x)如下表所示：
x
0
1
2
3
f(x)
2
2
1
0
(1)求f(f(1))的值；
(2)若f(f(x))＝1，求x的值．
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
解 (1)∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.
(2)设f(x)＝t，由表知，当f(t)＝1时，对应的t＝2，
即f(x)＝2，再由表求得当且仅当x＝0或1时，f(x)＝2.
∴x＝0或x＝1.
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
A.1B．2C．3D．4
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
答案 A
2．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A．f(x)＝x2－1
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
答案 D
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x(x>0) B．y＝x(x>0)
C．y＝x(x>0) D．y＝x(x>0)
考点 求函数的解析式
题点 实际问题的函数解析式
答案 A
4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )
考点 函数图象
题点 函数图象的判断与理解
答案 C
5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值、最小值．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
解 y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，ymin＝－5.
1．如何求函数的解析式
(1)待定系数法求函数解析式
当已知所要求的解析式f(x)的类型时，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数．
(2)已知f(g(x))＝h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：
①换元法，即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围．
②配凑法，即从f(g(x))的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．
③方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
2．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．
3．如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．
一、选择题
1．以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是( )
A
x
1
2
3
4
y
4
3
2
1
B.
C．y＝x2
D．x2＋y2＝1
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
答案 D
解析 D中，当x＝0时，有两个y值与它对应，根据函数的定义知，x2＋y2＝1不能表示y是x的函数．
2．一次函数f(x)的图象过点A(－1,0)和B(2,3)，则下列各点在函数f(x)的图象上的是( )
A．(2,1) B．(－1,1)
C．(1,2) D．(3,2)
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
答案 C
解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
又图象过点A(－1,0)，B(2,3)，
则有
解得故y＝x＋1.
结合选项中各点的坐标，C中的点(1,2)满足y＝x＋1.
3．一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
考点 求函数的解析式
题点 实际问题的函数解析式
答案 C
解析 由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．
4．函数y＝的大致图象是( )
考点 函数图象
题点 求作或判断函数的图象
答案 A
解析 y＝定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，
当x＝0时，y＝0，排除B.
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝(x－a)2(b－x)
B．f(x)＝(x－a)2(x＋b)
C．f(x)＝－(x－a)2(x＋b)
D．f(x)＝(x－a)2(x－b)
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 A
解析 由图象知，当x＝b时，f(x)＝0，排除B，C；
又当x>b时，f(x)<0，排除D.故选A.
6．如果f＝，则当x≠0,1时，f(x)等于( )
A.B.C.D.－1
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 B
解析 令＝t，则x＝，代入f＝，
则有f(t)＝＝，故选B.
7．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6
C．1 D．0
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 B
解析 方法一 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3，
∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
方法二 f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2，∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
方法三 令x－1＝2，∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.
8．(2017·济宁高一检测)已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为( )
A．8 B．1
C．5 D．－1
考点 求函数的解析式
题点 换元法求函数解析式
答案 B
解析 令3x＋2＝2，得x＝0.
令a＝2x＋1，代入x＝0，得a＝1.
二、填空题
9．若正比例函数的图象经过第二、四象限，则m＝________.
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
答案 －2
解析 因为是正比例函数，
所以有m2－3＝1，m＝±2.
又图象经过第二、四象限，所以m＝－2.
10．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
考点 函数的表示法
题点 函数的表示法
答案 2或4
解析 当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.
当x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.
当x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.
满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.
11．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．
考点 求函数的解析式
题点 方程组法求函数解析式
答案 f(x)＝－x＋
解析 因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1， ①
所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1. ②
由①②解得f(x)＝－x＋.
三、解答题
12．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a＝2x＋17，
∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
13．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
四、探究与拓展
14．已知函数p＝f(m)的图象如图所示，则
(1)函数p＝f(m)的定义域为________．
(2)函数p＝f(m)的值域为________．
(3)p∈________时，只有唯一的m值与之对应．
考点 函数图象
题点 函数图象的应用
答案 (1)[－3,0]∪[1,4] (2)[－2,2] (3)(0,2]
解析 (1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，所以定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
15．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．
考点 求函数的解析式
题点 待定系数法求函数解析式
解 由f(3)＝3，得b＝－3a－9.
由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，
所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，
所以a＝－6，b＝9.
所以f(x)＝x2－5x＋9.
第2课时 分段函数
学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.
知识点 分段函数
思考 集合A＝R，B＝，A中的有理数都对应B中的元素0，无理数都对应B中的元素1，这一对应是函数吗？
答案 是，因为符合函数定义．
梳理 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(×)
2．分段函数各段上的函数值集合的交集为?.(×)
3．分段函数的图象一定是不连续的．(×)
类型一 建立分段函数模型
例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为2，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
考点 分段函数
题点 求分段函数解析式
解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2，
又BC＝7，所以AD＝GH＝3.
(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，
y＝×2＝2x－2；
(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－×(x－7)2＋10.
综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝
图象如图所示：
反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝
函数图象如图所示：
类型二 研究分段函数的性质
命题角度1 给x求y
例2 已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f?的值．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－∈(－2,2)，
∴f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵－∈(－∞，－2]，
∴f?＝－＋1＝－∈(－2,2)，
∴f?＝f?＝2＋2×
＝－.
引申探究
本例中f(x)的解析式不变，若x≥－5，求f(x)的取值范围．
解 当－5≤x≤－2时，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；
当－2当x≥2时，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；
∴当x≥－5时，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．
反思与感悟 分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
解 (1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如下：
命题角度2 给y求x
例3 已知函数f(x)＝
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
解 (1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝.
(2)f(x)>8等价于 ①
或 ②
解①得x∈?，解②得x>，
综合①②知f(x)>8的解集为{x|x>}．
反思与感悟 已知函数值求变量x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论；
(2)然后代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出x的解；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练3 已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值；
(3)若f(x)≥，求x的取值范围．
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)f(x)＝等价于①或②
解①得x＝±，②解集为?.
∴当f(x)＝时，x＝±.
(3)由于f?＝，结合此函数图象可知，
使f(x)≥的x的取值范围是∪.
1．设f(x)＝则f(f(0))等于( )
A．1B．0C．2D．－1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
2．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是( )
A．－2或2 B．2或－
C．－2 D．2或－2或－
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
3．已知函数f(n)＝则f(5)的值是( )
A．4B．48C．240D．1440
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 C
解析 因为f(n)＝
所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C.
4．设f(x)＝g(x)＝则f(g(π))的值为________．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 0
5．已知函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.
答案 －2
对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
一、选择题
1．已知f(x)＝则f(f(f(－2)))等于( )
A．πB．0C．2D．π＋1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 f(－2)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1
2．设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α等于( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 B
解析 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2或α＝－2(舍)．∴α＝－4或α＝2.
3．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于( )
A．－3B．±3C．－1D．±1
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 f(－1)＝＝1.
∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2.
∴f(a)＝1，即
① 或②
解①得a＝1，解②得a＝－1.
∴a＝±1.
4．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[0，＋∞)
C．[0,3] D．{x|0≤x≤2或x＝3}
考点 分段函数
题点 分段函数的定义域、值域
答案 D
解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x|0≤x≤2或x＝3}．
5．已知函数f(x)＝若f(f(x))＝2，则x的取值范围是( )
A．? B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1]
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 D
解析 若x∈[－1,1]，则f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符合题意；若x>1，则f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，此时只有x＝2符合题意；若x<－1，则f(x)＝x，
f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因为x<－1，此时没有x符合题意．故选D.
6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
答案 A
解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．
7．著名的Dirichlet函数D(x)＝则D等于( )
A．0 B．1
C. D.
考点 分段函数
题点 分段函数求值
答案 B
解析 ∵D(x)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴D＝1.
8．设函数f(x)＝若f(f(a))≤3，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－] B．[－，＋∞)
C．[－，] D．(－∞，]
答案 D
解析 令f(a)＝t，则f(t)≤3等价于
或
解得t≥－3，则f(a)≥－3等价于
或
解得a≤，则实数a的取值范围是(－∞，]，故选D.
二、填空题
9．函数f(x)＝的定义域是________．
考点 分段函数
题点 分段函数的定义域、值域
答案 [0，＋∞)
解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．
10．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，仿照上述式子，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝________.
考点
题点
答案 (x＋6＋|x－6|)
解析 因为f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)，其分界点为3，从而式子中含有x＋3与x－3，并通过|x－3|前面的“－”构造出需要的结果的形式．所以，对于分段函数f(x)＝其分界点为6，故式子中应含有x＋6与x－6.又x<6时f(x)＝6，故|x－6|的前面应取“＋”．因此f(x)＝(x＋6＋|x－6|)．
11．已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
考点 分段函数
题点 分段函数与不等式结合
答案 {x|x≤1}
解析 当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.综上可知x≤1.
三、解答题
12．已知函数f(x)＝
(1)求f?，f?，f?，f?；
(2)若f(a)＝6，求a的值．
考点 分段函数
题点 分段函数求值
解 (1)∵－∈(－∞，－1)，
∴f?＝－2×＝3.
∵∈[－1,1]，∴f?＝2.
又2∈(1，＋∞)，∴f?＝f(2)＝2×2＝4.
∵∈(1，＋∞)，∴f?＝2×＝9.
(2)经观察可知a?[－1,1]，否则f(a)＝2.
若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合题意；
若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合题意．
∴a的值为－3或3.
13．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C，D，A绕边界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
考点 分段函数
题点 分段函数应用问题
解 当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
四、探究与拓展
14．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
考点 分段函数
题点 分段函数的定义域、值域
答案 (－∞，1]
解析 由题意知f(x)＝
画出图象如图所示：
由图易得函数f(x)的值域为(－∞，1]．
15．已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；
(2)解不等式：f(x)>0；
(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．
考点 分段函数
题点 分段函数的综合应用
解 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.
∴f(x)＝
(1)当－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．
(2)f(x)>0，即①
或②
或③
解①得x≤－1，解②得－1解③得x∈?.
∴f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1)．
(3)f(x)的图象如下：
由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．
