§1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习目标 1.了解函数的单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.
3.会用定义证明函数的单调性．
知识点一 增函数与减函数的定义
思考 图中所给出的三个函数图象，有什么共同特征？
答案 它们的图象由左到右是上升的．
梳理 设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1
(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
知识点二 函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(×)
2．单调区间[a，b]可以写成{x|a≤x≤b}．(×)
3．用定义证明函数单调性时，可设x1x2.(√)
4．证明函数单调性可以在该区间内取几个值验证一下即可．(×)
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调递减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调递增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．
类型二 证明单调性
例2 证明f(x)＝在其定义域上是增函数．
考点 函数的单调性的判定与证明
题点 定义法证明具体函数的单调性
证明 f(x)＝的定义域为[0，＋∞)．
设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
∵0≤x10，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝在它的定义域[0，＋∞)上是增函数．
反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1跟踪训练2 求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数．
考点 函数的单调性的判定与证明
题点 定义法证明具体函数的单调性
证明 设x1，x2是[1，＋∞)上的任意实数，且1≤x1＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＝(x1－x2).
∵1≤x1∴>0，故(x1－x2)<0，
即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是增函数．
类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
例3 若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
考点 函数单调性的应用
题点 已知分段函数单调性求参数范围
答案 A
解析 要使f(x)在R上是减函数，需满足：
解得≤a＜.
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知二次函数单调性求参数范围
答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)
解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]?[a，＋∞)或[1,2]?(－∞，a]，即a≤1或a≥2.
命题角度2 用单调性解不等式
例4 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
解 f(1－a)解得0即所求a的取值范围是0反思与感悟 若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．
跟踪训练4 在例4中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
解 ∵y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
又f(1－a)，
∴所求a的取值范围是.
1．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )
A．[－2,0] B．[0,1]
C．[－2,1] D．[－1,1]
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
答案 C
2．函数y＝的减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
答案 C
3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
考点 函数的单调性的概念
题点 函数单调性概念的理解
答案 B
4．若函数f(x)在R上是减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是________．
考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案 (－1,1)
5．若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a,3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知二次函数单调性求参数范围
答案
解析 f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3，
∴解得11．若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．
2．对增函数的判断，对任意x1(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数、二次函数、反比例函数等．
4．若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较．
一、选择题
1．函数y＝的单调递减区间是( )
A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．{x∈R|x≠1} D．R
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
答案 A
解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表达不当．故选A.
2．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x1D.>0
考点 函数的单调性的概念
题点 函数单调性概念的理解
答案 C
解析 因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x13．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么－1A．(－3,0)
B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案 B
解析 由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，
∴－1又∵f(x)在R上单调递增，∴0∴－14．已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是( )
A．y＝－f(x)在R上是减函数
B．y＝在R上是减函数
C．y＝[f(x)]2在R上是增函数
D．y＝af(x)(a为实数)在R上是增函数
考点 函数的单调性的判定与证明
题点 抽象函数单调性的判断
答案 A
解析 设x1所以－f(x1)>－f(x2)，A选项一定成立．
其余三项不一定成立，如当f(x)＝x时，B，C不成立，当a≤0时，D不成立．
5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性比较函数值大小
答案 C
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案 A
解析 画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，
故f(4－a)>f(a)?4－a>a，解得a<2.
7．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )
考点 函数的单调性的概念
题点 函数单调性概念的理解
答案 B
解析 对于A，存在x1∈(0,1)，f(x1)>f(1)，A不对；
对于C，存在x1>1，f(x1)对于D，存在x1＝－1，x2＝1，f(x1)只有B完全符合单调性定义．
8．函数y＝的单调递增区间是( )
A．(－∞，－3] B.
C．(－∞，1) D.
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
答案 B
解析 函数由t＝2x－3与y＝复合而成，故要利用复合函数单调性的有关规律来求．首先由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在(－∞，＋∞)上单调递增，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是.
二、填空题
9．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知一次函数、分式函数单调性求参数范围
答案 (－1,0)
解析 依题意得解得－110．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知分段函数单调性求参数范围
答案
解析 当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0；当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，∴0≤a≤.
11．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)考点 函数单调性的应用
题点 利用单调性解抽象函数不等式
答案
解析 由题意，得解得1≤x<，
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
三、解答题
12．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间．
考点 求函数的单调区间
题点 求函数的单调区间
解 ∵y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图象如图所示：
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]．
13．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
考点 函数单调性的应用
题点 函数单调性的综合应用
(1)证明 设任意x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)(2)解 设任意x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，0四、探究与拓展
14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是____________．
考点 函数单调性的应用
题点 已知二次函数单调性求参数范围
答案 (0,1]
解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得a≤1.由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0.
∴015．设函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f的值；
(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；
(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.
考点 函数单调性的应用
题点 函数单调性的综合应用
解 (1)对于任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，
∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
当x＝2，y＝时，有?f?＝f(2)＋f?，
即f(2)＋f?＝0，
又f(2)＝1，∴f?＝－1.
(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为增函数，证明如下：
设任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1即f(x2)－f(x1)＝f?.
∵>1，故f?>0，
即f(x2)>f(x1)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(3)由(1)知，f?＝－1，
∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f
＝f?＝f(4x－3)，
∴f(2x)>f(4x－3)，
∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴
解得解集为.
第2课时 函数的最大(小)值
学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值．
知识点一 函数的最大(小)值
思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？
答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值．
梳理 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
知识点二 函数的最大(小)值的几何意义
思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：
试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值．
答案 当x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，当x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点．
梳理 一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
1．因为f(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值为0.(×)
2．f(x)＝(x>0)的最小值为0.(×)
3．函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．(√)
4．如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M]．(×)
类型一 借助单调性求最值
例1 已知函数f(x)＝(x>0)．
(1)求证：f(x)在(0,1]上为增函数；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
(1)证明 设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1＝＝.
当00，x1x2－1<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上单调递增．
(2)解 当1≤x10，x1x2－1>0，
f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减．
∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值．
反思与感悟 (1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．
(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
由2≤x1得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以，函数f(x)＝在区间[2,6]上是减函数．
因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，
即在x＝2时取得最大值，最大值是2，
在x＝6时取得最小值，最小值是.
类型二 求二次函数的最值
例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；
(3)已知函数f(x)＝x－2－3，求函数f(x)的最值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
解 (1)∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.
(2)∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝(t＋2)2－2(t＋2)－3＝t2＋2t－3.
②当≤1f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
③当t≤1<，即0f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.
设函数f(x)的最大值为g(t)，最小值为φ(t)，则有
g(t)＝
φ(t)＝
(3)设＝t(t≥0)，则x－2－3＝t2－2t－3.
由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值．
反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．
(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；
(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；
(3)求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
解 (1)设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．
∴当t＝1即x＝±1时，f(x)min＝－4，无最大值．
(2)∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
(3)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)．
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
综上，g(t)＝
类型三 借助图象求最值
例3 (2017·昌平区检测)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 B
解析 在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．
所以当x＝1时，f(x)max＝1.
反思与感悟 借助图象求最值注意两点
(1)作图要准确；(2)最值的几何意义要理解．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 2
解析 f(x)的图象如图：
则f(x)的最大值为f(2)＝2.
类型四 函数最值的应用
例4 已知x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
解 方法一 令y＝x2－x＋a，
要使x2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
只需ymin＝>0，解得a>.
∴实数a的取值范围是.
方法二 x2－x＋a>0可化为a>－x2＋x.
要使a>－x2＋x对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
只需a>(－x2＋x)max，
又(－x2＋x)max＝，∴a>.
∴实数a的取值范围是.
引申探究
把本例中“x∈(0，＋∞)”改为“x∈”，再求a的取值范围．
解 f(x)＝－x2＋x在上为减函数，
∴f(x)的值域为，
要使a>－x2＋x对任意x∈恒成立，
只需a≥，∴a的取值范围是.
反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x∈D，f(x)>a恒成立，一般转化为最值问题：f(x)min>a来解决．任意x∈D，f(x)跟踪训练4 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
解 ∵x>0，∴ax2＋x≤1可化为a≤－.
要使a≤－对任意x∈(0,1]恒成立，
只需a≤min.
设t＝，∵x∈(0,1]，∴t≥1.
－＝t2－t＝2－.
当t＝1时，(t2－t)min＝0，即当x＝1时，min＝0，
∴a≤0.∴实数a的取值范围是(－∞，0].
1．函数y＝－x＋1在区间上的最大值是( )
A．－B．－1C.D．3
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 C
2．函数f(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值无最小值
B．有最小值无最大值
C．有最大值也有最小值
D．无最大值也无最小值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 A
3．函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值、最小值分别为( )
A．4,1 B．4,0
C．1,0 D．以上都不对
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
答案 B
4．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
考点 函数的最值及其几何意义
题点 分段函数最值
答案 A
5．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2
C．－ D．－
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 D
1．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
2．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
3．许多数学问题如不等式证明，恒成立的不等式，图象与y＝a(a为常数)的交点问题等，都与函数最值有关，所以会求函数最值是一种基础技能．
一、选择题
1．函数f(x)＝的值域是( )
A．R B．[－1,1]
C．{－1,1} D．{－1,0,1}
考点 函数的最值及其几何意义
题点 分段函数最值
答案 D
解析 该函数的函数值只有三个．
2．函数g(x)＝x2－4x＋3在区间(1,4]上的值域是( )
A．[－1，＋∞) B．[0,3]
C．(－1,3] D．[－1,3]
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
答案 D
解析 g(x)＝(x－2)2－1，当x＝2时，g(x)min＝－1；
当x＝4时，g(x)max＝3，
∴g(x)在(1,4]上的值域为[－1,3]．
3．下列说法正确的是( )
A．若函数f(x)的值域为[a，b]，则f(x)min＝a，f(x)max＝b
B．若f(x)min＝a，f(x)max＝b，则函数f(x)的值域为[a，b]
C．若f(x)min＝a，直线y＝a不一定与f(x)的图象有交点
D．若f(x)min＝a，直线y＝a一定与f(x)的图象有且仅有一个交点
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 A
解析 值域为[a，b]，则最小的函数值即f(x)min＝a，最大的函数值即f(x)max＝b，A对．f(x)min＝a，f(x)max＝b，区间[a，b]上的某些元素可能不是函数值，因而[a，b]不一定是值域，B错．若f(x)min＝a，由定义一定存在x0使f(x0)＝a，即f(x)与直线y＝a一定有交点，但不一定唯一，C，D都错．
4.若函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象如图所示，则该函数的最大值、最小值分别为( )
A．f?，f?
B．f(0)，f?
C．f(0)，f?
D．f(0)，f(2)
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 C
解析 函数最大值对应图象中的最高点纵坐标f(0)，同理，最小值对应f?.
5．函数f(x)＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
答案 A
解析 ∵f(x)＝x＋在定义域上是增函数，∴f(x)≥f?＝，即函数最小值为，无最大值，故选A.
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 C
解析 因为f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，由x∈[0,1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值，即－4＋4＋a＝－2，所以a＝－2.所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值为－1＋2＝1.故选C.
7．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是( )
A．[160，＋∞)
B．(－∞，40]
C．(－∞，40]∪[160，＋∞)
D．(－∞，20]∪[80，＋∞)
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 C
解析 由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.
8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 A
解析 对任意x∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，
只需即
解得a≤－1.
∴a的最大值为－1.
二、填空题
9．若函数y＝ax＋1(a＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
考点 函数的最值及其几何意义
题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值
答案 1
解析 ∵a＞0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，∵ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
10．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
答案 (1,3]
解析 f(x)的对称轴为x＝3，
当且仅当111．下列函数：
①y＝x＋|x|；②y＝x－|x|；③y＝x|x|；④y＝.其中有最小值的函数有________个．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数图象求最值
答案 2
解析 y＝x＋|x|＝ymin＝0.
y＝x－|x|＝无最小值．
y＝x|x|＝无最小值．
y＝＝ymin＝－1.
三、解答题
12．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
解 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知
∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－＝9.5时，y值最大，
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
13．求函数y＝f(x)＝在区间[1,2]上的最大值和最小值．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 由函数单调性求最值
解 任取x1，x2，且1≤x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
因为1≤x1即6<3(x1＋x2)<12，
又10，
故f(x1)－f(x2)>0.
所以函数y＝在区间[1,2]上为减函数，
即ymax＝f(1)＝－，ymin＝f(2)＝－4.
四、探究与拓展
14．(2017·重庆检测)对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为________．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 二次函数最值
答案 2
解析 设f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.
而f(a)＝(a－2)2＋2，∴f(a)min＝f(2)＝2.
∴M≤2.
∴Mmax＝2.
15．已知函数f(x)＝＋.
(1)求函数f(x)的定义域和值域；
(2)设F(x)＝m＋f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．
考点 函数的最值及其几何意义
题点 含参二次函数最值
解 (1)要使函数f(x)有意义，
需满足
解得－1≤x≤1.
故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．
∵[f(x)]2＝2＋2，且0≤≤1，
∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，
∴≤f(x)≤2，
即函数f(x)的值域为[，2]．
(2)令f(x)＝t，t∈[，2]，则t2＝2＋2，
则＝－1，
故F(x)＝m＋t
＝mt2＋t－m，t∈[，2]，
令h(t)＝mt2＋t－m，
则函数h(t)的图象的对称轴方程为t＝－.
①当m>0时，－<0，函数y＝h(t)在区间[，2]上单调递增，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
②当m＝0时，h(t)＝t，g(m)＝2；
③当m<0时，－>0，若0<－≤，
即m≤－时，函数y＝h(t)在区间[，2]上单调递减，
∴g(m)＝h()＝，
若<－≤2，即－g(m)＝h＝－m－；
若－>2，即－函数y＝h(t)在区间[，2]上单调递增，
∴g(m)＝h(2)＝m＋2.
综上，g(m)＝
