1．3.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？
答案 ①②关于y轴对称，③④关于原点对称．
梳理 一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．
知识点二 函数奇偶性的定义
函数奇偶性的概念：
(1)偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点(－x，f(x))也在f(x)图象上．
(2)奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．其实质是函数f(x)上任一点(x，f(x))关于原点的对称点(－x，－f(x))也在f(x)的图象上．
知识点三 奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质
1．奇(偶)函数的定义域关于原点对称．
2．重要性质
(1)奇函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相同的单调性．
(2)偶函数在区间[a，b]和[－b，－a](b>a>0)上有相反的单调性．
1．关于y轴对称的图形都是偶函数的图象．(×)
2．若f(x)是奇函数，f(1)＝2，则f(－1)＝－2.(√)
3．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．(√)
4．有些函数既非奇函数，又非偶函数．(√)
类型一 证明函数的奇偶性
例1 (1)证明f(x)＝既非奇函数又非偶函数；
(2)证明f(x)＝(x＋1)(x－1)是偶函数；
(3)证明f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
证明 (1)因为它的定义域为{x|x∈R且x≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，所以f(x)＝既非奇函数又非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为函数f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1，又因为f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，故函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x，则－x也一定属于定义域．
跟踪训练1 (1)证明f(x)＝(x－2) 既非奇函数又非偶函数；
(2)证明f(x)＝x|x|是奇函数．
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
证明 (1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以函数为奇函数．
类型二 奇偶性的应用
命题角度1 奇?偶?函数图象的对称性的应用
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．
(1)画出f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)>0.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解 (1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．
(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．
引申探究
把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．
解 (1)f(x)的图象如图所示：
(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
反思与感悟 可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．
跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.
分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，
再用光滑曲线连接即得．
(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.
∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值
例3 若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 由二次函数为偶函数求参数值
答案 0
解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝，f(x)＝x2＋bx＋b＋1.
又f(x)为偶函数，
所以f(－x)＝(－x)2＋b(－x)＋b＋1＝f(x)＝x2＋bx＋b＋1对定义域内任意x恒成立，
即2bx＝0对任意x∈恒成立，
所以b＝0.综上，a＝，b＝0.
反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用：①定义域关于原点对称；②对定义域内任意x，恒有f(－x)＝f(x)(或－f(x))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x进行赋值．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝为奇函数，则a＋b＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 0
解析 由题意知
则 解得
当a＝－1，b＝1时，经检验知f(x)为奇函数，故a＋b＝0.
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
考点 函数的奇偶性概念
题点 函数奇偶性概念的理解
答案 B
2．函数f(x)＝x(－1A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
答案 C
3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 5
解析 函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等．
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．
考点 函数奇偶性的应用
题点 由二次函数为偶函数求参数值
答案 2
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)
＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，
∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.
5．判断函数f(x)＝x＋(a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
解 f(x)为奇函数，证明如下：
f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于任意x≠0，f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了.
一、选择题
1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于( )
A．－1B．1C．0D．2
考点 函数奇偶性的应用
题点 由奇偶函数定义域的对称性求参数值
答案 A
解析 因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，
根据奇函数的定义域关于原点对称，
所以a与b有一个等于1，一个等于－2，
所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，
故选A.
2．(2017·葫芦岛检测)下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是( )
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
答案 B
解析 A，D不是函数；C不关于原点对称．
3．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)
C．f(－x)·f(x)≤0 D.＝－1
考点 函数的奇偶性概念
题点 函数奇偶性概念的理解
答案 D
解析 由于f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，①
由此可推A，B，C正确，
由于f(－x)可能为0，由①不能推出D.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于( )
A．－3B．－1C．1D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 A
解析 ∵f(x)是奇函数，
当x≤0时，f(x)＝2x2－x，
∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.
5．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断抽象函数的奇偶性
答案 A
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)，
由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)，
故|g(x)|为偶函数，
∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．
6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
解析 A中，令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错；
B中，令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错；
C中，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确；
D中，令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)．
∴h(x)是偶函数，D错．
7．函数f(x)＝|x＋1|－|x－1|为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
答案 A
解析 f(x)的定义域为R，
对于任意x∈R，f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
又f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(－1)≠f(1)，
∴f(x)不是偶函数．
8．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(3)＝0，则不等式>0的解集为( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞)
B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(0,3)
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 A
解析 ∵f(x)为奇函数，f(3)＝0，
∴f(－3)＝0.
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
由＝f(x)>0，
①当x>0时，得f(x)>f(3)＝0，∴x>3；
②当x<0时，得f(x)>f(－3)＝0，∴－3综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．
二、填空题
9．已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 0
解析 由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
10．若函数f(x)＝＋为偶函数且非奇函数，则实数a的取值范围为________．
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案 a>1
解析 ∵函数f(x)＝＋为偶函数且非奇函数，
∴f(－x)＝f(x)且f(－x)≠－f(x)．
又∵∴a≥1.
当a＝1时，函数f(x)＝＋为偶函数且为奇函数，
故a>1.
11．函数f(x)＝为________函数．(填“奇”或“偶”)
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断分段函数的奇偶性
答案 奇
解析 定义域关于原点对称，且
f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
三、解答题
12．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
考点 函数的奇偶性判定与证明
题点 判断简单函数的奇偶性
解 (1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
13．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
解 ∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，
∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，
∴a＝0.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________.
考点 函数图象的对称性
题点 中心对称问题
答案
解析 根据题意，f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝.
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
考点 函数奇偶性的应用
题点 其他已知函数奇偶性求参数值问题
解 (1)因为f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)，即1－m＝－(－1＋2)，
解得m＝2.
经检验当m＝2时函数f(x)是奇函数．
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(图略)知
所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
第2课时 奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.了解函数的奇偶性的推广——对称性．
知识点一 用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
特别提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
知识点二 奇偶性与单调性
思考 观察偶函数y＝x2与奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性，你有何猜想？
答案 偶函数y＝x2在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相反；奇函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上的单调性相同．
梳理 一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
知识点三 奇偶性的推广
一般地，对于定义域内任意x，
(1)若f(a－x)＝2b－f(a＋x)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称．当a＝b＝0时，即为奇函数的定义．
(2)若f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称，当a＝0时，即为偶函数的定义．
1．奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．(×)
2．对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|)．(√)
3．若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．(×)
4．对于定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则y＝f(1－x)与y＝f(1＋x)关于直线x＝1对称．(×)
类型一 用奇偶性求解析式
命题角度1 已知区间[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式
例1 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
反思与感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．
跟踪训练1 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2，求y＝f(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以当x<0时，
f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.
因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
所以f(x)＝
命题角度2 已知一奇一偶两函数之和，求这两个函数的解析式
例2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
反思与感悟 f(x)＋g(x)＝对定义域内任意x都成立，所以可以对x任意赋值，如x＝－x.
因为f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的负号或提或消，最终得到关于f(x)，g(x)的二元方程组，从中解出f(x)和g(x)．
跟踪训练2 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
类型二 奇偶性对单调性的影响
命题角度1 由x的取值情况推导f?x?的取值情况
例3 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性、奇偶性综合
证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.
∵－b≤x1＜x2≤－a，
∴a≤－x2＜－x1≤b.
∵f(x)在[a，b]上是减函数，
∴f(－x2)＞f(－x1)．
∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1)．
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2)．
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数．
引申探究
区间[a，b]和[－b，－a]关于原点对称．
(1)若f(x)为奇函数，且在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最________值________．
(2)若f(x)为奇函数，f(x)＋2在[a，b]上有最大值M，则f(x)＋2在[－b，－a]上有最________值________．
答案 (1)小 －M (2)小 －M＋4
解析 (1)设x∈[－b，－a]，则－x∈[a，b]，
∴f(－x)≤M且存在x0∈[a，b]，使f(x0)＝M.
∵f(x)为奇函数，∴－f(x)≤M，f(x)≥－M，
且存在－x0∈[－b，－a]，使f(－x0)＝－M.
∴f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.
(2)由(1)知，f(x)在[a，b]上有最大值M－2时，
f(x)在[－b，－a]上有最小值－M＋2.
∴f(x)＋2在[－b，－a]上有最小值－M＋4.
反思与感悟 与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间．同样，求哪个区间上的最值，也设x属于哪个区间．
跟踪训练3 已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式>0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是( )
A．f(－5)>f(3) B．f(－5)C．f(－3)>f(－5) D．f(－3)考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
解析 设0由>0，得f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
∴由－3>－5，可得f(－3)>f(－5)．
命题角度2 由f?x?的取值情况推导x的取值情况
例4 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 (－1,3)
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴f(x－1)＝f(|x－1|)，
又f(2)＝0，∴f(x－1)>0，
即f(|x－1|)>f(2)，
∵|x－1|,2∈[0，＋∞)，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
∴|x－1|<2，即－2∴x的取值范围是(－1,3)．
反思与感悟 若f(x)在[a，b]上单调递增，则x1，x2∈[a，b]时，可由f(x1)跟踪训练4 奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，解不等式f(x－1)＋f(2x＋3)>0.
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
解 ∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减且为奇函数，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴f(x－1)＋f(2x＋3)>0?f(x－1)>－f(2x＋3)＝f(－2x－3)?x－1<－2x－3，
解得x<－，∴原不等式的解集为.
类型三 对称问题
例5 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)＝x，试画出f(x)的图象．
考点 函数图象的对称性
题点 对称问题综合
解 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称．
反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，可画出f(x)的图象如图：
反思与感悟 奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似．
跟踪训练5 定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出f(x)的图象．
考点 函数图象的对称性
题点 对称问题综合
解 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称．
又∵f(x－4)＝－f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)关于点C(－2,0)对称．
反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，
可画出的图象如图：
1．f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断函数的单调性、奇偶性
答案 D
2．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x－1，则当x<0时，f(x)等于( )
A．x＋1 B．x－1
C．－x－1 D．－x＋1
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．ab
C．|a|<|b| D．0≤ab≥0
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
4．已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a＝________.
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 －2
5．(2017·沈阳检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 0
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
又f(x)关于直线x＝对称，∴f?＝f?.①
在①式中，当x＝时，f(0)＝f(1)＝0.
在①式中，以＋x代替x，得
f?＝f?，
即f(－x)＝f(1＋x)．
∴f(2)＝f(1＋1)＝f(－1)＝－f(1)＝0，
f(3)＝f(1＋2)＝f(－2)＝－f(2)＝0，同理，
f(4)＝f(5)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
1．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称．
2．(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
一、选择题
1．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)等于( )
A．6B．－6C．2D．－2
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 A
解析 g(－2)＝f(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的解析式
答案 C
解析 ∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.
∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.
∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.
3．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(0,1) D．[－1,1)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，
所以f(x)在R上单调递增，
f(x)故选A.
4．若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( )
A．f(－3)>f(0)>f(1)
B．f(－3)>f(1)>f(0)
C．f(1)>f(0)>f(－3)
D．f(1)>f(－3)>f(0)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 B
解析 ∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0)．
5．设f(x)是奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤m(m<0)，则f(x)的值域是( )
A．[m，－m] B．(－∞，m]
C．[－m，＋∞) D．(－∞，m]∪[－m，＋∞)
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数的最值或值域
答案 D
解析 当x≥0时，f(x)≤m；
当x≤0时，－x≥0，
所以f(－x)≤m，因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)≤m，
即f(x)≥－m.
6．定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＞f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
考点 函数图象的对称性
题点 轴对称问题
答案 A
解析 f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)，由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以f(－1)＜f(1)＝f(3)．
7．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式＜0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 C
解析 ∵f(x)为奇函数，＜0，
即＜0，
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，
∴当x＞1时，f(x)＜0.
∵奇函数图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，
即x＜－1时，f(x)＞0.
综上使＜0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
8．(2017·南阳检测)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定
考点 抽象函数单调性与奇偶性
题点 抽象函数单调性与不等式结合问题
答案 A
解析 ∵x1<0，x1＋x2>0，
∴x2>－x1>0，
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x2)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)二、填空题
9．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的单调递减区间是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
答案 [0，＋∞)
解析 利用函数f(x)是偶函数，得k－1＝0，k＝1，
所以f(x)＝－x2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞)．
10．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案
解析 由于f(x)是偶函数，因此f(x)＝f(|x|)，
∴f(|2x－1|)再根据f(x)在[0，＋∞)上的单调性，
得|2x－1|<，解得11．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
考点 函数奇偶性的应用
题点 利用奇偶性求函数值
答案 －1
解析 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.
∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.
∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
三、解答题
12．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
(1)试求f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 求奇偶函数的单调区间
解 (1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.
于是有f(x)＝
(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．
由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．
13．已知函数f(x)＝ax＋＋c(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)＝，f(2)＝.
(1)求a，b，c的值；
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f(x)＝ax＋.
又∵f(1)＝，f(2)＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋.
函数f(x)在区间上为减函数．
证明如下：
任取0则f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－
＝(x1－x2)
＝(x1－x2).
∵0∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在上为减函数．
四、探究与拓展
14．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．
考点 单调性与奇偶性的综合应用
题点 利用奇偶性、单调性解不等式
答案 (－7,3)
解析 因为f(x)为偶函数，所以f(|x＋2|)＝f(x＋2)，则f(x＋2)<5可化为f(|x＋2|)<5，则|x＋2|2－4|x＋2|<5，即(|x＋2|＋1)(|x＋2|－5)<0，
所以|x＋2|<5，解得－7所以不等式f(x＋2)<5的解集是(－7,3)．
15．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋ax.
(1)若a＝－2，求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，
①求a的取值范围；
②若对任意实数m，f(m－1)＋f(m2＋t)<0恒成立，求实数t的取值范围．
考点 函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点 不等式恒成立问题
解 (1)当x<0时，－x>0，
又∵f(x)为奇函数，且a＝－2，
∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x2－2x，
∴f(x)＝
(2)①当a≤0时，对称轴x＝≤0，
∴f(x)＝－x2＋ax在[0，＋∞)上单调递减，
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，
又在(－∞，0)上f(x)>0，在(0，＋∞)上f(x)<0，
∴当a≤0时，f(x)为R上的单调减函数．
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不合题意．
∴函数f(x)为单调减函数时，a的取值范围为a≤0.
②∵f(m－1)＋f(m2＋t)<0，
∴f(m－1)<－f(m2＋t)，
又∵f(x)是奇函数，∴f(m－1)又∵f(x)为R上的单调减函数，
∴m－1>－t－m2恒成立，
∴t>－m2－m＋1＝－2＋对任意实数m恒成立，
∴t>.
即t的取值范围是.
