高中数学新人教A版必修1学案：1.2.1函数的概念（含解析）

§1.2　函数及其表示
1.2.1　函数的概念
学习目标　1.理解函数的概念.2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素.3.能正确使用函数、区间符号．
知识点一　函数的有关概念
函数的定义
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法
y＝f(x)，x∈A
定义域
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域
值域
函数值的集合叫做函数的值域
特别提醒：对于函数的定义，需注意以下几点：
①集合A，B都是非空数集；②集合A中元素的无剩余性；③集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是函数的值域，函数的值域一定是B的子集．
知识点二　函数相等
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
知识点三　区　间
区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半闭半开区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x>a}
(a，＋∞)
{x|x≤a}
(－∞，a]
{x|x(－∞，a)
R
(－∞，＋∞)
取遍数轴上所有的值
特别提醒：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．
②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
1．集合A＝可以作为某个函数的定义域．(×)
2．若1∈A，则对于f：A→B，f(1)可能不存在．(×)
3．对于函数f：A→B，当x1>x2∈A，可能有f(x1)＝f(x2)．(√)
4．区间不可能是空集．(√)
类型一　函数关系的判断
命题角度1　给出三要素判断是否为函数
例1　判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
考点　函数的概念
题点　判断两个变量是否为函数关系
解　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
反思与感悟　判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)A，B必须是非空数集；
(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；
(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一．
跟踪训练1　下列对应是从集合A到集合B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝{x∈R|x＞0}，f：x→
B．A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C．A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2
D．A＝R，B＝{x∈R|x≥0}，f：x→
考点　函数的概念
题点　判断两个变量是否为函数关系
答案　C
解析　A中，x＝0时，集合B中没有元素与之对应；B中，当x＝1时，绝对值|x－1|＝0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应．
命题角度2　给出图形判断是否为函数图象
例2　下列图形中不是函数图象的是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　A
解析　A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．
反思与感悟　判断一个图象是否为函数图象的方法，作任何一条垂直于x轴的直线，不与已知图象有两个或两个以上的交点的，就是函数图象．
跟踪训练2　下列图形中，不能确定y是x的函数的是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　D
解析　任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．
类型二　已知函数的解析式，求其定义域
例3　求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2－；
(3)y＝；
(4)y＝－＋.
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
解　(1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(3)由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为.
(4)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为.
反思与感悟　求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练3　函数f(x)＝的定义域为________．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　{x|x≥0且x≠1}
解析　要使有意义，需满足
解得x≥0且x≠1，
故函数f(x)的定义域为{x|x≥0且x≠1}．
类型三　函数相等
例4　下列函数中哪个与函数y＝x相等？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
考点　相等函数
题点　判断是否为相等函数
解　(1)y＝()2＝x(x≥0)，定义域不同，所以不相等．
(2)y＝＝x(x∈R)，对应关系相同，定义域也相同，所以相等．
(3)y＝＝|x|，当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不相等．
(4)y＝的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x的定义域不相同，所以不相等．
反思与感悟　在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等．值域相等，只是前两个要素相等的必然结果．
跟踪训练4　下列各组中的两个函数是否为相等的函数？
(1)y1＝，y2＝x－5；
(2)y1＝·，y2＝.
考点　相等函数
题点　判断是否为相等函数
解　(1)两函数定义域不同，所以不相等．
(2)y1＝·的定义域为{x|x≥1}，而y2＝的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，定义域不同，所以两函数不相等．
类型四　对于f(x)，f(a)的理解
例5　已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2 (x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(a＋1)，g(a－1)；
(4)若g(a)＝4，求实数a的值．
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
解　(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝.
又因为g(x)＝x2＋2，所以g(2)＝22＋2＝6.
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝.
(3)f(a＋1)＝＝.
g(a－1)＝(a－1)2＋2＝a2－2a＋3.
(4)g(a)＝a2＋2＝4，
所以a2＝2，a＝±.
反思与感悟　f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，要求对应的函数值，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可．
跟踪训练5　已知f(x)＝(x≠－1)．
(1)求f(0)及f的值；
(2)求f(1－x)及f(f(x))；
(3)若f(x)＝2，求x的值．
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
解　(1)f(0)＝＝1.
∵f＝＝，
∴f＝f＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝f＝＝x(x≠－1)．
(3)由f(x)＝＝2，得1－x＝2(1＋x)，
∴3x＝－1，解得x＝－.
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有(　　)
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　B
2．区间(0,1)等于(　　)
A．{0,1} B．{(0,1)}
C．{x|0考点　区间的概念
题点　区间概念的理解与应用
答案　C
3．对于函数f：A→B，若a∈A，则下列说法错误的是(　　)
A．f(a)∈B
B．f(a)有且只有一个
C．若f(a)＝f(b)，则a＝b
D．若a＝b，则f(a)＝f(b)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　C
4．设f(x)＝，则＝________.
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　求函数值
答案　－1
解析　∵f(2)＝＝，f?＝＝－，
∴＝－1.
5．下列各组函数是同一函数的是________．(填序号)
①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x与g(x)＝；③f(x)＝x0与g(x)＝；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.
考点　相等函数
题点　判断是否为相等函数
答案　③④
解析　①f(x)＝－x，g(x)＝x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；②f(x)＝x，g(x)＝＝|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；③f(x)＝x0＝1(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数．
1．函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系．由于函数的定义域和对应关系一旦确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应关系分别相同即可．
2．定义域是一个集合，所以需要写成集合的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的x的集合．
3．在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关于对应关系f，它是函数的本质特征，如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，我们可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值．
一、选择题
1．下列各式中是函数的个数为(　　)
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋.
A．4B．3C．2D．1
考点　函数的概念
题点　判断代数式或对应关系是否为函数
答案　B
解析　根据函数的定义可知，①②③都是函数．对于④，要使函数有意义，则
∴∴x无解，∴④不是函数．
2．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
考点　相等函数
题点　判断是否为相等函数
答案　D
解析　A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.
3．函数y＝的定义域为(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1)
D．[1，＋∞)
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　B
解析　要使函数有意义，需
解得x≤1且x≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
4．已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)的值是(　　)
A．π2 B．π
C. D．不确定
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　求函数值
答案　B
解析　由函数解析式可知该函数为常数函数，因此自变量取任意实数时函数值不变，均为π，故f(π2)＝π.
5．已知函数f(x)的定义域为[－3,4]，在同一坐标系下，函数f(x)的图象与直线x＝3的交点个数是(　　)
A．0B．1C．2D．0或1
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　B
解析　∵3∈[－3,4]，由函数定义，f(3)唯一确定，故只有一个交点(3，f(3))．
6．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图象的只可能是(　　)
考点　函数的概念
题点　函数概念的理解
答案　D
解析　A，B中值域为[0,2]，不合题意；C不是函数．
7．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)等于(　　)
A．x2＋6x
B．x2＋8x＋7
C．x2＋2x－3
D．x2＋6x－10
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　求函数值或解析式综合
答案　A
解析　f(x)＝f((x＋1)－1)
＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5
＝x2＋6x.
8．下列函数中，值域为[1，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
考点　函数的值域
题点　求函数的值域方法综合
答案　C
解析　对于A，当x＝1时，y＝0?[1，＋∞)，A不对；
对于B，当x＝0时，y＝－1?[1，＋∞)，B不对；
对于D，当x＝5时，y＝＝?[1，＋∞)，D不对，故选C.
二、填空题
9．函数y＝＋的定义域为________．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　[2，＋∞)
解析　要使函数式有意义，需所以x≥2.
10．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　求函数值
答案　{－1,1,3,5,7}
解析　定义域为{1,2,3,4,5}，逐一代入求值即可．
11．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是________．
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　已知函数值求参数
答案　1
解析　f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，
f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，
∴a＝1或a＝0(舍去)．
三、解答题
12．已知函数f(x)＝－.
(1)求函数f(x)的定义域(用区间表示)；
(2)求f(－1)，f(12)的值．
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
解　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，
∴x≥－4且x≠1，
即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－1)＝－＝－3－.
f(12)＝－＝－4＝－.
13．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f?的值；
(2)求证：f(x)＋f?是定值；
(3)求2f(1)＋f(2)＋f?＋f(3)＋f?＋…＋f(2017)＋f?＋f(2018)＋f?的值．
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　求函数值的和
(1)解　因为f(x)＝，
所以f(2)＋f?＝＋＝1.
(2)证明　f(x)＋f?＝＋＝＋＝＝1，是定值．
(3)解　由(2)知，f(x)＋f?＝1，
因为f(1)＋f(1)＝1，
f(2)＋f?＝1，
f(3)＋f?＝1，
f(4)＋f?＝1，
…，
f(2018)＋f?＝1，
所以2f(1)＋f(2)＋f?＋f(3)＋f?＋…＋f(2017)＋f?＋f(2018)＋f?＝2018.
四、探究与拓展
14．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝________.
考点　对f(a)与f(x)的理解
题点　求函数值
答案　3p＋2q
解析　f(72)＝f(36×2)＝f(36)＋f(2)＝f(6×6)＋f(2)＝2f(6)＋f(2)＝2f(2×3)＋f(2)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.
15．已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f(2x2－2)的定义域．
考点　函数的定义域
题点　求抽象函数的定义域
解　∵f(x＋1)的定义域为[－2,3]，
∴－1≤x＋1≤4.令t＝x＋1，∴－1≤t≤4，
∴f(t)的定义域为[－1,4]，
即f(x)的定义域为[－1,4]．
要使f(2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤.
∴函数f(2x2－2)的定义域为
.