高中数学新人教A版必修1学案：第一章集合与函数习题课集合（含解析）

习题课　集　合
学习目标　1.系统和深化对集合基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．
1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性．
2．元素与集合有且只有两种关系：∈，?.
3．已经学过的集合表示方法有列举法，描述法，Venn图法，常用数集字母代号．
4．集合间的关系与集合的运算
符号
定义
Venn图
子集
A?B
x∈A?x∈B
真子集
A?B
A?B且存在x0∈B但x0?A
并集
A∪B
{x|x∈A或x∈B}
交集
A∩B
{x|x∈A且x∈B}
补集
?UA(A?U)
{x|x∈U且x?A}
5.常用结论
(1)??A；
(2)A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝A?A?B.
(3)A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝A?A?B.
(4)A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.
1．若A＝，则x<0.(√)
2．任何集合至少有两个子集．(×)
3．若有且只有一个元素，则必有Δ＝12－4a＝0.(×)
4．设A，B为全集的子集，则A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.(√)
类型一　集合的概念及表示法
例1　下列表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}
B．M＝{2,1}，N＝{1,2}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}
D．M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}
考点　集合的表示综合
题点　集合的表示综合问题
答案　B
解析　A中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相同；
B中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；
C中M，N均为数集，显然有M?N；
D中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的y的取值，故选B.
反思与感悟　要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．
跟踪训练1　设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.
考点　交集的概念及运算
题点　无限集合的交集运算
答案　{(4,4)}
解析　由得∴A∩B＝{(4,4)}．
类型二　集合间的基本关系
例2　若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可能取值组成的集合．
考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
解　由题意得，P＝{－3,2}．
当a＝0时，S＝?，满足S?P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－，
为满足S?P，可使－＝－3，或－＝2，
即a＝，或a＝－.
故所求集合为.
反思与感悟　(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．
(2)对于两集合A，B，当A?B时，不要忽略A＝?的情况．
跟踪训练2　下列说法中不正确的是________．(填序号)
①若集合A＝?，则??A；
②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；
③已知集合A＝{x|12.
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　③
解析　?是任何集合的子集，故①正确；
∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，
∴A＝B，故②正确；
若A?B，则a≥2，故③错误.
1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有(　　)
A．2个B．4个C．6个D．8个
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合的交集运算
答案　B
2．下列关系中正确的个数为(　　)
①∈R；②0∈N*；③{－5}?Z.
A．0B．1C．2D．3
考点　元素与集合的关系
题点　判断元素与集合的关系
答案　C
解析　①③正确．
3．已知P＝{y|y＝a2＋1，a∈R}，Q＝{m|m＝x2－4x＋5，x∈R}，则P与Q的关系不正确的是(　　)
A．P?Q B．P?Q
C．P＝Q D．P∩Q＝?
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　D
解析　∵P＝，
Q＝＝，
∴P＝Q.
∴A，B，C皆正确．
4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)＝________.
考点　交并补集的综合问题
题点　有限集合的交并补运算
答案　?
解析　(?IM)∩(?IN)＝?I(M∪N)＝?II＝?.
5．(2017·烟台检测)已知集合U＝R，集合A＝，B＝，则(?UA)∩B＝________.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　
解析　由图知(?UA)∩B＝.
1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．
2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．

一、选择题
1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N等于(　　)
A．{1,4} B．{－1，－4}
C．{0} D．?
考点　交集的概念及运算
题点　有限集合的交集运算
答案　D
解析　因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，
N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝?，
故选D.
2．已知集合A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A∩B＝?
C．A?B D．B?A
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　D
解析　A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得：B?A.
3．已知全集U＝R，A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，则集合A∩(?UB)等于(　　)
A．{1} B．{1,2}
C．{1,2,3} D．{0,1,2}
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　B
解析　∵?UB＝{x∈R|x<3}，∴A∩(?UB)＝{1,2}．
4．(2017·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝?
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
考点　并集、交集的综合运算
题点　并集、交集的综合运算
答案　A
解析　因为B＝{x|3－2x＞0}＝，A＝{x|x＜2}，
所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．
故选A.
5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是(　　)
A．－1B．0C．1D．1或－1
考点　交集的概念及运算
题点　由交集的运算结果求参数的值
答案　A
解析　由M∩N＝N，得N?M.
当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；
当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；
当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．故a＝－1.
6．设全集U＝R，已知集合A＝{x|x＜3或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(?UA)∩B≠?，则a的取值范围为(　　)
A．a＞3B．a≥3C．a≥7D．a＞7
考点　交并补集的综合问题
题点　与交并补集运算有关的参数问题
答案　A
解析　因为A＝{x|x＜3或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x＜7}，又(?UA)∩B≠?，则a＞3.
7．设集合I＝，A?I，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝的配集有(　　)
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点　并集的概念及运算
题点　有限集合的并集运算
答案　D
解析　M可以是，，，，共4个．
8．若集合A＝，B＝，则B中元素个数为(　　)
A．1B．2C．3D．4
考点　元素与集合的关系
题点　集合中元素的个数
答案　D
解析　A＝，B中元素为A中能整除6的数，∴B＝.
二、填空题
9．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∩(?UB)＝________.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　{1,4}
解析　∵?UB＝{x|x<2或x>3}，
∴A∩(?UB)＝{1,4}．
10．(2017·江苏)已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
考点　交集的概念及运算
题点　由交集运算结果求参数的值
答案　1
解析　∵A∩B＝{1}，A＝{1,2}，
∴1∈B且2?B.
若a＝1，则a2＋3＝4，符合题意．
又a2＋3≥3≠1，故a＝1.
11．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，则a的取值范围是________．
考点　交集的概念及运算
题点　由交集的运算结果求参数的值
答案　
解析　①若A＝?，则A∩B＝?，此时2a>a＋3，
即a>3.
②若A≠?，如图，由A∩B＝?，可得
解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.
三、解答题
12．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2(1)求A∩B，(?RB)∪A；
(2)已知C＝{x|a考点　集合各类问题的综合
题点　集合各类问题的综合
解　(1)显然A∩B＝{x|3≤x<6}．
∵B＝{x|2∴(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．
(2)∵C?B，如图所示，则有
解得2≤a≤8，∴a的取值范围为{a|2≤a≤8}．
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
(2)当A＝{x∈Z|－2≤x≤5}时，求A的非空真子集的个数；
(3)若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
考点　集合各类问题的综合
题点　集合各类问题的综合
解　(1)因为A∪B＝A，所以B?A，
当B＝?时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；
当B≠?时，根据题意，可得
解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
(2)当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)当B＝?时，由(1)知m<2；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得m>4.
综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}．
四、探究与拓展
14．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(　　)
考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　A
解析　如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
15．对于集合A，B，我们把集合记作A×B.例如，A＝，B＝，则有：A×B＝，B×A＝，A×A＝，B×B＝.
据此，试回答下列问题：
(1)已知C＝，D＝，求C×D；
(2)已知A×B＝，求集合A，B；
(3)若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，试确定A×B中有多少个元素．
考点　集合各类问题的综合
题点　集合各类问题的综合
解　(1)C×D＝.
(2)因为A×B＝，
所以A＝，B＝.
(3)由题意可知A×B中元素的个数与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的任何一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．
若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中应有m×n个元素．于是，若集合A中有3个元素，集合B中有4个元素，则A×B中有12个元素．