高中数学新人教A版必修1学案：第一章集合与函数章末复习（含解析）

章末复习
学习目标　1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．
1．知识网络
2．重要技能
(1)运算技能主要表现在使用Venn图求并交补集，求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用、方程、不等式运算，以及式子的变形等．
(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出Venn图，数轴，函数图象，要能从中读出相关信息；作图能力体现在给出集合间的关系或运算，能用Venn图或数轴表示，给出函数解析式或性质，能画出相应图象．
(3)推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题．
课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等．
(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．
3．数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：
(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．
(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．
(3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．
(4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质．
1．函数的定义域、值域都是集合．(√)
2．直线x＝a与函数y＝f(x)至多有一个交点．(√)
3．直线y＝b与R上的增函数至多有一个交点．(√)
类型一　集合的综合运算
例1　已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)若(?RA)∪B＝R，求a的取值范围；
(2)是否存在a使(?RA)∪B＝R且A∩B＝?？
考点　交并补集的综合问题
题点　与交并补集运算有关的参数问题
解　(1)∵A＝{x|0≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<0或x>2}．
∵(?RA)∪B＝R.(如图)
∴∴－1≤a≤0.即a的取值范围是[－1,0]．
(2)由(1)知当(?RA)∪B＝R时，
－1≤a≤0，而a＋3∈[2,3]，
∴A?B，这与A∩B＝?矛盾．
即这样的a不存在．
反思与感悟　借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反．
跟踪训练1　已知全集U＝{x||x|≤5}，集合A＝{x|－2＜x＜1}，集合B＝{x|－3＜x≤3}，求
?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.
考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
解　由题意知U＝{x|－5≤x≤5}，把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来．如图，
所以?UA＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，
A∩B＝{x|－2＜x＜1}，
?U(A∩B)＝{x|－5≤x≤－2或1≤x≤5}，
(?UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2或1≤x≤3}．
类型二　函数概念及性质
命题角度1　函数三要素
例2　已知函数f(x)＝
(1)求f(x)的定义域，值域；
(2)求f(f(1))；
(3)解不等式f(x＋1)>.
考点　分段函数
题点　分段函数的综合应用
解　(1)f(x)的定义域为
(0,1)∪[1,2)∪＝.
易知f(x)在(0,1)上为增函数，
在上为减函数，
∴当x＝1时，f(x)max＝－＝，
又f(0)＝0，f(2)＝，f?＝0，
∴值域为.
(2)f(1)＝－＝.
f(f(1))＝f?＝×＝.
(3)f(x＋1)>等价于
①或 ②
或 ③
解①得－解②得0≤x<1，
解③得x∈?.
∴f(x＋1)>的解集为∪∪?＝.
反思与感悟　分段函数也是对应关系f的一种，在此对应f，仍整体上构成一个函数，故分段函数的定义域、值域分别只有一个集合，但在具体对应层面不论是由x求y，还是由y求x，都要按分段标准对号入座各行其道．
跟踪训练2　(2017·临沂一中月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求函数f(x)的解析式，并画出函数f(x)的图象；
(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域．
考点　函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点　奇偶性、单调性及最值的综合问题
解　(1)当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋2x.
又∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)＝x2＋2x，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[1，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，－1)，(0,1)，
函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．
命题角度2　函数性质的综合应用
例3　已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若对于任意的m，n∈[－1,1]有>0.
(1)判断函数的单调性(不要求证明)；
(2)解不等式f(3)若f(x)≤－2at＋2对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．
考点　函数的单调性、奇偶性、最值的综合应用
题点　奇偶性、单调性及最值的综合问题
解　(1)函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．
(2)由(1)知函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，
由f?得
解得0≤x<.
所以不等式f?(3)因为函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f(1)＝1，
要使得对于任意的x∈[－1,1]，a∈[－1,1]都有f(x)≤－2at＋2恒成立，只需对任意的a∈
[－1,1]，－2at＋2≥1恒成立．
令y＝－2at＋1，此时y可以看作a的一次函数，且在a∈[－1,1]时，y≥0恒成立．
因此只需
解得－≤t≤，
所以实数t的取值范围为.
反思与感悟　(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值的应用．
跟踪训练3　函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性综合
解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2?f(|x－1|)又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解得－15∴x的取值范围是{x|－15类型三　函数图象的画法及应用
例4　定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，
(1)试画出f(x)，x∈[－3,5]的图象；
(2)求f(37.5)；
(3)常数a∈(0,1)，y＝a与f(x)，x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和．
考点　函数图象的对称性
题点　对称问题综合
解　(1)∵f(x)为奇函数，
∴f(x＋2)＝f(－x)，
∴f(x)关于直线x＝1对称．
由f(x)在[0,1]上的图象反复关于(0,0)，x＝1对称，可得f(x)，x∈[－3,5]的图象如图．
(2)由图可知f(x＋4)＝f(x)，
∴f(37.5)＝f(4×9＋1.5)＝f(1.5)＝f(0.5)＝.
(3)由图可知，当a∈(0,1)时，y＝a与f(x)，x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4(x1由图可知＝－1，＝3.
∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.
反思与感悟　画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
跟踪训练4　已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)画出函数的图象；
(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
考点　函数图象的对称性
题点　对称问题综合
解　(1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
函数f(x)的图象如图所示．
(3)由图象可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，
只需－1<|a|－2≤1，
即1<|a|≤3，解得－3≤a<－1或1所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3].
1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)等于(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0考点　交并补集的综合问题
题点　无限集合的交并补运算
答案　D
2．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)
A．P＝Q B．P?Q
C．P?Q D．P∩Q＝?
考点　集合的包含关系
题点　集合包含关系的判定
答案　B
解析　P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，
Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，
所以Q?P.
3．函数f(x)＝则f?的值为______．
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　
解析　∵3>1，∴f(3)＝32－3－3＝3，
∵<1，∴f?＝f?＝1－2＝.
4．已知函数y＝的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．
考点　函数图象
题点　函数图象的应用
答案　(0,1)∪(1,4)
解析　根据绝对值的意义，得
y＝＝
＝
在平面直角坐标系中作出该函数的图象，如图所示．
根据图象可知，当05．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，设f?＝m，f?＝n，则m，n的大小关系是________．
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案　m≥n
解析　因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，
又f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以?f?≤f?＝f?.
1．集合是函数乃至整个现代数学的基础，学习时要侧重符号语言的理解与准确表达，集合的并交补运算是重要的基本技能．
2．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．
3．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．
4．(1)函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．
(2)应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
一、选择题
1．设全集U是实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{x|－2≤x＜1} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|1考点　Venn图表达的集合关系及运用
题点　Venn图表达的集合关系
答案　A
解析　题图阴影部分表示N∩(?UM)＝{x|x≥3或x<1}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x＜1}．
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(－∞，4] B．(－∞，3)∪(3,4]
C．[－2,2] D．(－1,2]
考点　函数的定义域
题点　求具体函数的定义域
答案　B
解析　f(x)中的x需满足
解得x≤4且x≠3，
故f(x)的定义域为(－∞，3)∪(3,4]．
3．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于(　　)
A．1B．2C.D．－
考点　函数奇偶性的应用
题点　其他已知函数奇偶性求参数值问题
答案　A
解析　由题意得f(－x)＝－f(x)，
则＝
＝－，
则－4x2＋(2－2a)x＋a＝－4x2－(2－2a)x＋a，
所以2－2a＝－(2－2a)，
所以a＝1.
4．若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．0＜a≤ B．0≤a≤
C．0＜a＜ D．a＞
考点　函数单调性的应用
题点　已知二次函数单调性求参数范围
答案　B
解析　当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口向上，a＞0且－≥4，得0＜a≤.
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
综上知，0≤a≤.
5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，下列大小关系正确的是(　　)
A．f(1)>f(2) B．f(1)>f(－2)
C．f(－1)>f(－2) D．f(－1)考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　综合利用函数的单调性、奇偶性比较大小
答案　D
解析　∵当x≥0时，f(x)＝x＋1是增函数，
∴f(1)又∵f(x)为偶函数，
∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，
∴D对．
6．设函数f(x)＝若f?＝4，则b等于(　　)
A．1B.C.D.
考点　分段函数
题点　分段函数求参数值
答案　D
解析　∵<1，∴f?＝3×－b＝－b.
若－b<1，即b>，
则f＝3－b＝－4b<－≠4.
若－b≥1，即b≤，
则f?＝2＝5－2b＝4，b＝.
故选D.
7．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(　　)
考点　函数图象
题点　函数图象的判断与理解
答案　A
解析　函数y＝f(x)g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，图象不经过坐标原点，故可以排除C，D.因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，故选A.
8．已知函数f(x)＝则f(1)－f(3)等于(　　)
A．－7B．－2C．7D．27
考点　分段函数
题点　分段函数求值
答案　C
解析　由题意得f(1)＝f(4)＝42＋1＝17，
f(3)＝32＋1＝10，
故f(1)－f(3)＝17－10＝7.
二、填空题
9．设集合A＝{x|1考点　子集及其运算
题点　根据子集关系求参数的取值范围
答案　{a|a≥2}
解析　如图，可知a≥2.
10．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝________.
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数的解析式
答案　2x＋3
解析　设x<0，则－x>0，g(－x)＝－2x－3.
∵g(x)为奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝g(x)＝－g(－x)＝2x＋3.
11．给出以下三个命题：
①若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,4]；
②函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)；
③若f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝2，＋＋…＋＋＝2018.
其中正确的命题有______．(写出所有正确命题的序号)
考点　抽象函数单调性与奇偶性
题点　抽象函数单调性、奇偶性综合
答案　③
解析　①若函数f(x)的定义域为[0,2]，由2x∈[0,2]，得x∈[0,1]，即函数f(2x)的定义域为[0,1]，故错误；
②函数f(x)＝的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)，故错误；
③若f(x＋y)＝f(x)f(y)，则f(x＋1)＝f(x)f(1)，由f(1)＝2知，当x∈N*时，f(x)≠0恒成立．
则＝f(1)＝2，∴＋＋…＋＋＝2×1009＝2018，故正确．
三、解答题
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有两等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[0，t]上的最大值．
考点　求函数的解析式
题点　待定系数法求函数解析式
解　(1)∵方程f(x)＝2x有两等根，
即ax2＋(b－2)x＝0有两等根，
∴Δ＝(b－2)2＝0，解得b＝2.
由f(x－1)＝f(3－x)，得＝1，
∴x＝1是函数f(x)的图象的对称轴，
而此函数f(x)图象的对称轴是直线x＝－，
∴－＝1，∴a＝－1，故f(x)＝－x2＋2x.
(2)∵函数f(x)＝－x2＋2x的图象的对称轴为x＝1，x∈[0，t]，
∴当0∴f(x)max＝－t2＋2t.
当t>1时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，t]上是减函数，
∴f(x)max＝f(1)＝1.
综上，f(x)max＝
13．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的函数．
(1)用定义法证明函数f(x)在(－1,1)上是增函数；
(2)解不等式f(x－1)＋f(x)<0.
考点　单调性与奇偶性的综合应用
题点　利用奇偶性、单调性解不等式
(1)证明　设x1，x2是区间(－1,1)上的任意两个实数，且x1＝
＝
＝.
∵－1∴x1－x2<0，(1＋x)(1＋x)>0，
∴x1x2<1，即1－x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)＝在(－1,1)上是增函数．
(2)解　由(1)知，f(x)在(－1,1)上单调递增，
且易证f(x)为奇函数，
f(x－1)＋f(x)<0，即f(x－1)<－f(x)．
即f(x－1)∴∴∴0∴不等式的解集为.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f?的值是________．
考点　函数奇偶性的应用
题点　利用奇偶性求函数值
答案　0
解析　当x＝－时，－?f?＝?f?＝·?f?，
∴f?＝0.
又f?＝??f?，·f?＝?f?，∴f?＝0，从而f?＝0.
15．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
考点　函数的最值及其几何意义
题点　含参二次函数最值
解　(1)由f(0)＝f(2)知，二次函数f(x)关于x＝1对称，又f(x)的最小值为1，
故可设f(x)＝a(x－1)2＋1.
由f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数在区间[2a，a＋1]上不单调，
则2a<1(3)由已知，得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在x∈[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，x∈[－1,1]，则g(x)min>0.
∵x∈[－1,1]，∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，
∴－1－m>0，即m<－1.
故实数m的取值范围是{m|m<－1}．