第1课时 等比数列的概念及通项公式
[学生用书P105(单独成册)]
[A 基础达标]
1．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为( )
A．108 B.54
C．36 D．18
解析：选B.因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54.
2．在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项为( )
A．±4 B.4
C．± D．
解析：选A.由题意得(±a6)2＝a4a8，因为a1＝，q＝2，所以a4与a8的等比中项为±a6＝±4.
3．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B.b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析：选B.因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.
又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，
故b2＝ac，即ac＝9.
4．(2019·丰台高二检测)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( )
A. B.4
C．2 D．
解析：选C.因为a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，所以a＝a1a7，设{an}的公差为d，则d≠0，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，所以a1＝2d，所以公比q＝＝＝2.
5．若正项数列{an}满足a1＝2，a－3an＋1an－4a＝0，则{an}的通项公式an＝( )
A．22n－1 B.2n
C．22n＋1 D．22n－3
解析：选A.由a－3an＋1an－4a＝0，得(an＋1－4an)·(an＋1＋an)＝0.又{an}是正项数列，所以an＋1－4an＝0，＝4.由等比数列的定义知数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得an＝2×4n－1＝22n－1.故选A.
6．下面四个数列：
①1，1，2，4，8，16，32，64；
②在数列{an}中，已知＝2，＝2；
③常数列a，a，…，a，…；
④在数列{an}中，＝q(q≠0)，其中n∈N*.
其中一定是等比数列的有________．
解析：①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，故不是等比数列．
②不一定是等比数列．当{an}只有3项时，{an}是等比数列；当{an}的项数超过3时，不一定符合．
③不一定．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列．
④等比数列的定义用式子的形式表示：在数列{an}中，对任意n∈N*，有＝q(q≠0)，那么{an}是等比数列．
答案：④
7．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.因为a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，
所以所以
所以a2＝2，b2＝2.所以＝＝1.
答案：1
8．等比数列{an}中，若a2a5＝2a3，a4与a6的等差中项为，则a1＝________．
解析：设等比数列{an}的公比为q，
因为a2a5＝2a3，
所以aq5＝2a1q2，化简得a1q3＝2＝a4.
因为a4与a6的等差中项为，
所以a4＋a6＝2×，
所以a4(1＋q2)＝.
所以q2＝，解得q＝±.
则a1×＝2，解得a1＝±16.
答案：±16
9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若an＝，求n.
解：(1)因为a5＝a1q4＝a3q2，
所以q2＝＝.
所以q＝±.
当q＝时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝32×＝28－n；
当q＝－时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝32×.
所以an＝28－n或an＝32×.
(2)当an＝时，即28－n＝或32×＝，
解得n＝9.
10．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式．
解：设数列{an}的公比为q.
因为a＝a10，2(an＋an－2)＝5an－1，
所以，
由①，得a1＝q，
由②，得q＝2或q＝，
又数列{an}为递增数列，
所以a1＝q＝2，所以an＝2n.
[B 能力提升]
11．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝( )
A．2n－1 B.2n－1－1
C．2n－1 D．2(n－1)
解析：选A.等式两边同时加1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1.
12．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，＝a11，则k＝( )
A．12 B.15
C．18 D．21
解析：选D.＝a1q＝a1q＝a1q10，因为a1>0，q≠1，所以＝10，所以k＝21，故选D.
13．已知数列{an}是等差数列，且a2＝3，a4＋3a5＝56，若log2bn＝an.
(1)求证：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
解：(1)证明：由log2bn＝an，得bn＝2an.因为数列{an}是等差数列，不妨设公差为d，则＝＝2an－an－1＝2d，2d是与n无关的常数，
所以数列{bn}是等比数列．
(2)由已知，得
解得
于是b1＝2－1＝，公比q＝2d＝24＝16，
所以数列{bn}的通项公式bn＝·16n－1＝24n－5.
14．(选做题)已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝3Sn＋1(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题意，知a1＝3S1＋1，即a1＝3a1＋1，
所以a1＝－.
又a2＝3S2＋1，即a2＝3(a1＋a2)＋1，解得a2＝.
(2)由an＝3Sn＋1，①
得an－1＝3Sn－1＋1(n≥2)，②
由①－②，得
an－an－1＝3(Sn－Sn－1)＝3an，得＝－，
所以数列{an}是首项为－，公比为－的等比数列，
所以an＝×＝.
第2课时 等比数列的性质及应用
[学生用书P107(单独成册)]
[A 基础达标]
1．已知等比数列{an}的公比q为正数，且2a3＋a4＝a5，则q的值为( )
A．－1 B.2
C．－1或2 D．3
解析：选B.由已知得2a3＋a3q＝a3q2，整理得2＋q＝q2，解得q＝2或q＝－1.又因为q>0，所以q＝2.
2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
解析：选C.当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．
3．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于( )
A．38 B.39
C．9 D．7
解析：选C.因为a4a8＝a5a7，a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3，所以log3(a1a2·…·a9)＝log3a＝log339＝9.
4．已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于 ( )
A．－ B.－3
C. D．3
解析：选B.因为a2＋a4＋a6＋a8＝q(a1＋a3＋a5＋a7)，
所以＝＝－3.
5．已知等比数列{an}中，首项为a1，公比为q，则下列条件中，使{an}一定为递减数列的是( )
A．|q|<1
B．a1>0，q<1
C．a1>0，01
D．q>1
解析：选C.因为{an}为递减数列，所以an－an－1＝a1qn－2·(q－1)<0(n≥2，n∈N*)，若a1>0，则01.故选C.
6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________．
解析：由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
7．已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝________．
解析：因为数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，
所以a4(a2＋2a4＋a6)＝a4a2＋2a4a4＋a4a6
＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝π2.
答案：π2
8．在数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{nan＋1}是等比数列，则an＝________．
解析：因为数列{an}中，a2＝，a3＝，且数列{nan＋1}是等比数列，2a2＋1＝3＋1＝4，3a3＋1＝7＋1＝8，
所以数列{nan＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以nan＋1＝2n，解得an＝.
答案：
9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：因为a1a5＝a，a3a7＝a，
所以由题意，得a－2a3a5＋a＝36，
同理得a＋2a3a5＋a＝100，
所以
因为an>0，
所以
解得或
分别解得或
所以an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.
10．三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第三项加32又成等比数列，求这三个数．
解：按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2.
由已知条件知2(aq＋4)＝a＋aq2.①
又a，aq＋4，aq2＋32成等比数列，则
(aq＋4)2＝a(aq2＋32)?aq＋2＝4a.②
联立①②两式，
解得或
所以这三个数分别为2，6，18或，－，.
[B 能力提升]
11．计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )
A．300元 B.900元
C．2 400元 D．3 600元
解析：选C.降低后的价格构成以为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×＝2 400(元)．
12．已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3·…·an的最大值为________．
解析：因为等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，
所以
解得a1＝16，q＝，
所以an＝16×＝25－n，
所以a1a2a3·…·an＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝2，
所以当n＝4或n＝5时，a1a2a3·…·an取最大值，且最大值为210＝1 024.
答案：1 024
13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正数，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减，得
an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
又因为a2＝2S1＋1＝3，
所以a2＝3a1.
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以an＝3n－1.
(2)设{bn}的公差为d，
由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，
故可设b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，
由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2.
解得d1＝2，d2＝－10.
因为等差数列{bn}的各项为正数，
所以d＞0，所以d＝2.
Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.
14．(选做题)设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．
解：(1)设数列{an}的公比为q.
由题意，可得an＝8qn－1，且0＜q＜1.
由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，
所以64q＝30＋8q2，解得q＝或(舍去)，所以an＝8×＝24－n.
(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，
由bn＞bn＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，
即λ＜n＋1，
所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．
