江苏省苏州市第五中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题

苏州市第五中学2018－2019学年第一学期期中测试
高二数学
2018.10
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卷相应位置上．
直线的倾斜角是 ▲ ．
直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数＝ ▲ ．
正方体ABCD?A1B1C1D1中，与对角线AA1平行的棱有 ▲ 条．
直线与直线平行，则 ▲ ．
设为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若∥且∥，则∥；（2）若且，则∥；
（3）若∥且∥，则∥；（4）若且，则∥．
上面叙述中正确的是 ▲ ．（写出所有正确的序号）
已知直线l经过点，且原点到直线l的距离是2，则直线l的方程是 ▲ ．
方程表示圆，则的取值范围是 ▲ ．
如图，在长方体中，，
，则三棱锥的体积为 ▲ ．
无论取何值，直线恒过点 ▲ ．
由点向圆引切线，则切线长为 ▲ ．
圆锥母线长为6cm，底面直径为3cm，在母线SA（S为圆锥的顶点）上有一点B，AB=2cm，那么由A点绕圆锥侧面一周到B点的最短距离为 ▲ ．
若圆C： 与y轴交于A，B两点，且，则实数m的值为　 ▲ ．
在平面直角坐标系中，已知直线和点，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是 ▲ ．
已知是圆是常数)上的两个不同的点，是圆上的动点，如果两点关于直线对称，则面积的最大值是
▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
（本题14分）
如图，在四棱锥中，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求证：平面．
（本题14分）
已知△ABC的顶点为A(2，4)，B(0，－2)，C(－2，4)．
（1）求BC边上的高所在直线的方程；
（2）若直线l经过点C，且A，B两点到直线l的距离相等，求直线l的方程．
（本题14分）
在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1＝BA＝BC＝1，∠B1BC＝60°，∠ABC＝90°，平面BB1C1C⊥平面ABC， M，N分别是BC的三等分点．
（1）求证：A1N∥平面AB1M；
（2）求证：AB⊥B1M；
（3）求三棱锥A－B1BC的体积V．

（本题16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在
直线l：x－y－1＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．
（本题16分）
已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1) 若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2) 若点P的坐标为(2,1)，过点P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程；
(3) 求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
（本题16分）
如图，已知圆，点．
(1)求经过点且与圆相切的直线的方程；
(2)过点的直线与圆相交于两点，为线段的中点，求线段长度的取值范围．


高二数学答案
2018.10
2. 12 3. 3 4. －2 5. (2) (4)
6. 7. 8. 8 9.
10. 1 11. 12. 13. 或 14. 3＋
二、解答题
15. （本题14分）
证明 （1）在四棱锥中，因为，所以，
又，且，，
所以平面PAD． ……………………4分
又平面，所以平面平面． ……………………7分
（2）取AP的中点F，连EF，BF，
在△PAD中，EF∥AD，且，又，，
所以EF∥BC，且，所以四边形BCEF为平行四边形，
所以CE∥BF， ……………………………11分
因为平面PAB，平面PAB，
所以平面． ……………………………14分
16. （本题14分）
（1）由kBC＝＝－3，
所以BC边上的高所在直线的斜率为．………………………………………………………3分
由直线方程的点斜式，得 y－4＝(x－2)，
即BC边上的高所在直线的方程为 x－3y＋10＝0．…………………………………………6分
（2）解法一 依题意，直线l与直线AB平行，或者经过线段AB的中点．
①当直线l与直线AB平行时，因为kAB＝＝3，
由直线方程的点斜式，得y－4＝3(x＋2)，
即3x－y＋10＝0．………………………………………………………………………………10分
②当直线l经过线段AB的中点时，AB中点的坐标为(1，1)，
由直线方程的两点式，得＝，
即x＋y－2＝0．
综上，所求直线l的方程为3x－y＋10＝0或者x＋y－2＝0．……………………………14分
解法二
①当斜率k不存在时，直线的方程为x＝－2，不满足条件．………………………………8分
②当斜率k存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋2)，即kx－y＋4＋2k＝0．
因为A，B两点到直线l的距离相等，
所以 ＝，
解得 k＝3或k＝－1．……………………………………………………………………12分
所以所求直线l的方程为3x－y＋10＝0或x＋y－2＝0．…………………………………14分
17. （本题14分）
（1）连A1B交AB1于O，连OM，
则OM为△A1BN的中位线．
∴OM∥A1N． ………………………… 2分
∵ A1N 平面AB1M．
OM平面AB1M．
∴A1N∥平面AB1M． …………………… 5分
（2）∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C交平面ABC
而∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．
AB平面ABC，
∴AB⊥平面BB1C1C．…………………… 8分
∵B1M 平面BB1C1C．
∴AB⊥B1M． …………………… 10分
（3）∵AB⊥平面BB1C1C，
∴V＝．……… 14分
18. （本题16分）
（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－，－)．
因为圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，
所以  …………………… 4分
解得
所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0． …………………… 7分
（2）由（1）知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝×．
所以当PC最小时，S最小． …………………… 10分
因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半径为1．
因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6．
因为点P∈M，且圆M的半径为1，
所以PCmin＝6－1＝5．
所以Smin＝×＝10． …………………… 14分
此时直线MC：y＝1，从而P(－3，1)． …………………… 16分
19. （本题16分）
(1) 设P(2m，m)，由题可知MP＝2，
所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解得m＝0或m＝，……………… 2分
故点P的坐标为P(0,0)或P. ……………… 4分
(2) 易知直线CD的斜率k存在，可设其方程为y－1＝k(x－2)，
由题知圆心M到直线CD的距离为，……………… 7分
所以＝，解得k＝－1或k＝－，
故直线CD的方程为x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0. ……………… 9分
(3) 设P(2m，m)，MP的中点Q，
因为PA是圆M的切线，
所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，MQ为半径的圆，
故其方程为(x－m)2＋2＝m2＋2，……………… 13分
化简得x2＋y2－2y－m(2x＋y－2)＝0，
令解得或
所以经过A，P，M三点的圆必过定点(0,2)或.……………… 16分
20. （本题16分）
（1）当过点直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件．……………2分
当切线的斜率存在时，设：，即，
圆心到切线的距离等于半径3，
，解得．……………… 4分
切线方程为，即
故所求直线的方程为或．………………6分
（2）由题意可得，点的轨迹是以为直径的圆，记为圆． ……………8分
则圆的方程为．………………10分
从而， …………12分
所以线段长度的最大值为，最小值为，
所以线段长度的取值范围为．……………16分