二 一般形式的柯西不等式
名称 形式 等号成立条件
三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3)
一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)
[点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．
利用柯西不等式证明不等式
[例1] 设x1，x2，…，xn都是正数，求证：＋＋…＋≥.
[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．
[证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn)
＝[(1)2＋()2＋…＋()2]·≥
2＝n2，
∴＋＋…＋≥.
柯西不等式的结构特征可以记为：
(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋
＋…＋)2.
其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．
1．设a，b，c为正数，且不全相等．
求证：＋＋>.
证明：构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得
(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9，
于是＋＋≥.
由柯西不等式知，①中有等号成立?＝＝
?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c.
因为a，b，c不全相等，故①中等号不成立，
于是＋＋>.
利用柯西不等式求最值
[例2] (1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1.
求 ＋ ＋ 的最小值；
(2)设2x＋3y＋5z＝29，
求函数μ＝＋＋的最大值．
[思路点拨] (1)利用＋＋
＝(x＋y＋z)．
(2)利用(＋＋)2＝
(1×＋1×＋1×)2.
[解] (1)∵x＋y＋z＝1，
∴＋＋＝(x＋y＋z)；
≥2
＝(1＋2＋3)2＝36.
当且仅当x＝＝，
即x＝，y＝，z＝时取等号．
所以＋＋的最小值为36.
(2)根据柯西不等式，有
(×1＋×1＋×1)2
≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]·(1＋1＋1)
＝3×(2x＋3y＋5z＋11)
＝3×40＝120.
故＋＋≤2，
当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，
即x＝，y＝，z＝时等号成立．
此时μmax＝2.
利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．
2．已知x，y，z∈R，且x－2y＋2z＝5，则(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是( )
A．20 B．25
C．36 D．47
解析：选C ∵[(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x＋5)＋(－2)(y－1)＋2(z＋3)]2＝324，当且仅当＝＝，即x＝－3，y＝－3，z＝1时取等号．故(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是36.
3．若2x＋3y＋4z＝11，则x2＋y2＋z2的最小值为________．
解析：∵2x＋3y＋4z＝11，∴由柯西不等式，得
(x2＋y2＋z2)(4＋9＋16)≥(2x＋3y＋4z)2，
故x2＋y2＋z2≥，
当且仅当＝＝，即x＝，
y＝，z＝时取等号．
答案：
4．把一根长为12 m的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S最小，并求此最小值．
解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝12，三个正方形的边长分别为，，均为正数，三个正方形面积之和：S＝2＋2＋2＝(x2＋y2＋z2)．
∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，
即x2＋y2＋z2≥48.从而S≥×48＝3.
当且仅当＝＝时取等号，
又x＋y＋z＝12，
∴x＝y＝z＝4时，Smin＝3.
故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m2.
1．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，则ab＋bc＋cd＋ad的最小值为( )
A．5 B．－5
C．25 D．－25
解析：选B (ab＋bc＋cd＋ad)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)·(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，当且仅当a＝b＝c＝d＝±时，等号成立．
∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值为－5.
2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A (a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)·(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号．
∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.
3．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是( )
A．5 B．6
C．8 D．9
解析：选D x＋＋＝＋＋·≥·＋ ·＋ ·2＝9，当且仅当＝＝＝时等号成立．
4．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.
5．已知2x＋3y＋z＝8，则x2＋y2＋z2取得最小值时，x，y，z形成的点(x，y，z)＝________.
解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥.
当且仅当＝＝z时等号成立．
又2x＋3y＋z＝8，
解得x＝，y＝，z＝，
故所求点为.
答案：
6．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值是________．
解析：(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]
≥2
＝(2＋3＋6)2＝121.
当且仅当＝＝＝k(k为正实数)时，等号成立．
答案：121
7．已知实数x，y，z满足3x＋2y＋z＝1，则x2＋2y2＋3z2的最小值为________．
解析：由柯西不等式，得[x2＋(y)2＋(z)2]·≥(3x＋2y＋z)2＝1，
所以x2＋2y2＋3z2≥，
当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时，等号成立，所以x2＋2y2＋3z2的最小值为.
答案：
8．在△ABC中，设其各边长为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.
证明：∵＝＝＝2R，
∴(a2＋b2＋c2)
≥2＝36R2.
9．在直线5x＋3y＝2上求一点，使(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2取得最小值．
解：由柯西不等式得(22＋12)[(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]2＝(5x＋3y＋1)2＝9.
∴(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2≥.
当且仅当x＋2y－1＝2(3x－y＋3)
即5x－4y＋7＝0时取等号．
解方程组
得故所求点的坐标为.
10．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c为正实数，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
解：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，
所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}，
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)证明：由(1)知＋＋＝1，
所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
≥2＝9.
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考点二
三 排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．
2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．
[例1] 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：
＋＋≥＋＋.
[思路点拨] 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
[证明] ∵a≥b>0，于是≤，
又c>0，从而≥，
同理≥，从而≥≥.
又由于顺序和不小于乱序和，故可得
＋＋≥＋＋
＝＋＋
≥＋＋＝＋＋＝＋＋.
∴原不等式成立．
利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
1．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在为增函数，y＝cos x在为减函数，
∴0
cos β>cos γ>0.
∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α
>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ
＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.
由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，
由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②
将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)
[例2] 设a，b，c为正数，求证：
＋＋≥a10＋b10＋c10.
[思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．
[证明] 由对称性，不妨设 a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，≥≥，
故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得
＋＋≥＋＋＝＋＋.①
又因为a11≥b11≥c11，≤≤.
再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得
＋＋≤＋＋.②
所以由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.
在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．
3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，
由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，≥≥.
由排序不等式，知ab×＋ac×＋bc×
≥ab×＋ac×＋bc×＝a＋c＋b，
即＋＋≥a＋b＋c.
4．设a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥a1＋a2＋a3.
证明：不妨设 a1≥a2≥a3>0，于是
≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，
由排序不等式：顺序和≥乱序和得
＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2
＝a3＋a1＋a2.
即＋＋≥a1＋a2＋a3.
1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是( )
A．100,85 B．100,80
C．95,80 D．95,85
解析：选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.
2．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
解析：选A 因为03．锐角三角形中，设P＝，Q＝acos C＋bcos B＋ccos A，则P，Q的大小关系为( )
A．P≥Q B．P＝Q
C．P≤Q D．不能确定
解析：选C 不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cos A≤cos B≤cos C，则由排序不等式有Q＝acos C＋bcos B＋ccos A≥acos B＋bcos C＋ccos A
＝R(2sin Acos B＋2sin Bcos C＋2sin Ccos A)
＝R[sin(A＋B)＋sin(B＋C)＋sin(A＋C)]
＝R(sin C＋sin A＋sin B)＝P＝.
4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花( )
A．76元 B．20元
C．84元 D．96元
解析：选A 设a1＝1(件)，a2＝2(件)，a3＝3(件)，b1＝10(元)，b2＝13(元)，b3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3＋a2b2＋a3b1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．
5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则1c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．
解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.
答案：32 28
6．设正实数a1，a2，…，an的任一排列为 a1′，a2′，…，an′，则＋＋…＋的最小值为________．
解析：不妨设0则≥≥…≥.
其反序和为＋＋…＋＝n，
则由乱序和不小于反序和知
＋＋…＋≥＋＋…＋＝n，
∴＋＋…＋ 的最小值为n.
答案：n
7．设a1，a2，a3，a4是1,2,3,4的一个排序，则a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是________．
解析：a1＋2a2＋3a3＋4a4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，
∴a1＋2a2＋3a3＋4a4的取值范围是[20,30]．
答案：[20,30]
8．设a，b，c是正实数，用排序不等式证明aabbcc≥(abc).
证明：由所证不等式的对称性，不妨设a≥b≥c>0，
则lg a≥lg b≥lg c，据排序不等式有：
alg a＋blg b＋clg c≥blg a＋clg b＋alg c，
alg a＋blg b＋clg c≥clg a＋alg b＋blg c，
以上两式相加，再两边同加alg a＋blg b＋clg c，整理得
3(alg a＋blg b＋clg c)≥(a＋b＋c)(lg a＋lg b＋lg c)，
即lg(aabbcc)≥·lg(abc)，
故aabbcc≥(abc).
9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m分钟，第二人投n分钟，第三人投p分钟，某班级三名运动员A，B，C每分钟能投进的次数分别为a，b，c，已知m＞n＞p，a＞b＞c，如何派三人上场能取得最佳成绩？
解：∵m＞n＞p，a＞b＞c，
且由排序不等式知顺序和为最大值，
∴最大值为ma＋nb＋pc，此时分数最高，
∴三人上场顺序是A第一，B第二，C第三．
10．已知0证明：因为0所以≥≥>0，
又0所以＋＋是顺序和， ＋＋是乱序和，
由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，
即不等式＋＋≥＋＋成立．
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考点
[方法·规律·小结]
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考点二
一 二维形式的柯西不等式
1．二维形式的柯西不等式
(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式的推论：
(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；
·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；
·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．
2．柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.
3．二维形式的三角不等式
(1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．
当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．
(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有
＋
≥.
事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．
利用柯西不等式证明不等式
[例1] 已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2.
[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ”，然后用柯西不等式证明．
[证明] ∵＋
＝(cos2θ＋sin2θ)
≥2
＝(a＋b)2，
∴(a＋b)2≤＋.
利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．
1．已知a1，a2，b1，b2为正实数．
求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.
证明：∵(a1b1＋a2b2)
＝[()2＋()2]
≥2＝(a1＋a2)2.
∴原不等式成立．
2．设a，b，c为正数，
求证：＋＋≥ (a＋b＋c)．
证明：由柯西不等式，
得 ·≥a＋b，
即·≥a＋b.
同理：·≥b＋c，
·≥a＋c，
将上面三个同向不等式相加得：
≥2(a＋b＋c)
∴ ＋ ＋≥ (a＋b＋c)．
3．设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：＋≥2.
证明：根据柯西不等式，有
[(2－a)＋(2－b)]
＝[()2＋()2]
≥2
＝(a＋b)2＝4.
∴＋≥＝2.
∴原不等式成立.
利用二维形式的柯西不等式求最值
[例2] 求函数y＝3sin α＋4cos α的最大值．
[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值．
[解] 由柯西不等式得
(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2 α)＝25，
∴3sin α＋4cos α≤5.
当且仅当＝>0即sin α＝，cos α＝时取等号，即函数的最大值为5.
利用柯西不等式求最值的注意点
(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；
(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．
4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．
解：∵2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝，
当且仅当x＝y＝时取等号．
∴2x＋y的最大值为.
5．求函数y ＝＋的最小值．
解：y＝＋，
y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2×≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2×[(x－1)(3－x)＋]＝[(x－1)＋(3－x)]2＋(7＋2)＝11＋2.
当且仅当＝，
即x＝时等号成立．
此时ymin＝＝＋1.
1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是( )
A．P≤Q B．P＜Q
C．P≥Q D．P＞Q
解析：选A 设m＝(x，y)，n＝(，)，
则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝·＝·＝ ，
∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.
2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是( )
A．[－2，2 ]
B．[－2，2 ]
C．[－， ]
D．(－，)
解析：选A (a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∵a2＋b2＝10，
∴(a－b)2≤20.
∴－2≤a－b≤2.
3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选B (2x2＋3y2)[()2＋()2]≥(x＋y)2＝[(x＋y)]2＝6，
当且仅当x＝，y＝时取等号，
即2x2＋3y2≥.
故2x2＋3y2的最小值为.
4．函数y＝＋2的最大值是( )
A. B.
C．3 D．5
解析：选B 根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝，当且仅当x＝时取等号．
5．设xy>0，则的最小值为________．
解析：原式＝≥x·＋·y2＝9，当且仅当xy＝时取等号．
答案：9
6．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.
解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|，
∴|a·b|≤×6＝18，
当且仅当存在实数k，
使a＝kb时，等号成立．
∴－18≤a·b≤18，
∴a·b的最小值为－18，
此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．
答案：－18 (4，－2，－4)
7．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．
解析：由柯西不等式得
(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，当且仅当x＝，y＝时取等号，故P＝2x＋y的最大值为.
答案：
8．已知x，y∈R＋，且x＋y＝2.求证：＋≥2.
证明：＋＝(x＋y)
＝[ ()2＋()2]
≥2＝2，
当且仅当时等号成立，此时x＝1，y＝1.
所以＋≥2.
9．若x2＋4y2＝5，求x＋y的最大值及此时x，y的值．
解：由柯西不等式得
[x2＋(2y)2]≥(x＋y)2，
即(x＋y)2≤5×＝，x＋y≤.
当且仅当＝，即x＝4y时取等号．
由得或(舍去)．
∴x＋y的最大值为，
此时x＝2，y＝.
10．求函数f(x)＝3cos x＋4的最大值，并求出相应的x的值．
解：设m＝(3,4)，n＝(cos x，)，
则f(x)＝3cos x＋4
＝|m·n|≤|m|·|n|
＝·
＝5，
当且仅当m∥n时，上式取“＝”．
此时，3 －4cos x＝0.
解得sin x＝，cos x＝.
故当sin x＝，cos x＝时．
f(x)＝3cos x＋4 取最大值5.
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7
第三讲
∷∷:
柯西不等式与排序不等式
DI SAN JIANG
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理解Q戴材知
LIJIE
把握热点考向
BAWO
考点
[方法·规律·小结]
∥题组集训∥∥
考点二
第三讲 柯西不等式与排序不等式
?考情分析
从近两年高考来看，对本部分内容还未单独考查，但也不能忽视，利用柯西不等式构造“平方和的积”与“积的和的平方”，利用排序不等式证明成“对称”形式，或两端是“齐次式”形式的不等式问题．
?真题体验
1．(2017·江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.
证明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以(ac＋bd)2≤64，
因此ac＋bd≤8.
2．(2015·陕西高考)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值．
解：(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
则解得
(2)＋＝·＋
≤
＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4.
利用柯西不等式证明有关不等式问题
柯西不等式的一般形式为(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(ai，bi∈R，i＝1，2，…，n)，形式简洁、美观、对称性强，灵活地运用柯西不等式，可以使一些较为困难的不等式证明问题迎刃而解．
[例1] 已知a，b为正实数，a＋b＝1，x1，x2为正实数．
(1)求＋＋的最小值；
(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.
[解] (1)∵a，b为正实数，a＋b＝1，x1，x2为正实数，
∴＋＋≥3＝3≥
3＝6，当且仅当＝＝，a＝b，
即a＝b＝，且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.
(2)证明：∵a，b∈R＋，a＋b＝1，x1，x2为正实数，
∴(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)
＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(＋)2＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，
当且仅当x1＝x2时取等号.
利用排序不等式证明有关的不等式问题
排序不等式具有自己独特的体现：多个变量的排列与其大小顺序有关，特别是与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不等式解决往往很简捷．
[例2] 在△ABC中，试证：≤＜.
[证明] 不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.
由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.
以上三式相加，得
3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)．
得≥，①
又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c,0＜a＋c－b，有
0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)
＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．
得＜.②
由①②得原不等式成立.
利用柯西不等式或排序不等式求最值问题
有关不等式问题往往要涉及到对式子或量的范围的限定．其中含有多变量限制条件的最值问题往往难以处理．在这类题目中，利用柯西不等式或排序不等式处理往往比较容易．
[例3] 已知5a2＋3b2＝，求a2＋2ab＋b2的最大值．
[解] ∵[(a)2＋(b)2]
≥2
＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，当且仅当5a＝3b即a＝，b＝时取等号．
∴a2＋2ab＋b2≤×(5a2＋3b2)＝×＝1.
∴a2＋2ab＋b2的最大值为1.
[例4] 已知a＋b＋c＝1.
(1)求S＝2a2＋3b2＋c2的最小值及取得最小值时a，b，c的值；
(2)若2a2＋3b2＋c2＝1，求c的取值范围．
[解] (1)根据柯西不等式，
得1＝a＋b＋c＝·a＋·b＋1·c
≤(2a2＋3b2＋c2)＝ ·，
即 ·≥1，∴S≥，当且仅当a＝，
b＝，c＝时等号成立，
∴当a＝，b＝，c＝时，Smin＝.
(2)由条件可得
根据柯西不等式，
得(a＋b)2≤[(a)2＋(b)2]＝×(2a2＋3b2)，
∴(1－c)2≤·(1－c2)，解得≤c≤1.
∴c的取值范围为.
(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则＋的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选A (a＋b)≥2＝4，∴＋≥.
当且仅当·＝×，
即a＝b＝8时取等号．
2．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为( )
A. B.
C. D．6
解析：选C 由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)(x2＋y2＋z2)×≥(x＋3y＋5z)2×＝62×＝，当且仅当x＝＝时等号成立．
3．已知a，b，c为正数且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为( )
A．4 B．4
C．6 D．6
解析：选C ∵a，b，c为正数．
∴ ＝ ≥a＋b.
同理 ≥b＋c， ≥c＋a，
相加得 (＋＋)≥2(b＋c＋a)＝6，
即＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
4．设a，b，c均大于0，a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为( )
A．0 B．1
C．3 D.
解析：选C 设a≥b≥c＞0，由排序不等式得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，所以ab＋bc＋ca≤3，故选C.
5．已知a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为( )
A．1 B.
C．3 D．4
解析：选D (a＋b＋c)
＝[()2＋()2]
≥2＝22＝4.
当且仅当a＋b＝c时取等号．
6．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4，则3x＋4y的最大值为( )
A．21 B．11
C．18 D．28
解析：选A 根据柯西不等式得[(x－1)2＋(y－2)2][32＋42]≥[3(x－1)＋4(y－2)]2＝(3x＋4y－11)2，
∴(3x＋4y－11)2≤100.
可得3x＋4y≤21，当且仅当＝＝时取等号．
7．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是( )
A. B.
C．2 D.
解析：选B ∵1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2
＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)
≥(＋＋2)2·，
∴(＋＋2)2≤3，当且仅当a＝b＝4c时等式成立，故＋＋2的最大值为.
8．函数f(x)＝＋cos x，则f(x)的最大值是( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A 因为f(x)＝＋cos x，
所以f(x)＝ ＋cos x
≤
＝，当且仅当cos x＝时取等号．
9．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最小值是( )
A. B.
C．3 D.
解析：选B ∵[3x＋2x＋5(－x3)2＋x]≥(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，
即3x＋2x＋5x＋x≥.
10．已知a，b，c∈R＋，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是( )
A．大于零 B．大于等于零
C．小于零 D．小于等于零
解析：选B 设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3，
根据排序不等式，
得a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.
又ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中横线上)
11．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为________．
解析：∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥
2＝18，
∴＋＋≥2，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．
∴＋＋的最小值为2.
答案：2
12．已知A，B，C是三角形三个内角的弧度数，则＋＋的最小值是________．
解析：(A＋B＋C)≥(1＋1＋1)2＝9，而A＋B＋C＝π，故＋＋≥，当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．
答案：
13．设有两组实数：a1，a2，a3，…，an与b1，b2，b3，…，bn，且它们满足：a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，若c1，c2，c3，…，cn是b1，b2，b3，…，bn的任意一个排列，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，反序和与顺序和相等的条件是________．
解析：反序和与顺序和相等，则两组数至少有一组相等．
答案：a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn
14．设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，求＋＋的最大值为________．
解析：∵(a＋2b＋3c)≥2＝(＋＋)2，
∴(＋＋)2≤.
∴＋＋≤.
当且仅当＝＝时取等号．
又a＋2b＋3c＝13，
∴a＝9，b＝，c＝时，
＋＋有最大值.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求实数a的取值范围．
解：由柯西不等式，得：
(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6b2≥(b＋c＋d)2.
由条件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2.
所以实数a的取值范围为[1,2]．
16．(本小题满分12分)求函数y＝＋的最大值．
解：由1－sin x≥0,4sin x－1≥0，
得≤sin x≤1，
则y2＝2
≤(1＋4)
＝，即y≤，
当且仅当4(1－sin x)＝sin x－，即sin x＝时等号成立，所以函数y＝＋的最大值为.
17．(本小题满分12分)设a1，a2，…，an是1,2，…，n的一个排列，求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.
证明：设b1，b2，…，bn－1是a1，a2，…，an－1的一个排列，
且b1则>>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.
利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.
∴原不等式成立．
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝|x－2|－3.
(1)若f(x)<0，求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求g(x)＝3＋4的最大值．
解：(1)因为f(x)<0?|x－2|<3?－3－1(2)由(1)知g(x)＝3＋4.
由柯西不等式得
(32＋42)[()2＋()2]≥
(3＋4)2，
所以g(x)≤＝5，当且仅当＝，即x＝－时，g(x)取得最大值5.
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命题
关注
迁移应用,专项突破!
考凉
高频例析
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考点
考点二
考点三
