高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：10【提高】正弦函数、余弦函数的图象

【提高】正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
1.了解作正弦函数、余弦函数图象的三种方法；
2.掌握三角函数图象的作用，会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象．
【要点梳理】
要点一：正弦函数、余弦函数图象的画法
1．描点法：
按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法．
2．几何法
利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象．
3．五点法
先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．
在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是
要点诠释：
（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点．
（2）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象．
（3）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到．
要点二：正弦曲线、余弦曲线
（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
（2）图象
/
要点诠释：
（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质．
（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如，方程根的个数．
要点三：函数图象的变换
图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到．
【典型例题】
类型一：“五点法”作正、余弦函数的图象
例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．
（1）；（2）．
【思路点拨】（1）先利用五点法作出函数在[0，2π]上的图象，然后作出它关于y轴对称的图象即可．（2）由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可．
【解析】（1）描点、作图
x
0
1
1
其图象如下图所示．
/
（2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．
/
【总结升华】作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了．
举一反三：
【变式1】用五点法作出下列函数的图象．
（1），；
（2），．
【思路点拨】（1）取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点．
【解析】（1）找出五点，列表如下：
x
0
0
1
0
－1
0
y=2－u
2
1
2
3
2
描点作图（如下图）．
/
（2）找出五点，列表如下：
0
x
y=cos u
1
0
－1
0
1
描点作图（如下图）．
/
【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的．
类型二：利用图象变换作出函数的图象
例2．（1）作函数的图象；
（2）作函数的图象．
【思路点拨】（1）要善于利用函数的图象来作及的图象．
（2）函数的定义域为，因此作出函数的图象后，要把（k∈Z）对应的点去掉．
【解析】 （1）将化为，其图象如下图．
/
（2）当，即（k∈Z）时，有，即（，k∈Z）．其图象如下图．
/
【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称．
举一反三：
【变式1】利用图象变换作出下列函数的简图：．
【解析】先作出的图象，然后利用对称作出的图象，最后向上平移1个单位即可，如下图．
/
类型三：利用函数图象解简单的三角不等式
例3．根据正弦曲线求满足的x的范围．
【思路点拨】先在一个周期内求出x的范围，然后加上周期的整数倍．
【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图．
/
观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的．
因为正弦函数的周期是2π，所以满足的x的范围是．
【总结升华】（1）一般地，对于y=sin x，观察其一个周期常常是[0，2π]或；对于y=cos x，观察其一个周期常常是[0，2π]或[－π，π]．
（2）数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的问题形象化、直观化，平时解题时要注意运用．
（3）正、余弦函数的图象有很多重要的应用，其中利用正弦函数的图象求角的范围（即解三角不等式）是基本的应用之一，要注意结合函数的图象特点和正、余弦函数的周期性等进行求解．
举一反三：
【变式1】（2018 河南南阳月考）（1）已知函数y=3cosx，，求单调区间、最值及取得最值条件．
（2）已知，求θ的范围．
【思路点拨】（1）画出y=3cosx，的图象，由图象直接写出答案．
（2）直接根据正弦函数的图象和性质，得到θ的范围．
【解析】（1）画出y=3cosx，的图象，如图所示，
/
由图象可知单调增区间为，单调减区间为（0，π）时，当x=0时，有最大值，最大值为3，当x=π时，有最小值，最小值为－3；
（2）∵，
∴，或，k∈Z，
∴θ的范围为．
类型四：三角函数图象的应用
例4．（1）方程的解的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）（2017 四川广安模拟）已知函数，x∈[0，2π]，作出函数的图象；讨论直线y=k与函数的交点个数，并求此时的k的取值范围．
【解析】（1）作出与的图象，当时，，，当时，，与再无交点．如图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解．
（2）的图象如图，
/
由图象可知：
当k＞0或k＜―3时，直线y=k与函数有0个交点；
当k=―3时，直线y=k与函数有1个交点；
当―3＜k＜―1时，直线y=k与函数有2个交点；
当k=0或k=―1时，直线y=k与函数有3个交点；
当―1＜k＜0时，直线y=k与函数有4个交点．
【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会．
举一反三：
【变式1】画出图象，判断在[0，2π]内使sin x＞cos x成立的x的取值范围．
【解析】用“五点法”作出y=sin x，y=cos x（0≤x≤2π）的简图如图．
由图象可知（1）当或时，sin x=cos x．
（2）当时，sin x＞cos x．
（3）当或时，sin x＜cos x．
故x∈[0，2π]时要使sin x＞cos x，则x的取值范围为．
【巩固练习】
1．函数y=1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是下列图象中的（ ）
/
2．函数y=2+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2017春 福建安溪县期中）使cosx=1－m有意义的m的取值范围为（ ）
A．m≥0 B．0≤m≤2 C．－1＜m＜1 D．m＜－1或m＞1
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
5.在内，使成立的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．设函数，x∈R，对于以下三个结论：
①函数的值域是[－1，1] ②当且仅当（k∈Z）时，取得最大值1 ③当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+（k∈Z）时，．
根据函数的图象判断其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知k＜―4，则函数y=cos2x+k (cos x―1)的最小值是（ ）
A．1 B．―1 C．2k+1 D．―2k+1
8．（2017 长沙模拟）y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ）
A． B．π C．2 D．
9．函数（a≠0）的定义域为________，值域为________．
10．（2017春 福建厦门期中）在R上满足的的取值范围是________．
11．已知，且，则=________．
12．方程的根的个数为________．
13．（2017春 四川乐山月考）作出函数在[－2π，2π]上的图象．
14．（2018 湖南资阳区月考）求满足的x的集合．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】先由y=sin x，x∈[0，2π]的图象，作出y=－sin x，x∈[0，2π]的图象，再画出y=1－sin x，x∈[0，π2]的图象．
2．【答案】A
【解析】在同一坐标系中作y=2+sin x与y=2的图象，再观察交点个数．
3．【答案】B
【解析】∵－1≤cosx≤1，
∴由－1≤1－m≤1，
得0≤m≤2，
故选：B
4．【答案】D
5. 【答案】C
【解析】在同一坐标系中分别作出函数的图象，观察：刚刚开始即时，；到了中间即时，；最后阶段即时，.
6．【答案】C
【解析】作出正弦函数y=sin x，x∈R的图象（如下图），从图中可以看出①②正确，③错误．
/
7．【答案】A
【解析】 y=cos2x+k (cos x―1)=2cos2x+kcos x―(k+1)．令t=cos x（t∈[―1，1]），则y=2t2+kt―(k+1)，对称轴．∵k＜－4，∴，∴函数y=2t2+kt―(k+1)在[―1，1]内为单递减函数．当t=1，即cos x=1时，函数有最小值1．故选A．
8．【答案】A
【解析】y=cos（x+1）的周期是2π，最大值为1，最小值为－1，
∴y=cos（x+1）的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是，
故选A．
9．【答案】 R [－1，1]
【解析】由x∈R，知，反过来，．
10．【答案】，k∈Z
【解析】在一个周期[0，2π]内，由，
得，
则当x∈R时，不等式的解集为，k∈Z，
故答案为：，k∈Z
11．【答案】
【解析】由，可得，∴．
12． 【答案】7
【解析】转化为求函数图象与y=sin x图象的交点个数，借助图形的直观性求解．如答图8，当x≥4π时，，当0＜x＜4π时，，从而x＞0时有3个交点．由对称性知x＜0时，有3个交点，加上x=0，一共有7个交点．
/
13．【解析】函数，
它在[－2π，2π]上的图象如图所示：
/
14．【答案】
【解析】由，可得，k∈Z，
解得 ，k∈Z，
故不等式的解集为．