高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：11【基础】正弦函数、余弦函数的性质

【基础】正弦函数、余弦函数的性质
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与轴的交点等)．
【要点梳理】
要点一：周期函数的定义
函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
要点诠释：
1.定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性质
函数
正弦函数y＝sinx
余弦函数y=cosx
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期
最小正周期
单调区间
k∈Z
增区间
减区间
增区间
减区间/
最值点
k∈Z
最大值点
最小值点
最大值点/
最小值点
/
对称中心
k∈Z
/
对称轴
k∈Z
要点诠释：
（1）正弦函数、余弦函数的值域为，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求的单调递增区间时，应先将变换为再求解，相当于求的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先求定义域．
要点三：正弦型函数和余弦型函数的性质．
函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到：
（1）定义域：
（2）值域：
（3）单调区间：求形如与函数的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间．
（4）奇偶性：正弦型函数和余弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数；对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数．
要点诠释：
判断函数，的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
（5）周期：函数及函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出．
要点诠释：
若，则函数和函数不一定有对称轴和对称中心．
【典型例题】
类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域
例1．求函数的定义域；
【答案】
【解析】 为使函数有意义，需满足2sin2x+cos x－1≥0，即2cos2x―cos x―1≤0，解得．
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．
/
∴定义域为．
【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
举一反三：
【变式1】求函数的定义域
【解析】依题意得2sin x－1＞0，即，∴（k∈Z），
∴函数的定义域为．
例2．求下列函数的值域：
（1）y=3―2sin x
（2），；
（3）．
【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）
【解析】 （1）∵－1≤sin x≤1，∴－2≤2sin x≤2，∴－2≤－2sin x≤2，∴1≤3－2sin x≤5，∴函数的值域为[1，5]．
（2）∵，∴．
∴．∴，
∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]．
（3）∵，
当cos x=－1时，，
∴函数的值域为．
【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
举一反三：
【变式1】 求y=cos2x+4sin x―2的值域．
【解析】y=cos2x+4sin x―2
=―sin2x+4sin x―1
=―(sin x―2)2+3．
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x=―1时，ymin=―6；当sin x=1时，ymax=2．
∴函数的值域为[－6，2]．
类型二：正弦函数、余弦函数的单调性
例3．（2018 浙江温州期末）设函数
（1）若a＞0，求f（x）的单调递增区间；
（2）当时，f（x）的值域为[1，3]，求a，b的值．
【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式可得答案；
（2）由，可得，结合题意可得或，解方程组可得．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）∵a＞0，由可得，
∴f（x）的单调递增区间为；
（2）当时，，
∴，
∵f（x）的值域为[1，3]，
∴，或，
分别可解得或
举一反三：
【变式1】（2017春 河南期中）已知函数
（1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域；
（2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间．
【答案】（1）T=4π，；（2）单调递增区间为：和．
【解析】（1）由题意函数的周期，
∵x∈[0，π]，∴，
∴，
即函数在区间[0，π]上的值域为；
（2）原函数可化为，
原函数的增区间即为的减区间，
令，
解得，k∈Z，
令k=0，可得，
令k=－1，可得，
∵x∈[－2π，2π]，
∴函数的单调递增区间为：和．
类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，然后判断．
【解析】（1）函数定义域为R，且，显然有恒成立．
∴函数为偶函数．
（2）由2sin x－1＞0，即，得函数定义域为（k∈Z），此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．
【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证是否等于或，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
举一反三：
【变式】关于x的函数=sin(x+)有以下命题：
①对任意的，都是非奇非偶函数；
②不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使是奇函数；
④对任意的，都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立.
【思路点拨】
当=2kπ，k∈Z时，=sinx是奇函数.
当=2(k+1)π，k∈Z时仍是奇函数.
当=2kπ+，k∈Z时，=cosx，
当=2kπ-，k∈Z时，=-cosx，都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)
类型四：正弦函数、余弦函数的对称性
例5．（2017春 湖南益阳月考）已知函数．
（1）求函数的最值及相应的x值集合；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．
【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x值集合；
（2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；
（3）根据三角函数的对称性即可求函数f（x）的图象的对称轴与对称中心．
【解析】（1）当，即，k∈Z，
即，k∈Z，此时函数取得最大值为2；
故f（x）的最大值为2，使函数取得最大值的x的集合为；
（2）由，得，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．
由，得，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
（3）由，得，k∈Z．
即函数f（x）的图象的对称轴为，k∈Z．
由，得，k∈Z，即对称中心为，k∈Z．
【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．
（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．
举一反三：
【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心
（1）；（2）.
【解析】（1）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为．
（2）令，则的对称轴方程是（k∈Z），即（k∈Z），解得（k∈Z）．
∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．
同理，对称中心的横坐标为，，即对称中心为（k∈Z）．
类型五：正弦函数、余弦函数的周期
例6．求下列函数的周期：
（1）；（2）；（3）；
（4）
【解析】（1）①令，而，即．
．∴T=2π．
②令z=2x，则，
即，∴T=π．
③令，则，
∴T=4π
④∵原式，
∴．
举一反三：
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）是 （2）不是 （3）
类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用
例7．已知函数．
（1）求其定义域和值域；
（2）判断奇偶性；
（3）判断周期性，若是周期函数，求周期；
（4）写出单调区间．
【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将看成是由，u=|t|，t=sin x复合而成．
【解析】（1）由，得，∴x≠kπ，k∈Z．
∴函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．
∵，∴，
∴函数的值域为{y|y≥0}．
（2）∵，
∴函数是偶函数．
（3）∵，
∴函数是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证）
（4）设t=|sin x|，
当时，sin x＞0，t=|sin x|为增函数；
当时，sin x＜0，t=|sin x|为减函数．
又∵函数为减函数，
∴函数的单调增区间为，k∈Z；单调减区间为，k∈Z．
举一反三：
【变式】已知函数．
（1）画出函数的简图；
（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
（3）指出这个函数的单调增区间．
【解析】 （1）
．
函数图象如右图所示．
（2）由图象知函数的周期是2π．
（3）由图象知函数的单调区间为（k∈Z）
【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内函数值才发生周期性变化．
【巩固练习】
1．下列函数是以π为周期的函数的是（ ）
A． B．y=cos2x C．y=1+sin3x D．y=cos3x
2．下列函数中是偶函数的是（ ）
A．y=sin2x B．y=－sin x C．y=sin |x| D．y=sin x+1
3．已知函数的图象关于直线对称，则可能是( )
A． B． C． D．
4．设函数，x∈R，则是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
5．下列区间中，使函数y=sin x为增函数的是（ ）
A．[0，π] B． C． D．[π，2π]
6．为得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）．
A． 向左平移个单位 B． 向右平移个单位
C． 向左平移个单位 D． 向右平移个单位
7．已知a∈R，函数，x∈R，为奇函数，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
8．（2017春 广东揭阳月考）函数y=2sin x在区间的值域是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的最小正周期为，其中，则________．
10．（2017春 湖南娄底期末）函数的单调递减区间为________．
11．（2018 黑龙江期末）已知函数的最大值为4，则实数a的值为________．
12．（2018 宁夏金凤区月考）求函数定义域是多少？
13．求函数，上的值域．
14．（2017春 湖南株洲月考）已知定义在上的函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若方程只有一个解，求实数a的取值范围．
15．设关于的函数的最小值为，试确定满足的的值，并对此时的值求的最大值．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】y=sinωx与y=cosωx的周期，∴ω=2．
2．【答案】C
【解析】 当时，成立．
3．【答案】C
【解析】对称轴过最高点或最低点，
．
4．【答案】B
【解析】，∴T=π，偶函数．
5．【答案】C
【解析】y=sin x在（k∈Z）的每一个区间上递增．
6．【答案】D
7．【答案】A
【解析】由可知a=0．
8．【答案】B
【解析】∵，
∴当时，函数y=2sin x取得最大值，此时最大值为2，
当时，函数y=2sin x取得最小值，此时最小值为，
∵，
∴，
即函数的值域为，
故选：B．
9．【答案】10
【解析】由．
10．【答案】．
【解析】有意义，
只需满足：，
即，
要求单调递减区间只需令：，
解得：．
所以递减区间为：．
故答案为：．
11．【答案】2或―1．
【解析】∵，
∴，
∴，
当a＞0时，，
∵ymax=4，
∴，
∴a=2；
当a＜0时，
同理可得3－a=4，
∴a=―1．
综上所述，实数a的值为2或―1．
故答案为：2或―1．
12．【答案】
【解析】若保证函数有意义则保证：
即，解得（k∈Z）
∴函数定义域为．
13．【答案】
【解析】=．
14．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）定义在上的函数，
它的最小正周期为，
令，k∈Z，求得，
可得函数的增区间为，k∈Z．
再结合，可得函数的增区间为．
/
（2）由方程f（x）=a只有一个解，
可得函数f（x）的图象和直线y=a在上只有一个交点，
，
如图所示：可得或a=1，
即实数a的取值范围为．
15．【解析】令，则，对称轴，
当，即时，是函数的递增区间，；
当，即时，是函数的递减区间，
得，与矛盾；
当，即时，
得或，，此时．