高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：13【基础】正切函数的性质与图象

【基础】正切函数的性质与图象
【学习目标】
1.能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质；
2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小；
3．理解正切函数的对称性．
【要点梳理】
要点一：正切函数的图象
正切函数，且的图象，称“正切曲线”
（1）复习单位圆中的正切线： AT=tanα
（2）利用正切线画函数y= tanx，x∈的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆
②把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线；
③把横坐标从到也分成8份
④把正切线的端点移到对应的位置；
⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象.
要点二：正切函数的性质
1．定义域：，
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．
要点诠释：
观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴/
5．单调性：在开区间内，函数单调递增/
要点诠释：
正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．
要点三：正切函数型的性质
1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
值域：
3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
要点诠释：
若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间．
4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
5．周期：最小正周期为．
【典型例题】
类型一：正切函数的定义域
例1．求下列函数的定义域．
（1）；（2）．
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0，正切函数、余切函数自身有意义等．
【答案】（1）（k∈Z）
（2）（k∈Z）
【解析】 （1）要使有意义，必须满足
，即，
∴函数的定义域为（k∈Z）．
（2）要使有意义，必须满足，
∴函数的定义域为（k∈Z）．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式1】（2018 宁夏期中）已知函数
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）的定义域和单调区间．
（3）求方程的解集．
【思路点拨】由条件利用正切函数的周期性、定义域、单调性，求得函数的周期、定义域的单调区间，解三角方程，求得方程的解集．
【答案】（1）2；（2）定义域为：；单调增区间为，k∈Z；（3）{x｜x=2k，k∈Z}．
【解析】（1）对于函数，它的周期等于．
（2）令，求得，k∈Z，故函数的定义域为：
；
令，求得，
可得函数的单调增区间为，k∈Z．
（3）由方程，可得，
求得x=2k，故方程的解集为{x｜x=2k，k∈Z}．
类型二：正切函数的图象
例2．函数在一个周期内的图象是下图中的（ ）
/
【答案】A
【解析】该题目借助于函数的图象考查了函数的周期、单调性、图象分布的规律等知识，可从函数的周期与坐标轴的交点两个方面确定答案．
由函数周期，排除选项B、D．将代入函数式中，．故函数图象与x轴的一个交点为．故选A．
【总结升华】借助于函数周期公式及特殊点进行排除、验证是做选择题的有效方法．
举一反三：
【变式1】（2018秋 安徽舒城县期末）如图所示，函数且的图象是（ ）
/
【答案】C
【解析】∵，
∴函数且的图象是C．
故选C．
类型三：正切函数的周期性
例3．求下列函数的周期
（1）y=3tan(2x+) （2）y=7tan(－)
【解析】（1）f(x)= 3tan(2x+)=3tan(2x++π)= 3tan[2（x+）+]=f(x+). ∴周期为.
（2）f(x)= y=7tan(－)=7tan(－+π)=7 tan[（x+3π）－]=f(x+3π)
∴周期为3π.
举一反三：
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）是（2）是（3）不是
【解析】
（1）
函数是周期函数，最小正周期是．
（2）
是周期函数，最小正周期是．
（3）由图象知，函数不是周期函数
类型四：正切函数的单调性
例4．（2018秋 新疆阿勒泰市月考）已知函数．
（1）求f（x）的定义域与单调区间
（2）比较与的大小．
【思路点拨】（1）由题意利用正切函数的定义域和单调性，求得f（x）的定义域与单调区间．
（2）根据函数的解析式，求得与的值，可得与的大小．
【答案】（1）定义域为，单调增区间为；（2）
【解析】（1）由函数，可得，
求得，k∈Z，故函数的定义域为．
令，求得，
故函数的单调增区间为．
（2），
，
∴．
【总结升华】比较三角函数值大小时，①异名函数化为同名函数，②利用诱导公式化为同一单调区间，③利用函数的单调性比较大小．
举一反三：
【变式1】求函数的单调区间．
【解析】，
由．
得，k∈Z．
∴函数的单调递减区间为，k∈Z．
【变式2】求函数的单调增区间.
【答案】
【巩固练习】
1．函数的定义域（ ）.
A． B．
C． D．
2．函数y=5tan(2x+1)的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
3．在定义域上的单调性为（ ）.
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个开区间上为增函数
D．在每一个开区间上为增函数
4．当时，函数y=tan |x|的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．不是对称图形
5．下列各式正确的是（ ）.
A． B．
C． D．大小关系不确定
6．函数（且x≠0）的值域是（ ）
A．[―1，1] B．（―∞，－1]∪[1，+∞） C．（－∞，1] D．[－1，+∞）
7．（2017 广东惠州月考）直线y＝a（a为常数）与正切曲线y＝tan x相交的相邻两点间的距离是(　　)
A． B． C． D．与a值有关
8．（2018秋 重庆期中）对于函数f (x)=tan 2x，下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）在上是递增的
B．f（x）在定义域上单调递增
C．f（x）的最小正周期为π
D．f（x）的所有对称中心为
9．函数的最小正周期是________。
10．已知，那么所有可能的值是 。
11. 函数 y=sinx 与 y=tanx 的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 ．
12．（2018春 山西小店区期中）函数的单调递减区间为________．
13. 比较下列各数大小：
（1）tan2与tan9；
（2）tan1与cot4.
14．已知函数．
（1）求 f（x）的定义域、值域；
（2）讨论f（x）的周期性，奇偶性和单调性．
15．（2017 四川泸州月考）求函数，的值域．
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】要使函数有意义，须，解之得。
2．【答案】B
【解析】正切型函数的最小正周期为。
3．【答案】C
【解析】由图象可知C正确。
4．【答案】C
【解析】y=tan|x|为偶函数，故图象关于y轴对称。
5．【答案】B
【解析】，，又
所以，故B成立。
6．【答案】B
【解析】当时，，∴
7．【答案】C
【解析】直线y＝a（a为常数）与正切曲线y＝tan x相交，知相邻两点间的距离就是此正切曲线的最小正周期，因此可得相交的相邻两点间的距离是．
8．【答案】D
【解析】时，函数没有意义，A不正确；
正切函数在定义域上不是单调函数，B不正确；
函数f（x）=tan 2x的周期为：，所以C不正确；
是函数的对称中心，所以D正确．
故选：D．
9．【答案】3π
【解析】这里，。
10．【答案】
11．【答案】3
【解析】因为，解得，结合图象知有3个交点。
12．【答案】，k∈Z
【解析】，
令，k∈Z，k∈Z
又的单调递减区间为的递增区间，
故答案是，k∈Z
13．【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.
（1）tan9=tan（－2π+9），
因为<2<－2π+9<π，
而y=tanx在（，π）内是增函数，
所以tan2即tan2（2）cot4=tan（－4）=tan（－4），
0<－4<1<，
而y=tanx在（0，）内是增函数，
所以tan（－4）即cot414．【解析】（1）由，k∈Z，解得，k∈Z．
∴定义域为，值域为R．
（2）f（x）为周期函数，周期．
再根据，
∴f (－x)≠f (x)，且f (－x)≠－f (x)，
∴f（x）为非奇非偶函数．
由，k∈Z，解得，k∈Z，
故函数的增区间为，k∈Z．
15．【解析】设tan x＝t，∵，∴，
∴
∴当t＝1，即时，ymin＝8；
当，即时，
∴函数的值域为．