高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：14【提高】正切函数的性质与图象

【提高】正切函数的性质与图象
【学习目标】
1.能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质；
2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小；
3．理解正切函数的对称性．
【要点梳理】
要点一：正切函数的图象
正切函数，且的图象，称“正切曲线”
（1）复习单位圆中的正切线： AT=tanα
（2）利用正切线画函数y= tanx，x∈的图象
步骤是：①作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆
②把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线；
③把横坐标从到也分成8份
④把正切线的端点移到对应的位置；
⑤把上面的点连成光滑的曲线．
由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象.
要点二：正切函数的性质
1．定义域：，
2．值域：R
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线．
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．
要点诠释：
观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴/
5．单调性：在开区间内，函数单调递增/
要点诠释：
正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．
要点三：正切函数型的性质
1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
值域：
3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
要点诠释：
若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间．
4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性．
5．周期：最小正周期为．
【典型例题】
类型一：正切函数的定义域
例1．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0等．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由题意得，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图．
/
由图可得函数定义域集合为．
（2）由 得 ．
则有 ．
所以函数定义域为．
【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．
举一反三：
【变式1】（2018 甘肃甘谷县期中）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），即，
故有x的范围是．
（2），即，故有x的范围是．
类型二：正切函数的图象
例2．（1）作出函数y=tan x+2，的简图；
（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．
①y=tan |x|；②y=|tan x|
【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示．
（2）①∵
故当x≥0时，函数y=tan |x|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象；
当x＜0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如下图所示．
/
观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．
②∵，类似①可作出其图象，如下图所示．
/
观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数．
【总结升华】 第（1）也可以用三点二线法作图．第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已知函数图象间的关系．
如果由的图象得到及的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即我们只需作出（x≥0）的图象，令其关于y轴对称便可以得到（x≤0）的图象；同理只要作出的图象，令图象不动下翻上便可得到的图象．
举一反三：
【变式1】函数在区间内的图象大致是（ ）
/
【答案】D
类型三：正切函数的周期性
例3．判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）是（2）是（3）不是（4）是
【解析】
（1）
函数是周期函数，最小正周期是．
（2）
是周期函数，最小正周期是．
（3）由图象知，函数不是周期函数
（4）是周期函数，最小正周期是．
类型四：正切函数的单调性
例4．（2017春 河北邢台月考）设函数．
（1）求函数的定义域、周期和单调区间
（2）求不等式的解集．
【思路点拨】（1）由条件利用正切函数的定义域、周期性和单调性，求得函数的定义域、周期和单调区间．
（2）不等式即，可得，由此求得x的范围，可得结论．
【答案】（1）定义域为，T=2π，函数的增区间为，k∈Z；（2）不等式的解集为，k∈Z
【解析】（1）根据函数，可得，k∈Z，
求得，故函数的定义域为．
它的周期为．
令，k∈Z，求得，
故函数的增区间为，k∈Z．
（2）求不等式，即，∴，
求得，故不等式的解集为，k∈Z．
【总结升华】（1）对于形如（，为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切函数的性质为基础，运用整体思想求解．若＜0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解．
（2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较大小．
举一反三：
【变式1】求函数的单调增区间.
【答案】
【变式2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.
【解析】函数在区间单调递减
，且，即
，解得：
类型五：正切函数性质的综合应用
例5．（1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；
（2）求函数，的值域；
（3）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点对称，求的解析式．
【解析】（1）由，得，
∴所求定义域为．
值域为R，周期，是非奇非偶函数．
在区间（k∈Z）上是增函数．
（2）设tan x=t．
∵，∴．
∴y=―tan2x+10tan x―1=―t2+10t―1=―(t―5)2+24．
∴当t=1，即时，ymin=8，
当，即时，．
∴函数的值域为．
（3）由题意可知，函数的最小正周期，即．
∵＞0，∴=2．从而．
∵函数的图象关于点对称，
∴（k∈Z），即（k∈Z）．
∵，∴只能取．
故．
【总结升华】第（1）题是用整体的思想，将函数作整体代换，转化为对函数y=tan x的性质的研究；
第（2）题中换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，特别注意换元后立即明确新元的范围；
第（3）题，，（A＞0，ω＞0）的图象及性质可与y=tan x的图象和性质加以类比得到．
举一反三：
【变式】（2017春 湖北恩施州期末）函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】∵函数f（x）=tanωx（ω＞0）图象相邻两个零点的距离为，
∴，
∴ω=2，
∴f（x）=tan2x；
∴．
故选：C．
【巩固练习】
1．若,则（ ）.
A． B．
C． D．
2．函数的定义域为（ ）.
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
3．（2017 安徽月考）函数y＝lg(1＋tan x)的定义域是(　　)
A． B．
C． D．
4．下列函数不等式中正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．直线y=3与函数y=tanωx（ω＞0）的图象相交，则相邻两交点的距离是（ ）
A．π B． C． D．
6．（2017春 山东高密市月考）函数的其中一个对称中心为（ ）
A． B． C．（0，0） D．
7．已知，，，，则a、b、c、d的大小顺序为（ ）
A．d＜b＜a＜c B．d＜a＜b＜c C．d＜a＜c＜b D．a＜c＜b＜d
8．函数的单调区间为（ ）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
9．（2017春 甘肃张掖月考）不等式的解集为________．
10．函数的最大值为________．
11.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数的图象恰好经过各格点，则称该函数为阶格点函数．下列函数中是一阶格点函数的是 ．
① ② ③ ④
12．关于x的函数有以下说法：
（1）对任意的，既不是奇函数也不是偶函数；
（2）不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（3）存在，使是奇函数；
（4）对任意的，都不是偶函数．
其中不正确的说法的序号是________，因为当=________，该说法不成立．
13．（2018 湖南益阳月考）已知函数．
（1）求f（x）的定义域与单调区间
（2）比较与的大小．
14．（2017春 山东文登市月考）是否存在实数a，且a∈Z，使得函数在上是单调递增的？若存在，求出a的一个值，若不存在，请说明理由．
15．已知函数，且对于定义域内任何实数x，都有，试比较与的大小．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】由图象可知C正确．
2．【答案】A
【解析】要使式子有意义，则正切型函数本身有意义，且分母不为零，知A正确．
3．【答案】C
【解析】由题意得1＋tan x＞0，即tan x＞－1，
由正切函数的图象得 ．
4．【答案】D
【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.
，，又
所以，故D成立．
5．【答案】C
【解析】直线y=3与y=tanωx图象的相邻交点的距离为y=tanωx的最小正周期，∵，故选C．
6．【答案】A
【解析】对于函数，令，求得，k∈Z，
故函数的图象的对称中心为，k∈Z，
故选：A．
7．【答案】C
【解析】∵，不妨取，于是，，，．
又∵，从而．
∴d＜a＜c＜b．
8．【答案】D
【解析】先作出的图象，再将x轴下方的图象对称对x轴上方，即可得到的图象，如图．由图可知，的单调递增区间是，k∈Z；单调递减区间是，k∈Z．对比选项可得D符合要求．
9．【答案】，k∈Z
【解析】∵，即
∴当时，
又∵正切函数y=tan x的周期T=π
∴的解集为，k∈Z
即不等式的解集为，k∈Z
故答案为：，k∈Z
10．【答案】2
【解析】∵，∴当tan x=－1时，有最大值2．
11．【答案】①③
【解析】以函数为例，最好先从纵坐标开始考虑，可能成为格点的点的横坐标为，其中，只有当时，为整数，所以，此函数为一阶格点函数，其他函数可用同样方法分析．
12．【答案】（1） π（或kπ，k∈Z）
【解析】 对于（1），显然当，k∈Z时，，此时函数为奇函数，故（1）错；（3）正确．
（2）也正确，因为定义在R上的函数如果既是奇函数，又是偶函数，那么这个函数恒为零，显然对于任意的，都不可能恒为零，从而不存在，使既是奇函数，又是偶函数；
（4）是正确的，不存在这样的，使是偶函数．
因此本题不正确的说法的序号是（1），因为当（或kπ，k∈Z）时，该说法不成立．
13．【答案】（1）定义域为；（2）
【解析】（1）由函数，可得，
求得，k∈Z，故函数的定义域为．
令，求得，
故函数的单调增区间为．
（2）
∴
14．【解析】假设存在实数a，且a∈Z，使得函数在上是单调递增的，
由余切函数的单调性可知：y=cot x在每一个开区间（kπ，（k+1）π），k∈Z上都是减函数，
则a＜0，由，
由，k∈Z，解得，
再由假设可得，，
解得，当k=0时，－2≤a≤―2，则a=―2．
所以存在实数a且a=―2，使得函数在上单调递增．
15．【解析】∵，∴．
两式相加，得，即，
∴，
上式对定义域内任何实数x都成立，故是周期T=6的周期函数．
∵，
∴．
．
∵，
∴．