高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：16【提高】函数y=Asin（ωx+φ）的图像

【提高】函数y=Asin（ωx+φ）的图像
【学习目标】
1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；
2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念。
【要点梳理】
要点一：用五点法作函数的图象
用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：用“五点法”作/图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.
要点二：函数中有关概念
表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.
要点三：由得图象通过变换得到的图象
1.振幅变换：
(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02.周期变换：
函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.
3.相位变换：
函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).
要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：
(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；
(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；
(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0【典型例题】
类型一：三角函数的图象
例1（2017 佛山一模）已知函数f（x）=sin（ωx﹣/）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．
（1）求f（/）．
（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣/，/]上的图象，并根据图象写出其在（﹣/，/）上的单调递减区间．
/
【思路点拨】（1）依题意先解得ω=2，可得解析式f（x）=sin（2x﹣/），从而可求f（/）的值．
（2）先求范围2x﹣/∈[﹣/，/]，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在（﹣/，/）上的单调递减区间．
【解析】（1）依题意得/=π，解得ω=2，
∴f（x）=sin（2x﹣/），
∴f（/）=sin（/）=sin/cos/﹣cos/sin/=/=/
（2）∵x∈[﹣/，/]
∴2x﹣/∈[﹣/，/]，
列表如下：
2x﹣/
﹣/
﹣π
﹣/
0
/
/
x
﹣/
﹣/
﹣/
/
/
/
f（x）
/
0
﹣1
0
1
/
画出函数y=f（x）在区间[﹣/，/]上的图象如下：
/
由图象可知函数y=f（x）在（﹣/，/）上的单调递减区间为（﹣/，﹣/），（/，/）
【总结升华】“五点法”作图时，五点的确定应先令分别为0、、、、，解出x，从而确定这五点。
例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图.
【解析】(五点法)由，得，列表：
x
2x+
0
3sin(2x+)
0
3
0
-3
0
描点画图：
/
这种曲线也可由图象变换得到：
/
【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).
先将y=sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.
先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得的图象.
举一反三：
【变式1】（2017 湖北高考）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜/）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ
0
/
π
/
2π
x
/
/
Asin（ωx+φ）
0
5
﹣5
0
（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（/，0），求θ的最小值．
【解析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣/．数据补全如下表：
ωx+φ
0
/
π
/
2π
x
/
/
/
/
/
Asin（ωx+φ）
0
5
0
﹣5
0
且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣/）．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣/），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣/）．
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ﹣/=kπ，解得x=/，k∈Z．
由于函数y=g（x）的图象关于点（/，0）成中心对称，令/=/，
解得θ=/，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值/．
【变式2】如何由y=sin x的图象变化到的图象？
【解析】
解法一：
。
解法二：
。
【总结升华】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系。
类型二：三角函数的解析式
例3.如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式.
【思路点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出，再由题意知，点(，5)在此函数的图象上，由此求出.
【解析】 A=5，
由点(，5)在此函数的图象上，则
法一：(单调性法)
∵点在递减的那段曲线上
∴
由得
∴
∵.
法二：(最值点法)
将最高点坐标(，5)代入得
∴
∴取.
法三：(起始点法)
函数/的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象求得，∴
法四：(平移法)
由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为，即.
【总结升华】错解：/
将代入该式得：，
由，得
∵或
∴或.
代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图形的上升、下降趋势变化求出.
举一反三：
【变式1】函数的图象如下图，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析。
【思路点拨】 本题主要考查正弦型函数解析式的求法及识图能力，由图知A=3，，则，可由点或或确定。
【解析】
方法一：（逐一定参法）
由图象知，振幅A=3，又，
∴。由点，令，得。
∴。
方法二：（待定系数法）
由图象知A=3，又图过点和，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有，解得ω=2，。
∴。
【总结升华】如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。
【变式2】（1）已知函数的图象如下图①所示，求解析式：
（2）函数的图象如下图②所示，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析式。
/
【解析】 （1）∵T=(2+1)×4=12，∴。
∵C点为第四点，∴，∴。
∵，∴。
又∵点在图象上，∴。
∴A=2，∴。
（2）由题图知，振幅A=3，又，
∴。
由点，令，得。
∴。
【总结升华】（1）若已知“五点”之外的某点坐标，可将其代入方程中求出，但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间，则；若在第二、三两点之间，则；若在第三、四两点之间，则或；若第四、五两点之间，则或。
（2）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。
类型三：函数的性质的综合运用
例4．函数的图象如图所示，试依图推出：
（1）的最小正周期；
（2）时x的取值集合；
（3）使的x的取值集合；
（4）的单调递增区间和递减区间；
（5）使取最小值时的x的取值集合；
（6）图象的对称轴方程；
（7）图象的对称中心；
（8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？
【思路点拨】先由图象得到函数的最小正周期，后面的问题可迎刃而解。
【解析】 （1）。
（2）在一个周期中，使的x是，π，。
故所求的x的取值集合是。
（3）使的x的取值集合是。
（4）的单调递增区间是；
单调递减区间是。
（5）取最小值时x的取值集合是。
（6）对称轴方程是。
（7）对称中心是。
（8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。
【总结升华】 较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力，为数形结合解题提供了可能，在利用的性质解题时，一定要与y=sin x的性质结合，更离不开对定义的理解和掌握。
举一反三：
【变式1】已知函数，，其中，。若的最小正周期为6π，且当时，取得最大值，则（ ）
A．在区间[―2π，0]上是增函数
B．在区间[―3π，―π]上是增函数
C．在区间[3π，5π]上是减函数
D．在区间[4π，6π]上是减函数
【答案】A
【变式2】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是。
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的递增区间。
【解析】（1）依题意得：，周期,
,故，又图象过点，
，解得：，即
。
（2）由
得：
故函数的递增区间为：。
【巩固练习】
1．（2018 吴忠模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜/）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　）
/
A．向左平移/个单位长度 B．向右平移/个单位长度
C．向左平移/个单位长度 D．向右平移/个单位长度
2．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝的图象(　　)
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
3．要得到y＝的图象，只需将y＝的图象(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
4．函数的图象经 平移后所得的图象关于点中心对称．
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．函数的最小值为―2，其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数f(x)＝2sin，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为(　　)
A．{x|x＝4kπ－π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋，k∈Z}
7．已知a是实数，则函数的图象不可能是（ ）
/
8．若函数对于任意的都有成立，则的最小值为（ ）
A． 1 B． 2 C． D．4
9．函数y=3sin(2x+)（0＜＜π）为偶函数，则=________．
10．（2018 眉山模拟）已知函数f（x）=sin（2x+/），将y=f（x）的图象向右平移/个单位长度后，得到函数g（x）的图象，若动直线x=t与函数y=f（x）和y=g（x）的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为　　．
11．函数（A，ω，为常数，A＞0，ω＞0）在区间[－π，0]上的图象如下图所示，则ω=________．
12．函数的部分图象如图所示，则
．
/
13．已知函数（A＞0，ω＞0）的图象过点，图象与P点最近的一个最高点坐标为，
（1）求函数解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）求使y≤0时，x的取值范围．
14．（2018 德阳模拟）已知A、B、C、D是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜/）一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A（﹣/，0），B为y轴的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，/在x轴方向上的投影为/．
求函数f（x）的解析式及单调递减区间；
/
15．已知函数，的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】由图象可知A=1，T=π，∴ω=/=2
∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（/）=sin（/+φ）=﹣1
∴/+φ=/+2kπ，φ=/（k∈Z）
∵|φ|/，∴φ=/
∴f（x）=sin（2x+/）=sin（/﹣2x﹣/）=cos（/﹣2x）=cos（2x﹣/）
∴将函数f（x）向左平移/可得到cos[2（x+/）﹣/]=cos2x=y故选C．
2．【答案】　A
【解析】y＝sinx＝cos＝cos
＝，
∴须将y＝cos的图象向右平移个单位．
3．【答案】B
【解析】y＝sin＝sin
4．【答案】D
【解析】设平移后得．当时，y=0，∴，∴，k=0，，故向右平移个单位．
5．【答案】B
【解析】由已知得A=2，T=2×π=6π，又，所以，故，又图象过点（0，1），所以，，因为，所以，所以，选B．
6．【答案】A
7． 【答案】D
【解析】当a=0，图象如C；当0＜a＜1，图象如A；当1＜a＜2，图象如B；在D中，就振幅看a＞1，就周期看0＜a＜1．
8．【答案】B
【解析】“对于任意的都有成立”的含义是是函数的最小值，是函数的最大值，是使得函数取得最小值的一个自变量，是使得函数取得最大值的一个自变量，那么，的最小值应为半个周期．因为函数的最小正周期为4，所以的最小值为2．
9．【答案】
【解析】∵，∴当时，为偶函数．
10.【答案】/
【解析】f（x）=sin（2x+/），g（x）=sin[2（x﹣/）+/]=sin（2x﹣/），
所以|MN|=|f（x）﹣g（x）|
=|sin（2x+/）﹣sin（2x﹣/）|，
=/|cos2x|，
则cos2x=±1时，
|MN|的最大值为：/．
11．【答案】3
【解析】 ，∴．
12．【答案】
【解析】根据函数图象可得，所以，计算得
所以，且函数周期为8．
所以
13．【解析】（1），∴T=π，A=5，∴，由，∴．
∴．
（2）∵，
∴，．
∴增区间为．
（3）∵，∴．
∴．
14.【解析】（1）∵如图所示，A（﹣/，0），B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，/在x轴上的投影为/，
∴根据对称性得出：最大值点的横坐标为/，
∴/=/+/，T=π，
∵T=/，
∴ω=2，
∵A（﹣/，0）在函数图象上，
∴sin（﹣/+φ）=0，解得：﹣/+φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+/，k∈z，
∴φ=/，故可得函数f（x）的解析式为：y=sin（2x+/）．
∴由2kπ+/≤2x+/≤2kπ+/，k∈Z即可解得单调递减区间为：[kπ/，k/]，k∈Z．
15．【解析】由，得，因为，所以
又的图象关于点对称，所以，即，
结合，可得，
当时，在上是减函数；
当时，在上是减函数；
当时，在上不是单调函数；
所以，综上得．