必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定 同步学案

高一数学 必修2 §2.3.1 直线与平面垂直的判定
班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿
学习目标
1. 理解直线与平面垂直的定义； 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；
学习过程
一、课前准备【考试重点】
1、线线平行线面平行 2、线面平行面面平行
图形语言： 符号语言： 图形语言： 符号语言：
3、线面平行线线平行 4、面面平行线线平行
图形语言： 符号语言： 图形语言： 符号语言：
二、新课导学
※ 探索新知
探究1：直线和平面垂直的概念
问题1：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？
新知1：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，
就说直线与平面互相垂直，记做.
叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.

反思1：如果直线和平面垂直，则该直线与此平面内的任一直线＿＿＿＿＿【解题中可以直接应用】
探究2：直线与平面垂直的判定定理
问题2：如图10-2，将一块三角形纸片沿折痕折起，
将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).
观察折痕与桌面的位置关系.
如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？
结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如图所示.

新知2：直线和平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
图形语言： 符号语言：
探究3：直线与平面所成的角
新知3：如图11-1，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的斜线，
和平面的交点叫斜足；
，叫做斜线在平面上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角.
反思3：
（1）直线与平面的特殊位置：
直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是角.
（2）线面角：直线与平面所成的角的范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
※ 典型例题
例1【自学课本例1】如图，已知∥，．
求证：.
练习1 如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.【来源：21·世纪·教育·网】
例2 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，求
（1）直线和平面所成的角；
（2）直线和平面所成的角．
练习2 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证： (1) CD⊥PD； (2) EF⊥平面PCD．
（3）若，，求直线与平面所成角的正弦值
三、总结提升
※ 学习小结
求直线与平面所成的角关键是作出斜线上一点到平面的垂线，找到这点的射影即垂足的位置.确定点的射影位置的方法有：
斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上；
一个点到一个角的两边距离相等，则这个点的射影在这个角的角平分线上；
③ 若两个面垂直，则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上.
当堂检测
1、若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线有　　　条.
2、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中不正确的是（ ）
A、若m∥α，α∩β＝n，则m∥n B、若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C、若m⊥α，m⊥β，则α∥β D、若m⊥α，m?β，则α⊥β
3、直线和平面内两条直线都垂直，则与平面的位置关系是（ ）.
A、垂直 B、平行 C、相交但不垂直 D、都有可能
4、已知直线和平面，下列错误的是（ ）.
A、 B、
C、∥或 D、∥
5、m、n是空间两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：
① m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n； ② m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；
③ m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β； ④ m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.
其中，所有真命题的编号是　　　　.
6、如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．求证：（1）平面； （2）； （3）AE⊥PD.
课后作业
基础训练题
1．下列命题中，正确的有(　　)
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．
②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．
③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．
A．2个 B．3个　　C．4个 D．5个
2．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于(　　)
A．40° B．50° C．90° D．150°
3．给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．
其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
4．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)21cnjy.com
A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
5．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是(　　)
A．m⊥b，m⊥c，b?α，c?α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
6．下列说法中正确的个数是(　　)
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；[来源:21世纪教育网]
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2 C．3 D．1
7．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)21cnjy.com
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
8．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.21·世纪*教育网
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．21教育
求证：BC′⊥平面AC′D；


10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD所成的角．21世纪教育网2-1-c-n-j-y
11．如图在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC的中点．www-2-1-cnjy-co
(1)求证：PM⊥平面ABC；
(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．
能力提高题
12．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(　　)【出处：21教育名师】
A．30° B．45°
C．60° D．90°
13．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________.
14．如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
高一数学 必修2 §2.3.1 直线与平面垂直的判定参考答案
1、[答案]　C
[解析]　②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．
2、[答案]　B
[解析]　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.
3、[答案]　C
[解析]　①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C.
4、[答案]　D
[解析]　设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，
又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，
所以△PAD为直角三角形．
∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，
∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.
5、[答案] D
6、[答案] B.
[解析]对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的，③④是正确的．
7、[答案] A.
[解析]原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，所以AH⊥△EFH所在平面．
8、[答案]1321
[解析] 如图，∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∴CD＝5.在Rt△ECD中，EC＝12，
∴ED＝＝13
9、[解析]　证明：∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，
∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA.
又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，
∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′.
又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D.
∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D.
10、[答案] 45°.
[解析] 如图，连接AC，因为PA⊥平面ABCD，则AC是PC在平面ABCD上的射影．
所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．
在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝＝ ＝5.
即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.
11、[解析]　(1)证明：∵PA＝PC，M为AC的中点，
∴PM⊥AC．①
又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AM＝MC＝MB＝AC＝5.
在△PMB中，PB＝13，MB＝5.
PM＝＝＝12.
∴PB2＝MB2＋PM2，
∴PM⊥MB．②
由①②可知PM⊥平面ABC．
(2)解：∵PM⊥平面ABC，
∴MB为BP在平面ABC内的射影，
∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角．
在Rt△PMB中tan∠PBM＝＝.
12、[答案]　C
[解析]　如图，取BC的中点E，连接AE，则AE⊥平面BCC1B1.
故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．
设各棱长为a，则AE＝a，DE＝a.
∴tan∠ADE＝.
∴∠ADE＝60°.
13、[答案] 　
[分析]　　作出PA与平面ABC所成的角，再求解即可．
[解析]　设三棱柱的高为h，则×()2×h＝，解得h＝.设三棱柱中底面ABC的中心为Q，则PQ＝，AQ＝××＝1.在Rt△APQ中，∠PAQ为直线PA与平面ABC所成的角，且tan∠PAQ＝，所以∠PAQ＝.
14、[解析] 证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N为PC的中点，E为PD的中点，
∴NE∥CD且NE＝CD，
而AM∥CD，
且AM＝AB＝CD，
∴NE∥AM且NE＝AM，
∴四边形AMNE为平行四边形，
∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，
∴AD⊥CD，而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.
(2)由(1)可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，
∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD.
又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.