必修二 2.3.3~2.3.4直线与平面垂直的性质以及平面与平面垂直的性质 同步学案

必修2 2.3.3~2.3.4直线与平面垂直的性质以及平面与平面垂直的性质

班级＿＿＿ 姓名＿ ＿＿
学习目标
1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；
2 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；
3. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想
学习过程
新知1：直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形语言： 符号语言：
这个定理揭示了＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
新知2：平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
图形语言： 符号语言：
反思2：这个定理实现了＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿之间关系的转化．
※ 典型例题
例1、判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴ 两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（ ）
⑵ 两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（ ）
⑶ 两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；（ ）
⑷ 垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（ ）
⑸ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ）
⑹ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行. （ ）
例2、如图13-4，四棱锥的底面是个矩形，，侧面是等边三角形，
且侧面垂直于底面.
⑴ 证明：侧面侧面；
⑵ 求侧棱与底面所成的角．
练习1：四棱柱S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点，
求证：（1）EF// 平面SAB （2）BC平面SAB （3）EFSD
练习2：ABC为正三角形，EC平面ABC，BD平行于CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，N是AC的中点. 求证：（1）DE=DA （2）平面BDM平面ECA （3）平面DEA平面CEA
课后作业
基础训练题
1.已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,有下列四个命题:①若α∥β,则l⊥m;②若α⊥β,则l∥m;③若l∥m,则α⊥β;④若l⊥m,则α⊥β,其中,正确命题的序号是(　　)
(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④
2.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个命题:
①a∥b,a∥α?b∥α; ②a⊥b,a⊥α?b∥α;
③a∥α,β∥α?a∥β; ④a⊥α,β⊥α?a∥β.
其中不正确的有(　　)
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
3.已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β=m,要使n⊥β,则应增加的条件是(　　)
(A)n?α,且m∥n (B)n∥α (C)n?α且n⊥m (D)n⊥α
4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是(　　)
(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行
(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线
(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面
5.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是(　　)
(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)等腰直角三角形
6.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:
①若l⊥α,α⊥β,则l?β;②若l∥α,α∥β,则l?β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.
则正确命题的个数为　　　　.?
7.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是　　　　　　　　　.?
8.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD.
(1)证明:平面PBD⊥平面PAC;
(2)设AP=1,AD=,∠CBA=60°,求A到平面PBC的距离.

能力提高题
9.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A-BCD,使平面ABD⊥平面BCD,则下列说法中不正确的是(　　)
(A)平面ACD⊥平面ABD (B)AB⊥CD
(C)平面ABC⊥平面ACD (D)AB∥平面ABC
10.设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列
命题:
①若m∥α,m∥β,则α∥ β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.
上述命题中,其中假命题的序号是　　　　.?
11.如图,平行四边形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,将△BCD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD.
(1)求证:AB⊥DE;
(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.

12.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:AD⊥PB;
(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.

2.3.3~2.3.4直线与平面垂直的性质以及平面与平面垂直的性质参考答案
1.【答案】C
【解析】当l⊥α,α∥β时,l⊥β,又m?β,所以l⊥m,故①正确;当α⊥β,l⊥α时,l∥β或l?β,又m?β,则l与m可能相交、平行、异面,故②不正确;因为l∥m,l⊥α,所以m⊥α,又m?β,所以α⊥β,故③正确;④显然不正确.
2.【答案】D
【解析】①中b?α有可能成立,所以①不正确;②中b?α有可能成立,故②不正确;③中a?β有可能成立,故③不正确;④中a?β有可能成立,故④不正确.综上①②③④均不正确,故选D.
3.【答案】C
【解析】由面面垂直的性质定理可知选C.
4.【答案】D
【解析】若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;
若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;
若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;
从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面
垂直的性质定理知m∥n,故D正确.
5.【答案】A
【解析】过点A作AH⊥BD于点H,
由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,
则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,
所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB,
即△ABC为直角三角形.故选A.
6.【答案】1
【解析】①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l?β或l与β相交.
7.【答案】以AB为直径的圆(除去A,B两点)
【解析】因为平面PAC⊥平面PBC,
AC⊥PC,AC?平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.
所以AC⊥平面PBC.
又BC?平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.
所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).
8.(1)证明:因为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,
所以BD⊥AC,
因为PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA,
因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC,
因为BD?平面PBD,
所以平面PBD⊥平面PAC.
(2)解:因为AP=1,AD=,∠CBA=60°,
所以AC=,S△ABC=×()2=,
因为PC=PB==2,
所以S△PBC=××,
设A到平面PBC的距离为h,
因为,
所以
解得h=.
所以A到平面PBC的距离为.
9.【答案】D
【解析】因为BD⊥CD,平面ABD⊥平面BCD,
所以CD⊥平面ABD,
因为CD?平面ACD,
所以平面ACD⊥平面ABD,故A正确;
因为平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,
所以AB⊥AD,
又CD⊥平面ABD,所以AB⊥CD,故B正确;
因为AB⊥AD,AB⊥CD,
所以AB⊥平面ACD,
又因为AB?平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ACD,故C正确;
因为AB?平面ABC,所以AB∥平面ABC不成立,故D错误.故选D.
10.【答案】①③
【解析】①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;
②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;
③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;
④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.
11.(1)证明:由题意AB=2,BD=2,AD=4,
因为AB2+BD2=AD2,
所以AB⊥BD.
因为平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,
所以AB⊥平面EBD.
因为DE?平面EBD,所以AB⊥DE.
(2)解:由(1)可知AB⊥BD,因为CD∥AB,
所以CD⊥BD,从而DE⊥BD.
在三角形DBE中,因为DB=2,DE=CD=AB=2.
所以S△BED=BD·DE=2.
又因为AB⊥平面EBD,EB?平面EBD,所以AB⊥BE.
因为BE=BC=AD=4,所以S△ABE=AB·BE=4.
又因为DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,
所以DE⊥平面ABD,
而AD?平面ABD,所以DE⊥AD.
所以S△ADE=AD·DE=4.
综上,三个面之和为三棱锥E-ABD的侧面积,
即为8+2.
12.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.
因为△PAD为等边三角形,
所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.
又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB?平面PGB,
所以AD⊥PB.
(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.
则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.
在菱形ABCD中,GB∥DE,
所以可得DE∥平面PGB.
而EF?平面DEF,DE?平面DEF,EF∩DE=E,
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG?平面PGB,
所以平面PGB⊥平面ABCD,
所以平面DEF⊥平面ABCD.