必修二 第一章 空间几何体综合复习 同步学案

必修2 第一章 空间几何体综合复习

班级＿＿＿ 姓名＿ ＿＿
学习目标
理解空间几何体柱、棱、台的概念与性质；
掌握三视图与直观图的识图与做图；
掌握空间几何体的体积与表面积的求解方法。
学习过程
网络建构
知识辨析
判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱.(　 　)
2.有一个面是多边形,其余各面都是梯形的几何体叫做棱台.(　 　)
3.圆锥是由一个直角三角形绕其一边旋转得来的.(　 　)
4.到定点的距离等于定长的点的集合是球.(　 　)
5.若一个几何体的三视图都是一样的图形,则这个几何体一定是球.(　 　)
6.正方形利用斜二测画法画出的直观图是菱形.(　 　)
7.圆台的侧面积公式是π(r+R)l,其中r和R分别是圆台的上、下底面半径,l是其母线长.(　 　)
典型例题分析
一、空间几何体的结构特征
例1、根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由六个面围成,其中一个面是正五边形,其余各面是有公共顶点的三角形;
(2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形;
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体.
二、空间几何体的三视图与直观图
例2、(1)在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如下左图所示,则侧视图为(　　)
(2)如上右图所示为水平放置的△ABC在坐标系中的直观图,其中D′是A′C′的中点,且∠ACB≠30°,∠BAC≠30°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有　　　　条.?
三、空间几何体的体积与表面积
例3、(1)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(　　)
(A)8+2 (B)11+ (C)14+ (D)15

(2)有一几何体的三视图如图,则该几何体体积为(　　)
(A)4+ (B)4+ (C)4+ (D)4+π
(3)已知圆柱的高为2,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积是(　)
(A)π (B) (C) (D)6π
四、球与其他几何体的组合问题
例4、底面为正方形,顶点在底面的投影为底面中心的棱锥P-ABCD的五个顶点在同一球面上,若该棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则这个球的表面积为　　　　.
例5、如图由一个圆柱和一个圆锥构成的几何体，其俯视图面积为16π，几何体的表面积为60π，体积为64π，则其正视图的面积为________．
课后作业
1．过棱柱不相邻的两条侧棱的截面是(　　)
A．矩形　　　　B．正方形　　 C．梯形　　 D．平行四边形
2．正方体的表面积与其外接球的表面积的比为(　　)
A．3∶π B．2∶π
C．1∶2π D．1∶3π
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为(　　)
A． B．
C． D．
4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为(　　)
A．2 B．3
C． D．4
5．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为(　　)
A．1 B．
C． D．
6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(　　)
A．＋π B．＋π
C．＋π D．1＋π
7．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积(　　)
A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的两倍
C．不变 D．缩小到原来的
8．正六棱台的两底边长分别为1 cm，2 cm，高是1 cm，则它的侧面积为(　　)
A． cm2 B．9 cm2 C． cm2 D．3 cm2
9．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h也相等，则等于(　　)
A． B．
C． D．2
10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
11．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，记V1＝VAEA1?DFD1，V3＝VB1E1B?C1F1C，其余部分的体积为V2，若V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，则截面A1EFD1的面积为(　　)
A．4 B．8
C．4 D．16
12．已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋4，则球O的体积等于(　　)
A．π B．π C．π D．π
13．如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图(斜二测画法)，若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝1，则四边形ABCD的面积是__________．
14．如果用半径为R＝2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是__________．
15．某简单组合体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图相同(尺寸如图，单位：cm)，则该组合体的体积是________cm3(结果保留π)．
16．如图，球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间)，则圆台的体积为________．
17．如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶(无底)，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2 m，高为 m，制造这个塔顶需要多少铁板？
18．如图，在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，求几何体EFC1-DBC的体积．
19．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH．该标识墩的正视图和俯视图如图所示．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积；
(3)求该安全标识墩的侧面积．
20．在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体内切．
(1)求两球的半径之和；
(2)球的半径是多少时，两球的体积之和最小？
21．用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24 cm，下底半径为16 cm，母线长为48 cm．
(1)求矩形铁皮长边的最小值；
(2)求该铁桶的容积．
22．如图，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥的侧面转到A点．求
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离．
第二章 第一章 空间几何体综合复习参考答案
1．解析：选D．棱柱的侧棱平行且相等，故截面为平行四边形．
2．解析：选B．设正方体的棱长为a，则球的直径为2R＝a，所以R＝a．正方体的表面积为6a2．球的表面积为4πR2＝4π·＝3πa2，所以它们的表面积之比为6a2∶3πa2＝2∶π．
3．解析：选C．设长方体过同一顶点的棱长分别为a，b，c，则长方体的体积为V1＝abc，四棱锥A1-ABCD的体积为V2＝abc，所以棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为．
4．解析：选A．当正视图的面积达到最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2．
5．解析：选C．由几何体的三视图可知，该几何体是底面边长为1的正方形、高为1的四棱锥，所以该几何体的体积为V＝×1×1×1＝，故选C．
6．解析：选C．由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V1＝×12×1＝．设半球的半径为R，则2R＝，即R＝，所以半球的体积V2＝×R3＝××＝π．故该几何体的体积V＝V1＋V2＝＋π．故选C．
7．解析：选A．设变化前的圆锥的高为h，底面半径为r，变化后的高为h′，底面半径为r′，
则＝＝＝．
8．解析：选A．棱台的斜高为 cm，所以S侧＝6××(1＋2)×＝(cm2)．
9．解析：选C．V圆锥液＝，V圆柱液＝π··h，由已知得＝π·h，所以＝．故选C．
10．解析：选A．
原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π．
11．解析：选C．三部分都是棱柱，分别为三棱柱AA1E?DD1F、三棱柱B1BE1?C1CF1和四棱柱A1EBE1?D1FCF1，显然它们等高，设为h，三棱柱的底面面积分别为S1，S3，四棱柱的底面面积为S2，由V1∶V2∶V3＝1∶4∶1，得(S1h)∶(S2h)∶(S3h)＝1∶4∶1．
所以S1∶S2∶S3＝1∶4∶1，
所以S四边形A1EBE1＝4S△A1AE＝4S△BB1E1，
设AE＝a，则BE＝6－a，
所以(6－a)×3＝4××a×3，
所以A1E＝＝．
所以S四边形A1EFD1＝×4＝4．
所以a＝2．
12．解析：选B．由题意可知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r，且四棱锥的高h＝r，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为r的正三角形，底面为边长为r的正方形，所以该四棱锥的表面积为S＝4×(r)2＋(r)2＝2r2＋2r2＝(2＋2)r2＝4＋4，因此r2＝2，r＝，进而球O的体积V＝πr3＝π×2＝，故选B．
13．解析：把图还原，四边形ABCD为直角梯形，AB＝A1B1＝2，CD＝C1D1＝3，AD＝2A1D1＝2．其面积为×(2＋3)×2＝5．
答案：5
14．解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2πr＝πR＝2π，则r＝，所以圆锥筒的高h＝＝＝3．
答案：3
15．解析：由题知该组合体的底部为正四棱柱，上部为圆锥，其中四棱柱的底面边长为1 cm，高为1 cm，圆锥的底面圆半径为1，高为1，故该组合体的体积为V＝12×1＋π×12×1＝ cm3．
答案：1＋
16．解析：作经过球心的截面(如图)，
O1A＝3，O2B＝4，OA＝OB＝5．
则OO1＝4，OO2＝3，O1O2＝7，V＝(32＋＋42)×7＝π．
答案：π
17．解：如图所示，连接AC和BD交于点O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．
在Rt△SOP中，SO＝ m，OP＝BC＝1 m，所以SP＝2 m，则△SAB的面积是×2×2＝2(m2)．所以四棱锥的侧面积是4×2＝8(m2)，即制造这个塔顶需要8 m2铁板．
18．解：如图，连接DF，DC1，
则几何体EFC1-DBC被分割成三棱锥D-EFC1及四棱锥D-CBFC1，
所以几何体EFC1-DBC的体积V＝VD-EFC1＋VD-CBFC1＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66，
故几何体EFC1-DBC的体积为66．
19．解：(1)侧视图和正视图一样，如图所示．
(2)该安全标识墩的体积V＝VP-EFGH＋VABCD-EFGH＝×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．
(3)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合三视图可知OP＝60 cm，
OG＝EG＝20 cm，可得PG＝＝20(cm)．
于是四棱锥P-EFGH的侧面积S1＝4××40×＝1 600(cm2)，
长方体ABCD-EFGH的侧面积S2＝4×40×20＝3 200(cm2)，
故该安全标识墩的侧面积S＝S1＋S2＝1 600(＋2)(cm2)．
20．解：(1)如图所示，ABCD为过球心的对角面，AC＝，设两球半径分别为R、r，
则有R＋r＋(R＋r)＝，所以R＋r＝．
(2)设两球的体积之和为V，则
V＝π(R3＋r3)＝π(R＋r)(R2－Rr＋r2)＝π(R＋r)[(R＋r)2－3Rr]＝π(R＋r)·[(R＋r)2－3R(R＋r－R)]
＝π··
＝π，
所以当R＝时，V有最小值．
21．解：(1)如图，
设OA＝x cm，由相似三角形的知识可得＝，由此得x＝96．又＝，
所以∠AOA′＝×360°＝60°，于是△BOB′为正三角形，那么BB′＝OB＝144 cm，
即矩形铁皮长边的最小值为144 cm．
(2)由第一问中图可知O1O2＝＝8(cm)．
那么该铁桶的容积V＝(242π＋162π＋)×8＝π(cm3)．
22．解：将圆锥的侧面沿SA展开在一个平面上，如图，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆锥底面圆的周长，所以L＝2πr＝2π，所以∠ASM＝×360°＝×360°＝90°．
(1)由题意知绳子的最短长度为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)，
所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，所以SR＝＝(0≤x≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)．