必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系综合复习 同步学案

必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习

班级＿＿＿ 姓名＿ ＿＿
学习目标
理解和掌握点、直线、平面之间的位置关系的判断与证明
学习过程
网络建构
平行与垂直的证明方法
一、用来证明“线线平行”的定理
①平行于＿＿＿＿＿＿＿直线的两条直线互相平行．
②如果一条直线与一个平面平行，那么经过＿＿＿＿的任一个平面与此平面的＿＿＿和该直线平行．③如果两个平行平面同时和第三个平面＿＿＿＿，那么它们的＿＿＿＿＿相互平行．
④垂直于同一个＿＿＿＿＿的两条直线相互平行．
二、用来证明“线面平行”的定理
⑤如果平面＿＿一条直线与此平面＿＿的一条直线＿＿＿＿，那么该直线与此平面平行．
⑥如果两个平面＿＿＿，则在一个平面内的＿＿＿＿＿＿＿直线平行另一个平面
三、用来证明“面面平行”的定理
⑦如果一个平面内的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．
四、用来证明“线面垂直”的定理
⑧如果一条直线与一个平面内的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿都垂直，那么该直线与此平面垂直．
⑨如果两个平面互相＿＿＿＿，那么一个平面内＿＿＿＿于它们＿＿＿＿的直线与另一个平面垂直．
五、用来证明“面面垂直”的定理
⑩如果一个平面＿＿＿＿另一个平面的＿＿＿＿，那么这两个平面互相垂直．
六、其它定理
【证明直线在平面内】如果一条直线上的＿＿＿在一个平面内，那么这条直线上＿＿＿在此平面内．【证明三点共面】过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的三点，有且只有一个平面．【证明两平面的交线】如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．【等角或互补定理】空间中如果一个角的两边与另一个角的两边＿＿＿＿＿＿，那么这两个角＿＿＿＿＿＿．
知识辨析
判断下列说法是否正确(请在括号中填“√”或“×”)
1.如果一条直线过平面内一点与平面外一点,那么这条直线与这个平面有且只有一个交点. (　 　)
2.如果两个平面有一个交点,则这两个平面有一条过这个点的公共直线.(　 　)
3.如果两个平面平行,则这两个平面没有交点.(　 　)
4.若一条直线上有两个点在某一平面内,则这条直线上有无数个点在这个平面内.(　 　)
5.平行于同一条直线的两个平面平行.(　 　)
6.一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线垂直于这个平面.(　 　)
7.两个相交平面组成的图形叫做二面角.(　 　)
8.垂直于同一条直线的两个平面平行.(　 　)
典型例题分析
一、平面基本性质的应用
例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线,并说明理由.
变式1、如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
二、空间线面位置关系的证明
例2、在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AA1,点M,N分别为A1B 和B1C1的中点.
(1)证明:A1M⊥平面MAC;
(2)证明:MN∥平面A1ACC1.
变式2、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(2)证明:PB⊥平面EFD.
三、空间位置关系的证明与空间角的计算
例3、如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD= PC=4,AB=6,点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上.
(1)证明:PE⊥FG;
(2)求二面角P-AD-C的正切值.
变式3、如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD在平面β内,A,B两点在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中点,DO⊥平面α,垂足为O.
(1)证明:AB⊥平面ODE;
(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.
四、空间几何体中位置关系的证明与体积计算
例4、如图甲,☉O的直径AB=2,圆上两点C,D在直径AB的两侧,使∠CAB =45°,∠DAB=60°.沿直径AB折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙),F为BC的中点,E为AO的中点.P为AC上的动点,根据图乙解答下列各题:
(1)求三棱锥D-ABC的体积;
(2)求证:不论点P在何位置,都有DE⊥BP;
变式4、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求三棱锥E-BCD的体积.

课后作业
1．不同直线M、n和不同平面α、β．给出下列命题：
①?M∥β； ②?n∥β；
③?M，n异面； ④?M⊥β．其中假命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的个数有(　　)21·世纪*教育网
A．4 B．1 C．2 D．3
3．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(　　)
①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；
③a∥α，a⊥b?b⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．0
4．过平面外一点P：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是(　　)2-1-c-n-j-y
A．1 B．2 C．3 D．4
5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
8．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面ABC于H，则垂足H是△ABC的(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
9． 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1．21·cn·j
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE．
10．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．
(1)求证：BC′⊥平面AC′D；
(2)求点A到平面BC′D的距离．
11．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．21世纪教育网版权所有
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求四面体B－DEF的体积．
12．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．【出处：21教育名师】
(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
13．如图，在五面体ABC－DEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°．21cnjy.com
(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
(2)证明CD⊥平面ABF；
(3)求二面角B－EF－A的正切值．
14． 如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．2-1-c-n-j-y
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系复习参考答案
1．[答案]　D
[解析]　命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确，也可能n?β；命题③不正确，如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m与β的关系不确定．
[答案] C　
[解析] (2)和(4)对．
[答案] A　
[解析] ①正确．
[答案] B　
[解析] ①④正确．
[答案] D　
[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°．
6．[答案] B
7．[答案] D　
[解析]　如图所示，在平面A1B1C1D1内过点C1作B1D1的垂线，垂足为E．连接BE．
?C1E⊥平面BDD1B1．
∴∠C1BE的正弦值就是所求值．
∵BC1＝＝，C1E＝＝．
∴sin∠C1BE＝＝＝．
[答案] C　
[解析] 如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，
∴BC⊥面APH，BC⊥AH．
同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．
9． [解析] 证明　(1)如图设AC与BD交于点G．
因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG．
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
(2)连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，
∴四边形CEFG为平行四边形，
又∵CE＝EF＝1，∴?CEFG为菱形，
∴EG⊥CF．
在正方形ABCD中，AC⊥BD．
∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
∴BD⊥平面CEFG．∴BD⊥CF．
又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE．
10．(1)证明　∵点C′在平面ABD上的射影O在AB上，
∴C′O⊥平面ABD，∴C′O⊥DA．
又∵DA⊥AB，AB∩C′O＝O，
∴DA⊥平面ABC′，∴DA⊥BC′．
又∵BC⊥CD，∴BC′⊥C′D．
∵DA∩C′D＝D，∴BC′⊥平面AC′D．
(2)解　如图所示，
过A作AE⊥C′D，垂足为E，连接BE．
∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AE．
∴AE⊥平面BC′D．
故AE的长就是A点到平面BC′D的距离．
∵AD⊥AB，DA⊥BC′，
∴AD⊥平面ABC′，∴DA⊥AC′．
在Rt△AC′B中，AC′＝＝3．
在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝3．
在Rt△C′AD中，由面积关系，得
AE＝＝＝．
∴点A到平面BC′D的距离是．
11． [解析] (1)证明　如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，
故GH綊AB．
又EF綊AB，∴EF綊GH．∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH．而EG?平面EDB，FH?平面EDB，21cnjy.com
∴FH∥平面EDB．
(2)证明　由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．
又EF∥AB，∴EF⊥BC．
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．
∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．
∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．
又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD＝G，
∴AC⊥平面EDB．
(3)解　∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF．
∴BF为四面体B－DEF的高．
又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝．
VB－DEF＝××1××＝．
12． [解析] (1)证明　连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC中点，
∴OE∥PA．
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE．
∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC．
又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE．
(2)解　取OC中点F，连接EF．
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥面ABCD，
∴EF⊥面ABCD
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，
∴∠EOF＝30°．
在Rt△OEF中，
OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a．
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3．
13． [解析] (1)解　因为四边形ADEF是正方形，所以FA∥ED．
所以∠CED为异面直线CE与AF所成的角．
因为FA⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD＝1，ED＝2，
CE＝＝3，
所以cos ∠CED＝＝．
所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为．
(2)证明　如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，则∠BGA＝∠CDA＝45°．
由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，从而CD⊥AB．
又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF．
(3)解　由(2)及已知，可得AG＝，即G为AD的中点．
取EF的中点N，连接GN，则GN⊥EF．
因为BC∥AD，所以BC∥EF．
过点N作NM⊥EF，交BC于点M，
则∠GNM为二面角B－EF－A的平面角．
连接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM，
从而BC⊥GM．
由已知，可得GM＝．
由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan ∠GNM＝＝．
所以二面角B－EF－A的正切值为．
14． [解析] (1)证明　如图，∵O、D分别为AC、PC的中点，
∴OD∥PA．
又PA?平面PAB，OD?平面PAB，
∴OD∥平面PAB．
(2)解　∵AB⊥BC，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC．
又∵OP⊥平面ABC，
∴PA＝PB＝PC．
取BC的中点E，连接PE，OE，
则BC⊥平面POE，
作OF⊥PE于F，
连接DF，则OF⊥平面PBC，
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
设AB＝BC＝a，
则PA＝PB＝PC＝2a，OA＝OB＝OC＝a，
PO＝a．
在△PBC中，∵PE⊥BC，PB＝PC，
∴PE＝a．∴OF＝a．
又∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD＝＝a．
在Rt△ODF中，sin∠ODF＝＝．
∴OD与平面PBC所成角的正弦值为．