1．绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
几何解释：用向量a，b分别替换a，b.
①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．
②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|<|a|＋|b|.
由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．
③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，
当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.
当点B不在点A，C之间时：
①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；
②点B不在A，C上时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
含绝对值不等式的判断与证明
[例1] 已知|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<.
求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|
[思路点拨] ―→
[证明] |(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|
＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|
≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|
≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|.
因为|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<，
所以|A－a|＋|B－b|＋|C－c|<＋＋＝s.
含绝对值不等式的证明题两种类型及解法
(1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；
(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．
1．以下四个命题：
①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
②若|a－b|<1，则|a|<|b|＋1；
③若|x|<2，|y|>3，则<；
④若AB≠0，则lg≥(lg|A|＋lg|B|)．
其中正确的命题有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
解析：选A ∵|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|
＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确；
∵1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，②正确；
∵|y|>3，∴<.
又∵|x|<2，∴<，③正确；
2＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)
≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，
∴2lg≥lg|A||B|.
∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．
2．已知a，b∈R且a≠0，
求证：≥－.
证明：①若|a|>|b|，
左边＝＝
≥＝.
∵≤，≤，
∴＋≤.
∴左边≥＝右边．
②若|a|<|b|，
左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．
③若|a|＝|b|，原不等式显然成立．
综上可知原不等式成立.
绝对值三角不等式的应用
[例2] (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．
[解] (1)法一：||x－3|－|x＋1||
≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
∴ymax＝4，ymin＝－4.
法二：把函数看作分段函数．
y＝|x－3|－|x＋1|＝
∴－4≤y≤4.
∴ymax＝4，ymin＝－4.
(2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，
当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．
∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.
∴a的取值范围为(－∞，1]．
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．
(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．
3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．
解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
答案：5 1
4．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|的最小值为a，求a的值．
解：因为|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)|＝6，
当且仅当－1≤x≤5时，等号成立，
所以f(x)的最小值等于6，即a＝6.
5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．
解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，
∴a<(|x＋1|－|x－2|)min.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.
∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.
∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )
A．当a，b异号时，左边等号成立
B．当a，b同号时，右边等号成立
C．当a＋b＝0时，两边等号均成立
D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立
解析：选B 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．
2．若|a－c|A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|
C．b>|c|－|a| D．b<||a|－|c||
解析：选D ∵|a－c|则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|<|b|＋|c|成立．
|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|<|a|＋|b|成立．
||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b>||c|－|a||成立．
故b<||a|－|c||不成立．
3．不等式<1成立的充要条件是( )
A．a，b都不为零 B．ab<0
C．ab为非负数 D．a，b中至少有一个不为零
解析：选B <1?|a＋b|<|a|＋|b|?a2＋b2＋2ab4．“|x－a|A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵|x－a|∴|x－a|＋|y－a|<2m.
又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，
∴|x－y|<2m，但反过来不一定成立，
如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|<2×2.5，
但|3－(－2)|>2.5，|1－(－2)|>2.5，
∴|x－y|<2m不一定有|x－a|故“|x－a|5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.
答案：[－2,4]
6．若ab>0，则下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|中，正确的有________．
解析：∵ab>0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.
∴①④正确．
答案：①④
7．下列四个不等式：
①logx10＋lg x≥2(x>1)；
②|a－b|<|a|＋|b|；
③≥2(ab≠0)；
④|x－1|＋|x－2|≥1，
其中恒成立的是________．(填序号)
解析：logx10＋lg x＝＋lg x≥2，①正确；
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
∵ab≠0时，与同号，
∴≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，
综上可知①③④正确．
答案：①③④
8．设a，b∈R，ε>0，|a|<，|b|<ε.
求证：|4a＋3b|<3ε.
证明：∵|a|<，|b|<ε，∴|4a＋3b|≤|4a|＋|3b|＝4|a|＋3|b|<4·＋3·＝3ε.
9．已知函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，且|a|≤1，求证：|f(x)|≤.
证明：∵－1≤x≤1，∴|x|≤1，
又∵|a|≤1，
∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|
≤|a(x2－1)|＋|x|
≤|x2－1|＋|x|
＝1－|x|2＋|x|
＝－2＋≤.
10．设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求
(1)y的最小值；
(2)使y(3)使y≥a恒成立的a的最大值．
解：(1)∵y＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1，
当且仅当3≤x≤4时取等号，
∴ymin＝1.
(2)由(1)知y≥1.要使y1.即a的取值范围为(1，＋∞)．
(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可．
∴amax＝1.
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理解Q戴材知
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把握热点考向
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考点
[方法·规律·小结]
∥题组集训∥∥
考点二
2．绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．
|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为－c≤ax＋b≤c，再由不等式的性质求出原不等式的解集．
不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．
2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．
(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．
|f(x)|≥g(x)和|f(x)|≤g(x)型不等式的解法
[例1] 解下列不等式：
(1)1<|x－2|≤3；
(2)|2x＋5|>7＋x；
(3)≤.
[思路点拨] (1)可利用公式转化为|ax＋b|>c(c>0)或|ax＋b|0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；
(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式；
(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．
[解] (1)法一：原不等式等价于不等式组
即
解得－1≤x<1或3所以原不等式的解集为[－1,1)∪(3,5]．
法二：原不等式可转化为：
①或②
由①得3所以原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
法三：原不等式的解集就是1<(x－2)2≤9的解集，即
解得
∴－1≤x<1或3∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)，
整理得x>2或x<－4.
∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(3)①当x2－2<0且x≠0，即－②当x2－2>0时，
原不等式可化为x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0，
∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2，
即x≤－2或x≥2.
∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－，0)∪(0，)∪[2，＋∞)．
含绝对值不等式的常见类型及其解法
(1)形如|f(x)|a(a∈R)型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①当a>0时，|f(x)||f(x)|>a?f(x)>a或f(x)<－a.
②当a＝0时，|f(x)||f(x)|>a?f(x)≠0.
③当a<0时，|f(x)||f(x)|>a?f(x)有意义．
(2)形如|f(x)|<|g(x)|型不等式
此类问题的简单解法是利用平方法，即
|f(x)|<|g(x)|?[f(x)]2<[g(x)]2
?[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]<0.
(3)形如|f(x)|g(x)型不等式
此类不等式的简单解法是等价命题法，即
①|f(x)|②|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)(其中g(x)可正也可负)．
若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．
(4)形如a<|f(x)|a>0)型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法，即
a<|f(x)|(5)形如|f(x)|f(x)型不等式
此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即
|f(x)||f(x)|>f(x)?f(x)<0.
1．解下列不等式：
(1)|3－2x|<9；
(2)4＜|3x－2|＜8；
(3)|x2－3x－4|>x＋1.
解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.
∴－9<2x－3<9.
即－6<2x<12.
解得－3∴原不等式的解集为{x|－3(2)由4＜|3x－2|＜8，得?
?
∴－2＜x＜－或2＜x＜.
∴原不等式的解集为.
(3)不等式可转化为x2－3x－4>x＋1或x2－3x－4<－x－1，
∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.
解得x>5或x<－1或－1∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,3)∪(5，＋∞).
|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
[例2] 解不等式|x＋7|－|x－2|≤3.
[思路点拨] 解该不等式，可采用三种方法：
(1)利用绝对值的几何意义；
(2)利用各绝对值的零点分段讨论；
(3)构造函数，利用函数图象分析求解．
[解] 法一：|x＋7|－|x－2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到－7对应点的距
离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式|x＋7|－|x－2|≤3的解为x≤－1，即x∈(－∞，－1]．
法二：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3，
∴－9≤3成立，∴x＜－7.
②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，
即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.
③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，
即9≤3不成立，∴x∈?.
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，
构造函数y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即y＝
作出函数的图象，由图可知，当x≤－1时，有y≤0，
即|x＋7|－|x－2|－3≤0，
∴原不等式的解集为(－∞，－1]．
|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．
2．解不等式|2x＋1|－|x－4|>2.
解：法一：令y＝|2x＋1|－|x－4|，
则y＝
作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|与函数y＝2的图象，
它们的交点为(－7,2)和.
∴|2x＋1|－|x－4|>2的解集为(－∞，－7)∪.
法二：当x≥4时，(2x＋1)－(x－4)>2，
解得x>－3，∴x≥4.
当－≤x<4时，(2x＋1)＋(x－4)>2，
解得x>，∴当x<－时，－(2x＋1)＋(x－4)>2，
解得x<－7，∴x<－7.
综上可知，不等式的解集为(－∞，－7)∪.
3．解不等式|x－1|＋|2－x|＞3＋x.
解：把原不等式变为|x－1|＋|x－2|＞3＋x，
①当x≤1时，
∴原不等式变为－(x－1)－(x－2)＞3＋x，解得x＜0；
②当1＜x≤2时，
∴原不等式变为x－1－(x－2)＞3＋x，解得x∈?；
③当x＞2时，
∴原不等式变为x－1＋x－2＞3＋x，解得x＞6.
综上，原不等式解集为(－∞，0)∪(6，＋∞).
含绝对值不等式的恒成立问题
[例3] 已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，分别求出满足下列条件的m的取值范围．
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
(3)若不等式解集为?.
[思路点拨] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的取值范围．
[解] 法一：因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，
(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值小即可，即m＜－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为?，则m∈[1，＋∞)．
问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)a恒成立?f(x)min>a.
4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3|解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈(－1，＋∞)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈(1，＋∞)．
(3)若不等式的解集为?，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈(－∞，－1]．
5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m，其他条件不变时，分别求出m的取值范围．
解：|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
即|x＋2|＋|x＋3|≥1.
(1)若不等式有解，m为任何实数均可，即m∈R.
(2)若不等式解集为R，即m∈(－∞，1)．
(3)若不等式解集为?，这样的m不存在，即m∈?.
1．若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a的取值为( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：选C 原不等式化为－6即－8又∵－1∴验证选项易知a＝－4适合．
2．不等式>的解集是( )
A．{x|02}
C．{x|x<0} D．{x|x>2}
解析：选B 由>，可知<0，
∴x<0或x>2.
3．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[0，＋∞)
解析：选C 作出y＝|x＋1|与l1：y＝kx的图象如图所示，当k<0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k>0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知k∈[0,1]．
4．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，3]∪[5，＋∞)
B．[－5，－3]
C．[3,5]
D．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)
解析：选D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.
5．不等式|x＋2|≥|x|的解集是________．
解析：∵不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得(x＋2)2≥x2，∴x2＋4x＋4≥x2.
即x≥－1.∴原不等式的解集为{x|x≥－1}．
答案：{x|x≥－1}
6．不等式|2x－1|－x<1的解集是__________．
解析：原不等式等价于|2x－1|－x－1<2x－1答案：{x|07．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为?，则a的取值范围为________．
解析：法一：由|x＋2|＋|x－1|＝|x＋2|＋|1－x|≥|x＋2＋1－x|＝3，知a≤3时，原不等式无解．
法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.
所以当a≤3时，原不等式的解集为?.
答案：(－∞，3]
8．解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.
解：(1)当x>2时，原不等式可化为
解得x>2.
(2)当－3≤x≤2时，原不等式可化为
解得－(3)当x<－3时，原不等式可化为
解得x<－12.
综上所述，原不等式的解集为
.
9．已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)>1；
(2)当x>0时，函数g(x)＝(a>0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围．
解：(1)当x>2时，原不等式可化为x－2－x－1>1，解集为?.
当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1>1，即－1≤x<0；
当x<－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1>1，即x<－1.
综上，原不等式的解集是{x|x<0}．
(2)因为g(x)＝ax＋－1≥2－1，
当且仅当x＝时等号成立，所以g(x)min＝2－1，
当x>0时，f(x)＝所以f(x)∈[－3,1)，
所以2－1≥1，即a≥1，
故实数a的取值范围是[1，＋∞)．
10．已知f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|(a＞0)．
(1)当a＝1时，求f(x)≥x的解集；
(2)若不存在实数x，使f(x)＜3成立，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，
f(x)＝|x－2|＋|x－1|≥x，
当x≥2时，原不等式可转化为x－2＋x－1≥x，解得x≥3；
当1＜x＜2时，原不等式可转化为2－x＋x－1≥x，解得x≤1，∴x∈?；
当x≤1时，原不等式可转化为2－x＋1－x≥x，解得x≤1.
综上可得，f(x)≥x的解集为{x|x≤1或x≥3}．
(2)依题意，对?x∈R，都有f(x)≥3，
则f(x)＝|ax－2|＋|ax－a|≥|(ax－2)－(ax－a)|＝|a－2|≥3，
∴a－2≥3或a－2≤－3，
∴a≥5或a≤－1(舍去)，
∴a的取值范围是[5，＋∞)．
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考点二
考点三
1．不等式的基本性质
1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．
(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：
(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b?b＜a.
(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c?a>c.
(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
(6)如果a>b>0，那么(n∈N，n≥2)．
3．对上述不等式的理解
使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：
(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．
(2)a＞b，c＞d?a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0?ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．
(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b?an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b?>(n＝2k＋1，k∈N＋)．
(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“?”与“?”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0?＜，而反之不成立．
数、式大小的比较
[例1] 已知p，q为正数且p＋q＝1，比较(px＋qy)2与px2＋qy2的大小．
[思路点拨] 利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件．
[解] (px＋qy)2－(px2＋qy2)
＝p2x2＋2pqxy＋q2y2－px2－qy2
＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.
因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p.
所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)
＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.
因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0.
所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.
当且仅当x＝y时，不等式中等号成立．
比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3)
＝a3(a－b)＋b3(b－a)
＝(a－b)(a3－b3)
＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)
＝(a－b)2≥0，
(当且仅当a＝b时，取“＝”号)
所以a4＋b4≥a3b＋ab3.
2．已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，试比较m与n的大小．
解：m－n＝＋－＝－
＝＝，
∵x，y均为正数，
∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0，
∴m－n≥0，即m≥n，当且仅当x＝y时取等号．
不等式的证明
[例2] 已知a>b>0，c求证：>.
[思路点拨] 可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．
[证明] 法一：－＝＝
，
∵a>b>0，c∴b－a<0，c－d<0.
∴b－a＋c－d<0.
又∵a>0，c<0，∴a－c>0.
同理b－d>0，
∴(a－c)(b－d)>0.
∵e<0，∴>0.
即>.
法二：?
?＞.
进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．
3．设a>b>0，求证：>.
证明：法一：∵－
＝
＝>0，
∴原不等式成立．
法二：∵a>b>0，故a2>b2>0.
故左边>0，右边>0.
∴＝＝1＋>1.
∴原不等式成立．
4．已知a>b>0，d>c>0，求证：>.
证明：因为d>c>0，所以>>0.
又因为a>b>0，
所以a·>b·，即>.
利用不等式的性质求范围
[例3] 已知30[思路点拨] 根据题目提供的条件，结合不等式的性质进行求解．
[解] ∵30∴46∵16∴－48<－2y<－32，
∴－18∵16∴<<.
∴<<.
求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．
5．已知－≤α＜β≤，求α－β的取值范围．
解：∵－≤α＜β≤，
∴－≤α＜，－≤－β＜，且α＜β.
∴－π≤α－β＜π，且α－β＜0.
∴－π≤α－β＜0.即α－β的取值范围为[－π，0)．
6．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．
解：设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，
∴解得
又1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，
∴
∴－≤2α－β≤.
∴2α－β的取值范围为.
1．已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若xA．P在Q的左边 B．P在Q的右边
C．P，Q两点重合 D．不能确定
解析：选B ∵x|y|>0.
故P在Q的右边．
2．已知a，b，c∈R，且ab>0，则下面推理中正确的是( )
A．a>b?am2>bm2 B.>?a>b
C．a3>b3?< D．a2>b2?a>b
解析：选C 对于A，若m＝0，则不成立；对于B，若c<0，
则不成立；对于C，a3－b3>0?(a－b)(a2＋ab＋b2)>0，
∵a2＋ab＋b2＝2＋b2>0恒成立，
∴a－b>0，∴a>b.又∵ab>0，∴<.∴C成立；
对于D，a2>b2?(a－b)(a＋b)>0，不能说a>b.
3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若＜＜，则( )
A．c＜a＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
解析：选A 由＜＜，可得＋1＜＋1＜＋1，即＜＜，又a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＋b＞b＋c＞c＋a.由a＋b＞b＋c可得a＞c；由b＋c＞c＋a可得b＞a，于是有c＜a＜b.
4．若a，b为实数，则“0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 对于00，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件0”的必要条件，即“0”的充分不必要条件．
5．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是f(x)________g(x)．
解析：∵f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1>0，∴f(x)>g(x)．
答案：>
6．下列命题：
①c－ab；
②a＜0＜b?＜；
③<，且c>0?a>b；
④ <(n∈N，n>1)?a其中真命题是________．(填序号)
解析：①c－ab.
②a＜0＜b?＜0，＞0?＜.
③－＝<0，
∵c>0，∴有或
即或∴③不正确，
④中无论n为奇数或偶数，
均可由<(n∈N，n>1)?a∴①②④正确．
答案：①②④
7．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为________．
解析：∵x>y，
∴x－y＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a
＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0.
∴ab－1≠0或a＋2≠0.
即ab≠1或a≠－2.
答案：ab≠1或a≠－2
8．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
证明：∵＋－a－b＝(a－b)
＝，
(a－b)2≥0恒成立，且已知a＞0，b＞0，
∴a＋b>0，ab>0.
∴≥0.∴＋≥a＋b.
9．若f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
解：∵f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
令f(－2)＝4a－2b＝Af(－1)＋Bf(1)，
则?
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴3≤3f(－1)≤6，
∴5≤f(1)＋3f(－1)≤10，
∴5≤f(－2)≤10.
故f(－2)的取值范围为[5,10]．
10．已知a>0，a≠1.
(1)比较下列各组大小．
①a2＋1与a＋a；②a3＋1与a2＋a；
③a5＋1与a3＋a2.
(2)探讨在m，n∈N＋条件下，am＋n＋1与am＋an的大小关系，并加以证明．
解：(1)∵a>0，a≠1，
∴①a2＋1－(a＋a)＝a2＋1－2a
＝(a－1)2>0.
∴a2＋1>a＋a.
②a3＋1－(a2＋a)
＝a2(a－1)－(a－1)
＝(a＋1)(a－1)2＞0，
∴a3＋1>a2＋a，
③a5＋1－(a3＋a2)
＝a3(a2－1)－(a2－1)
＝(a2－1)(a3－1)．
当a>1时，a3>1，a2>1，
∴(a2－1)(a3－1)>0.
当0∴(a2－1)(a3－1)>0.
即a5＋1>a3＋a2.
(2)根据(1)可探讨，
得am＋n＋1＞am＋an.
证明如下：
am＋n＋1－(am＋an)
＝am(an－1)＋(1－an)
＝(am－1)(an－1)．
当a>1时，am>1，an>1，
∴(am－1)(an－1)>0.
当0∴(am－1)(an－1)>0.
综上(am－1)(an－1)>0，
即am＋n＋1>am＋an.
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a
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不等式和绝对值不等式
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考点
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考点三
2．基本不等式
1．基本不等式的定理1,2
定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b＞0，那么≥，而且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
2．基本不等式的理解
重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0仍然能使≥成立．
两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b.
3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式
(1)a2＋b2≥；
(2)ab≤；
(3)ab≤2；
(4)2≤；
(5)(a＋b)2≥4ab.
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．
[证明] 法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
即＋＋≥9.
法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝(a＋b＋c)
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
∴＋＋≥9.
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
证明：因为a，b，c，d都是正数，
所以≥＞0，≥＞0，
所以≥abcd，
即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.
当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立．
2．已知a，b，c为正实数，
求证：(1)≥8；
(2)a＋b＋c≥＋＋.
证明：(1)∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2>0，
b＋c≥2>0，
c＋a≥2>0，
由上面三式相乘可得
(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8··＝8abc.
即≥8.
(2)∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2＋2＋2.
即a＋b＋c≥＋＋.
利用基本不等式求最值
[例2] (1)当x>0时，求f(x)＝的值域；
(2)设0(3)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
[思路点拨] 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值．
[解] (1)∵x>0，
∴f(x)＝＝.
∵x＋≥2，
∴0<≤.
∴0即f(x)的值域为(0,1]．
(2)∵00.
∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．
∴y＝4x(3－2x)的最大值为.
(3)∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.
当且仅当＝，又＋＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16.
在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．
3．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则＋的最小值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D ＋＝≥＝，
当且仅当x＝y时取等号．
∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4.
∴＋≥＝1，当且仅当x＝y＝2时取等号，
故＋的最小值为1.
4．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则＋的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．log23
解析：选B 由ax＝by＝2得x＝loga2，y＝logb2，
∴＋＝＋＝log2a＋log2b＝log2(ab)．
又a>1，b>1，
∴8＝2a＋b≥2，即ab≤8，
当且仅当2a＝b，
即a＝2，b＝4时取等号，
所以＋＝log2(ab)≤log28＝3.
故max＝3.
利用基本不等式解决实际问题
[例3] 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．
(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值．
[解] (1)由题设，得S＝(x－8)＝－2x－＋916，x∈(8,450)．
(2)因为8所以2x＋≥2 ＝240，
当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676.
故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.
利用基本不等式解决实际应用问题的步骤
(1)仔细阅读题目，弄清基本要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；
(2)分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；
(3)利用基本不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．
5．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？
解：设一年的运费和库存费共y元，
由题意知y＝×50＋×20＝＋10x≥2＝104，
当且仅当＝10x即x＝500时，ymin＝10 000，
即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．
6.围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解：(1)设矩形的另一边长为a m.
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x＞0)．
(2)∵x>0，
∴225x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440，
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
1．下列不等式中，正确的个数是( )
①若a，b∈R，则≥；
②若x∈R，则x2＋2＋≥2；
③若x∈R，则x2＋1＋≥2；
④若a，b为正实数，则≥.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝无解，但x2＋2＋>2成立，故②正确；
④不正确，如a＝1，b＝4.
2．设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A.＋有最大值4 B.有最小值
C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值
解析：选C 由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故选C.
3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
解析：选B 由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，故选B.
4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：选A 由已知可得y1＝，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)，所以费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2 ＝8.
当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．
5．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－的最大值是________，取得最大值时x的值是________．
解析：f(x)＝2－3≤2－3×4＝－10，
当且仅当x2＝即x＝±时取等号．
答案：－10 ±
6．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
①ab≤1；② ＋≤；③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，故①正确；
(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时取等号，得 ＋≤2，故②错误；
由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；
a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；
＋＝·＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤成立．
答案：①③⑤
7．对于x∈，不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为________．
解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.
又x∈，∴t∈(0,1)．
不等式＋≥16可化为p≥(1－t)．
而y＝(1－t)＝17－≤17－2＝9，当＝16t，即t＝时取等号，
因此若原不等式恒成立，只需p≥9.
答案：[9，＋∞)
8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＋＝＋＋
＝2
＝2
＝2＋4
≥4 ＋4＝8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，
∴＋＋≥8.
(2)∵＝＋＋＋1，
由(1)知＋＋≥8.∴≥9.
9．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.
(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；
(2)求＋的最小值．
解：(1)∵x>0，y>0，
∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.
∵2x＋5y＝20，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有解得
此时xy有最大值10.
∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.
∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.
(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，
当且仅当＝时等号成立．
由解得
∴＋的最小值为.
10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？
解：(1)设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，
由a2x＝4 000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1)．
(2)由(1)知，S≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2 ＝即x＝2.5时取等号，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.
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考点
[方法·规律·小结]
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考点二
考点三
3
x
3．三个正数的算术—几何平均不等式
1．定理3
如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．
(1)不等式≥成立的条件是：a，b，c均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a＝b＝c.
(2)定理3可变形为：①abc≤3；②a3＋b3＋c3≥3abc.
(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．
2．定理3的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
用平均不等式证明不等式
[例1] 设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)2≥27.
[思路点拨] 本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题．
[证明] ∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥3>0，
从而(a＋b＋c)2≥9>0，
又＋＋≥3>0，
∴(a＋b＋c)2
≥3·9＝27.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
证明不等式的方法与技巧
(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．
若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．
(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．
1．设a，b，c∈R＋，求证(a＋b＋c)≥9.
证明：∵当a，b，c∈R＋时，a＋b＋c≥3，
＋＋≥3.
∴(a＋b＋c)≥9，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．已知a1，a2，…，an都是正数，且a1a2…an＝1，求证：
(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.
证明：因为a1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a1＝1＋1＋a1≥3.
同理2＋aj≥3 (j＝2,3，…，n)．
将上述各不等式的两边分别相乘即得
(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)
≥(3)(3)…(3)
＝3n·.
∵a1a2…an＝1，∴(2＋a1)(2＋a2)…(2＋an)≥3n.
当且仅当a1＝a2＝…＝an＝1时，等号成立.
用平均不等式求最值
[例2] (1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值．
(2)求函数y＝x＋(x>1)的最小值．
[思路点拨] (1)对于积的形式求最大值，应构造和为定值；
(2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值．
[解] (1)∵1∴3－2x>0，x－1>0.
y＝(x－1)2(3－2x)
＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3
＝3＝，
当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，
即x＝∈时等号成立，即ymax＝.
(2)∵x＞1，
∴x－1>0，y＝x＋
＝(x－1)＋(x－1)＋＋1
≥3＋1＝4，
当且仅当(x－1)＝(x－1)＝，
即x＝3时等号成立．即ymin＝4.
(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．
(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件：即“一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．
3．设x>0，则f(x)＝4－x－的最大值为( )
A．4－ B．4－
C．不存在 D.
解析：选D ∵x>0，∴f(x)＝4－x－＝4－≤4－3＝4－＝，当且仅当＝＝，即x＝1时等号成立，故f(x)的最大值为.
4．已知a>b>c，求a－c－的最小值．
解：由a>b>c，得a－b>0，b－c>0，
则a－c－
＝(a－b)＋(b－c)＋
≥3 ＝3，
当且仅当a－b＝b－c＝时等号成立，
所以当a－b＝b－c＝时，
a－c－取得最小值3.
用平均不等式解应用题
[例3] 如图所示，在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝k.
这里k是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？
[思路点拨]
→
→
→→
[解] ∵r＝，
∴E＝k·.
∴E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·3＝.
当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，
即tan2θ＝，tan θ＝.
∴h＝2tan θ＝，
即h＝时，E最大．
本题获解的关键是在获得了E＝k·后，对E的表达式进行变形求得E的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．
5．已知圆锥的底面半径为R，高为H，求圆锥的内接圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．
解：设圆柱体的底面半径为r，如图，由相似三角形的性质可得＝，
∴r＝(H－h)．
∴V圆柱＝πr2h＝(H－h)2h(0根据平均不等式可得
V圆柱＝···h≤3
＝πR2H.当且仅当＝h，
即h＝H时，max＝πR2H.
1．设x>0，则y＝x＋的最小值为( )
A．2 B．2
C．3 D．3
解析：选D y＝x＋＝＋＋≥3·＝3，当且仅当＝，即x＝2时取“＝”号．
2．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)
解析：选B ∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而xyz≤3，∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2，
当且仅当x＝y＝z＝2时，等号成立．
3．若实数x，y满足xy>0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥
3 ＝3 ＝3，当且仅当xy＝x2，x2y＝2，
即x＝1，y＝2时取“＝”号．
故xy＋x2的最小值为3.
4．已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝ ，则x，y，z的大小关系是( )
A．x≤y≤z B．y≤x≤z
C．y≤z≤x D．z≤y≤x
解析：选B ∵a，b，c∈R＋，∴≥，
∴x≥y，又x2＝，
z2＝，
∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
∴3a2＋3b2＋3c2≥(a＋b＋c)2，
∴z2≥x2，∴z≥x，即y≤x≤z.
5．设0解析：∵00.
故
≤＝.
∴x(1－x)2≤，当且仅当x＝时取等号．
答案：
6．设x，y，z均大于0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为________．
解析：∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6.
∴x2y3z≤1，当且仅当＝y＝4z时取“＝”号．
∴x2z3z的最大值为1.
答案：1
7．设三角形三边长为3,4,5，P是三角形内的一点，则P到该三角形三边距离乘积的最大值是________．
解析：设P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x，y，z，三角形的面积为S.
则S＝(3x＋4y＋5z)，又∵32＋42＝52，
∴这个直角三角形的面积S＝×3×4＝6.
∴3x＋4y＋5z＝2×6＝12.
∴3≤3x＋4y＋5z＝12.
∴(xyz)max＝.
当且仅当x＝，y＝1，z＝时等号成立．
答案：
8．设a，b，c∈R＋，求证：
(a＋b＋c)≥.
证明：∵a，b，c∈R＋，
∴2(a＋b＋c)＝(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥
3>0.
＋＋≥3 ＞0，
∴(a＋b＋c)≥.
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
9．若θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．
解：y2＝sin2θ·cos2θ·cos2θ
＝·2sin2θ(1－sin2θ)·(1－sin2θ)
≤×3＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，
即sin θ＝时取等号．
此时ymax＝.
10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．
解：设船速为v千米/小时，燃料费为A元/小时．则依题意有A＝k·v3，且有30＝k·103，∴k＝.
∴A＝v3.
设每千米的航行费用为R，则需时间为小时，
∴R＝＝v2＋＝v2＋＋≥3＝36.
当且仅当v2＝，
即v＝20时取最小值．
∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．
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