第六章 反比例函数
1 反比例函数
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2017浙江杭州三模)下列问题情境中的两个变量成反比的是( )
A.汽车沿一条公路从A地驶往B地,所需的时间t与平均速度v
B.圆的周长l与圆的半径r
C.圆的面积S与圆的半径r
D.在电阻不变的情况下,电流强度I与电压U
2.下列哪个等式中的y是x的反比例函数( )
A.y=-
1
??
2
B.yx=-
3
C.y=5x+6 D.
??
=
1
??
3.函数y=(m2-m)
??
??
2
-3m+1
是反比例函数,则( )
A.m≠0 B.m≠0且m≠1 C.m=2 D.m=1或2
4.函数y=
2015
??
中,自变量x的取值范围是( )
A.x>0 B.x<0 C.x≠0 D.任意实数
5.判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数.
①xy=-
1
3
;②y=5-x;③y=
-2
5??
;y=
2??
??
(a为常数且a≠0),
其中 是反比例函数, 不是反比例函数.?
6.小明要把一篇12 000字的社会调查报告录入电脑,则录入的时间t(分钟)与录入文字的平均速度v(字/分钟)之间的函数关系式为 ,自变量的取值范围是 .?
三、解答题
7.列出下列问题中的函数关系式,并判断它们是不是反比例函数.
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t,该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数关系式;
(2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,总价y(元)与加油量x(L)的函数关系式;
(3)小明完成100 m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数关系式.
8.已知函数y=(5m-3)x2-n+(m+n).
(1)当m、n为何值时,该函数为一次函数?
(2)当m、n为何值时,该函数为正比例函数?
(3)当m、n为何值时,该函数为反比例函数?
9.已知反比例函数y=-
3
2??
.
(1)求这个函数的比例系数k;
(2)求当x=-10时y的值;
(3)求当y=6时,自变量x的值.
答案
1.(2017浙江杭州三模)下列问题情境中的两个变量成反比的是( )
A.汽车沿一条公路从A地驶往B地,所需的时间t与平均速度v
B.圆的周长l与圆的半径r
C.圆的面积S与圆的半径r
D.在电阻不变的情况下,电流强度I与电压U
答案 A A.t=
??
??
(s是路程,定值),t与v成反比,故本选项符合题意;
B.l=2πr,l与r成正比,故本选项不符合题意;
C.S=πr2,S与r2成正比,故本选项不符合题意;
D.I=
??
??
,电流强度I与电压U成正比,故本选项不符合题意.故选A.
2.下列哪个等式中的y是x的反比例函数( )
A.y=-
1
??
2
B.yx=-
3
C.y=5x+6 D.
??
=
1
??
答案 B A.y=-
1
??
2
中,y是x2的反比例函数,故本选项错误;
B.yx=-
3
符合反比例函数的形式,是反比例函数,故本选项正确;
C.y=5x+6是一次函数,故本选项错误;
D.
??
=
1
??
中,y是
??
的反比例函数,故本选项错误.故选B.
3.函数y=(m2-m)
??
??
2
-3m+1
是反比例函数,则( )
A.m≠0 B.m≠0且m≠1 C.m=2 D.m=1或2
答案 C 由题意知m2-3m+1=-1,整理得m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2.
当m=1时,m2-m=0,不合题意,应舍去.
∴m的值为2.
故选C.
4.函数y=
2015
??
中,自变量x的取值范围是( )
A.x>0 B.x<0 C.x≠0 D.任意实数
答案 C 函数y=
2015
??
中,自变量x的取值范围是x≠0,故选C.
二、填空题
5.判断下面哪些式子表示y是x的反比例函数.
①xy=-
1
3
;②y=5-x;③y=
-2
5??
;y=
2??
??
(a为常数且a≠0),
其中 是反比例函数, 不是反比例函数.?
答案 ①③④;②
解析 ①x,y相乘为一个非零常数,可以整理为y=
??
??
(k≠0)的形式,是反比例函数;
③④符合y=
??
??
(k≠0)的形式,是反比例函数;
②不符合反比例函数的一般形式,
故答案为①③④;②.
6.小明要把一篇12 000字的社会调查报告录入电脑,则录入的时间t(分钟)与录入文字的平均速度v(字/分钟)之间的函数关系式为 ,自变量的取值范围是 .?
答案 t=
12 000
??
;v>0
解析 根据题意,得t=
12 000
??
.因为录入文字的平均速度不能为负或0,所以v>0.
三、解答题
7.列出下列问题中的函数关系式,并判断它们是不是反比例函数.
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t,该农场人数y(人)与平均每人占有粮食量x(t)的函数关系式;
(2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,总价y(元)与加油量x(L)的函数关系式;
(3)小明完成100 m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数关系式.
解析 (1)由题意得x=
1 500
??
,即y=
1 500
??
,是反比例函数.
(2)由单价乘油量等于总价,得y=4.75x,不是反比例函数.
(3)由平均速度与时间的关系,得t=
100
??
,是反比例函数.
8.已知函数y=(5m-3)x2-n+(m+n).
(1)当m、n为何值时,该函数为一次函数?
(2)当m、n为何值时,该函数为正比例函数?
(3)当m、n为何值时,该函数为反比例函数?
解析 (1)要使函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)为一次函数,
需
2???=1,
5??-3≠0,
解得m≠
3
5
且n=1.
故当m≠
3
5
且n=1时,该函数为一次函数.
(2)要使函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)为正比例函数,
需
2???=1,
5??-3≠0,
??+??=0,
解得
??=?1,
??=1.
故当m=-1,n=1时,该函数为正比例函数.
(3)要使函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)为反比例函数,
需
2???=?1,
??+??=0,
5??-3≠0,
解得
??=?3,
??=3.
故当m=-3,n=3时,该函数为反比例函数.
9.已知反比例函数y=-
3
2??
.
(1)求这个函数的比例系数k;
(2)求当x=-10时y的值;
(3)求当y=6时,自变量x的值.
解析 (1)将反比例函数y=-
3
2??
化为一般形式,得y=
-
3
2
??
,
∴比例系数k=-
3
2
.
(2)当x=-10时,y=-
3
2×(?10)
=
3
20
,
∴当x=-10时,y的值为
3
20
.
(3)当y=6时,-
3
2??
=6,解得x=-
1
4
,
经检验,x=-
1
4
是原分式方程的解,
∴当y=6时,自变量x的值为-
1
4
.
课件52张PPT。第六章 反比例函数 初中数学（北师大版）
九年级 上册知识点一????反比例函数拓展
反比例关系与反比例函数的区别和联系
在小学时,我们学过反比例关系.如果xy=k(k是常数,k≠0),那么x与y这两 个量成反比例关系,这里x、y既可以代表单独的一个字母,也可以代表 多项式或单项式,若y+3与x-1成反比例,则y+3=?(k为常数,k≠0);若y与
x2成反比例,则y=?(k为常数,k≠0).反比例关系不一定是反比例函数,但
反比例函数y=?(k为常数,k≠0)中的两个变量必成反比例关系.例1 在下列函数表达式中,x为自变量,哪些是反比例函数?若是反比例 函数,请你指出相应的k值.
①y=?;②y=-?;③xy=15;④y=x2-1;⑤y=-?;⑥y=?+3;⑦y=x-4.分析 由反比例函数的概念可知,只要符合y=?(k为常数,k≠0)或xy=k或
y=kx-1(k为常数,k≠0)的形式,均为反比例函数.解析????②③⑤是反比例函数,k值分别为-?,15,-?.
点拨 判断一个函数是不是反比例函数,要从反比例函数的概念出发, 不能被表面现象迷惑.本题中⑥不能化成y=?(k为常数,k≠0)的形式,它
只能转化成y=?,此时分子不是常数,所以⑥不是反比例函数.知识点二????反比例函数表达式的确定
由于反比例函数y=?(k≠0)只有一个待定系数,因此只需要一组对
应值即可求出k的值,从而确定其表达式.
用待定系数法求反比例函数表达式的步骤:
(1)设:设反比例函数的表达式为y=?(k≠0);
(2)代:把已知条件代入表达式,得到一个关于k的方程;
(3)解:解这个方程,求出待定系数k;
(4)写:将待定系数k的值代入y=?中,得到反比例函数的表达式.
根据实际问题列反比例函数表达式,就是通过反比例函数的概念,从实 际问题中抽象出函数关系,从而将文字语言转化为数学语言.知识拓展
根据实际问题列反比例函数表达式的关键:
(1)首先分析清楚各变量之间应满足的关系式,然后建立反比例函数模 型,最后解决实际问题.
(2)一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.例2 由欧姆定律可知,电压不变时,电流强度I与电阻R成反比例,已知电 压不变,电阻R=12.5欧姆时,电流强度I=0.2安培.
(1)求I与R的函数表达式;
(2)当R=5欧姆时,求电流强度.分析 因为I与R成反比例,所以可设I=?(U≠0),解析式中只有U一个待定
系数,所以只要将R=12.5,I=0.2这一组数据代入I=?(U≠0)即可.解析????(1)∵I与R成反比例,∴设I=?(U≠0).
把R=12.5,I=0.2代入上式,得U=2.5,
∴I=?(R>0).
(2)把R=5代入I=?,得I=?=0.5,即当R=5欧姆时,电流强度为0.5安培.
点拨 此题中的变量是R与I,不要被固定思维限制,而误设为y=?(k≠0).题型????反比例函数与一次函数的综合应用例 已知y=y1-y2,y1与x成反比例,y2与(x-2)成正比例,并且当x=3时,y=5,
当x=1时,y=-1.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x=?时,求y的值.解析????(1)设y1=?(a≠0),y2=b(x-2)(b≠0),
∵y=y1-y2,
∴y=?-b(x-2),
把x=3,y=5和x=1,y=-1代入,得?
解得a=3,b=-4,
∴y与x之间的函数关系式是y=?+4x-8.
(2)把x=?代入y=?+4x-8中,得y=6+2-8=0.
归纳总结 本题是由一次函数和反比例函数组成的综合型函数题,应从 各自的特点出发,先分别表示出一次函数与反比例函数,再表示出组合
型函数,最后运用方程组求系数.知识点一????反比例函数1.(2019甘肃永登期末)下列函数中,是反比例函数的为?( )
A.y=-? ????B.y=? ????C.y=-? ????D.y=?+1答案????C????A.该函数是一次函数,故本选项错误;
B.该函数不是反比例函数,故本选项错误;
C.该函数符合反比例函数的定义,故本选项正确;
D.该函数不是反比例函数,故本选项错误.故选C.2.下列关系中的两个量成反比例的是?( )
A.面积一定时,矩形的周长与一边长
B.压力一定时,压强与受力面积
C.读一本书,已读的页数与余下的页数
D.某人的年龄与体重答案????B 选项B中两个量的函数关系式为p=?,所以压力一定时,压强
与受力面积成反比例,故选B.3.在下列关系式中,x均为自变量,哪些是反比例函数?每一个反比例函数 相应的k值是多少?
(1)y=?;(2)y=0.4x-1;(3)y=?;(4)xy=2;
(5)y=6x+3;(6)xy=-7;(7)y=?;(8)y=?x.解析????(1)(2)(4)(6)是反比例函数,相应的k值分别是5,0.4,2,-7.知识点二????反比例函数表达式的确定4.已知一个函数的关系式满足下表(x为自变量):则这个函数的关系式为?( )
A.y=? ????B.y=-? ????
C.y=-? ????D.y=? 答案????A 由题中表格可知x与y的乘积等于6,所以这个函数的关系式 为y=?.5.已知y是x的反比例函数,且当x=-?时,y=-?,则函数关系式是?( )
A.y=? ????B.y= -? ????
C.y=? ???? D.y= -? 答案????A ∵y是x的反比例函数,∴设y=?(k≠0),
∵当x=-?时,y=-?,∴k=?,
∴函数关系式为y=?.故选A.6.有一个容积为60 m3的水池,要在10 h内注满水,则注水时间t(单位:h)与 每小时注水量h(单位:m3)的函数关系式为 ????,自变量的取值范围 是 ????.答案????t=?;h≥6解析????依题意可得t=?.
∵要在10 h内注满水,∴?≤10,解得h≥6.7.用反比例函数表达式表示下列问题中两个变量间的对应关系:
(1)小明完成100 m赛跑时,所用时间t(s)随他跑步的平均速度v(m/s)的变 化而变化;
(2)一个密闭容器内有0.5 kg气体,气体的密度ρ随容器体积V的变化而变化;
(3)压力为600 N时,压强p随受力面积S的变化而变化;
(4)三角形的面积为20,一边上的高h随这一边的长a的变化而变化.解析????(1)∵vt=100,∴t=?(v>0).
(2)∵ρV=0.5,∴ρ=?(V>0).
(3)∵pS=600,∴p=?(S>0).
(4)∵?ah=20,∴h=?(a>0).1.下列函数中,不是反比例函数的为?( )
A.y=? ???? B.y=-? (m≠0)
C.y=? ????D.y=? 答案????C????A、B、D中的函数符合反比例函数的定义.C中,y与x-1成正 比例,所以选C.2.函数y=(m2-m)?是反比例函数,则?( )
A.m≠0 ????B.m≠0且m≠1
C.m=2 ???? D.m=1或2答案????C 由题意知m2-3m+1=-1,
整理得m2-3m+2=0,解得m1=1,m2=2.
当m=1时,m2-m=0,不合题意,舍去.
当m=2时,m2-m=2,∴m的值为2.故选C.3.计划修建铁路l km,铺轨天数为t(d),每日铺轨量为s(km/d),则在下列三 个结论中,正确的是?( )
①当l一定时,t是s的反比例函数;②当t一定时,l是s的反比例函数;③当s 一定时,l是t的反比例函数.
A.仅① ????B.仅② ????C.仅③ ????D.①②③答案????A ∵l=ts,∴t=?或s=?,∵反比例函数解析式的一般形式为y=?
(k≠0,k为常数),∴当l一定时,t是s的反比例函数,只有①正确,故选A.4.如果函数y=m?是一个反比例函数,求m的值和这个反比例函数的解
析式.解析????∵函数y=m?是反比例函数,
∴m2-5=-1,解得m=±2.
经检验,m=±2均符合题意,
故所求解析式为y=?或y=-?.5.一块直角三角形菜地的面积是24 m2,写出两条直角边长x(m)和y(m)之 间的关系式.y是x的反比例函数吗?求当x=6时另一条直角边长及斜边长.解析????∵24=?xy,∴xy=48,即y=?(x>0),
∴y是x的反比例函数.
当x=6时,y=?=8.
因此斜边长=?=10(m).
答:两条直角边长x与y之间的关系式是y=?(x>0),y是x的反比例函数,
当x=6时,另一条直角边长为8 m,斜边长为10 m.1.已知函数y=(m2+2m)?.
(1)若y是x的正比例函数,求m的值;
(2)若y是x的反比例函数,求m的值.解析????(1)依题意得m2+m-1=1,且m2+2m≠0,
解得m=1.
(2)依题意得m2+m-1=-1,且m2+2m≠0,
解得m=-1.2.已知y=y1+y2,y1与x成正比例关系,y2与x成反比例关系,且当x=2时,y=-4; 当x=-1时,y=5.求y与x之间的函数关系式.解析????∵y1与x成正比例关系,
∴设y1=k1x(k1≠0).
∵y2与x成反比例关系,
∴设y2=?(k2≠0),
∴y=k1x+?.
把x=2,y=-4及x=-1,y=5代入y=k1x+?中,
得?解得?∴y=-x-?.3.水产公司有一种海产品共2 104千克,为寻求合适的销售价格,公司进 行了8天试销,试销情况如下:解析????(1)所求的函数表达式为y=?(x>0).
补全表格如下:(2)2 104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1 600(千克),
即试销8天后,余下的海产品还有1 600千克.
当x=150时,y=?=80.
1 600÷80=20(天).
答:余下的这些海产品预计要用20天可以全部售出.4.已知y是x的函数,且对应数据如下表所示,你认为y是x的正比例函数还 是反比例函数?你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗?解析????①若y是x的正比例函数,则设y=kx(k≠0).
把x=-2,y=?代入y=kx,得?=-2k,解得k=-?,
∴y=-?x.
对于y=-?x,当x=4时,y=-3≠-?,
∴y不是x的正比例函数.
②若y是x的反比例函数,则设y=?(k≠0).1.函数①y=2x,②y=x,③y=x-1,④y=?中,反比例函数有?( )
A.0个 ????B.1个 ????C.2个 ????D.3个答案????B ①y=2x是正比例函数;②y=x是正比例函数;③y=x-1是反比例 函数;④y=?不是反比例函数,所以反比例函数有1个.故选B.2.若y=(5+m)x2+n是反比例函数,则?( )
A.m=-5,n=-3 ????B.m≠-5,n=-3
C.m≠-5,n=3 ????D.m≠-5,n=-4答案????B ∵y=(5+m)x2+n是反比例函数,
∴?
解得m≠-5,n=-3,故选B.3.已知函数y=(m2+2m-3)x|m|-2.
(1)若它是正比例函数,则m= ????;
(2)若它是反比例函数,则m= ????.答案 (1)3 (2)-1解析????(1)若y=(m2+2m-3)x|m|-2是正比例函数,则m2+2m-3≠0且|m|-2=1,解得m=3.
(2)若y=(m2+2m-3)x|m|-2是反比例函数,则m2+2m-3≠0且|m|-2=-1,解得m=-1.4.已知函数y=2y1-y2,y1与x+1成正比例,y2与x成反比例,当x=1时,y=4,当x=2 时,y=3,求y与x的函数关系式.解析????由题意得y1=k1(x+1)(k1≠0),y2=?(k2≠0).
∵y=2y1-y2,∴y=2k1(x+1)-?.
∴?解得?
∴y=?(x+1)-?,即y=?x+?+?.一、选择题
1.(2019重庆巴蜀中学月考,1,★☆☆)下列函数中,y是x的反比例函数的 是?( )
A.?= -1 ????B.xy =-?
C.y=x-p ???? D.y=? - 5答案????B????A.该函数不符合反比例函数的定义,故本选项错误;
B.该函数符合反比例函数的定义,故本选项正确;
C.该函数不符合反比例函数的定义,故本选项错误;
D.该函数不符合反比例函数的定义,故本选项错误.二、填空题 2.(2019甘肃白银靖远期末,18,★★☆)已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2 与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5,则y与x之间的函数关系式为 ????,当x=4时,y= ????.答案????y=2x+?;? 解析????y1与x成正比例,则设y1=mx(m≠0).y2与x成反比例,则设y2=?(n≠0),
因而y与x之间的函数关系式是y=mx+?.将x=1,y=4和x=2,y=5代入,得
?解得?所以y与x之间的函数关系式为y=2x+?.
当x=4时,y=?.1.(2018湖南常德二模,1,★☆☆)下列函数中,y是x的反比例函数的是?
( )
A.x(y-1)=1 ????B.y=?
C.y=-?x-1 ?? ?D.y=? 答案????C 如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=?(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.故选C.2.(2019广西贵港港南期中,13,★★☆)若函数y=(m-1)?是反比例函数,
则m= ????.答案 -1解析????∵函数y=(m-1)?是反比例函数,
∴-m2=-1且m-1≠0,
解得m=-1.一、选择题
1.(2016广东广州中考,6,★☆☆)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80 千米/时的平均速度用了4小时到达乙地,当他按原路匀速返回时,汽车的 速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系是?( )
A.v=320t ????B.v=? ????C.v=20t ????D.v=? 答案????B 由题意得vt=80×4,则v=?.故选B.2.(2015贵州黔西南州中考,3,★★☆)下列函数中,是反比例函数的是?
( )
A.y=? ????B.y=? ????C.y=x2 ????D.y=2x+1答案????B 形如y=?(k 是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数,故选B.二、填空题
3.(2015山东青岛中考,11,★☆☆)把一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、
1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面 积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为 ????.答案????S=?(h>0)解析????由题意得Sh=6,即S=?(h>0).1.(2015海南中考改编,10,★☆☆)已知反比例函数y=?,当x=-1时,y=1,
则m的值为?( )
A.-1 ????B.-2 ????C.0 ????D.1答案????B 把x=-1,y=1代入函数解析式,得1=?,
∴m+1=-1,故m=-2.2.(2017江苏无锡中考改编,15,★☆☆)已知反比例函数y=?,当x=-1时,y=-2,则k的值为 ????.1.已知函数y=?是反比例函数,求m的值.解析????由题意得?
即?故m=-?.2.已知一次函数y=3x-m和反比例函数y=?,当x=?时,两个函数的函数
值相等,求这两个函数的表达式.解析????将x=?代入一次函数的表达式,得y=1-m.
将x=?代入反比例函数的表达式,得y=3(m-3).
依题意,有1-m=3(m-3),解得m=?.
所以一次函数的表达式为y=3x-?,
反比例函数的表达式为y=-?.3.将x=?代入反比例函数y=-?中,所得函数值记为y1;再将x=y1+1代入函数,所得函数值记为y2;再将x=y2+1代入函数中,所得函数值记为y3;……,如此继续下去.
(1)完成下表:(2)观察上表,你发现了什么规律?并猜想y2 018的值.解析????(1)(2)发现y1,y2,y3,y4,…的值依次为-?,3,-?,-?,…,即每3个数循环一次,
所以y2 018=y3×672+2=y2=3.1.将x=?代入函数y=-?中,所得函数值记为y1,再将x=y1+1代入函数y=-?中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入函数y=-?中,所得函数值记为y3,……,继续下去,则y1= ????;y2= ????;y3= ????;y2 006= ????.答案 -?;2;-?;2解析????y1=-?,
y2=-?=2,
y3=-?=-?,
y4=-?=-?,
……
∴每3次计算为一个循环,
∵2 006=668×3+2,
∴y2 006与y2的值相同,∴y2 006=2.2.如图,已知△ABC是边长为2?的等边三角形,点E,F分别在CB和BC的
延长线上,且∠EAF=120°.设BE=x,CF=y,试探求y与x之间的函数表达式, 并求自变量x的取值范围.
? 解析????∵∠EAF=120°,
∴∠E+∠F=60°.
又∵△ABC为等边三角形,
∴∠E+∠EAB=∠ABC=60°,∴∠EAB=∠F.
同理可证∠E=∠CAF.
∴△AEB∽△FAC,∴?=?.
∴BE·CF=CA·BA.
∴xy=(2?)2=12.
∴y=?(x>0).3.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至 0.55至0.75元之间.经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)成反比例,当x=0.65时,y=0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若每度电的成本价为0.3元,则当电价调至0.6元/度时,该地本年度电 力部门的收益是多少?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]解析????(1)∵y与(x-0.4)成反比例,∴设y=?(k≠0),把x=0.65,y=0.8代
入,得0.8=?,解得k=0.2.
∴y=?=?(0.55≤x≤0.75).
(2)根据题意可得收益=?(x-0.3),
把x=0.6代入,得收益为0.6亿元.
∴当电价调至0.6元/度时,该地本年度电力部门的收益是 0.6亿元.第六章 反比例函数
2 反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象
测试时间:30分钟
一、选择题
1.(2018广东汕头金平期末)反比例函数y=-
2
??
的图象位于( )
A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
2.反比例函数y=
4
??
(x>0)的图象是( )
/
3.(2017河北廊坊广阳二模)若点A(1,2),B(-2,-3)在直线y=kx+b上,则函数y=
??
??
的图象位于( )
A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第二、三象限
4.若k≠0,则函数y=
??
??
和y=kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是( )
/
二、填空题
5.一次函数y=ax+b和反比例函数y=
??
??
在同一坐标系内的大致图象如图所示,则a 0,
b 0.?
/
6.如图是三个反比例函数的图象的分支,其中k1,k2,k3的大小关系是 .?
/
7.若反比例函数y=
??-1
??
的图象位于第二、四象限,则m的取值范围是 .?
三、解答题
8.画出反比例函数y=
6
??
的图象.
(1)完成下列表格:
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
y=
6
x
…
-1
-1.5
-2
6
3
2
1.2
1
…
(2)描点,连线.
/
9.作出反比例函数y=
12
??
的图象,并根据图象解答下列问题.
(1)当x=4时,求y的值;
(2)当y=-2时,求x的值.
10.已知反比例函数y=
??-1
??
图象的两个分支分别位于第一、三象限.
(1)求k的取值范围;
(2)取一个你认为符合条件的k值,写出反比例函数的表达式,并求出当x=-6时y的值.
11.已知函数y=
4
|??|
,小明研究该函数的图象及性质时,列出y与x的几组对应值如下表:
x
…
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
…
y
…
1
4
3
2
4
4
2
4
3
1
…
请解答下列问题:
(1)根据表格中给出的数值,在平面直角坐标系xOy中,标出以各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
(2)写出该函数的两条性质:① ;② .?
/
答案
一、选择题
1.(2018广东汕头金平期末)反比例函数y=-
2
??
的图象位于( )
A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
答案 A 当k>0时,两个分支分别位于第一、三象限;当k<0时,两个分支分别位于第二、四象限.
2.反比例函数y=
4
??
(x>0)的图象是( )
/
答案 C ∵反比例函数y=
4
??
(x>0),∴k=4,∴该函数图象所经过的点的横纵坐标的乘积为4,观察选项,只有选项C符合题意.故选C.
3.(2017河北廊坊广阳二模)若点A(1,2),B(-2,-3)在直线y=kx+b上,则函数y=
??
??
的图象位于( )
A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第二、三象限
答案 A ∵点A(1,2),B(-2,-3)在直线y=kx+b上,
∴
??+??=2,
-2??+??=?3,
解得
??=
5
3
,
??=
1
3
,
∴函数y=
5
3
??
的图象位于第一、三象限.故选A.
4.若k≠0,则函数y=
??
??
和y=kx+3在同一直角坐标系上的图象大致是( )
/
答案 A 分两种情况讨论:①当k>0时,y=kx+3的图象与y轴的交点在正半轴上,过第一、二、三象限,y=
??
??
的图象在第一、三象限内;②当k<0时,y=kx+3的图象与y轴的交点在正半轴上,过第一、二、四象限,y=
??
??
的图象在第二、四象限内.故选A.
二、填空题
5.一次函数y=ax+b和反比例函数y=
??
??
在同一坐标系内的大致图象如图所示,则a 0,
b 0.?
/
答案 <;>
解析 ∵反比例函数的图象在第一、三象限内,∴b>0,∵一次函数的图象经过第一、二、四象限,∴a<0,b>0.故答案为<;>.
6.如图是三个反比例函数的图象的分支,其中k1,k2,k3的大小关系是 .?
/
答案 k1解析 易知k1<0,k2>k3>0,
即k1,k2,k3的大小关系是k17.若反比例函数y=
??-1
??
的图象位于第二、四象限,则m的取值范围是 .?
答案 m<1
解析 ∵反比例函数y=
??-1
??
的图象位于第二、四象限,∴m-1<0,解得m<1.
三、解答题
8.画出反比例函数y=
6
??
的图象.
(1)完成下列表格:
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
y=
6
x
…
-1
-1.5
-2
6
3
2
1.2
1
…
(2)描点,连线.
/
解析 (1)表格如下:
x
…
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
…
y=
6
x
…
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1
…
(2)如图所示.
/
9.作出反比例函数y=
12
??
的图象,并根据图象解答下列问题.
(1)当x=4时,求y的值;
(2)当y=-2时,求x的值.
解析 列表:
x
…
-6
-4
-3
-2
2
3
4
6
…
y
…
-2
-3
-4
-6
6
4
3
2
…
描点,连线,如图所示.
/
(1)当x=4时,y=3.
(2)当y=-2时,x=-6.
10.已知反比例函数y=
??-1
??
图象的两个分支分别位于第一、三象限.
(1)求k的取值范围;
(2)取一个你认为符合条件的k值,写出反比例函数的表达式,并求出当x=-6时y的值.
解析 (1)∵反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限,
∴k-1>0,解得k>1.
(2)∵k>1,∴可取k=2,则反比例函数的表达式为y=
1
??
,
把x=-6代入y=
1
??
,得y=
1
-6
=-
1
6
.
11.已知函数y=
4
|??|
,小明研究该函数的图象及性质时,列出y与x的几组对应值如下表:
x
…
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
…
y
…
1
4
3
2
4
4
2
4
3
1
…
请解答下列问题:
(1)根据表格中给出的数值,在平面直角坐标系xOy中,标出以各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
(2)写出该函数的两条性质:① ;② .?
/
解析 (1)如图.
/
(2)该函数的两条性质:①图象关于y轴对称;②图象在x轴的上方.
第六章 反比例函数
第2课时 反比例函数的性质
测试时间:30分钟
一、选择题
1.(2019四川成都锦江模拟)已知反比例函数y=-
8
??
,下列结论中错误的是( )
A.图象在第二、四象限内 B.图象必经过(-2,4)
C.当-18 D.y随x的增大而增大
2.(2019黑龙江哈尔滨香坊期中)对于每一象限内的双曲线y=
??+4
??
,y都随x的增大而增大,则m的取值范围是 ( )
A.m>-4 B.m>4 C.m<-4 D.m<4
3.反比例函数y=
??
??
(m≠0)的图象如图所示,有以下结论:
①m<-1;
②在每一个象限内,y随x的增大而增大;
③若A(-1,h)、B(2,k)在图象上,则h④若P(x,y)在图象上,则P'(-x,-y)也在图象上.
/
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4.(2018北京房山期末)如图,点P在反比例函数y=
??
??
(k≠0)的图象上,PA⊥x轴于点A,△PAO的面积为2,则k的值为( )
/
A.1 B.2 C.4 D.6
5.(2018天津河西一模)已知反比例函数y=-
6
??
,当-3A.0.
二、填空题
6.(2019北京石景山期末)请写出一个反比例函数的表达式,满足条件当x>0时,y随x的增大而增大,则此函数的表达式可以为 .?
三、解答题
7.如图是反比例函数y=
4
??
在第一象限内的图象.
(1)当0(2)当x>2时,0(3)当x取何值时,1/
8.如图,已知反比例函数y=
??-7
??
的图象的一支位于第一象限.
(1)该函数图象的另一支位于第 象限,m的取值范围是 ;?
(2)已知点A在反比例函数图象上,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为3,求m的值.
/
9.反比例函数y=
8
??
的图象如图所示,在第一象限的图象上任取一点P(x,y),作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.
/
(1)请填写下表:
x
…
1
2
1
2
3
4
5
…
y
…
…
S四边形OAPB
…
…
(2)由(1)的结果,你能得出怎样的结论?
(3)若点P位于反比例函数y=
8
??
的图象在第三象限的一支上,则(2)的结论还成立吗?请说明理由.
10.如图,曲线是反比例函数y=
4?2??
??
的图象的一支.
(1)图象的另一支在第 象限内;?
(2)m的取值范围是 ;?
(3)若点A(-2,y1),B(-1,y2)和C(1,y3)都在这个反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1y2>y1 D.y1/
11.如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=
??
??
(x<0)的图象经过顶点B.
/
(1)求k的值;
(2)点P是x轴上一动点,当△BCP的面积等于菱形OABC的面积时,求点P的坐标.
答案
、选择题
1.(2019四川成都锦江模拟)已知反比例函数y=-
8
??
,下列结论中错误的是( )
A.图象在第二、四象限内 B.图象必经过(-2,4)
C.当-18 D.y随x的增大而增大
答案 D ∵反比例函数y=-
8
??
中,k=-8<0,∴图象在第二、四象限内,故A选项中结论正确;
∵-2×4=-8,∴图象必经过(-2,4),故B选项中结论正确;当-18,故C选项中结论正确;∵反比例函数y=-
8
??
中,k=-8<0,∴在每个象限内,y随x的增大而增大,故D选项中结论错误.故选D.
2.(2019黑龙江哈尔滨香坊期中)对于每一象限内的双曲线y=
??+4
??
,y都随x的增大而增大,则m的取值范围是 ( )
A.m>-4 B.m>4 C.m<-4 D.m<4
答案 C ∵对于每一象限内的双曲线y=
??+4
??
,y都随x的增大而增大,
∴m+4<0,
解得m<-4.
3.反比例函数y=
??
??
(m≠0)的图象如图所示,有以下结论:
①m<-1;
②在每一个象限内,y随x的增大而增大;
③若A(-1,h)、B(2,k)在图象上,则h④若P(x,y)在图象上,则P'(-x,-y)也在图象上.
/
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
答案 C ∵反比例函数的图象位于第一、三象限,∴m>0,故①错误;反比例函数的图象位于第一、三象限,且在每个象限内,y随x的增大而减小,故②错误;将A(-1,h)、B(2,k)代入y=
??
??
得到h=-m,k=
??
2
,∵m>0,∴h??
??
得到m=xy,将P'(-x,-y)代入y=
??
??
得到m=xy,因此若P(x,y)在图象上,则P'(-x,-y)也在图象上,故④正确.
4.(2018北京房山期末)如图,点P在反比例函数y=
??
??
(k≠0)的图象上,PA⊥x轴于点A,△PAO的面积为2,则k的值为( )
/
A.1 B.2 C.4 D.6
答案 C 依据比例系数k的几何意义可得,△PAO的面积=
1
2
|k|,
即
1
2
|k|=2,解得k=±4.
由于函数图象位于第一、三象限,因此k=4.故选C.
5.(2018天津河西一模)已知反比例函数y=-
6
??
,当-3A.0答案 C ∵在y=-
6
??
中,-6<0,∴图象位于第二、四象限,且在第二象限内,y随x的增大而增大,且当x=-3时,y=2,当x=-2时,y=3,∴当-3二、填空题
6.(2019北京石景山期末)请写出一个反比例函数的表达式,满足条件当x>0时,y随x的增大而增大,则此函数的表达式可以为 .?
答案 y=-
1
??
(答案不唯一)
解析 ∵当x>0时,y随x的增大而增大,∴函数的解析式可以为y=-
1
??
.(答案不唯一)
三、解答题
7.如图是反比例函数y=
4
??
在第一象限内的图象.
(1)当0(2)当x>2时,0(3)当x取何值时,1/
解析 (1)由函数图象知,当02,
故答案为>2.
(2)由函数图象知,当x>2时,0故答案为2.
(3)当y=1时,
4
??
=1,解得x=4,当y=2时,
4
??
=2,解得x=2,
则当28.如图,已知反比例函数y=
??-7
??
的图象的一支位于第一象限.
(1)该函数图象的另一支位于第 象限,m的取值范围是 ;?
(2)已知点A在反比例函数图象上,AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为3,求m的值.
/
解析 (1)根据反比例函数的图象关于原点对称知,该函数图象的另一支在第三象限内,易知m-7>0,则m>7.
故答案是三;m>7.
(2)∵点A在第一象限内,AB⊥x轴,△AOB的面积为3,
设点A的横坐标为x,则OB=x,AB=
??-7
??
,∴S△OAB=
1
2
·x·
??-7
??
=3,
∴m-7=6,
解得m=13.
9.反比例函数y=
8
??
的图象如图所示,在第一象限的图象上任取一点P(x,y),作PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B.
/
(1)请填写下表:
x
…
1
2
1
2
3
4
5
…
y
…
…
S四边形OAPB
…
…
(2)由(1)的结果,你能得出怎样的结论?
(3)若点P位于反比例函数y=
8
??
的图象在第三象限的一支上,则(2)的结论还成立吗?请说明理由.
解析 (1)填表如下:
x
…
1
2
1
2
3
4
5
…
y
…
16
8
4
8
3
2
8
5
…
S四边形OAPB
…
8
8
8
8
8
8
…
(2)结论:四边形OAPB的面积不变,等于比例系数8.
(3)结论仍成立.
理由:当点P在第三象限内时,设横坐标是a,把x=a代入y=
8
??
,得y=
8
??
,
则OA=|a|=-a,OB=
8
??
=-
8
??
,
则S四边形OAPB=(-a)·
-
8
??
=8.
10.如图,曲线是反比例函数y=
4?2??
??
的图象的一支.
(1)图象的另一支在第 象限内;?
(2)m的取值范围是 ;?
(3)若点A(-2,y1),B(-1,y2)和C(1,y3)都在这个反比例函数的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1y2>y1 D.y1/
解析 (1)由反比例函数的图象可知,若函数图象的一支位于第四象限,则另一支位于第二象限.
(2)∵反比例函数的图象位于第二、四象限,∴4-2m<0,解得m>2.
(3)∵此函数的图象在第二、四象限内,且-2<0,-1<0,1>0,
∴(-2,y1),(-1,y2)位于第二象限,(1,y3)位于第四象限,
∴y1>0,y2>0,y3<0,
易知函数图象在第二象限内,y随x的增大而增大,又-2<-1,∴y2>y1,
∴y311.如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=
??
??
(x<0)的图象经过顶点B.
/
(1)求k的值;
(2)点P是x轴上一动点,当△BCP的面积等于菱形OABC的面积时,求点P的坐标.
解析 (1)∵四边形OABC为菱形,顶点C在x轴的负半轴上,点A的坐标为(-3,4),
∴AB=OC=OA=
3
2
+
4
2
=5,
∴点B的坐标为(-8,4),
∴k=-8×4=-32.
(2)设点P的坐标为(m,0),
由题意得
1
2
|m+5|·4=5×4,
解得m=-15或5.
故点P的坐标为(-15,0)或(5,0).
课件95张PPT。第六章 反比例函数 初中数学（北师大版）
九年级 上册知识点一????反比例函数图象的画法
反比例函数图象的画法(描点法)
(1)列表:自变量的取值应以0为中心,在0的两边取三对(或三对以上)互 为相反数的数,并计算出相应的函数值.
(2)描点:以表中各组对应值为坐标,描出各点.
(3)连线:按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸.注意自变 量x≠0,反比例函数的图象是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋 势,但永远不与坐标轴相交.注意 (1)自变量的取值范围是x≠0的一切实数;
(2)必须用平滑的曲线连接各点,而不能用折线;
(3)为了更好地反映图象的全貌,要尽可能多地取一些数,多描一些点.
知识拓展
反比例函数的图象是双曲线,双曲线具有对称性.
(1)双曲线是轴对称图形,对称轴有两条,分别是直线y=x和直线y=-x;
(2)双曲线是中心对称图形,对称中心是原点O.如果一个点P(a,b)在双曲 线的一支上,那么点P关于原点O中心对称的点必在双曲线的另一支上, 这个点的坐标为(-a,-b).例1 画出反比例函数y=?与y=-?的图象.解析????用描点法画出反比例函数的图象.
(1)列表.(2)描点.
(3)连线.如图6-2-1,图6-2-2.
?
图6-2-1?
图6-2-2
点拨 用描点法画反比例函数的图象,列表时自变量应选取绝对值相等 而符号相反的数,并尽量多取一些数,连线时要连成平滑的曲线,并注意 双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交,但无限靠近坐标轴.知识点二????反比例函数的图象和性质
反比例函数y=?(k≠0)的图象是双曲线,它有两个分支,这两个分支
分别位于第一、三象限或第二、四象限,它们关于原点对称.由于反比 例函数中的自变量x≠0,函数值y≠0,所以它的图象与x轴、y轴都没有交 点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相交.
关于反比例函数的图象与性质归纳如下:注意 (1)因为x≠0,y≠0,所以反比例函数的图象与y轴、x轴不可能有 交点.(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符 号决定的;反过来,由双曲线所在位置或函数的增减性可以推出k的符号. 如已知双曲线y=?(k≠0)在第二、四象限,可知k<0.例2 对于反比例函数y=?,下列说法正确的是?( )
A.图象经过点(1,-3)
B.图象在第二、四象限
C.x>0时,y随x的增大而增大
D.x<0时,y随x的增大而减小解析????对于反比例函数y=?,当x=1时,y=3,故A项错误;因为k=3>0,所以
反比例函数y=?的图象的两个分支分别在第一、三象限内,且在每一象
限内,y的值随x值的增大而减小,故B,C项均错误,D项正确.答案????D点拨 本题还可以画函数图象的草图,利用数形结合思想求解.注意 (1)掌握反比例函数解析式中比例系数k的几何意义——过双曲 线上任一点向坐标轴作垂线,所围成矩形的面积为|k|.(2)若已知过双曲 线上某点向坐标轴作垂线所围矩形的面积,求反比例函数解析式时,还 应考虑双曲线所在象限,从而确定k的符号.例3 如图6-2-4,已知矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴 上,反比例函数y=?(x>0)的图象过边BC的中点E且与边AB交于点D,EM
垂直于x轴.若四边形OEBD的面积为2,求k的值.
?
图6-2-4解析????由k的几何意义可知S△OEC=S△OAD=?,
因为点E在反比例函数y=?(x>0)的图象上,
所以S矩形OMEC=|k|,因为矩形OABC的边CB的中点是E,
所以矩形OABC的面积为2|k|.
所以?|k|+2+?|k|=2|k|,所以|k|=2.
由题图知k>0,故k=2.题型一????比较函数值的大小例1????(2017河南中考)已知点A(1,m),B(2,n)在反比例函数y=-?的图象上,
则m与n的大小关系为 ????.解析????解法一:把点A(1,m),B(2,n)分别代入y=-?,可得m=-2,n=-1,所以m解法二:∵k=-2<0,∴双曲线位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,∵0<1<2,∴m?ABCD,使点B,C在x轴上,点D在y轴上,则?ABCD的面积为?( )
?
图6-2-5
A.1 ????B.3 ??? ?C.6 ????D.12解析????过点A作AE⊥OB于点E,如图6-2-6.
?
图6-2-6
∵矩形ADOE的面积等于AD·AE,?ABCD的面积等于AD·AE,∴?ABCD 的面积等于矩形ADOE的面积.
∵矩形ADOE的面积为6,∴?ABCD的面积为6,故选C.答案????C点拨 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义,根据题意得出 ?ABCD的面积等于矩形ADOE的面积是解答本题的关键.易错点????研究函数的增减性时不分象限例 已知在反比例函数y=?(a为常数)的图象上有A(-3,y1),B(-1,y2), C(2,y3)三点,则函数值y1,y2,y3的大小关系是?( )
A.y2?( )
A.k>2 ????B.k≥2
C.k≤2 ????D.k<2答案????A 由题意得k-2>0,故k>2.3.(2018湖南怀化中考)函数y=kx-3与y=?(k≠0)在同一坐标系内的图象
可能是?( )
? 答案????B 直线y=kx-3与y轴交于点(0,-3),可排除A、D选项;由k的取值 符号是否一致(k>0时,直线与双曲线都经过第一、三象限;k<0时,直线与 双曲线都经过第二、四象限),可以排除C.故选B.4.(2018江苏扬州中考)已知点A(x1,3),B(x2,6)都在反比例函数y=-?的图象
上,则下列关系式一定正确的是?( )
A.x1C.x2∴x1=-1,x2=-?,即有x1解法二:∵k=-3<0,∴图象位于第二象限或第四象限,在每一象限内,y随x 的增大而增大,
∵3<6,∴x1( )
A.其图象经过点(3,1)
B.其图象分别位于第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而减小
D.当x>1时,y>3答案????D????A.当x=3时,y=1,∴函数图象过点(3,1),故本选项正确;
B.∵k=3>0,∴函数图象位于第一、三象限,故本选项正确;
C.∵k=3>0,∴当x>0时,y随x的增大而减小,故本选项正确;
D.当x=1时,y=3,当x>1时,0故选D.知识点三????反比例函数y=?(k≠0)中比例系数k的几何意义6.(2017贵州黔南州中考)反比例函数y=-?(x<0)的图象如图6-2-1所示,则
矩形OAPB的面积是?( )
?
图6-2-1
A.3 ????B.-3 ????C.? ????D.-? 答案????A ∵点P在反比例函数y=-?(x<0)的图象上,
∴设P?,∴OA=-x,PA=-?,
∴S矩形OAPB=OA·PA=-x·?=3,故选A.7.(2019北京顺义期末)如图6-2-2,在平面直角坐标系xOy中,点A在反比例函数y=-?位于第二象限的图象上,过点A作AB⊥x轴于点B,则S△AOB=???? ????.
?
图6-2-2答案 2解析????设点A的坐标为?,∵AB⊥x轴,∴OB=-a,AB=-?,
∴S△AOB=?=2.8.如图6-2-3,点A是反比例函数y=?图象上一点,过点A作AB⊥y轴于点B,
点C、D在x轴上,且BC∥AD,四边形ABCD的面积为3,则k= ????.
图6-2-3答案 -3解析????设点A的坐标为(m,n),
∵AB⊥y轴,CD⊥y轴,∴AB∥CD,
又∵BC∥AD,∴四边形ABCD为平行四边形.
S平行四边形ABCD=AB·OB=-m·n=3,∴k=mn=-3.1.已知反比例函数y=?,当-3A.y<0 ???? B.-3C.-60,∴在每个象限内y随x的增大而减小,又∵当x=-3时,
y=-2,当x=-1时,y=-6,∴当-3? 答案????B ∵ab<0,∴分两种情况:
(1)当a>0,b<0时,正比例函数y=ax的图象过第一、三象限,反比例函数y= 的图象在第二、四象限;
(2)当a<0,b>0时,正比例函数y=ax的图象过第二、四象限,反比例函数y= 的图象在第一、三象限.故选B.3.如图,如果曲线l1是反比例函数y=?在第一象限内的图象,且过点A(2,
1),那么曲线l1关于x轴对称的曲线l2的解析式为 ????.
? 答案????y=-? 解析????将(2,1)代入反比例函数y=?,得k=2,∴曲线l1的解析式为y=?,
∴曲线l1关于x轴对称的曲线l2的解析式为y=-?.1.(2018浙江舟山中考)如图6-2-4,点C在反比例函数y=?(x>0)的图象上,
过点C的直线与x轴,y轴分别交于点A、B,且AB=BC,△AOB的面积为1. 则k的值为?( )
?
图6-2-4
A.1 ????B.2 ????C.3 ????D.4答案????D 如图,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OC.由CD∥OB得△ABO ∽△ACD,∴?=?,∵AB=BC,∴AO=OD,故S△ABO=S△BOC=1,S△AOC=S△COD=
2,又因为S△COD=?,所以?=2,即k=4,故选D.
? 2.已知反比例函数y=?(k≠0),当自变量x满足?≤x≤2时,对应的函数值y
满足?≤y≤1,则k的值为?( )
A.? ????B.? ????C.2 ????D.4答案????A ∵当自变量x满足?≤x≤2时,对应的函数值y满足?≤y≤1,
∴若当x=?时,y=?,则k=?,反比例函数的解析式为y=?,把x=2代入,得y= ≠1,
不合题意;若当x=?时,y=1,则k=?,反比例函数的解析式为y=?,把x=2代入,
得y=?,符合题意.故选A.答案????C ∵正比例函数y=kx与反比例函数y=-?的图象的交点关于原
点对称,∴设A点坐标为?,
则B点坐标为?,C?,∴S△ABC=?×(-2x-x)·?=?×(-3x)·
?=6.故选C.4.如图6-2-6,在平面直角坐标系中,过点M(-3,2)分别作x轴、y轴的垂线, 与反比例函数y=?的图象交于A、B两点,则四边形MAOB的面积为??? ????.
?
图6-2-6解析????如图,设MA与x轴交于点C,MB与y轴交于点D.由题意可知点A的 坐标为?,点B的坐标为(2,2),则点C的坐标为(-3,0),点D的坐标为
(0,2),
∴S四边形MAOB=S矩形MCOD+S△ACO+S△BDO
=3×2+?×3×?+?×2×2
=6+2+2=10.
? 答案 105.如图6-2-7,已知反比例函数y=?(k1>0),y=?(k2<0),A在y轴的正半轴上,
过点A作直线BC∥x轴,且分别与两个反比例函数的图象交于点C和B,连 接OC,OB.若△BOC的面积为?,AC∶AB=2∶3,则k1= ??,k2= ????.
?
图6-2-76.如图6-2-8,反比例函数y=?(x>0)的图象与矩形OABC的边AB,BC分别
交于点E,F且AE=BE,求△OEF的面积.
?
图6-2-8答案????B????AC=m-1,CQ=n,则S四边形ACQE=AC·CQ=(m-1)n=mn-n.
∵P(1,4)、Q(m,n)在函数y=?(x>0)的图象上,
∴mn=k=4(常数).
∴S四边形ACQE=4-n,
∵当m>1时,n随m的增大而减小,
∴S四边形ACQE=4-n随m的增大而增大.故选B.2.(2016甘肃兰州中考)如图,A、B两点在反比例函数y=?的图象上,C、
D两点在反比例函数y=?的图象上,AC⊥x轴于点E,BD⊥x轴于点F,AC=
2,BD=3,EF=?,则k2-k1=?( )
?
A.4 ????B.? ????C.? ????D.6答案????A 解法一:连接AO、CO、DO、BO.
?
由反比例函数图象所在象限可知,k1<0,k2>0.
∵S△AOC=S△AOE+S△EOC,∴?+?=?AC·OE,
∵AC=2,∴?=?×2OE,∴OE=?.
∵S△BOD= S△DOF+S△BOF,∴?+?=?BD·OF,∵BD=3,∴?=?×3OF,
∴OF=?.∵OE+OF=EF=?,∴?+?=?,解得k2-k1=4.故选A.解法二:设A?,B?,则C?,D?,
根据题意得?解得k2-k1=4.故选A.3.(2016广西南宁中考)如图所示,反比例函数y=?(k≠0,x>0)的图象经过
矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8,则k的值为???????.
? 答案 2解析????过D作DE⊥OA于E,设D?,∴OE=m,DE=?.∵点D是矩形
OABC的对角线AC的中点,∴OA=2m,OC=?,∵矩形OABC的面积为8,
∴OA·OC=2m·?=8,∴k=2.
? 4.(2016湖北荆门中考)如图,已知点A(1,2)是反比例函数y=?图象上的一点,连接AO并延长交双曲线的另一支于点B,点P是x轴上一动点,若△PAB是等腰三角形,则点P的坐标是 ????.
? 答案 (-3,0)或(5,0)或(3,0)或(-5,0)解析????∵反比例函数y=?的图象关于原点对称,∴A、B两点关于O对称,
∴O为AB的中点,且B(-1,-2).
当△PAB为等腰三角形时,有PA=AB或PB=AB,设P点坐标为(x,0),
∵A(1,2),B(-1,-2),
∴AB=?=2?,PA=?,PB=
?,当PA=AB时,?=2?,解得x=-3或5,
此时P点坐标为(-3,0)或(5,0);当PB=AB时,?=2?,解
得x=3或-5,此时P点坐标为(3,0)或(-5,0).综上可知,P点的坐标为(-3,0)或 (5,0)或(3,0)或(-5,0).一、选择题
1.(2019北京平谷期末,4,★★☆)已知A(-2,y1),B(-1,y2)是反比例函数y=?
图象上的两个点,则y1与y2的大小关系是?( )
A.y1y2 ????D.y1≥y2 答案????C ∵反比例函数y=?,k=2>0,∴图象在第一、三象限,且在每个
象限内,y随x的增大而减小,
∵A(-2,y1),B(-1,y2)是反比例函数y=?图象上的两个点,且-2<-1,∴y1>y2,故
选C.2.(2019天津南开期末,6,★★☆)若点(x1,y1),(x2,y2)都是反比例函数y=-?
图象上的点,并且y1<0A.x1>x2 ???? B.x1C.y随x的增大而减小 ????D.两点有可能在同一象限答案????A ∵点(x1,y1),(x2,y2)都是反比例函数y=-?图象上的点,并且y1<0x2.故选A.二、填空题
3.(2019山东汶上期末,13,★★☆)如图6-2-9,点A,点B分别在反比例函数y =?和y=?的图象上,且AB∥x轴,则△OAB的面积等于 ????.
?
图6-2-94.(2019吉林期末,14,★★☆)如图6-2-10,在平面直角坐标系中,OB在x轴 上,∠ABO=90°,点A的坐标为(2,4),将△AOB绕点A逆时针旋转90°,点O的 对应点C恰好落在反比例函数y=?的图象上,则k的值为 ????.
?
图6-2-10答案 12解析????∵OB在x轴上,∠ABO=90°,点A的坐标为(2,4),将△AOB绕点A逆 时针旋转90°,点O的对应点C恰好落在反比例函数y=?的图象上,
∴OB=CD=2,AB=AD=4,∴点C的坐标为(6,2),
∴2=?,解得k=12.1.(2018广东中山期末,10,★★☆)在同一直角坐标系中,函数y=mx+m(m≠0)与y=?(m≠0)的图象可能是?( )
? 答案????C????A.由反比例函数图象得m<0,则一次函数图象经过第二、 三、四象限,所以A选项错误;
B.由反比例函数图象得m>0,则一次函数图象经过第一、二、三象限,所 以B选项错误;
C.由反比例函数图象得m>0,则一次函数图象经过第一、二、三象限,所 以C选项正确;
D.由反比例函数图象得m<0,则一次函数图象经过第二、三、四象限,所 以D选项错误.故选C.2.(2018湖南张家界永定一模,8,★★☆)如图,在以O为原点的直角坐标 系中,矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上,反比例函 数y=?(x>0)的图象与AB相交于点D,与BC相交于点E,若BD=3AD,且△ODE的面积是12,则k=?( )
?
A.6 ????B.9 ????C.? ????D.? 答案????D ∵四边形OCBA是矩形,
∴AB=OC,OA=BC,
设B点的坐标为(a,b),
∵BD=3AD,∴D?,
∵D、E在反比例函数的图象上,∴?=k,
设E的坐标为(a,y),∴ay=k,∴E?,
∵S△ODE=S矩形OCBA-S△AOD-S△OCE-S△BDE=ab-?k-?k-?·?·?=12,
∴4k-k-?+?=12,∴k=?,故选D.答案????C ∵A、B是反比例函数y=?图象上的点,
∴S△OBD=S△OAC=?.
∵P是y=?的图象上一动点,
∴S矩形PDOC=4,
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC-S△ODB-S△OAC=4-?-?=3.
如图,连接OP,则?=?=?=4,
∴AC=?PC,PA=?PC,
∴?=3,∴AC=?AP.同理,PB=?DP,故当P的横、纵坐标相等时,PA=PB.
综上所述,正确的结论有①③④.故选C. 4.(2017陕西西安模拟,13,★★★)如图,双曲线y=?(x>0)经过△OAB的顶
点A和OB的中点C,AB∥x轴,点A的坐标为(2,3),则△OAC的面积是 ???? ????.
? ∵C为OB的中点,∴?=?,
∴?=?=?,
∵A,C都在双曲线y=?上,
∴S△OCN=S△AOM=3,
由?=?,得S△AOB=9,
则△AOC的面积=?S△AOB=?.5.(2019内蒙古巴彦淖尔临河期末,13,★★☆)如图,函数y=-x与函数y=-?
的图象相交于A,B两点,过A,B两点分别作y轴的垂线,垂足分别为点C,D, 则四边形ACBD的面积为 ????.
? 一、选择题
1.(2018黑龙江哈尔滨中考,9,★☆☆)已知反比例函数y=?的图象经
过点(1,1),则k的值为?( )
A.-1 ????B.0 ????C.1 ????D.2答案????D 将点(1,1)代入反比例函数解析式,得2k-3=1,解得k=2.2.(2018山东威海中考,3,★☆☆)若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线y=?(k<0)上,则y1,y2,y3的大小关系是?( )
A.y1C.y2象限内,y随x的增大而增大,而-2<-1<0<3,∴y3? 3.(2018山东日照中考,9,★★☆)已知反比例函数y=-?,下列结论:①图象
必经过(-2,4);②图象在二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x>-1时, y>8.其中错误的结论有 ????个.?( )
A.3 ????B.2 ????C.1 ????D.0答案????B 把(-2,4)代入y=-?,成立,故①正确;k=-8<0,所以反比例函数的
图象在二、四象限内,在每一象限内,y随x的增大而增大,故②正确,③错 误;当-18,而当x>0时,y<0,故④错误.所以错误的结论有2个.故 选B.二、解答题
4.(2015广东广州中考,20,★☆☆)已知反比例函数y=?的图象的一支
位于第一象限.
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限,并求m的取值范围;
(2)如图6-2-11,O为坐标原点,点A在该反比例函数位于第一象限的图象 上,点B与点A关于x轴对称,若△OAB的面积为6,求m的值.
?
图6-2-11解析????(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知,该函数图象的另一 支在第三象限.由题意知m-7>0,则m>7.
(2)设线段AB与x轴的交点为C,点A的坐标为(x0,y0).
∵点B与点A关于x轴对称,△OAB的面积为6,
∴S△AOC=S△OBC=?S△OAB=3,
∴S△AOC=?x0y0=3,∴x0y0=6,
∵点A在反比例函数y=?的图象上,
∴y0=?,∴x0y0=m-7,∴m-7=6,
∴m=13.解析????(1)∵A(1,4),B(4,m)是函数y=?(x>0)图象上的两点,
∴4=?,k1=4,∴y=?(x>0),∴m=?=1.
∵函数y=?(x>0)的图象与函数y=?(x<0)的图象关于y轴对称,
∴点A(1,4)关于y轴的对称点A1(-1,4)在函数y=?(x<0)的图象上,
∴4=?,k2=-4,∴y=-?(x<0).
∵点C(-2,n)是函数y=-?(x<0)图象上的一点,
∴n=-?=2.
(2)设AB所在直线的表达式为y=kx+b,将A(1,4),B(4,1)分别代入y=kx+b,得
?解得?∴AB所在直线的表达式为y=-x+5.
(3)如图,过A、B、C三点分别向x轴作垂线,垂足分别是A',B',C',则CC'=2, AA'=4,BB'=1,C'A'=3,A'B'=3,C'B'=6,
∴S△ABC=S梯形CC‘A’A+ S梯形AA‘B’B-S梯形CC‘B’B=?×(2+4)×3+?×(4+1)×3-?×(1+2)×6=9+? -9=?.
?1.(2018贵州毕节中考,9,★★☆)已知点P(-3,2),点Q(2,a)都在反比例函数 y=?(k≠0)的图象上,过点Q分别作两坐标轴的垂线,两垂线与两坐标轴
围成的矩形面积为?( )
A.3 ????B.6 ????C.9 ????D.12答案????B 将点P(-3,2)代入y=?中,得k=-6,由反比例函数的图象和性质
可知,矩形面积=|k|=|-6|=6.2.(2018广东广州中考,9,★★☆)一次函数y=ax+b和反比例函数y=?
在同一直角坐标系中的大致图象是?( )
? 答案????A 选项C、D中,由一次函数的图象经过一、二、四象限可得
a<0,b>0,所以a-b<0,这与反比例函数图象经过一、三象限,a-b>0相矛盾, 故C、D错误.A和B中,由一次函数的图象与y轴的交点位置可得00,所以反比例 函数图象位于第一、三象限,故选A.3.(2018四川乐山中考,9,★★☆)如图,曲线C2是双曲线C1:y=?(x>0)绕原
点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x 上,且PA=PO,则△POA的面积等于?( )
?
A.? ????B.6 ????C.3 ????D.12答案????B 如图,根据题意,将曲线C2连同△POA以原点O为中心顺时针 旋转45°,则点P位于C1上,点A位于x轴上,对应点分别为P',A',且△POA≌ △P'OA'.过点P'作P'D⊥OA',垂足为D,由等腰三角形的性质可知△P'OD ≌△P'A'D,再由反比例函数的几何意义可知S△P'OD=3,
∴S△POA=S△P'OA'=2S△P'OD=6.
? 4.(2016吉林中考,22,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=?
(x>0)的图象上有一点A(m,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将点B向右平移2 个单位长度得到点C,过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D, CD=?.(7分)
(1)点D的横坐标为 ????(用含m的式子表示);
(2)求反比例函数的解析式.
? 解析????(1)m+2.
(2)∵CD=?,∴点D的坐标为?.
∵点A(m,4),点D?均在函数y=?的图象上,
∴4m=?(m+2).
∴m=1.
∴k=4m=4×1=4.
∴反比例函数的解析式为y=?.5.(2014广东茂名中考,22,★★☆)如图,矩形OABC的边OA、OC分别在x 轴、y轴的正半轴上,且OA=3,OC=2,将矩形OABC向上平移4个单位得到 矩形O1A1B1C1.
(1)若反比例函数y=?和y=?的图象分别经过点B、B1,求k1和k2的值;
(2)将矩形O1A1B1C1向左平移得到矩形O2A2B2C2,当点O2、B2在反比例函 数y=?的图象上时,求平移的距离和k3的值.1.(2018湖北黄石模拟)如图6-2-13,在反比例函数y=?(x>0)的图象上有
点P1,P2,P3,P4,…,它们的横坐标依次为2,4,6,8,…,分别过这些点作x轴与y 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1,S2,S3,…, Sn,则S1+S2+S3+…+Sn= ????(用含n的代数式表示).
?
图6-2-132.如图6-2-14,反比例函数y=?的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P
(6,2),A,B为直线上的两点,点A的横坐标为2,点B的横坐标为3.D,C为反比 例函数图象上的两点,且AD、BC都平行于y轴.
(1)直接写出k,m的值;
(2)求梯形ABCD的面积.
?
图6-2-14解析????(1)k=12,m=-4.
(2)把x=2代入y=?,得y=6.∴D(2,6).
把x=2代入y=x-4,得y=-2.∴A(2,-2).
∴DA=6-(-2)=8.
把x=3代入y=?,得y=4.∴C(3,4).
把x=3代入y=x-4,得y=-1.∴B(3,-1).
∴BC=4-(-1)=5.
∴S梯形ABCD=?×1=?.1.学习了一次函数、二次函数、反比例函数后,爱钻研的小敏尝试用同 样的方法研究函数y=?,从而得出以下命题:
(1)当x>0时,y的值随着x的增大而减小;
(2)y的值有可能等于3;
(3)当x>0时,y的值随着x的增大越来越接近3;
(4)当y>0时,x>0或x<-?.
你认为真命题是?( )
A.(1)(3) ??? ?B.(1)(4)
C.(1)(3)(4) ????D.(2)(3)(4)答案????C (1)∵y=?=3+?,∴当x>0时,y的值随着x的增大而减小;
(2)∵3x+1≠3x,∴y的值不可能为3;(3)∵y=?=3+?,∴当x>0时,y的值随
着x的增大越来越接近3;(4)当y>0时,可得?或?解得x>0
或x<-?.∴正确的有(1)(3)(4),故选C.2.已知反比例函数y=?(k为常数,k≠1).
(1)该函数图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P.若点P的纵坐标 是2,求k的值;
(2)若在该函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围;
(3)若该函数图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点A(x1,y1),
B(x2,y2),当y1>y2时,试比较x1与x2的大小.第六章 反比例函数
3 反比例函数的应用
测试时间:25分钟
一、选择题
1.已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间满足如图所示的反比例函数关系,则眼镜的度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为( )
/
A.y=200x B.y=
200
??
C.y=100x D.y=
100
??
2.下图是反比例函数y1=
??
??
和一次函数y2=mx+n的图象,若y1/
A.11
二、填空题
3.小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m,当撬动石头的动力F至少需要400 N时,动力臂l的最大值为 m.?
4.(2019福建龙岩上杭期末)在温度不变的情况下,通过对气缸顶部活塞的加压,测出每一次加压后,缸内气体体积x(mL)和气体对汽缸壁所产生的压强y(kPa)的值如下表,则y与x之间的函数解析式是 .?
体积x(mL)
100
80
60
40
20
压强y(kPa)
60
75
100
150
300
三、解答题
5.(2019贵州铜仁万山月考)铜仁市某镇某养鱼专业户准备挖一个面积为3 000 m2的长方形鱼塘.
(1)求鱼塘的长y(m)关于宽x(m)的函数表达式;
(2)由于受场地的限制,鱼塘的宽最多只能挖20 m,当鱼塘的宽是20 m时,鱼塘的长为多少?
6.(2018山东潍坊期末)已知蓄电池的电压U为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)满足反比例函数关系,它的图象如图所示.
/
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A,那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围内?请根据图象,直接写出结果: .?
7.(2019甘肃兰州永登期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=
1
2
x的图象与反比例函数y=
??
??
的图象交于A(a,-2),B两点.
(1)反比例函数的解析式为 ,点B的坐标为 ;?
(2)观察图象,直接写出
1
2
x-
??
??
<0的解集.
/
8.如图,已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,与反比例函数y2=
??
2
??
的图象分别交于C、D两点,点D(2,-3),点B是线段AD的中点.连接OC、OD.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△COD的面积;
(3)直接写出y1>y2时自变量x的取值范围.
/
9.在一次数学实践活动中,观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录,当观察到第t分钟时,水温为y ℃,记录的相关数据如下页表格:
第一次加热、降温过程
t(分钟)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
…
y(℃)
20
40
60
80
100
80
66.7
57.1
50
44.4
40
…
(饮水机功能说明:水温加热到100 ℃时饮水机停止加热,水温开始下降,当下降到40 ℃时饮水机又自动开始加热)
请根据上述信息解决下列问题:
(1)根据表中数据在图中给出的坐标系中描出相应的点;
(2)选择适当的函数,分别求出第一次加热过程中和第一次降温过程中y关于t的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围;
(3)已知沏茶的最佳水温是80 ℃≤y≤90 ℃,若18:00开启饮水机(初始水温 20 ℃)到当晚20:10,沏茶的最佳水温时间共有多少分钟?
/
答案
一、选择题
1.已知近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间满足如图所示的反比例函数关系,则眼镜的度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为( )
/
A.y=200x B.y=
200
??
C.y=100x D.y=
100
??
答案 D 根据题意,设y=
??
??
(k≠0),
由于点(0.5,200)在此函数图象上,
∴k=0.5×200=100,
∴y=
100
??
,故选D.
2.下图是反比例函数y1=
??
??
和一次函数y2=mx+n的图象,若y1/
A.11
答案 A 观察图象可得,当1二、填空题
3.小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1 200 N和0.5 m,当撬动石头的动力F至少需要400 N时,动力臂l的最大值为 m.?
答案 1.5
解析 由杠杆平衡条件可知动力×动力臂=阻力×阻力臂,
即400l=1 200×0.5,所以l=1.5(m).
4.(2019福建龙岩上杭期末)在温度不变的情况下,通过对气缸顶部活塞的加压,测出每一次加压后,缸内气体体积x(mL)和气体对汽缸壁所产生的压强y(kPa)的值如下表,则y与x之间的函数解析式是 .?
体积x(mL)
100
80
60
40
20
压强y(kPa)
60
75
100
150
300
答案 y=
6 000
??
解析 由表格数据可得100×60=80×75=60×100=…=6 000,
故此函数是反比例函数,设解析式为y=
??
??
(k≠0),
则xy=k=6 000,
故y与x之间的函数解析式是y=
6 000
??
,
故答案为y=
6 000
??
.
三、解答题
5.(2019贵州铜仁万山月考)铜仁市某镇某养鱼专业户准备挖一个面积为3 000 m2的长方形鱼塘.
(1)求鱼塘的长y(m)关于宽x(m)的函数表达式;
(2)由于受场地的限制,鱼塘的宽最多只能挖20 m,当鱼塘的宽是20 m时,鱼塘的长为多少?
解析 (1)由长方形鱼塘的面积为3 000 m2,得到xy=3 000,
即y=
3 000
??
.
(2)当x=20时,y=
3 000
20
=150.
答:当鱼塘的宽是20 m时,鱼塘的长为150 m.
6.(2018山东潍坊期末)已知蓄电池的电压U为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)满足反比例函数关系,它的图象如图所示.
/
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10 A,那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围内?请根据图象,直接写出结果: .?
解析 (1)设反比例函数的表达式为I=
??
??
,
由图象可知函数I=
??
??
的图象经过点(9,4),∴U=4×9=36,
∴反比例函数的表达式为I=
36
??
(R>0).
(2)∵I≤10,I=
36
??
,∴
36
??
≤10,∴R≥3.6,
即用电器的可变电阻应控制在3.6 Ω及3.6 Ω以上的范围内.故填R≥3.6.
7.(2019甘肃兰州永登期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=
1
2
x的图象与反比例函数y=
??
??
的图象交于A(a,-2),B两点.
(1)反比例函数的解析式为 ,点B的坐标为 ;?
(2)观察图象,直接写出
1
2
x-
??
??
<0的解集.
/
解析 (1)把A(a,-2)代入y=
1
2
x,可得a=-4,
∴A(-4,-2),
把A(-4,-2)代入y=
??
??
,可得k=8,
∴反比例函数的表达式为y=
8
??
.
∵点B与点A关于原点对称,
∴B(4,2).
故答案为y=
8
??
;(4,2).
(2)由A、B点的坐标和函数图象可知,
1
2
x-
??
??
<0的解集是x<-4或08.如图,已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,与反比例函数y2=
??
2
??
的图象分别交于C、D两点,点D(2,-3),点B是线段AD的中点.连接OC、OD.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)求△COD的面积;
(3)直接写出y1>y2时自变量x的取值范围.
/
解析 (1)∵D(2,-3)在函数y2=
??
2
??
的图象上,
∴k2=2×(-3)=-6,故y2=-
6
??
.
作DE⊥x轴,垂足为E,如图.
/
易知E(2,0),∵D(2,-3),B是线段AD的中点,且OB∥DE,∴O为线段AE的中点,∴A(-2,0),
∵A(-2,0),D(2,-3)在函数y1=k1x+b的图象上,∴
-2
??
1
+b=0,
2
??
1
+b=?3,
解得k1=-
3
4
,b=-
3
2
,∴y1=-
3
4
x-
3
2
.
(2)由
??=?
3
4
x?
3
2
,
??=?
6
??
得
??=2,
??=?3
或
??=?4,
??=
3
2
.
故点C的坐标为
-4,
3
2
.
∴S△COD=S△AOC+S△AOD=
1
2
×2×
3
2
+
1
2
×2×3=
9
2
.
(3)当y1>y2时,x的取值范围是x<-4或09.在一次数学实践活动中,观测小组对某品牌节能饮水机进行了观察和记录,当观察到第t分钟时,水温为y ℃,记录的相关数据如下页表格:
第一次加热、降温过程
t(分钟)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
…
y(℃)
20
40
60
80
100
80
66.7
57.1
50
44.4
40
…
(饮水机功能说明:水温加热到100 ℃时饮水机停止加热,水温开始下降,当下降到40 ℃时饮水机又自动开始加热)
请根据上述信息解决下列问题:
(1)根据表中数据在图中给出的坐标系中描出相应的点;
(2)选择适当的函数,分别求出第一次加热过程中和第一次降温过程中y关于t的函数关系式,并写出相应自变量的取值范围;
(3)已知沏茶的最佳水温是80 ℃≤y≤90 ℃,若18:00开启饮水机(初始水温 20 ℃)到当晚20:10,沏茶的最佳水温时间共有多少分钟?
/
解析 (1)如图所示.
/
(2)观察图象可知第一次加热过程中满足的函数关系是一次函数,设解析式为y=kt+b(k≠0),则有
??=20,
10??+??=40,
解得
??=2,
??=20,
∴第一次加热过程中y关于t的函数关系式是y=2t+20(0≤t≤40).
由图象可知第一次降温过程中满足的函数关系是反比例函数,设y=
??
??
(m≠0),把(50,80)代入,得m=4 000,
∴第一次降温过程中y关于t的函数关系式是y=
4 000
??
(40≤t≤100).
(3)由题意可知,第二次加热的时间为30分钟,结束加热是第130分钟,而18:00至20:10共130分钟,
∴130分钟中,饮水机加热了一次,降温了一次,再加热了一次,
把y=80代入y=2t+20,得到t=30,把y=90代入y=2t+20,得t=35,
∴一次加热过程中出现的最佳水温时间为35-30=5(分钟).
把y=80代入y=
4 000
??
,得t=50,把y=90代入y=
4 000
??
,得t=
400
9
,
∴一次降温过程中出现的最佳水温时间为50-
400
9
=
50
9
(分钟),
∴18:00开启饮水机(初始水温20 ℃)到当晚20:10,沏茶的最佳水温时间共有
50
9
+5×2=
140
9
(分钟).
课件102张PPT。第六章 反比例函数 初中数学（北师大版）
九年级 上册知识点一????利用反比例函数解决实际问题例1 你吃过拉面吗?实际上,在做拉面的过程中就渗透着数学知识:一 定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面面积) S(mm2)的反比例函数,其图象如图6-3-1.
?
图6-3-1
(1)写出y与S之间的函数表达式;
(2)当面条粗为1.6 mm2时,面条的总长度是多少米?知识点二????反比例函数与一次函数的综合运用
求两个函数图象的交点坐标时,往往把两个函数的表达式联立组成 方程组,求得的解就是交点坐标.
(1)正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=?(k2≠0),当k1与k2同号时,正
比例函数的图象与反比例函数的图象有两个交点,交点坐标就是方程组 ?的解,且两个函数图象的交点关于原点对称;当k1与k2异号时,两
个函数的图象没有交点.
(2)一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y=?(k2≠0)的图象的交点个数
有三种情况:1个,2个或0个.因为两个函数的表达式联立组成一个二元方程组,可化成一个一元二次方程,所以两个函数图象的交点个数由这个 一元二次方程实数解的个数来决定.
注意 将k1x+b=?化为一元二次方程,求出一元二次方程的解后,要注
意判断该解是不是增根.例2 如图6-3-2,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=?的图象相交
于M(2,m),N(-1,-4)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象写出当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围.
?
图6-3-2分析 确定两个函数的表达式,根据图象写出结果.解析????(1)将N(-1,-4)代入y=?中,得-4=?,即k=4,
所以反比例函数的表达式为y=?.
将M(2,m)代入y=?中,得m=?,即m=2.
将M(2,2),N(-1,-4)代入y=ax+b中,得
?解得?
所以一次函数的表达式为y=2x-2.
(2)由图象可知,当反比例函数的值大于一次函数的值时,x的取值范围为 x<-1或0(1)求这个反比例函数的表达式,并求a、b的值;
(2)横轴以1元/千克为一个单位长度,纵轴以1 000千克为一个单位长度, 请你用描点法画出这个函数的图象;(3)按(2)中第6天的价格继续销售15天后,公司发现剩余的海产品必须在
2天内全部售出,此时需要重新确定一个销售价格,使后面两天都按新价 格销售,那么新确定的价格不超过多少时才能完成销售任务?分析 (1)根据表中的一组数据,如(400,30)即可求出反比例函数的表达式, 再分别将y=40和x=240代入,即可求出a、b的值;(2)列表、描点、连线, 即可画出这个函数的图象;(3)求出继续销售15天后剩余的海产品质量, 即可得到后面两天每天的销售量,代入反比例函数表达式中即可求出售 价的范围.解析????(1)设y与x之间的函数表达式为y=?(k≠0).
把x=400,y=30代入y=?,得30=?,解得k=12 000.
∴这个反比例函数的表达式为y=?,x的取值范围为x>0.
当y=40时,?=40,解得x=300,
经检验,x=300是原分式方程的解,即a=300.
当x=240时,y=?=50,即b=50.
(2)列表:分析 (1)先把B的坐标代入反比例函数y=?中,得出m的值,再把A的坐标
代入,求出n的值,然后将点A和点B的坐标分别代入y=kx+b中,运用待定 系数法求其表达式;(2)经过观察可发现:方程的解应为所给函数图象的 两个交点的横坐标;(3)先求出直线y=kx+b与y轴的交点(设交点为C)的坐 标,然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算;(4)观察函数图象得到当-42时,一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即kx+b-?<0.解析????(1)∵点B(2,-4)在函数y=?的图象上,∴m=-8.
∴反比例函数的表达式为y=-?.
∵点A(-4,n)在反比例函数y=-?的图象上,∴n=2,
∴点A的坐标为(-4,2).
∵函数y=kx+b的图象经过A(-4,2),B(2,-4)两点,
∴?解得?
∴一次函数的表达式为y=-x-2.
(2)∵点A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b和反比例函数y=?的图象的两
个交点,杠杆中的数学
素养解读 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学 研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽 象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律 和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象是数学的基本思想,是形成理 性思维的重要基础,反映了数学的本质特征,贯穿在数学产生、发展、 应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一 般、有序多级的系统.典例剖析????例 如图6-3-6①,小华设计了一个探索杠杆平衡条件的实验:在一根匀 质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A,在中点O的右侧用一个弹 簧秤向下拉木杆,改变弹簧秤与点O的距离x(单位:cm),观察弹簧秤的示 数y(单位:N)的变化情况,实验数据记录如下:(1)把上表中(x,y)的各组对应值作为点的坐标,在图6-3-6②所示的坐标 系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象,猜测y与 x之间的函数关系,并求出函数关系式;解析????(1)如图6-3-7.
?
图6-3-7
由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数,
设y=?(k>0),把x=10,y=30代入得30=?,解得k=300,
∴y=?.
将其余各点代入验证,均适合,
∴y与x的函数关系式为y=?.
(2)把y=24代入y=?,得24=?,解得x=12.5,
∴当弹簧秤的示数为24 N时,弹簧秤与点O的距离是12.5 cm.
由(1)中图象可知,随着弹簧秤与点O的距离不断减小,弹簧秤上的示数 不断增大.素养呈现 本题是以现实生活的杠杆为背景,改变弹簧秤与点O的距离 x,观察弹簧秤的示数y的变化情况,比较分析.顺次连接以各组对应值为 点的坐标,观察得到的函数图象,比较分析后猜想出y与x的函数关系是 反比例函数.将数据代入,利用待定系数法求出反比例函数的解析式,再 根据反比例函数图象的性质得出结论.从数学的发展看,它本身也是充 满着观察与猜想的探索活动.通过引导同学们观察、动手操作、比较分 析、猜想归纳,在“做数学”中学数学,获得数学学习的经验,并从中提 升数学抽象能力.知识点一????利用反比例函数解决实际问题1.(2017浙江台州中考)已知电流I(安培)、电压U(伏特)、电阻R(欧姆)之 间的关系为I=?,当电压为定值时,I关于R的函数图象是?( )
? 答案????C ∵I=?,电压为定值,∴I关于R的函数是反比例函数,且图象在
第一象限,故选C.2.某地计划用120~180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程,工程 需要运送的土石方总量为360万立方米.
(1)写出运输公司完成任务所需时间y(单位:天)与平均每天的工作量x (单位:万立方米)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)由于工程进度的需要,实际平均每天运送土石方比原计划多5 000立 方米,工期比原计划减少了24天,原计划和实际平均每天运送土石方各 多少万立方米?知识点二????反比例函数与一次函数的综合运用3.在同一直角坐标系中,直线y=x+1与双曲线y=?的交点个数为?( )
A.0 ????B.1 ????C.2 ????D.不能确定答案????C 将两解析式联立得?
由②得xy=1, ③
将①代入③并整理,得x2+x-1=0, ④
∵Δ=12-4×1×(-1)=5>0,
∴方程④有两个不相等的实数根,
从而可知方程组?有两个解,
所以两函数图象的交点个数为2.答案????B 观察函数图象,发现:当-62时,一次函数的图象在反 比例函数图象的上方,∴当kx+b>?时,x的取值范围是-62.5.(2017四川资阳中考)如图6-3-2,一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=?(m≠0,x<0)的图象交于点A(-3,1)和点C,与y轴交于点B,△AOB的面积是6.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)当x<0时,比较y1与y2的大小.
?
图6-3-21.(2017青海中考)如图,已知A?,B(-1,2)是一次函数y1=kx+b(k≠0)与
反比例函数y2=?(m≠0,x<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴
于点D,若y1>y2,则x的取值范围是?( )
?
A.x<-4 ???? B.-4C.x<-4或x>-1 ????D.x<-1答案????B????y1>y2在图象上表示一次函数的图象在反比例函数图象上方 的部分,即A与B之间的部分,此时x的取值范围是-4于x轴,垂足为D,OA=OB=OD=1.
?
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)求一次函数和反比例函数的表达式.解析????(1)∵OA=OB=OD=1,∴A、B、D的坐标分别为(-1,0)、(0,1)、(1,0).
(2)∵点A、B在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上,
∴?解得?
∴一次函数的表达式为y=x+1.
∵C点在一次函数y=x+1的图象上,CD垂直于x轴,
∴C点的坐标为(1,2).
又∵点C在反比例函数y=?(m≠0)的图象上,∴m=2,
∴反比例函数的表达式为y=?.3.如图所示,反比例函数的图象经过点A,B,点A的坐标为(1,3),点B的纵坐 标为1,点C的坐标为(2,0).
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)求直线BC所对应的函数表达式.
? 解析????(1)设该反比例函数的表达式为y=?(k≠0).
因为点A(1,3)在反比例函数的图象上,所以3=?,所以k=3.故该反比例函
数的表达式为y=?.
(2)设直线BC所对应的函数表达式为y=k1x+b(k1≠0).
因为点B在反比例函数y=?的图象上,点B的纵坐标为1,所以点B的坐标
为(3,1).
由题意得?解得?
所以直线BC所对应的函数表达式为y=x-2.4.如图,一次函数y=kx+b和反比例函数y=?的图象交于A、B两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)当kx+b(3)求△OAB的面积.
? 解析????(1)由题图可知A(-2,-2),
∵反比例函数y=?的图象过点A(-2,-2),
∴m=4,∴反比例函数的解析式是y=?,
把x=3代入y=?得,y=?,
∴B点的坐标是?.
∵一次函数y=kx+b的图象过A、B两点,
∴?解得?
∴一次函数的解析式是y=?x-?.(2)x<-2或0(3)易知直线y=?x-?与y轴的交点坐标为?,
∴△OAB的面积=?×?×2+?×?×3=?.1.为了建设生态环境,某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改 造,图6-3-3描述的是月利润y(万元)与月份x之间的变化关系,治污改造完 成前是反比例函数图象的一部分,治污改造完成后是一次函数图象的一 部分,则下列说法不正确的是?( )
?
图6-3-3
A.5月份该厂的月利润最低B.治污改造完成后,每月的利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前后,共有6个月的月利润不超过120万元
D.治污改造完成后的第8个月,该厂的月利润达到300万元解析????(1)设直线DE的解析式为y=kx+b(k≠0),
将D(0,3),E(6,0)代入,得?解得?
∴直线DE的解析式为y=-?x+3.
∵顶点B的坐标为(4,2),
∴点M的纵坐标为2.
令-?x+3=2,解得x=2,
∴点M的坐标为(2,2).
(2)∵点M(2,2)在反比例函数y=?(x>0)的图象上,
∴m=2×2=4.∴反比例函数的解析式为y=?.
∵B(4,2),BC⊥x轴,点N在BC上,
∴点N的横坐标为4,
把x=4代入y=-?x+3,得y=-?×4+3=1,
∴N(4,1),∵4×1=4,
∴点N在反比例函数y=?的图象上.解析????(1)∵温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中,电阻与温度成反 比例关系,
∴可设R和t之间的关系式为R=?(k≠0),
将(10,6)代入上式,得6=?,
解得k=60.
故当10≤t≤30时,R=?.
(2)将t=30代入R=?中,得R=?=2.
∴温度在30 ℃时,电阻R为2 kΩ.
∵在温度达到30 ℃时,电阻下降到最小值,随后电阻随温度的升高而增 加,温度每上升1 ℃,电阻增加? kΩ,∴当t>30时,R=2+?(t-30)=?t-6.
(3)把R=5代入R=?t-6,得t=41.25,
把R=5代入R=?,得t=12.
所以温度在12 ℃~41.25 ℃时,发热材料的电阻不超过5 kΩ.1.某物体对地面的压力为定值,物体对地面的压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数关系式为p=?,如图所示,那么当S逐渐增大时,p?( )
?
A.逐渐增大 ????B.为定值
C.逐渐变小 ????D.无法判断答案????C 根据函数p=?中的k=160>0得,在第一象限内,p随着S的增
大而减小,∴当S逐渐增大时,p逐渐变小,故选C.2.探究杠杆平衡时阻力和动力的关系.实验过程中,保持阻力和阻力臂不 变,然后改变动力F1,并保持杠杆水平平衡,分别测量出动力臂L1和动力F1 的数据如下表所示.请你根据实验条件和实验数据帮助小东归纳出动力 F1与动力臂L1的关系式: ????.3.用洗衣粉洗衣服时,漂洗的次数与衣服中洗衣粉的残留量近似地满足 反比例关系.寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各洗一件同样的 衣服,漂洗时,小红每次用一盆水(约10升),小敏每次用半盆水(约5升),如 果她们都用了5克洗衣粉,第一次漂洗后,小红的衣服中残留的洗衣粉还 有1.5克,小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克.
(1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的 函数关系式;
(2)当洗衣粉的残留量降至0.5克时,便视为衣服漂洗干净,从节约用水的 角度来看,你认为谁的漂洗方法值得提倡?为什么?解析????(1)设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数关 系式分别为y1=?(k1≠0)、y2=?(k2≠0),
将?和?分别代入两个关系式得
1.5=?,2=?,
解得k1=1.5,k2=2.
∴y1=?,y2=?.
(2)把y=0.5分别代入两个函数关系式,得
?=0.5,?=0.5,
解得x1=3,x2=4,10×3=30(升),5×4=20(升).
∵30升>20升,
∴小敏的漂洗方法用水少,值得提倡.一、选择题
1.(2019湖北黄石期末,9,★★☆)如图6-3-7,正比例函数y=x与反比例函数 y=?的图象交于A、B两点,其中A(2,2),当y=x的函数值大于y=?的函数
值时,x的取值范围为( )
?
图6-3-7
A.x>2 ???? B.x<-2
C.-22答案????D ∵正比例函数y=x与反比例函数y=?的图象交于A、B两点,
其中A(2,2),∴点B的坐标为(-2,-2),
∴当x>2或-2将(7,100)代入y=?,得k=700,∴y=?.
将y=35代入y=?,解得x=20,
∴水温从100 ℃降到35 ℃所用的时间是20-7=13分钟.三、解答题
3.(2019甘肃镇原期末,26,★★☆)如图6-3-9,已知反比例函数y=?的图象
与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4),点B(-4,n).
(1)求n和b的值;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围.
?
图6-3-9解析????(1)把A(1,4)分别代入反比例函数y=?,一次函数y=x+b,得k=1×4,
1+b=4,解得k=4,b=3,
∵点B(-4,n)在反比例函数y=?的图象上,
∴n=?=-1.
(2)如图,设直线y=x+3与y轴的交点为C,
∵当x=0时,y=3,∴C(0,3),
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=?×3×1+?×3×4=7.5.(3)当x>1或-4∴反比例函数的解析式为y=?.
把B(4,n)代入y=?,得n=1,∴B(4,1),
把A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b,得
?解得?
∴一次函数的解析式为y=-x+5.
(2)当x>0时,kx+b4.
(3)如图,作B关于x轴的对称点B',连接BB',AB',AB'交x轴于P,连接BP,
则PA+PB=AB',此时PA+PB的值最小,∵B(4,1),∴B'(4,-1).
?
设直线AB'的解析式为y=px+q,
把A(1,4),B'(4,-1)代入,得
?解得?∴直线AB'的解析式为y=-?x+?.
令y=0,得-?x+?=0,
解得x=?,
∴点P的坐标为?.1.(2017天津和平一模,11,★★☆)科学证实:近视眼镜的度数y(度)与镜 片焦距x(m)成反比例关系,如果500度近视眼镜片的焦距为0.2 m,则表示 y与x函数关系的图象大致是( )
? 答案????B 设y=?(k≠0),
∵点(0.2,500)在此函数图象上,∴k=0.2×500=100,
∴y=?.故选B.2.(2017广西柳州城中一模,17,★★☆)某闭合电路中,电源的电压为定 值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系.如图是该电路中电流I与电阻R之 间函数关系的图象,当电阻R为6 Ω时,电流I为 ????A.
? 3.(2017河北石家庄裕华模拟,23,★★★)小明家的饮水机中原有水的温 度为20 ℃,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温y(℃)与开机 时间x(分)满足一次函数关系),当加热到100 ℃时自动停止加热,随后水 温开始下降(此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系).当水温 降至20 ℃时,饮水机又自动开始加热,重复上述程序(如图所示),根据图 中提供的信息,解答下列问题:
?(1)当0≤x≤8时,求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式;
(2)求图中t的值;
(3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步45分钟回到家 时,饮水机内的温度约为多少℃.解析????(1)当0≤x≤8时,设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为
y=kx+b(k≠0),
由题意得?
解得?
∴当0≤x≤8时,所示函数关系式为y=10x+20.
(2)在水温下降过程中,设水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为
y=?(m≠0),
由题意得100=?,
即m=800,故y=?.当y=20时,20=?,解得t=40.
(3)45-40=5≤8,
当x=5时,y=10×5+20=70.
答:小明散步45分钟回到家时,饮水机内的温度约为70 ℃.4.(2019广东广州荔湾期末,22,★★☆)制作一种产品,需先将材料加热达 到60 ℃后,再进行操作,设该材料的温度为y( ℃),从加热开始计算的时 间为x(min).据了解,当将材料加热时,温度y与时间x成一次函数关系;停 止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如图).已知在操作加热 前的温度为15 ℃,加热5分钟后温度达到60 ℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数关系式;
(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15 ℃时,须停止操作,那么从开始加 热到停止操作,共经历了多长时间?解析????(1)当0≤x≤5时,设一次函数的解析式为y=kx+b,
把(0,15),(5,60)代入,得?解得?
所以一次函数的解析式为y=9x+15.
当x>5时,设反比例函数的解析式为y=?(m≠0),
把(5,60)代入,得m=5×60=300,
所以反比例函数的解析式为y=?.
(2)当y=15时,?=15,解得x=20,
所以从开始加热到停止操作,共经历了20分钟.5.(2019湖南张家界慈利期中,23,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中, 直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点C(0,2),且与反比例函数y=?在第一
象限内的图象交于点B,作BD⊥x轴于点D,OD=2.
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)设点P是y轴上的点,若△PBC的面积等于6,直接写出点P的坐标;
(3)设M点是y轴上的点,且△MBC为等腰三角形,求M点的坐标.
? 解析????(1)∵BD⊥x轴,OD=2,∴点D的横坐标为2,
将x=2代入y=?,得y=4,∴B(2,4),
设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0),
将点C(0,2)、B(2,4)代入y=kx+b,得?∴?
∴直线AB的函数解析式为y=x+2.
(2)P(0,8)或P(0,-4).(求解过程:∵点P是y轴上的点,△PBC的面积等于6,
B(2,4),∴S△PBC=?CP×2=6,∴CP=6,∵C(0,2),∴P(0,8)或P(0,-4))
(3)∵B(2,4),C(0,2),∴BC=2?.①当BM=BC时,点B是线段MC垂直平分线上的点,此时M(0,6);
②当MC=BC=2?时,M(0,2+2?)或M(0,2-2?);
③当BM=MC时,M(0,4).
综上所述,满足条件的点M的坐标是(0,6)或(0,2+2?)或(0,2-2?)或(0,4).答案????D 观察函数图象可知,当-21时,直线y=ax+b在双曲线
y=?的下方,即不等式ax+b1.2.(2018湖北宜昌中考,15,★★☆)如图6-3-12,一块砖的A、B、C三个面 的面积比为4∶2∶1.如果A、B、C面分别向下放在地上,地面所受压强 为p1,p2,p3,压强的计算公式为p=?,其中p是压强,F是压力,S是受力面积,
则p1,p2,p3的大小关系正确的是?( )
?
图6-3-12
A.p1>p2>p3 ???? B.p1>p3>p2
C.p2>p1>p3 ???? D.p3>p2>p1 答案????D 压力F一定时,压强p与受力面积S成反比例关系,故选D.3.(2018浙江湖州中考,6,★★☆)如图6-3-13,已知直线y=k1x(k1≠0)与反 比例函数y=?(k2≠0)的图象交于M,N两点,若点M的坐标是(1,2),则点N
的坐标是?( )
?
图6-3-13
A.(-1,-2) ???? B.(-1,2)
C.(1,-2) ???? D.(-2,-1) 答案????A 由题意可知点M、N关于原点对称,∴点N的坐标为(-1,-2).二、解答题
4.(2017浙江杭州中考,20,★★☆)在面积都相等的所有矩形中,当其中一 个矩形的一边长为1时,与该边相邻的边长为3.
(1)设矩形的相邻两边长分别为x,y.
①求y关于x的函数表达式;
②当y≥3时,求x的取值范围;
(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10.你 认为圆圆和方方的说法对吗?为什么?解析????(1)设线段AB的解析式为y=k1x+b(k1≠0),
将点(0,10),(2,14)代入,得?解得?
∴线段AB的解析式为y=2x+10(0≤x≤5),∵B在线段AB上,当x=5时,y=20, ∴B的坐标为(5,20),∴线段BC的解析式为y=20(5≤x≤10).
设双曲线CD段的解析式为y=?(k2≠0),∵点C在线段BC上,∴点C的坐
标为(10,20),又∵点C在双曲线y=?(k2≠0)上,∴k2=200,∴双曲线CD段
的解析式为y=?(10≤x≤24).
∴y关于x的函数解析式为y=?(2)由(1)可知恒温系统设定的恒定温度为20 ℃.
(3)把y=10代入y=?中,解得x=20.
20-10=10.
答:恒温系统最多可以关闭10小时,才能使蔬菜避免受到伤害.1.(2018山东临沂中考,12,★★☆)如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2 =?的图象相交于A、B两点,其中点A的横坐标为1,当y1围是?( )
?
A.x<-1或x>1 ???? B.-11
C.-1B的横坐标为-1,结合图象知,当y1(1)求一次函数的解析式;
(2)将直线AB向上平移10个单位后得到直线l:y1=k1x+b1 (k1≠0),l与反比 例函数y2=?的图象相交,求使y1∴?解得?
所以一次函数的解析式为y=-2x-2.
(2)直线AB向上平移10个单位后得直线l的解析式为y=-2x+8.
联立?解得x1=1,x2=3.
易知y13.3.(2017山东烟台中考,22,★★★)数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的 变化情况,发现该冷柜的工作过程是:当温度达到设定温度-20 ℃时,制 冷停止,此后冷柜中的温度开始逐渐上升,当上升到-4 ℃时,制冷开始,温 度开始逐渐下降,当冷柜自动制冷至-20 ℃时,制冷再次停止,……,按照 以上方式循环进行.
同学们记录了44 min内15个时间点冷柜中的温度y(℃)随时间x(min)的 变化情况.
制成下表:(1)通过分析发现,冷柜中的温度y是时间x的函数.
①当4≤x<20时,写出一个符合表中数据的函数解析式: ????;
②当20≤x<24时,写出一个符合表中数据的函数解析式: ????.
(2)a的值为 ????;
(3)如图,在直角坐标系中,已描出了上表中部分数据对应的点,请描出剩 余数据对应的点,并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象.
? 解析????(1)①由表格可知当4≤x<20时,xy=-80,
∴y=-?.
②当20≤x<24时,根据表格可知每经过1分钟,温度降低4 ℃,
∴当20≤x<24时,y=-4(x-20)-4,整理得y=-4x+76.
(2)由表格可知第42分钟时的温度与第22分钟时的温度相同,∴a=-12.
(3)如图所示:
?答案????A ∵开机加热时每分钟上升10 ℃,∴从30 ℃加热到100 ℃需要 7分钟,当0≤x≤7时,设y=k1x+b(k1≠0),将(0,30),(7,100)代入y=k1x+b(k1≠0)中,可得k1=10,b=30,∴当0≤x≤7时,y=10x+30.
当7≤x≤a时,设y=?(k≠0),
将(7,100)代入y=?(k≠0),得k=700,
∴当7≤x≤a时,y=?.
将y=30代入y=?,得30=?,
解得x=?,∴a=?.
∴? min为一个循环周期.在上午7:20接通电源时,7:20~8:45这一时间段共85 min,85-?×3=15,
?=?<50,符合题意.
同理可验证B,C,D选项不符合题意,故选A.2.(2019山东泰安泰山期中)如图6-3-16,在平面直角坐标系中,OA⊥OB, AB⊥x轴于点C,点A(-?,1)在反比例函数y=?的图象上.
(1)求反比例函数y=?的表达式;
(2)若在x轴的正半轴上存在一点P,使得S△AOP=S△AOB,求点P的坐标;
(3)若将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE,求出点E的坐标, 并判断点E是否在该反比例函数的图象上.
?解析????(1)把A(-?,1)代入反比例函数y=?中,得k=-?,∴反比例函数的
表达式为y=-?.
(2)设P(m,0),m>0,如图.
?
由点A(-?,1),得tan∠AOC=?,
∴∠AOC=30°,∵OA⊥OB,AB⊥x轴,
∴∠ABO=30°,∴OB=2OC=2?,
∴S△AOP=?OP·AC=?,
S△AOB=?AO·BO=??×2?=2?,
∵S△AOP=S△AOB,∴?=2?,即m=4?.
∴点P的坐标为(4?,0).
(3)将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE,
∴∠OBE=60°-30°=30°.
如图,连接OE.1.试验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精 含量y(毫克/百毫升)与时间x(小时)成正比例;1.5小时后(包括1.5小时),y 与x成反比例.根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)写出一般成人喝半斤低度白酒后y与x之间的函数关系式及相应的自 变量的取值范围;
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百 毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾 驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上8:00能否驾车去上 班?请说明理由.解析????(1)由题意可得:当0≤x≤1.5时,设函数关系式为y=kx(k≠0),
则150=1.5k,解得k=100,故y=100x.
当x≥1.5时,设函数关系式为y=?(a≠0),
则a=150×1.5=225,故y=?(x≥1.5).
综上所述,y与x之间的函数关系式为y=?
(2)第二天早上8:00能驾车去上班.
理由:∵晚上20:00到第二天早上8:00有12个小时,
且当x=12时,y=?=18.75<20,
∴第二天早上8:00能驾车去上班.2.(2016江苏连云港中考)环保局对某企业的排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的 1.0 mg/L?为什么?课件41张PPT。第六章 反比例函数 初中数学（北师大版）
九年级 上册一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.给出下列函数关系式:①y=-?x;②y=?;③y=?;④y=?+2;⑤2xy=
1;⑥-xy=2.其中,表示y是x的反比例函数的个数为?( )
A.3 ????B.4 ????C.5 ????D.6答案????B ②③⑤⑥均为反比例函数,故选B.2.若反比例函数y=?(k≠0)的图象经过点P(-2,3),则该函数的图象不经过
的点是?( )
A.(3,-2) B.(1,-6)
C.(-1,6) D.(-1,-6)答案????D 由题意得k=-2×3=-6,则y=-?,因此该函数图象上点的横坐标
与纵坐标之积为-6.故选D.3.(2018四川凉山州中考)若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函数y=?
在同一坐标系中的大致图象可能是?( )
? 答案????B 因为ab<0,所以正比例函数图象与反比例函数图象不在同一 象限,其中一个在一、三象限时,另一个就在二、四象限.同时,正比例函 数的图象是过原点的直线.故选B.4.(2019甘肃兰州期末)一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米/时的 平均速度用了6小时到达目的地,当他按原路匀速返回时,汽车的速度v (千米/时)与时间t(小时)的函数关系式为?( )
A.v=? ????B.v+t=480
C.v=? ??? ? D.v=? 答案????A 由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地,那么路 程为80×6=480千米,∴汽车的速度v(千米/时)与时间t(小时)的函数关系 式为v=?.故选A.答案????D 连接OA、OB,设AB交y轴于E,如图,
∵AB∥x轴,∴AB⊥y轴,∴S△OEA=?×3=?,S△OBE=?×2=1,∴S△OAB=1+?=?,
∵四边形ABCD为平行四边形,∴S平行四边形ABCD=2S△OAB=5.故选D.
? 6.(2017湖北宜昌中考)某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪, 要求相邻两边长均不小于5 m,则草坪的一边长y(单位:m)随其邻边长x (单位:m)的变化而变化的图象可能是?( )
? 答案????C 由题意得y=?,由相邻两边长均不小于5 m,可得5≤x≤20,
符合题意的选项只有C.7.(2019北京通州期中)已知反比例函数y=-?,下列结论:①图象必经过点
(-3,1);②图象在第二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x>-1时,y>3. 其中错误的结论有?( )
A.①④ ????B.②③ ????C.②④ ????D.③④答案????D ①图象必经过点(-3,1),正确,不合题意;
②图象在第二、四象限内,正确,不合题意;
③在每个象限内,y随x的增大而增大,故③错误,符合题意;
④当-13,故④错误,符合题意.故选D.8.(2017浙江衢州中考)如图6-4-2,在直角坐标系中,点A在函数y=?(x>0)
的图象上,AB⊥x轴于点B,AB的垂直平分线与y轴交于点C,与函数y=?
(x>0)的图象交于点D.连接AC,CB,BD,DA,则四边形ACBD的面积等于?
( )
?
图6-4-2
A.2 ????B.2? ????C.4 ????D.4? 答案????C 设A?,可求出D?,∵AB⊥CD,
∴S四边形ACBD=?AB·CD=?×?×2a=4.故选C.9.(2015湖北鄂州中考)如图6-4-3,直线y=x-2与y轴交于点C,与x轴交于点 B,与反比例函数y=?的图象在第一象限内交于点A,连接OA,若S△AOB∶S△BOC =1∶2,则k的值为?( )
?
图6-4-3
A.2 ????B.3 ????C.4 ????D.6答案????B 易求得点C(0,-2),点B(2,0),所以OC=OB=2,所以S△BOC=2.因为S △AOB∶S△BOC =1∶2,所以S△AOB =1.因为OB=2,所以OB边上的高是1,即点A 的纵坐标是1.把yA=1代入y=x-2中,得xA=3,所以A点坐标是(3,1).所以k=3. 故选B.答案????A 如图,过点C作CE⊥y轴于E,所以∠CEB=90°.在正方形ABCD 中,AB=BC,∠ABC=90°,
?
∴∠ABO+∠CBE=90°,
∵∠OAB+∠ABO=90°,
∴∠OAB=∠CBE,
在△ABO和△BCE中,?二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(2017江苏淮安中考)若反比例函数y=-?的图象经过点A(m,3),则m的
值是 ????.答案 -2解析????把A(m,3)代入y=-?,得3=-?,解得m=-2.12.(2017黑龙江绥化中考)已知反比例函数y=?,当x>3时,y的取值范围是
????.答案 00,
∴当x>0时,y随x的增大而减小,当x=3时,y=2,
∴当x>3时,y的取值范围是0 ????.
?
图6-4-5答案 1解析????设点P的坐标为(x,y).∵P(x,y)在反比例函数y=?的图象上,
∴xy=2,∴S△POA=?xy=1.14.(2018湖南张家界中考)如图6-4-6,矩形ABCD的边AB与x轴平行,顶点 A的坐标为(2,1),点B与点D都在反比例函数y=?(x>0)的图象上,则矩形
ABCD的周长为 ????.
?
图6-4-6答案 12解析????由矩形ABCD的边AB与x轴平行,顶点A的坐标为(2,1),可知点B的 纵坐标为1,点D的横坐标为2,因为点B与点D都在反比例函数y=? (x>0)
的图象上,所以当x=2时,y=3;当y=1时,x=6.所以点D与点B的坐标分别是 (2,3),(6,1).所以AB=4,AD=2,所以矩形ABCD的周长为12.15.如图6-4-7,函数y1=?,y2=?在第一象限的图象分别是l1和l2,过l1上的任
意一点A作x轴的平行线,交l2于B,交y轴于C,若S△AOB=1,则k= ????.
?
图6-4-7答案 6解析????易知S△AOC=2,因为S△AOB=1,
所以S△COB=3,所以k=6.16.(2018山东滨州中考)若点A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)都在反比例函数y= ?(k为常数)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 ????.17.(2018江苏盐城中考)如图6-4-8,点D为矩形OABC的边AB的中点,反比 例函数y=?(x>0)的图象经过点D,交BC边于点E.若△BDE的面积为1,则k
= ????.
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图6-4-818.(2018山东烟台中考)如图6-4-9,反比例函数y=?的图象经过?ABCD
对角线的交点P,已知点A、C、D在坐标轴上,BD⊥DC,?ABCD的面积 为6,则k= ????.
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图6-4-9∴四边形PDOE的面积为矩形ABDO面积的一半,
即DO·EO=3.
设P点坐标为(x,y),则k=xy=-3.解析????(1)将A(4,1)代入y2=?,得k2=4,所以反比例函数的解析式为y2=?.
将B(n,-2)代入y2=?,得n=-2,所以点B的坐标为(-2,-2).将A(4,1),B(-2,-2)代
入y1=k1x+b,得?解得?所以一次函数的解析式为y1=?x-1.
(2)根据两函数的图象可以看出:y1(1)求p与S之间的函数关系式;
(2)求当S=0.5 m2时物体承受的压强p;
(3)若要获得2 500 Pa的压强,受力面积应为多少?
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图6-4-11解析????(1)设p=?(k≠0),
∵点(0.25,1 000)在这个函数的图象上,
∴1 000=?,∴k=250,
∴p与S之间的函数关系式为p=?(S>0).
(2)当S=0.5 m2时,p=?=500(Pa).
(3)令p=2 500,则S=?=0.1(m2).
故要获得2 500 Pa的压强,受力面积应为0.1 m2.解析????(1)由题意可得,正比例函数与反比例函数图象的一个交点的坐 标是(1,2),
将其代入y=?,得k=?.
(2)因为直线l过点M(-2,0),
所以0=-2k+b,所以b=2k,
所以直线l的解析式为y=kx+2k,
由?
消去y,得kx+2k=?,
因为k>0,所以x+2=?,整理得x2+2x-3=0,解得x1=-3,x2=1,
所以A(1,3k),B(-3,-k),
所以S△ABO=S△AMO+S△BMO=?×2(3k+|-k|)=?,
解得k=?,
所以直线l的解析式为y=?x+?.22.(2016山东德州中考)(10分)某中学组织学生到商场参加社会实践活 动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价 为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如下表所 示:(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;
(2)若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其售价应定为多少元?解析????(1)由表中数据可得xy=6 000,
∴y是x的反比例函数.
∴函数关系式为y=?.
(2)由题意,得(x-120)y=3 000,
将y=?代入,可得(x-120)·?=3 000,
解得x=240.经检验,x=240是原方程的解,且符合题意.
答:若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其售价应定为240元.解析????(1)把D(3,1)代入y=?,得1=?.
∴k=3,∴反比例函数的表达式为y=?.
(2)①∵D(3,1)是BC边的中点,∠ACB=90°,
∴B(3,2).
∵△ABC与△EFG成中心对称,
∴△EFG≌△ABC.
∴GE=AC=1,FG=BC=2,∠EGF=∠ACB=90°.
∴点E的横坐标为1.
当x=1时,y=?=3.
∴E(1,3),∴OG=3.
∴OF=OG-FG=3-2=1.
②证明:∵D(3,1),∠ACB=90°,
∴OC=3.
∴OA=OC-AC=3-1=2.
∵FG=OA=2,OF=GE=1,∠EGF=∠FOA=90°,
∴△EFG≌△FAO.
∴AF=EF,∠OFA=∠FEG.
∵∠EGF=90°,
∴∠GFE+∠FEG=90°,
∴∠GFE+∠OFA=90°,∴∠EFA=90°.
同理,∠FAB=90°,
∴∠FAB+∠EFA=180°,
∴EF∥AB.
∵△ABC与△EFG成中心对称,
∴AB=EF.
∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵∠EFA=90°,
∴四边形ABEF是矩形.
又∵EF=AF,
∴四边形ABEF是正方形.
