第三章 概率的进一步认识
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第三章 概率的进一步认识
知识点????用树状图或表格求概率
适用条件 具体步骤
列表法求概率 当一次试验中涉及两个因素并且可能出现的等可能结果数较多时 选其中一次操作或一个条件为行,另一次操作或另一个条件为列,列出表格计算概率
画树状图求概率 当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时 树状图是将试验中的第一步写在第一层,第二步写在第二层,以此类推……用画树状图的方法列出事件的所有可能的结果,从而求出概率
拓展 “表格”清晰、整齐,但不能对两步以上试验进行分析;“树状图”直观、条件分明,当事件要经过多个步骤(三步或三步以上)完成时,用画树状图法求事件的概率很有效
例 小红的衣柜里有2件上衣,1件是长袖,1件是短袖;3条裙子,分别是黄
色、红色、蓝色.她任意拿出1件上衣和1条裙子,正好是短袖上衣和红
色裙子的概率是多少?
分析 所有可能出现的结果共有6种,且每一个结果出现的可能性相同,所
以可以用树状图或表格求解.
解析????解法一:画树状图如图3-1-1.
图3-1-1
由图3-1-1可知,共有6种等可能的结果,其中正好是短袖上衣和红色裙子
的结果有1种,所以所求概率是?.
解法二:列表如下:
裙子
上衣 ???? 黄色 红色 蓝色
长袖 (长袖,黄色) (长袖,红色) (长袖,蓝色)
短袖 (短袖,黄色) (短袖,红色) (短袖,蓝色)
由上表可知,共有6种等可能的结果,其中正好是短袖上衣和红色裙子的
结果有1种,所以所求概率是?.
方法点拨 无论选择哪种方法计算随机事件发生的概率,都必须保证两
步之间的相互独立性,两步试验结果的可能性相同且结果是有限个,否
则会导致错误.
题型一????概率与统计的综合应用
例1????(2017重庆中考A卷)重庆某中学组织七、八、九年级学生参加
“直辖20年,点赞新重庆”作文比赛.该校将收到的参赛作文进行分年
级统计,绘制了图3-1-2①和②两幅不完整的统计图.根据图中提供的信
息完成以下问题.
(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 ????度,并
补全条形统计图;
(2)经过评审,全校有4篇作文荣获特等奖,其中有一篇来自七年级,学校
准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上,请利用列表或画树状图的
方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率.
?
① ②
图3-1-2
解析????(1)126.
八年级参赛作文篇数为100-20-35=45,补全条形统计图,如图3-1-3所示.
各年级参赛作文篇数条形统计图
图3-1-3
(2)七年级特等奖作文记为A,其他三篇记为B,C,D.列表如下:
A B C D
A (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D)
或画树状图如图3-1-4:
?
图3-1-4
由表格或树状图可知,所有可能的结果共有12种,七年级特等奖作文被
选登在校刊上的结果有6种,所以所求概率为?=?.
答:七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率是?.
题型二????跨学科问题
例2 如图3-1-5①所示,有一条电路AB由图示的开关控制,任意地闭合
两个开关.
(1)请你补全如图3-1-5②所示的树状图;
(2)求使电路形成通路的概率.
?
图3-1-5
分析先完成树状图,再结合物理学中电路形成通路的条件求概率.
解析????(1)补全树状图如图3-1-6所示.
?
图3-1-6
(2)由(1)知共有20种等可能的情况,其中形成通路的可能情况有12种,所
以P(使电路形成通路)=?=?.
易错点????忽略各种可能结果的“等可能”
例 小洁为2017年教师节联欢晚会设计了一个“配紫色”游戏:图3-1-
7是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被分为面积相等的三部分,乙转盘
被分为面积比为2∶1的两部分(蓝色区域较大),游戏者同时转动两个转
盘,如果一个盘转出红色,一个盘转出蓝色,那么她(他)就赢了,因为红色
和蓝色在一起就配成了紫色.请计算游戏者获胜的概率.
图3-1-7
解析????如图3-1-8所示,将乙转盘的蓝色区域分成二等份,
?
图3-1-8
则随机转动两个转盘,所有可能出现的结果如下表所示:
甲
乙 ???? 红 黄 蓝
红 (红,红) (黄,红) (蓝,红)
蓝1 (红,蓝1) (黄,蓝1) (蓝,蓝1)
蓝2 (红,蓝2) (黄,蓝2) (蓝,蓝2)
由上表可知,总共出现9种情况,且每种情况出现的可能性相同,能配成紫
色的结果共有3种,因此游戏者获胜的概率为?=?.
易错警示 解此题时我们很容易将乙转盘转出红色和蓝色视为等可能
的情况.显然,转动乙转盘,转到红色和蓝色的可能性是不相同的,而在利
用画树状图或列表法求概率时,各种情况出现的可能性必须相同,因此,
需将乙转盘三等分,将蓝色区域分成二等份,才可用树状图或列表法求
配成紫色的概率.
知识点????用树状图或表格求概率
1.(2018四川攀枝花中考)布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球
和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,放回搅匀,再摸出第二个球,两次都
摸出白球的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????A 画树状图如图:
?
根据树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两次都摸出白球的结果有
4种,所以所求概率为?.故选A.
2.(2018山东临沂中考)2018年某市初中学业水平实验操作考试,要求每
名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试,小华和
小强都抽到物理学科的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D 画树状图如图所示.
?
由树状图可知一共有9种等可能的结果,而小华和小强都抽到物理学科
的情况只有一种,所以P(小华和小强都抽到物理学科)=?.
3.(2017山东泰安中考)袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个小球,从袋
内随机取出一个小球,让其标号为一个两位数的十位数字,放回搅匀后,
再随机取出一个小球,让其标号为这个两位数的个位数字,则组成的两
位数是3的倍数的概率为?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????B 列表如下:
个位
十位 ???? 1 2 3 4
1 11 12 13 14
2 21 22 23 24
3 31 32 33 34
4 41 42 43 44
由表格可知共有16种等可能的结果,其中组成的两位数是3的倍数的结
果有12,21,24,33,42,共5种,∴P(组成的两位数是3的倍数)=?.故选B.
4.(2017浙江舟山中考)红红和娜娜按图3-1-1所示的规则玩“锤子,剪刀,
布”游戏,下列命题中错误的是?( )
?
图3-1-1
A.红红不是胜就是输,所以红红胜的概率为?
B.红红胜或娜娜胜的概率相等
C.两人出相同手势的概率为?
D.娜娜胜的概率和两人出相同手势的概率一样
答案????A 红红和娜娜玩“锤子,剪刀,布”游戏的所有结果如下页表:
红红
娜娜 ???? 剪刀 布 锤子
剪刀 剪刀,剪刀 剪刀,布 剪刀,锤子
布 布,剪刀 布,布 布,锤子
锤子 锤子,剪刀 锤子,布 锤子,锤子
或画树状图如图:
?
根据表格或树状图知,红红和娜娜玩的游戏共有9种等可能的情况,其中
一个人胜的情况有3种、负的情况有3种、平的情况有3种,所以两人
胜、负、平的概率均为?,所以A错误,B、C、D正确.故选A.
1.中考体育男生抽测项目规则是:从立定跳远、实心球、引体向上中随
机抽一项,从50 米、50×2 米、100 米中随机抽一项,则恰好抽中实心球和
50 米的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D 设立定跳远、实心球、引体向上分别为A、B、C,50 米、
50×2 米、100 米分别为D、E、F,可画树状图如图:
?
∴一共有9种等可能的结果,其中恰好抽中实心球和50 米的情况有1种,
∴恰好抽中实心球和50 米的概率是?.故选D.
2.(2017辽宁大连中考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,两枚硬币全部正
面向上的概率为?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????A 依题意画树状图如图:
?
由树状图知共有4种等可能的情况,其中两枚硬币全部正面向上的情况
有1种,所以两枚硬币全部正面向上的概率为?,故选A.
3.(2016湖北黄石中考)如图所示,一只蚂蚁从A点出发到D,E,F处寻觅食
物.假定蚂蚁在每个岔路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路
径(比如A岔路口可以向左下到达B处,也可以向右下到达C处,其中A,B,C
都是岔路口).那么,蚂蚁从A出发到达E处的概率是 ????.
?
答案?????
解析????蚂蚁从A出发的路线有ABD,ABE,ACE,ACF,一共有4种情况,并且
是等可能的.其中从A出发到达E处有2种情况,所以P(蚂蚁从A出发到达
E处)=?=?.
1.图3-1-2是物理课上李老师让小刘同学连接的电路图,现要求:随机同
时闭合开关S1、S2、S3、S4中的两个算一次操作,则小刘同学操作一次
就能使灯泡?发光的概率是?( )
?
图3-1-2
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????A 画树状图如图:
?
由树状图知共有12种等可能的结果,其中小刘同学操作一次就能使灯泡
?发光的情况有6种,∴小刘同学操作一次就能使灯泡?发光的概率是
?=?.故选A.
2.假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌与雄的概率相同.如果三枚卵全部成功孵
化,则三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????B 画树状图如图:(C代表雌鸟,X代表雄鸟)
?
由树状图可以看出,共有8种等可能的结果,其中三只雏鸟中有两只雌鸟
的情况有3种,所以三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是?,故选B.
3.(2016河南中考)在“阳光体育”活动时间,班主任将全班同学随机分
成了4组进行活动,该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是 ?????.
答案?????
解析????设4个组分别是1,2,3,4,
画树状图如图.
?
根据树状图可知,共有16种等可能的结果,其中小明和小亮同学被分在同一组的情况有4种,所以小明和小亮同学被分在同一组的概率P=?= .
4.(2016辽宁沈阳中考)为了传承优秀传统文化,某校开展“经典诵读”
比赛活动,诵读材料有《论语》《三字经》《弟子规》(分别用字
母A,B,C依次表示这三个诵读材料).将A,B,C这三个字母分别写在3张完
全相同的不透明卡片的正面上,把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面
上.小明和小亮参加诵读比赛,比赛时小明先从中随机抽取一张卡片,记
录下卡片上的内容,放回后洗匀,再由小亮从中随机抽取一张卡片,选手
按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛.
(1)小明诵读《论语》的概率是 ????;
(2)请用列表法或画树状图(树形图)法求小明和小亮诵读两个不同材料
的概率.
解析????(1)?.
(2)列表如下:
小亮
小明 ???? A B C
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
或画树状(形)图如图.
?
由表格(或树状(形)图)可知,共有9种可能出现的结果,每种结果出现的
可能性相同,其中小明和小亮诵读两个不同材料的结果有6种:(A,B),(A,
C),(B,A),(B,C),(C,A),(C,B),故P(小明和小亮诵读两个不同材料)=?=?.
5.汉字是世界上最古老的文字之一,字形结构体现了人类追求均衡对
称、和谐稳定的天性.如图3-1-3,三个汉字可以看成轴对称图形.
?
图3-1-3
(1)请在方框中再写出两个类似轴对称图形的汉字;
(2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏,规
则如下:将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上,背面朝上洗
匀后抽出一张,放回,洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字能构成上下
结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.
你认为这个游戏公平吗?为什么?
解析????(1)答案不唯一,如:田、中等.
(2)这个游戏不公平.理由:列表如下:
土 口 木
土 (土,土) (土,口) (土,木)
口 (口,土) (口,口) (口,木)
木 (木,土) (木,口) (木,木)
由表格可知共有9种等可能的结果,其中能组成上下结构的汉字的结果
有4种,分别为(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,
木)“呆”或“杏”,
∴P(小敏获胜)=?,P(小慧获胜)=?,
∴P(小敏获胜)≠P(小慧获胜),
∴这个游戏不公平.
1.有四张正面分别标有数字-2,-6,2,6的不透明卡片,它们除数字不同外
其余全部相同.现将它们背面朝上,洗匀后从中抽取一张,将该卡片上的
数字记为a,不放回,再从中抽取一张,将该卡片上的数字记为b,则使关于
x的不等式组?的解集中有且只有3个非负整数解的概率是
?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????A 画树状图如图:
?
由树状图可以看出,(a,b)的等可能的结果有(-2,-6),(-2,2),(-2,6),(-6,-2),(-6,
2),(-6,6),(2,-2),(2,6),(2,-6),(6,-2),(6,2),(6,-6),共12种.?解①
得x<7.当a>0时,解②得x>?,根据不等式组的解集中有且只有3个非负整
数解,可知3得x合要求,故?=3,即b=-6,a=-2符合要求,故所有组合中只有2种情况符合要
求,∴使关于x的不等式组?的解集中有且只有3个非负整数
解的概率为?=?.故选A.
2.如图,在某十字路口,汽车可左转、可直行、可右转.若这三种情况可
能性相同,则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为 ????.
?
答案?????
解析????画树状图如图:
?
由树状图可知共有9种等可能的结果,两辆汽车经过该路口都向右转的
情况有1种,∴两辆汽车经过该路口都向右转的概率为?.
3.(2016湖南湘潭中考)十八届五中全会出台了全面实施一对夫妇可生
育两个孩子的政策,这是党中央站在中华民族长远发展的战略高度作出
的促进人口长期均衡发展的重大举措,二孩政策出台后,某家庭积极响
应政府号召,准备生育两个小孩(生男生女机会均等,且与顺序有关).
(1)该家庭生育两胎,假设每胎都生育一个小孩,求这两个小孩恰好是1男
1女的概率;
(2)该家庭生育两胎,假设第一胎生育一个小孩,且第二胎生育一对双胞
胎,求这三个小孩中至少有1个女孩的概率.
解析????(1)列表给出所有可能的结果:
第二胎
第一胎 ???? 男 女
男 (男,男) (男,女)
女 (女,男) (女,女)
∴所有等可能的结果共有4种,其中1男1女的情况有两种,
∴P(1男1女)=?=?.
(2)列表给出所有可能的结果:
第二胎
第一胎 ???? 男男 男女 女男 女女
男 (男,男,男) (男,男,女) (男,女,男) (男,女,女)
女 (女,男,男) (女,男,女) (女,女,男) (女,女,女)
由上表可知,所有等可能的结果共8种,其中至少有一个女孩的情况有7
种,∴P(至少有1个女孩)=?.
4.(2016贵州贵阳中考)教室里有4排日光灯,每排灯各由一个开关控制,
但灯的排数序号与开关序号不一定对应,其中控制第二排灯的开关已坏
(闭合开关时灯也不亮).
(1)将4个开关都闭合时,教室里所有灯都亮起的概率是 ????;(4分)
(2)在4个开关都闭合的情况下,不知情的雷老师准备做光学实验,由于灯
光太强,他需要关掉部分灯,于是随机将4个开关中的2个断开,请用列表
或画树状图的方法,求恰好关掉第一排与第三排灯的概率.(6分)
解析????(1)0.
(2)用A1、A2、A3、A4分别表示第一排、第二排、第三排、第四排日光灯,
列表如下:
A1 A2 A3 A4
A1 (A1,A2) (A1,A3) (A1,A4)
A2 (A2,A1) (A2,A3) (A2,A4)
A3 (A3,A1) (A3,A2) (A3,A4)
A4 (A4,A1) (A4,A2) (A4,A3)
或画树状图如图所示:
?
∴共有12种等可能的情况,其中满足条件的有(A3,A1),(A1,A3)2种情况,∴P
(恰好关掉第一排和第三排灯)=?=?.
5.(2016江苏苏州中考)在一个不透明的布袋中装有三个小球,小球上分
别标有数字-1、0、2,它们除了数字不同外,其他完全相同.
(1)随机地从布袋中摸出一个小球,则摸出的球为标有数字2的小球的概
率为 ????;
(2)小丽先从布袋中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系
内点M的横坐标,再将此球放回、搅匀,然后由小华再从布袋中随机摸
出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标.请用树状
图或表格列出点M所有可能的坐标,并求出点M落在如图所示的正方形
网格内(包括边界)的概率.
解析????(1)?.
(2)用表格列出点M所有可能的坐标如下表:
横坐标
纵坐标 ???? -1 0 2
-1 (-1,-1) (0,-1) (2,-1)
0 (-1,0) (0,0) (2,0)
2 (-1,2) (0,2) (2,2)
由上表可知,所有等可能的结果共9种,其中点M落在正方形网格内(包括
边界)的情况有6种,∴P(点M落在正方形网格内)=?.
一、选择题
1.(2018四川凉山州模拟,4,★★☆)小红上学要经过三个十字路口,每个
路口遇到红、绿灯的概率都相同,小红希望上学时经过每个路口都是绿
灯,但实际上这样的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?+?+?
答案????B 画树状图如图:
∴共有8种等可能的情况,其中经过每个路口都是绿灯的情况有1种,∴
实际上这样的概率是?,故选B.
2.(2019陕西西安雁塔期中,10,★★☆)一只蚂蚁在如图3-1-4所示的树枝
上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它获
得食物的概率是?( )
?
图3-1-4
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????C ∵共有8种等可能的结果,它获得食物的情况有2种,∴它获得
食物的概率是?=?,故选C.
3.(2017浙江绍兴嵊州爱德外国语学校期中,4,★★☆)分别用写有“嵊
州”“卫生”“城市”的词语拼句子,那么能够排成“嵊州卫生城市”
或“卫生城市嵊州”的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????C 画树状图如图.
由树状图可以看出,共有6种等可能的结果,其中能够排成“嵊州卫生城
市”或“卫生城市嵊州”的结果有2种,所以能够排成“嵊州卫生城
市”或“卫生城市嵊州”的概率是?=?.故选C.
二、解答题
4.(2019陕西宝鸡岐山期中,17,★★☆)如图3-1-5,电路图上有四个开关A,
B,C,D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯泡发
光.
(1)任意闭合其中一个开关,则小灯泡发光的概率等于 ????;
(2)任意闭合其中两个开关,请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发
光的概率.
?
图3-1-5
解析????(1)有4个开关,只有D开关一个闭合时小灯泡才发光,所以任意闭
合其中一个开关,小灯泡发光的概率是?.
(2)画树状图如图:
?
∴任意闭合其中两个开关的情况共有12种,其中能使小灯泡发光的情况
有6种,故小灯泡发光的概率是?.
5.(2019浙江杭州下城期中,17,★★☆)抽屉里放有4只白袜子和2只黑袜
子.
(1)从中任意摸出1只袜子,记下颜色后放回,搅匀,再摸出1只袜子,摸出的
两只袜子颜色相同的概率是多少?
(2)若第一次摸出不放回,摸出的两只袜子颜色相同的概率是多少?
解析????(1)根据题意画树状图如图:
?
∵共有36种等可能的结果,其中摸出的两只袜子颜色相同的情况有20
种,∴摸出的两只袜子颜色相同的概率为?=?.
(2)画树状图如图:
?
∵共有30种等可能的结果,其中摸出的两只袜子颜色相同的情况有14
种,
∴摸出的两只袜子颜色相同的概率为?=?.
1.(2018河南新乡七中期末,3,★★☆)一个袋子中装有3个红球和2个黄
球,这些球的形状、大小、质地完全相同,在看不到球的条件下,随机从
袋中摸出2个球,其中2个球颜色不相同的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D 先将3个红球分别记作“红1”“红2”“红3”,2个黄球分
别记作“黄1”“黄2”,然后列表如下:
第2个
第1个 ???? 红1 红2 红3 黄1 黄2
红1 —— 红1红2 红1红3 红1黄1 红1黄2
红2 红2红1 —— 红2红3 红2黄1 红2黄2
红3 红3红1 红3红2 —— 红3黄1 红3黄2
黄1 黄1红1 黄1红2 黄1红3 —— 黄1黄2
黄2 黄2红1 黄2红2 黄2红3 黄2黄1 ——
由表格可知共20种等可能的结果,其中2个球颜色不同的结果有12种,∴
随机从袋中摸出2个球,其中2个球颜色不相同的概率是?=?.故选D.
2.(2018山西太原期中,3,★★☆)有四张背面完全相同的扑克牌,牌面数
字分别是2,3,4,5.将四张牌背面朝上放置并搅匀后,从中任意摸出一张,
不放回,再任意摸出一张,摸到的两张牌的牌面数字都是奇数的概率是
?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D 根据题意画树状图如下:
?
由树状图可知共有12种等可能的结果,其中摸到的两张牌的牌面数字都
是奇数的结果有2种,∴摸到的两张牌的牌面数字都是奇数的概率是?=?.故选D.
3.(2018河南郑州外国语中学月考,17,★★☆)为弘扬中华传统文化,我校
近期举办了中学生“国学经典大赛”.比赛项目为:A.唐诗;B.宋词;C.论
语;D.三字经.比赛形式分“单人组”和“双人组”.(6分)
(1)小丽参加“单人组”,她从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三
字经”的概率是多少?
(2)小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小
组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次,则恰好
小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少?请用画树状图
或列表的方法进行说明.
解析????(1)小丽从中随机抽取一个比赛项目,恰好抽中“三字经”的概
率是?.
(2)画树状图如图:
?
由树状图知共有12种等可能的结果,其中恰好小红抽中“唐诗”且小明
抽中“宋词”的结果有1种,所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中
“宋词”的概率是?.
4.(2018云南腾冲八中期末,20,★★☆)有一个不透明口袋,装有分别标有
数字1,2,3,4的4个小球(小球除数字不同外,其余都相同),另有3张背面完
全一样,正面分别写有数字1,2,3的卡片.小敏从口袋中任意摸出一个小
球,小颖从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张,然后计算摸出的小球
和卡片上的两个数的积.(8分)
(1)请你用列表或画树状图的方法,求摸出的这两个数的积为6的概率;
(2)小敏和小颖做游戏,她们约定:若这两个数的积为奇数,则小敏赢;否
则小颖赢.你认为该游戏公平吗?为什么?如果不公平,请你修改游戏规
则,使游戏公平.
解析????(1)列表如下:
小球
卡片 ???? 1 2 3 4
1 1×1=1 1×2=2 1×3=3 1×4=4
2 2×1=2 2×2=4 2×3=6 2×4=8
3 3×1=3 3×2=6 3×3=9 3×4=12
由表格可知共有12种等可能的结果,其中摸出的这两个数的积为6的结
果有2种,∴P(摸出的这两个数的积为6)=?=?.
(2)不公平.
理由:由(1)中表格可知摸出的这两个数的积为奇数的结果有4种,
∴P(小敏赢)=?=?,P(小颖赢)=1-?=?,
∵?≠?,
∴该游戏不公平.
修改规则,答案不唯一,如:若这两个数的积为3的倍数,则小敏赢;否则小
颖赢.
一、选择题
1.(2018湖北武汉中考,8,★★☆)一个不透明的袋中有四张完全相同的
卡片,把它们分别标上数字1、2、3、4.随机抽取一张卡片,然后放回,再
随机抽取一张卡片,则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是?
( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????C 画树状图如图所示:
?
共有16种等可能的情况,其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的情况
有12种,故所求概率为?=?,故选C.
2.(2018山东聊城中考,9,★★☆)小亮、小莹、大刚三位同学随机地站
成一排合影留念,小亮恰好站在中间的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????B 根据题意列表如下:
共有6种等可能的结果,其中小亮恰好站在中间的结果有2种,所以小亮
恰好站在中间的概率为?=?,故选B.
左 中 右
小亮 小莹 大刚
小亮 大刚 小莹
小莹 小亮 大刚
大刚 小亮 小莹
小莹 大刚 小亮
大刚 小莹 小亮
二、填空题
3.(2018湖南娄底中考,15,★★☆)从2018年高一年级学生开始,湖南省全
面启动高考综合改革,学生学习完必修课程后,可以根据高校相关专业
的选课要求和自身兴趣、志向、优势,从思想政治、历史、地理、物
理、化学、生物6个科目中,自主选择3个科目参加等级考试,学生A已选
物理,还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科,再从化学、
生物2个理科科目中选1科,若他选思想政治、历史、地理的可能性相
等,选化学、生物的可能性相等,则选修地理和生物的概率是 ????.
答案?????
解析????列表如下:
思想政治 历史 地理
化学 思想政治、化学 历史、化学 地理、化学
生物 思想政治、生物 历史、生物 地理、生物
共有6种等可能的结果,其中选修地理和生物的结果有1种,因此选修地
理和生物的概率是?.
三、解答题
4.(2018江苏无锡中考,23,★★☆)某校组织一项公益知识竞赛,比赛规
定:每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队.但参赛
时,每班只能有3名队员上场参赛,班主任老师必须参加,另外2名队员分
别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生
和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队,求恰好抽到由男生甲、女
生丙和这位班主任一起上场参赛的概率.(请用“画树状图”或“列
表”或“列举”等方法给出分析过程)
解析????解法一:画树状图如图:
?
∵总的结果数是4,符合条件的结果数是1,∴P(恰好抽到由男生甲、女
生丙和这位班主任一起上场参赛)=?.
解法二:列表如下:
男生
女生 ???? 甲 乙
丙 (甲,丙) (乙,丙)
丁 (甲,丁) (乙,丁)
∵总的结果数是4,符合条件的结果数是1,∴P(恰好抽到由男生甲、女
生丙和这位班主任一起上场参赛)=?.
5.(2018湖北孝感中考,19,★★☆)在孝感市关工委组织的“五好小公
民”主题教育活动中,我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗飘飘,
引我成长”知识竞赛,赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩,按从高分
到低分将成绩分成A,B,C,D,E五类,绘制成下面两个不完整的统计图,如
图3-1-6:
?
图3-1-6
根据上面提供的信息解答下列问题:
(1)D类所对应的圆心角是 ????度,样本中成绩的中位数落在 ????
类中,并补全条形统计图;
(2)若A类含有2名男生和2名女生,随机选择2名学生担任校园广播“孝
心伴我行”节目主持人,请用列表法或画树状图的方法求恰好抽到1名
男生和1名女生的概率.
解析????(1)被调查的总人数为30÷30%=100,
则B类的人数为100×40%=40,
所以D类的人数为100-(4+40+30+6)=20,
则D类所对应的圆心角是360°×?=72°,中位数是第50、51个数据的平
均数,而第50、51个数据均落在C类,所以中位数落在C类.
补全条形统计图如下:
?
(2)先将2名男生分别记作“男1”“男2”,2名女生分别记作“女1”
“女2”,然后列表如下:
男1 男2 女1 女2
男1 —— 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 —— 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 —— 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ——
由表格可知,从4名学生中任意选择2名学生共有12种等可能的结果,其
中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种,∴恰好抽到1名男生和1名
女生的概率为?=?.
1.(2017湖北恩施中考,5,★★☆)小明和他的爸爸、妈妈共3人站成一排
拍照,他的爸爸妈妈相邻的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D 画树状图如图:
?
由树状图可知,一共有6种等可能的情况,而爸爸妈妈相邻的情况有4种,
所以P(爸爸妈妈相邻)=?=?,故选D.
2.(2017江苏盐城中考,20,★★☆)为了弘扬祖国的优秀传统文化,某校组
织了一次“诗词大会”,小明和小丽同时参加.其中,有一道必答题是从
如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗,其答案为“山重水复疑
无路”.
(1)小明回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择,
若随机选择其中一个,则小明回答正确的概率是 ????;
(2)小丽回答该问题时,对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个
字是选“富”还是选“复”都难以抉择,若分别随机选择,请用列表或
画树状图的方法求小丽回答正确的概率.
解析????(1)小明回答正确的概率为?.
(2)画树状图如下:
?
由树状图可知共有4种等可能的结果,其中正确的结果只有1种,所以小
丽回答正确的概率为?.
3.(2018江苏盐城中考,20,★★☆)端午节是我国传统佳节,小峰同学带了
4个粽子(除粽馅不同外,其他均相同),其中有两个肉馅粽子,一个红枣馅
粽子和一个豆沙馅粽子,准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.
(1)用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果;
(2)请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.
解析????(1)先将两个肉馅粽子分别记作“肉馅1”“肉馅2”,然后画树
状图如图:
由树状图可知:小悦拿到两个粽子的所有可能的结果共有12种.
(2)由树状图可知:小悦拿到的两个粽子都是肉馅的结果有2种,所以P(小
悦拿到的两个粽子都是肉馅的)=?=?.
4.(2018湖北黄冈中考,17,★★☆)央视“经典咏流传”开播以来受到社
会广泛关注.我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜
爱情况进行了随机调查.对收集的信息进行统计,绘制了下面两幅尚不
完整的统计图.请你根据统计图所提供的信息解答下列问题:
图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜
欢”.
(1)被调查的总人数是 ????,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心
角的度数为 ????;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校共有学生1 800人,请根据上述调查结果,估计该校学生中A类
有 ????人;
(4)在抽取的A类5人中,刚好有3个女生2个男生,从中随机抽取两个同学
担任两角色,用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概
率.
解析????(1)被调查的总人数为5÷10%=50.
扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×?=216°.
(2)B对应的人数为50-5-30-5=10.
补全条形统计图如图所示:
?
(3)估计该校学生中A类有1 800×10%=180(人).
(4)解法一(列表法):
女1 女2 女3 男1 男2
女1 女1女2 女1女3 女1男1 女1男2
女2 女2女1 女2女3 女2男1 女2男2
女3 女3女1 女3女2 女3男1 女3男2
男1 男1女1 男1女2 男1女3 男1男2
男2 男2女1 男2女2 男2女3 男2男1
由上表可知,从3个女生2个男生中随机抽取两个同学担任两角色,共有2
0种等可能的结果,其中被抽到的两个学生性别相同的结果有8种,故所
求概率为?=?.
解法二(树状图法):
?
由树状图可知,从3个女生2个男生中随机抽取两个同学担任两角色,共
有20种等可能的结果,其中被抽到的两个学生性别相同的结果有8种,故
所求概率为?=?.
1.近几年“密室逃脱俱乐部”风靡全球.图3-1-7是俱乐部的通路俯视
图,有A、B两个密室,小明进入入口后,可从左、中、右三条通道中任选
一条,则小明进入A密室的概率为 ????.
?
图3-1-7
答案?????
解析????画树状图如下:
?
由树状图可知小明进入入口后,一共有6条不同的路线,因为小明是任选
一条路线,所以走各种路线的可能性是相同的,而其中进入A密室的路线
有2条,所以小明进入A密室的概率为?.
2.如图3-1-8,管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1.
?
图3-1-8
(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是 ????;
(2)小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端A1、
B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子能连接成一根
长绳的概率.(用列表法或树状图法)
解析????(1)∵管中放置三根同样的绳子AA1、BB1、CC1,
∴小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子AA1的概率是?,故答
案为?.
(2)列表如下:
右端
左端 ???? A1B1 B1C1 A1C1
AB AB,A1B1 AB,B1C1 AB,A1C1
BC BC,A1B1 BC,B1C1 BC,A1C1
AC AC,A1B1 AC,B1C1 AC,A1C1
∵分别在两端随机选两个绳头打结,总共有9种情况,每种情况发生的可
能性相同,且能连接成一根长绳的情况有6种:
①左端连AB,右端连B1C1或A1C1;
②左端连BC,右端连A1B1或A1C1;
③左端连AC,右端连A1B1或B1C1,
∴这三根绳子能连接成一根长绳的概率为?=?.
3.如图3-1-9①,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面,并分别标有
数字1,2,3,4.如图3-1-9②,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的
规则为:游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面标的数字是几,就沿正方形
的边顺时针方向连续跳几个边长.例如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺
时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就再从D开始顺时针连续
跳2个边长,落到圈B;…….设游戏者从圈A起跳.
(1)小明随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率P1;
(2)丁丁随机掷两次骰子,求最后落回到圈A的概率P2,并判断丁丁与小明
落回到圈A的可能性是否一样.
图3-1-9
解析????(1)∵掷一次骰子有4种等可能的结果,只有掷得4时才会落回到
圈A,∴P1=?.
(2)列表如下:
第一次
第二次 ???? 1 2 3 4
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
由表格可知,共有16种等可能的情况.
当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,丁丁才可落
回到圈A,共有4种情况.
∴P2=?=?.
又∵P1=?,
∴丁丁与小明落回到圈A的可能性一样.
1.甲、乙两人玩猜数字游戏,游戏规则如下:有四个数字0、1、2、3,先
由甲心中任选一个数字,记为m,再由乙猜甲刚才所选的数字,记为n,
若m、n满足|m-n|≤1,则称甲、乙两人“心有灵犀”,则甲、乙两人“心
有灵犀”的概率是 ????.
答案?????
解析????画树状图如下:
由树状图可知,共有16种等可能的情况,其中|m-n|≤1的情况有10种,所以
甲、乙两人“心有灵犀”的概率是?=?.
2.你的前额有V形发髻吗?你在微笑时有酒窝吗?你知道吗?人的这些特
征都是由基因控制的,人类的许多性状受单一基因控制,如前额发髻的
形状由一对基因控制(其中控制前额V形发髻的基因W相对于控制平发
髻的基因w是显性的).这样控制某个人前额发髻的形状的一对基因就
可能是Ww、WW、ww三者中的一种,基因是Ww和WW的人前额具有
V形发髻,基因是ww的人前额具有平发髻.
在遗传时,父母分别将他们所携带的一对基因中的一个遗传给子女,且
是等可能的.
例如:父母都是V形发髻,且他们的基因都是Ww,那么他们的子女有
Ww、WW、ww三种可能,具体情况可用下表表示:
父亲基因Ww
母亲基因Ww ???? W w
W WW Ww
w Ww ww
如果父亲基因是Ww,母亲基因是ww,那么你能计算出他们子女前额是
V形发髻的概率吗?如果父亲基因是WW,母亲基因是ww呢?请分别计算
说明.
解析????列表如下:
父亲基因Ww
母亲基因ww ???? W w
w Ww ww
w Ww ww
所以如果父亲基因是Ww,母亲基因是ww,那么他们子女前额是V形发
髻的概率是?=?.类似地,若父亲基因是WW,母亲基因是ww,则他们子
女前额是V形发髻的概率是1.
3.如图是9×7的方形点阵,其水平方向和竖直方向上相邻两个格点间的
距离都为1个单位,以这些点为顶点的三角形称为格点三角形,请通过画
图探究,回答下列问题:
(1)请在图中画出一个以AB为边且面积为2的格点三角形;
(2)任取能与A、B构成三角形的一点M,求以A、B、M为顶点的三角形
的面积为2的概率;
(3)任取能与A、B构成三角形的一点M,求以A、B、M为顶点的三角形
为直角三角形的概率.
解析????(1)图中△ABM的面积为2,是一个符合条件的格点三角形.
?
(2)如图,a∥AB,直线a上有7个格点,以这些点作为点M能使△ABM的面
积为2.同理,直线b上有5个这样的点.因为以A、B为顶点的格点三角形
有56个,所以P(△ABM的面积为2)=?.
(3)以A为直角顶点的三角形有6个,以B为直角顶点的三角形有4个,以M
为直角顶点的三角形有2个,所以P(△ABM为直角三角形)=?.
第三章 概率的进一步认识
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点一????用频率估计概率
用频率估计概率 一般地,在大量重复试验下,随机事件A发生的频率?(这里n是总试验次数,它必须相当大,m是在n次试验中随机事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是,我们用p这个常数表示随机事件A发生的概率,即P(A)=p
知识详解 (1)当试验的所有可能结果不是有限个,或结果的个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相同时,很难用列表法或画树状图法求该随机事件的概率;
(2)在随机现象中,一个随机事件发生与否,事先无法预料.表面上看似乎无规律可循,但当我们做大量重复试验时,这个事件发生的频率呈现稳定性,这个呈现稳定性的频率就反映了该随机事件的规律
温馨提示 (1)用频率估计概率的大小时,试验一定要在相同的条件下进行,试验的次数越多,得到的频率就越稳定,规律就越明显,此时可以用频率稳定值估计事件发生的概率;
(2)当试验的所有可能结果不是有限个,或结果的个数很多,或各种可能结果发生的可能性不相同时,一般通过频率来估计概率
例1 一粒木质的中国象棋棋子“兵”,它的正面雕刻着一个“兵”字,
它的反面是平的.将它从一定高度下掷,落地反弹后可能是“兵”字面
朝上,也可能是“兵”字面朝下.由于棋子的两面不均匀,为了估计“兵”
字面朝上的概率,某试验小组做了棋子下掷试验,试验数据如下表:
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的频数 14 38 47 52 66 78 88
相应频率 0.70 0.45 0.63 0.59 0.52 0.56 0.55
(1)请将表中数据补充完整;
(2)在图3-2-1中画出“兵”字面朝上的频率分布折线图;
图3-2-1
(3)如果试验继续进行下去,根据上表中的数据,这个试验的频率将稳定
在它的概率附近,请你估计这个概率是多少.
解析????(1)40×0.45=18,66÷120=0.55,故填18;0.55.
(2)画折线图如图3-2-2所示.
?
图3-2-2
(3)根据表中数据知,试验频率分别为0.70,0.45,0.63,0.59,0.52,0.55,0.56,0.55,
稳定在0.55左右,故估计这个概率为0.55.
点拨 当试验次数很大时,试验的频率就会趋于稳定,我们可以通过多
次试验,用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
知识点二????模拟试验估算事件的概率
模拟试验 在用试验法求某些事件发生的概率时,往往受试验条件的限制,试验很难做或所做的结果误差较大或试验次数太多,因而完成起来较困难.这时,我们可以采用模拟试验的方法估计事件发生的概率
模拟试验的两种方法 用替代物
模拟试验 用替代物模拟试验时,要注意:替代物与被替代物的形状、大小、质地可以差别很大,但是作为试验时考察的试验对象,其出现的频率应该是相同的,这样用替代物时才不会影响试验的结果
用计算器
产生随机
数来模拟
试验 (1)有时候我们很难找到合适的替代物模拟试验,或者用替代物比较麻烦,这时我们可以用计算器产生符合条件的随机数,这种试验的方法称为计算器模拟试验.设计模拟试验时有n种可能,就要用计算器产生1~n的随机数,调查n个人就需一次取n个数作为一次试验.
(2)用计算器产生随机数的步骤:进入随机数的状态→输入所产生的随机数的范围→按键得出随机数.不同的计算器产生随机数的具体步骤可能不同
注意 1.用模拟试验代替实际调查既省时又省力,但必须设计出合乎要
求的方案.通常有以下两种比较常见的模拟试验:(1)摸球试验;(2)用计算
器产生随机数.
2.模拟试验的多样性:同一试验有各种各样的替代物,这样会给试验带来
很多方便.如在抛掷一枚硬币的试验中,如果手边恰好没有硬币,可以用
一张红桃扑克牌和一张黑桃扑克牌为替代物,还可以用黄、白两个乒乓
球为替代物,也可以用黑、白两粒围棋子为替代物来进行模拟试验.
3.模拟试验的原则:替代试验必须在同等条件下进行.
4.用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数,当试
验次数很大时,结果将会较为精确.
5.摸球试验中应记住每次摸出球后必须放回.
6.不是所有试验都能找到替代物.
例2 假设某省12个地区购买该省发行的第188期某彩票的人数相等,请设计一个方案,估计5名一等奖中奖彩民中有两名或两名以上来自同一地区的概率.
分析解决此问题,若直接对这12个地区的彩民进行随机调查,试验难度大而且不现实,应考虑模拟试验,例如用一个均匀的正十二面体代替十二个地区,连续随机抛掷5次作为一次试验.
解析????准备一个均匀的正十二面体,在其各面上分别标上1~12,这12个数字分别代表12个地区.抛正十二面体,记下着地的面上的数字,再抛,再记录,连续抛5次作为一次试验,记录是否有两次或两次以上的数字相同,重复多次这样的试验,利用试验的频率估计概率.
点拨 在设计模拟试验时,应注意按照如下步骤进行:
(1)选择合适的试验工具;
(2)进行试验,并做好记录,叙述时一定要注意事件发生的等可能性;
(3)计算、写出结论,叙述清楚“一次试验”的含义,估算出事件发生的概率.
题型一????用频率估计袋中球的数目
例1 一个不透明的口袋中有10个白球和若干个黑球,它们除颜色外完
全相同,如果不允许将球倒出来数,如何估计其中的黑球数呢?两位同学
是如下操作的:
小芳:从口袋中随机摸出一球,记下颜色,再把它放回口袋中,不断重复上
述过程,她共摸了100次,其中有81次摸到黑球.
小明:利用抽样调查的方法,从口袋中一次摸出10个球,求出其中白球数
与10的比值.再把球放回口袋中,不断重复上述过程,他总共摸了10次,白
球数与10的比值如下:
次数 1 2 3 4 5
每次摸球白球
数与10的比值 0.2 0.3 0.2 0.1 0.4
次数 6 7 8 9 10
每次摸球白球
数与10的比值 0.1 0.3 0.2 0.1 0.2
问:(1)小芳估计袋中黑球有多少个?
(2)小明估计袋中黑球有多少个?
(3)两位同学操作时,每次摸球后都要放回,如果不放回行吗?为什么?
分析 假设口袋中有x个黑球,则从口袋中随机摸出1球,是黑球的概率为
?,是白球的概率为?.小芳摸了100次,其中有81次摸到黑球,则我
们可以估计从口袋中随机摸出一球,这个球是黑球的概率为?,从而可
列方程?=?,即可求出黑球的个数;通过对小明收集的数据进行分
析,可以得出白球的频率约为0.21,即可以估计出现白球的概率为0.21,从
而可列方程?=0.21,即可求出黑球的个数.
解析????(1)设口袋中有x个黑球,根据摸出一个球是黑球的概率可得方程
?=?,解得x≈43.
所以小芳估计袋中有43个黑球.
(2)样本中白球出现的频率的平均数为
?=0.21,
从而可以估计白球出现的概率为0.21,
则可列方程?=0.21,解得x≈38.
所以小明估计袋中有38个黑球.
(3)不行.如果不放回,则求出来的概率就不是摸出一球是黑球或白球的
概率.
点拨 本题的解题关键是根据摸到黑球或白球的概率来寻找等量关系
建立方程.
题型二????利用计算器模拟试验估计复杂事件的概率
例2 课外活动时,王老师把自己的一串钥匙交给李强,让他去取一本书,
但李强不小心把王老师告诉他开办公桌的那把钥匙的特征忘记了.已知
这串钥匙共有8把,请你用计算器模拟试验的方法估测一下,他一次试开
成功的机会有多大.(只需写出用计算器模拟试验的方法)
解析????(1)把8把钥匙编号,依次为1,2,3,4,5,6,7,8.假设开办公桌的钥匙的
编号为1.
(2)利用计算器在1~8之间产生一个随机数,如果这个随机数是1,就会试
开成功,否则就不成功.
第一步:利用计算器在1~8之间产生随机数.
第二步:将数据填入统计表中.
第三步:根据频率估计一次试开成功的机会值.
点拨 利用计算器产生随机数时,关键在于确定所需要的数的范围.
利用古典概型感受随机现象
核心素养全解
思维开放 全面发展
素养呈现 数据分析是指针对研究对象获取数据,运用数学方法对数据
进行整理、分析和推断,形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程
主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型,进行推断,获得结论.
数据分析是研究随机现象的重要数学技术,是大数据时代数学应用的主
要方法,也是“互联网+”相关领域的主要数学方法,数据分析已经深入
到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面.
概率研究的对象是随机现象,其核心是通过对数据进行分析,发现数据
中蕴含的信息,从中发现规律.
典例剖析????
例????(2018辽宁本溪中考)某校在宣传“民族团结”活动中,采用四种宣
传形式:A.器乐,B.舞蹈,C.朗诵,D.唱歌.每名学生从中选择并且只能选择
一种最喜欢的,学校就宣传形式对学生进行了抽样调查,并将调查结果
绘制成如图3-2-3所示的两幅不完整的统计图.
?
图3-2-3
请结合图中所给信息,解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有 ????人;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有1 200名学生,请估计选择“唱歌”的学生有多少人;
(4)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中,有甲、乙、丙、丁四位同学
表现优秀,现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队,请
用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.
解析????(1)本次调查的学生共有30÷30%=100(人),故答案为100.
(2)喜欢B类项目的人数为100-30-10-40=20,补图如图3-2-4所示:
?
图3-2-4
(3)选择“唱歌”的学生约有1 200×?=480(人).
(4)根据题意画树状图,如图3-2-5所示.
?
图3-2-5
共有12种等可能的情况,被选取的两人恰好是甲和乙的情况有2种,则被
选取的两人恰好是甲和乙的概率是?=?.
素养呈现 简单随机现象的概率通常分为古典概型与几何概型,古典概
型的计算公式:P(A)=?,几何概型的计算公式:P(A)=?.可通过画树状
图或列表列出随机现象所有等可能的结果,当一次试验要涉及3个因素
或更多时,一般用树状图,当一次试验要涉及2个因素且等可能出现的结
果数比较多时,一般用列表法.用列表法求概率的注意点:(1)两个因素:一
个作为列,一个作为行.(2)列出所有结果时要特别注意对角线上的结果
是否符合要求.
知识点一????用频率估计概率
1.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是?( )
A.频率等于概率
B.当试验次数很大时,频率稳定在概率附近
C.当试验次数很大时,概率稳定在频率附近
D.试验得到的频率与概率不可能相等
答案????B 事件发生的频率是变化的,只能用频率估计概率,故A不正确;
当进行大量重复试验时,事件发生的频率会稳定在概率附近,故B正确,C
不正确;试验得到的频率可能与概率相等,故D不正确.故选B.
知识点二????模拟试验估算事件的概率
2.在“抛一枚均匀硬币”的试验中,如果手边现在没有硬币,则下面各个
试验中不能代替的是?( )
A.从两张扑克中抽一张,“黑桃”代替“正面”,“红桃”代替“反面”
B.从形状、大小完全相同,但颜色为一红一白的两个乒乓球中摸一个
C.扔一枚图钉
D.人数均等的男生、女生,以抽签的方式随机抽取一人
答案????C 在“抛一枚均匀硬币”的试验中,出现正面和反面的可能性
相同,因此所选的替代物的试验结果只能有两种,且出现的可能性相同,
因此A、B、D都符合要求.故选C.
3.某抽签活动设置了如图3-2-1所示的翻奖牌,每次抽奖翻开一个数字,
考虑“中奖”的可能性有多大.
正面
1 2 3
4 5 6
7 8 9
反面
轿车一辆 万事如意 奖金100元
心想事成 奖金100元 洗衣粉一袋
奖金10元 生活愉快 奖金2万元
图3-2-1
(1)如果用试验进行估计但又觉得制作翻奖牌太麻烦,能否用简便的模拟试验来代替?
(2)估计“未中奖”的可能性有多大,“中奖”的可能性有多大.你能探索出它们之间的关系吗?
解析????(1)可以用模拟试验的方法,用9张扑克牌(一副牌中的1~9)代替翻
奖牌,规定其中1~3号牌代表未中奖,4~9号牌代表中奖.
(2)“未中奖”的可能性为?,“中奖”的可能性为?,它们之间的关系是
未中奖的可能性+中奖的可能性=1.
1.为了看图钉落地后钉尖着地的概率有多大,小明做了大量重复试验,发
现钉尖着地的次数是试验总次数的40%,下
列说法错误的是?( )
A.钉尖着地的频率是0.4
B.随着试验次数的增加,钉尖着地的频率稳定在0.4附近
C.钉尖着地的概率约为0.4
D.前20次试验结束后,钉尖着地的次数一定是8次
答案????D 钉尖着地的频率是0.4,故选项A正确,不符合题意;随着试验
次数的增加,钉尖着地的频率稳定在0.4附近,故选项B正确,不符合题意;
∵钉尖着地的频率是0.4,∴钉尖着地的概率大约是0.4,故选项C正确,不
符合题意;前20次试验结束后,钉尖着地的次数应该在8次左右,故选项D
错误,符合题意.故选D.
2.(2018江苏南京五中期末)做重复试验:抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000次,经
过统计得“凸面向上”的频数为550次,则由此可以估计抛掷这枚啤酒
瓶盖出现“凸面向上”的概率约为?( )
A.0.4 ????B.0.45
C.0.5 ????D.0.55
答案????D ∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1 000次,经过统计得“凸面向上”的
频数为550次,∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为 =0.55,故选D.
3.某种玉米种子在相同条件下的发芽结果如下表:
(1)计算并完成表格;
(2)请估计当n很大时,频率将接近 ????;
(3)这种玉米种子发芽的概率的估计值是多少?请简要说明理由.
每批粒数n 100 150 200 500 800 1 000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的频率? 0.65 0.74 0.68 0.69
解析????(1)填表如下:
(2)当n很大时,频率将接近0.70.
(3)这种玉米种子发芽的概率的估计值是0.70.
理由:在相同条件下,经过多次重复试验,某一事件发生的频率近似等于
概率.
每批粒数n 100 150 200 500 800 1 000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
发芽的概率? 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 0.70
1.如图3-2-2,正方形ABCD内有一个内切圆☉O.电脑可设计程序:在正方
形内可随机产生一系列点,当点数很多时,电脑自动统计正方形内的点
数a,☉O内的点数b(在正方形边上和圆上的点不在统计中),利用频率估
计概率的原理,可推得π的大小是?( )
?
图3-2-2
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????B 设圆的半径为r,则正方形的边长为2r,根据题意得?=?,
故π=?,故选B.
2.(2018山西太原期末)随机掷一枚图钉,落地后只能出现两种情况:“钉
尖朝上”和“钉尖朝下”,这两种情况出现的可能性一样大吗?
(1)求真小组的同学们进行了试验,并将试验数据汇总填入下表.请补全
表格:
试验总
次数n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
“钉尖
朝上”
的次数m 4 12 32 60 100 140 156 196 200 216 248
“钉尖
朝上”
的频率 0.2 0.3 0.4 0.5 0.625 0.7 0.65 0.7 ① ② ③
(2)为了增加试验的次数,老师用计算机进行了模拟试验,将试验数据绘
制成如图3-2-3所示的折线图.
?
图3-2-3
据此,同学们得出三个推断:
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖朝上”的次数是308,所以
“钉尖朝上”的概率是0.616;
②随着试验次数的增加,“钉尖朝上”的频率在0.618附近摆动,显示出
一定的稳定性,据此估计“钉尖朝上”的概率是0.618;
③若再次用计算机模拟试验,当投掷次数为1 000时,“钉尖朝上”的次
数一定是620次.
其中合理的是 ????.
(3)向善小组的同学们也做了1 000次掷图钉的试验,其中640次“钉尖朝
上”.据此,他们认为“钉尖朝上”的可能性比“钉尖朝下”的可能性
大,你赞成他们的说法吗?请说出你的理由.
解析????(1)①处的频率为?=0.625.②处的频率为?=0.6.
③处的频率为?=0.62.
故答案为0.625;0.6;0.62.
(2)②.
①当投掷次数是500时,计算机记录“钉尖朝上”的次数是308,所以
“钉尖朝上”的频率是0.616,不能得其概率,故①不符合题意.
②由题图可知,随着试验次数的增加,“钉尖朝上”的频率在0.618附近
摆动,显示出一定的稳定性,据此估计“钉尖朝上”的概率是0.618,故②
符合题意.
③由题图可知,用计算机模拟试验,当投掷次数为1 000时,“钉尖朝上”
的频率是0.62.由此可得当投掷次数为1 000时,“钉尖朝上”的频率在0.62附近摆动,但不代表还是0.62,每次试验都具有偶然性,故③不符合题意.
(3)赞成.
理由:随机投掷一枚图钉1 000次,其中“钉尖朝上”的次数为640,则
“钉尖朝上”的频率为0.64,当试验次数足够大时,足以说明“钉尖朝
上”的可能性大.
3.某养鱼专业户年初放养草鱼、鲢鱼鱼苗共5 000条,且100%成活.年底
他想知道自己的收益情况.
(1)请你帮他设计一个估计鱼池中草鱼、鲢鱼的条数的方案;
(2)设计一个估计鱼池中草鱼、鲢鱼各有多少千克的方案;
(3)如果随机打捞起200条鱼,其中草鱼比鲢鱼多40条,草鱼平均每条的质
量为5 kg,鲢鱼平均每条的质量比草鱼少3 kg,市场价格是草鱼2.5元/kg,
鲢鱼2.0元/kg,估计该养鱼专业户年底的毛收入是多少元.
解析????(1)先随机打捞起一定数量的鱼,给其中的草鱼做上标记,然后放
回鱼池,经过一段时间后,再随机打捞若干条鱼,计算其中有标记的草鱼
占打捞起的草鱼的比.这样的试验进行多次,计算出鱼池中草鱼的全体
中有标记的草鱼的比,据此来估计鱼池中草鱼的数量,进而求出鲢鱼的
数量.
(2)先随机打捞部分鱼,称重并计算出每条草鱼、鲢鱼的平均质量,为使
数据更接近准确值,这样的试验可进行多次.再由(1)中估计出的草鱼、
鲢鱼的条数计算出整个鱼池中草鱼、鲢鱼的质量.
(3)由题中打捞情况可估计出鱼池中有草鱼3 000条、鲢鱼2 000条,则毛
收入估计为2.5×5×3 000+2.0×2×2 000=45 500(元).
1.从一副52张(没有大、小王)的扑克牌中,每次抽出1张,然后放回洗匀
再抽,在试验中得到下列表中部分数据:
(1)将数据表补充完整;
(2)从上面的数据表中估计出现方块的概率为 ????;
(3)从这副扑克牌中取出两组牌,分别是方块1,2,3和红桃1,2,3,将它们背
面朝上分别重新洗牌后,从两组牌中各摸出一张,若摸出的两张牌的牌
试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
出现方块
的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100
出现方块
的频率 27.5% 22.5% 25% 25% 24.5% 26.25% 24.3% 25.28% 25%
面数字之和等于3,则甲方赢;若摸出的两张牌的牌面数字之和等于4,则
乙方赢.你认为这个游戏对双方公平吗?若不公平,有利于谁?请你用概
率知识(列表或画树状图)加以分析说明.
解析????(1)30;25%.
(2)?.
(3)这个游戏对双方不公平.理由:
列表如下:
方块
红桃 ???? 1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
由表格可知,共有9种等可能的情况,其中摸出的两张牌的牌面数字之和
等于3的情况有2种,摸出的两张牌的牌面数字之和等于4的情况有3种,
∴P(甲方赢)=?,P(乙方赢)=?=?,
∵P(乙方赢)≠P(甲方赢),
∴这个游戏对双方不公平,有利于乙方.
2.A,B两位同学在学习“概率”时,共做了60次的投掷骰子(质地均匀的
正方体)试验,试验的结果如下表:
(1)计算“5点朝上”的频率;
(2)同学A说:“根据试验,出现5点朝上的概率最大.”同学B说:“如果投
掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”两位同学的说法正确
吗?请直接给出判断,不必说明理由;
(3)A,B两位同学各投掷一枚骰子,用列表或画树状图的方法求出两枚骰
子朝上的点数之和是4的倍数的概率.
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
解析????(1)“5点朝上”的频率为?=?.
(2)两位同学的说法都是错误的.
(3)解法一:列表如下:
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
由表格可知,共有36种等可能的情况,其中符合条件的情况有(1,3),(2,2),
(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6),共9种,∴P(两枚骰子朝上的点数之
和是4的倍数)=?=?.
解法二:画树状图如图.
?
由树状图可知,共有36种等可能的情况发生,其中符合条件的情况有9种,
∴P(两枚骰子朝上的点数之和是4的倍数)=?=?.
3.牛牛元旦那天和爸爸、妈妈一起回家看望爷爷、奶奶.因为期末考试
将至,他把书包也带了回去,准备抽空看看书.书包内有语文、数学、英
语、物理四本课本.他想通过试验的方法了解从书包中任意取出一本
书,恰好是数学课本的概率.于是他把四本课本的顺序打乱后,闭上眼睛
从书包中任取一本书,记录结果后将书放回书包中,再重复上面的做法,
得到了下表中的数据:
取书次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
取出数学课本的频数 8 22 29 42 51 59 70 81 89 102
取出数学课本的频率
(1)请根据表中提供的数据,求出取出数学课本的频率(结果精确到0.001);
(2)根据统计表画出折线统计图;
(3)从统计图中你发现了什么?
(4)你还能用别的替代物进行模拟试验吗?请说明一种方法.
解析????(1)从左到右依次填0.200;0.275;0.242;0.263;0.255;0.246;0.250;
0.253;0.247;0.255.
(2)折线统计图如图.
?
(3)取出数学课本的频率随着取书次数的增加,越来越接近0.25.
(4)能.用扑克牌,每一种花色取一张即能替代.
4.某工厂封装圆珠笔的箱子,每箱只装2 000支,在一次封装时误把一些
已做标记的不合格的圆珠笔也装入一个箱子里,若每次随机拿出100支
圆珠笔,共做15次试验,100支圆珠笔中不合格的圆珠笔的平均支数是5,
你能估计这个箱子里混入了多少支不合格的圆珠笔吗?若每支合格圆
珠笔的利润为0.50元,而发现不合格的要退货并每支赔偿商店1.00元,你
能根据你的估计推算出这箱圆珠笔是亏损还是盈利吗?亏损或盈利多
少?
解析????设这个箱子里有x支不合格的圆珠笔,则?=?,解得x=100.故
估计这个箱子里混入了100支不合格的圆珠笔.(2 000-100)×0.5-100×1.00=
950-100=850(元)>0元.故这箱圆珠笔是盈利的,盈利850元.
选择题
1.(2018山东威海文登期末,6,★★☆)某小组做“用频率估计概率”的
试验时,统计了某结果出现的频率,绘制了如图3-2-4所示的折线统计图,
则符合这一结果的试验最有可能的是?( )
?
图3-2-4
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任意抽出一张的花色是红
桃
C.袋子中有1个红球和2个黄球,它们除颜色外都相同,从中任取一球是
黄球
D.掷一枚质地均匀的骰子,向上的面的点数是偶数
答案????D????A项,在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪
刀”的概率为?,不符合题意;
B项,一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后,从中任意抽出一张的花色是
红桃的概率为?,不符合题意;
C项,袋子中有1个红球和2个黄球,它们除颜色外都相同,从中任取一球
是黄球的概率为?,不符合题意;
D项,掷一枚质地均匀的骰子,向上的面的点数是偶数的概率为?,符合题
意.故选D.
2.(2018湖北武汉洪山二模,4,★★☆)下表记录了一名球员在罚球线上
投篮的结果.
这名球员投篮一次,投中的概率约是?( )
A.0.58 ????B.0.6 ????C.0.64 ????D.0.55
投篮次数n 100 150 300 500 800 1 000
投中次数m 58 96 174 302 484 601
投中频率? 0.580 0.640 0.580 0.604 0.605 0.601
答案????B 由频率分布表可知,随着投篮次数越来越大时,频率逐渐稳定
到常数0.6附近,故这名球员投篮一次,投中的概率约是0.6,故选B.
1.(2018山东青岛黄岛期中,10,★★☆)在不透明的袋子中有黑棋子10枚
和白棋子若干(它们除颜色外都相同),现随机从中摸出10枚,记下颜色后
放回,这样连续做了10次,记录了如下的数据:
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
黑棋子数 1 3 0 2 3 4 2 1 1 3
根据以上数据,估算袋中的白棋子数为 ????.
答案 40
解析????根据试验提供的数据得出:黑棋子所占的百分比为(1+3+0+2+3+
4+2+1+1+3)÷100×100%=20%,
所以白棋子所占的百分比为1-20%=80%.
设白棋子有x枚,由题意得?=80%,
所以x=40,经检验,x=40是原方程的解,且符合题意.
即袋中的白棋子数约为40.
2.2017广东东莞中堂星晨中学模拟,21,★★☆)在一个不透明的盒子里
装有黑、白两种颜色的球共40个,这些球除颜色外其余完全相同.小颖
做摸球试验,搅匀后,她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后,再把球放
回盒子中,不断重复上述过程,下表是试验中的一组统计数据:
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000
摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1 803
摸到白球的频率? 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计:当n很大时,摸到白球的频率将会接近 ????;(精确到0.1)
(2)若从盒子里随机摸出一个球,则摸到白球的概率的估计值为 ???????;
(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个.
解析????(1)由题表中数据知,
当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6,
利用频率估计概率知摸到白球的概率约为0.6.
(3)40×0.6=24(个),40-24=16(个).
估计盒子里白、黑两种颜色的球各有24个,16个.
1.(2018山东烟台中考,6,★★☆)下列说法正确的是?( )
A.367人中至少有2人生日相同
B.任意掷一枚均匀的骰子,掷出的点数是偶数的概率是?
C.天气预报说明天的降水概率为90%,则明天一定会下雨
D.某种彩票中奖的概率是1%,则买100张彩票一定有1张中奖
答案????A 一年最多366天,所以367人中至少有2人生日相同,选项A正
确;任意掷一枚均匀的骰子,掷出的点数是偶数的概率应是?,选项B错
误;天气预报说明天的降水概率为90%,只是说降雨的可能性较大,但不
能说明天一定会下雨,选项C错误;某种彩票中奖的概率是1%,并不是说
买100张彩票一定有1张中奖,选项D错误.故选A.
二、填空题
2.(2018四川成都中考,12,★★☆)在一个不透明的盒子中,装有除颜色外
完全相同的乒乓球共16个,从中随机摸出一个乒乓球,若摸到黄色乒乓
球的概率为?,则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ????.
答案 6
解析????设盒子中装有黄色乒乓球x个,根据概率公式,可得?=?,解得x=6.
所以盒子中装有黄色乒乓球的个数是6.
3.(2018江苏淮安中考,11,★★☆)某射手在相同条件下进行射击训练,结
果如下:
该射手击中靶心的概率的估计值是 ????(精确到0.01).
射击次数n 10 20 40 50 100 200 500 1 000
击中靶心的频数m 9 19 37 45 89 181 449 901
击中靶心的频率? 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901
答案 0.90
解析????因为击中靶心的频率都在0.90上下波动,
所以该射手击中靶心的概率的估计值是0.90.
4.(2017江苏宿迁中考,13,★★☆)如图3-2-5,为测量平地上一块不规则
区域(图中的阴影部分)的面积,画一个边长为2 m的正方形,使不规则区
域落在正方形内,现向正方形内随机投掷小石子(假设小石子落在正方
形内每一点都是等可能的),经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不
规则区域的频率稳定在常数0.25附近,由此可估计不规则区域的面积是
????m2.
?
图3-2-5
答案 1
解析????∵经过大量重复投掷试验,发现小石子落在不规则区域的频率稳
定在常数0.25附近,
∴小石子落在不规则区域的概率约为0.25,
∵正方形的边长为2 m,∴正方形的面积为4 m2.
设不规则区域的面积为S m2,则?=0.25,解得S=1.
故估计不规则区域的面积是1 m2.
1.(2017甘肃兰州中考,7,★★☆)一个不透明的盒子里有n个除颜色外其
他完全相同的小球,其中有9个黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任
意摸出一个球记下颜色后再放回盒子,通过大量重复摸球试验后发现,
摸到黄球的频率稳定在30%,那么估计盒子中小球的个数n为?( )
A.20 ????B.24 ????C.28 ????D.30
答案????D 由频率估计概率,知摸到黄球的概率约为0.3,由题意可知?=
0.3,解得n=30,故选D.
2.(2017贵州黔东南州中考,14,★★☆)黔东南下司“蓝莓谷”以盛产
“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客.某果农今年的蓝莓得到了丰
收,为了了解自家蓝莓的质量,随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测,
发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7,
该果农今年的蓝莓总产量约为800 kg,由此估计该果农今年的“优质
蓝莓”产量约是 ????kg.
答案 560
解析????由题意可得,该果农今年的“优质蓝莓”产量约是800×0.7=560 kg.
3.(2015广东广州中考,22,★★☆)4件同型号的产品中,有1件不合格品和
3件合格品.(12分)
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测,求抽到的是不合格品的概率;
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测,求抽到的都是合格品的概率;
(3)在这4件产品中加入x件合格品后,进行如下试验:随机抽取1件进行检
测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验发现,抽到合格品的
频率稳定在0.95,则可以推算出x的值大约是多少?
解析????(1)P(抽到的是不合格品)=?=?.
(2)解法一:(列表法)
设1件不合格品为A,3件合格品分别为B1,B2,B3.
A B1 B2 B3
A (A,B1) (A,B2) (A,B3)
B1 (B1,A) (B1,B2) (B1,B3)
B2 (B2,A) (B2,B1) (B2,B3)
B3 (B3,A) (B3,B1) (B3,B2)
由上表可知所有等可能的结果有12种,其中满足条件的结果有6种.
∴P(抽到的都是合格品)=?=?.
解法二:(画树状图法)
设1件不合格品为A,3件合格品分别为B1,B2,B3.
根据题意,画出树状图如下:
?
由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中都是合格品的结果有6种.
∴P(抽到的都是合格品)=?=?.
(3)∵抽到合格品的频率稳定在0.95,
∴抽到合格品的概率约为0.95.
根据题意,得?=0.95,解得x=16.
经检验,x=16是原方程的解且符合题意.
答:可以推算x的值大约是16.
1.(2018辽宁锦州中考)图3-2-6是一幅长为3 m,宽为2 m的长方形世界杯
宣传画,为测量宣传画上世界杯图案的面积,现将宣传画平铺在地上,向
长方形宣传画内随机投掷骰子(假设骰子落在长方形内的每一点都是
等可能的),经过大量重复投掷试验,发现骰子落在世界杯图案中的频率
稳定在常数0.4附近,由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 ?????m2.
?
图3-2-6
答案 2.4
解析????长方形宣传画的面积=3×2=6(m2),
∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近,
∴世界杯图案的面积约占长方形世界杯宣传画面积的40%,
∴世界杯图案的面积约为6×40%=2.4 m2.
2.某商场设立了一个可以自由转动的转盘,规定:顾客购物10元以上就能
获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获
得相应的奖励(每个区域对应不同奖品),下表是活动进行中的一组统计
数据.
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000
落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔”区域的频率? 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701
(1)请估计,当n很大时,频率将会接近的数值是多少?
(2)假如你去转动一次转盘,你获得铅笔的概率约是多少?
(3)在该转盘中,表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少?
解析????(1)当n很大时,频率将会接近(68+111+136+345+564+701)÷(100+
150+200+500+800+1 000)=0.7.
(2)获得铅笔的概率约是0.7.
(3)在该转盘中,表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是0.7×360°=252°.
1.小红和小明在操场上做游戏,他们先在地上画了半径分别为2 m和3 m
的同心圆(如图所示),然后蒙上眼在一定距离外向圆内掷小石子,若石子
落在阴影部分,则小红胜,否则小明胜,未掷入圆内不算.
?
(1)你认为游戏公平吗?为什么?
(2)游戏结束,小明边走边想:“能否用频率估计概率的方法来估算非规
则图形的面积呢?”请你设计方案,解决这一问题.(要求画出图形,说明
设计步骤、原理,写出公式)
解析????(1)不公平.
因为P(小红胜)=?=?,P(小明胜)=?=?,?≠?,所以游戏对双方不
公平.
(2)设计方案:①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来
(如正方形,其面积为S,如图所示);
?
②往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子,掷在图形外不记录);
③当掷点数充分多时,记录并统计结果,设掷入正方形内m次,其中n次掷
入阴影(非规则图形)内(n④设非规则图形的面积为S1,由频率估计概率,得?≈?,所以S1≈?.
2.某珠宝商店的一个暗箱里存有50个金球和50个银球,一天夜里不小心
被盗贼偷走了某种球若干个.若在不能把暗箱中的球全部倒出来数的情
况下:
(1)请你设计一个方案,估计被盗走的是金球还是银球;
(2)若在剩下的球中随便摸一个球,摸到金球的概率为62.5%,试判断珠宝
商店丢了什么球,并计算其丢失的数量.
解析????(1)可这样设计方案:从暗箱中随机摸出一个球,并记下球的种类,
记为一次试验,然后将球放回箱内,摇匀后再摸一球,记下种类.重复这样
的试验50次,统计摸出金球和银球的次数,若摸出金球比银球多,则估计
被盗的球为银球,反之,则估计被盗的球为金球.
(2)∵摸到金球的概率为62.5%>50%,∴被盗的是银球.
设丢失银球的数量为x个,则根据题意,得
?×100%=62.5%,
解得x=20,经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意.故丢失银球的数量
为20个.
第三章 概率的进一步认识
初中数学（北师大版）
九年级 上册
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(2019浙江杭州期中)随机掷两枚硬币,落地后全部正面朝上的概率是
?( )
A.1 ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D 列表如下:
正 反
正 (正,正) (正,反)
反 (反,正) (反,反)
所有等可能的情况有4种,其中全部正面朝上的情况有1种,则掷两枚硬
币,落地后全部正面朝上的概率为?.故选D.
2.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率和概率,下列说法正确的
是?( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.在相同的条件下进行试验,如果试验次数相同,则各试验小组所得频
率的值也会相同
D.随着试验次数的增加,频率一般会逐渐稳定在概率数值附近
答案????D ∵在大量重复试验中,随机事件发生的频率逐渐稳定到某个
常数附近,可以用这个常数估计这个事件发生的概率,∴D选项说法正确.
故选D.
3.(2019陕西宝鸡岐山期中)独山县各学校开展了第二课堂的活动,在某
校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小
宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活
动的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????B 画树状图如图(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别
用A、B、C表示):
?
共有9种等可能的结果,其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果
有3种,所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率为?=?.故选B.
4.(2018广东广州中考)甲袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2,
乙袋中装有2个相同的小球,分别写有数字1和2,从两个口袋中各随机取
出1个小球,取出的两个小球上都写有数字2的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????C 根据题意画出如图所示的树状图,从树状图中可以看出一共
有4种等可能的结果,其中取出的两个小球上都写有数字2的结果有1种,
所以取出的两个小球上都写有数字2的概率是?.
?
5.袋中有8个红球和若干个黑球,小强从袋中任意摸出一球,记下颜色后
又放回袋中,摇匀后又摸出一球,再记下颜色,做了50次,共有16次摸到红
球,据此估计袋中黑球有?( )
A.15个 ????B.17个 ????C.16个 ????D.18个
答案????B ∵共摸了50次,其中16次摸到红球,∴有34次摸到黑球,∴摸
到红球与摸到黑球的次数之比为8∶17,∴袋中红球与黑球的个数之比
约为8∶17,∴黑球的个数约为8÷?=17.故选B.
6.(2017山东威海中考)甲、乙两人用如图3-3-1所示的两个转盘(每个转
盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏,游戏规则:转动两个转盘各一次,
当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜;数字之和为
奇数时乙获胜.若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘.甲获胜的概
率是( )
?
图3-3-1
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????C 列表如下:
共9种等可能的结果,其中甲获胜的结果有5种,
所以甲获胜的概率是?.
B盘和A盘 3 4 5
1 4 5 6
2 5 6 7
3 6 7 8
图3-3-2
7.如图3-3-2,十一旅游黄金周期间,某景区规定
A和B为入口,C,D,E为出口,小红随机选一个入
口进入景区,游玩后任选一个出口离开,则她选
择从A入口进入,从C,D出口离开的概率是
?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????B 画树状图如图:
?
由树状图可知所有等可能的结果有6种,小红从A入口进入景区并从C,D
出口离开的情况有2种,∴所求概率P=?.故选B.
图3-3-3
8.如图3-3-3,在平面直角坐标系中,点A1,A2在x轴
上,点B1,B2在y轴上,其坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),
B1(0,1),B2(0,2),分别以A1,A2,B1,B2中的任意两点与
点O为顶点作三角形,所作三角形是等腰三角形
的概率是?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D 分别以A1,A2,B1,B2中的任意两点与点O为顶点作三角形的所
有情况是△A1OB1,△A1OB2,△A2OB1,△A2OB2,共4种,其中是等腰三角形
的是△A1OB1和△A2OB2,共2种,∴P(所作三角形是等腰三角形)=?=?.故
选D.
9.如图3-3-4,在4×4的正方形网格中,任选一个白色的小正方形并涂黑,与
图中阴影部分的图形构成一个轴对称图形的概率是?( )
?
图3-3-4
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????A ∵白色的小正方形有12个,任选一个白色的小正方形并涂黑,
能与原来阴影部分的图形构成一个轴对称图形的情况有2种(第二行中
第4个和第四行中第3个),∴所求概率是?=?.故选A.
10.若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象,
则称n为“连加进位数”.例如:2不是“连加进位数”,因为2+3+4=9不
产生进位现象;4是“连加进位数”,因为4+5+6=15产生进位现象;51是
“连加进位数”,因为51+52+53=156产生进位现象.如果从0,1,…,99这
100个自然数中任取一个数,那么取到“连加进位数”的概率是?( )
A.0.88 ????B.0.89 ????C.0.90 ????D.0.91
答案????A 从个位进位到十位时,n+(n+1)+(n+2)≥10,解得n≥2?,所以满
足条件的数有3,4,5,6,7,8,9,共7个;从十位进位到百位时,n+(n+1)+(n+2)≥100,解得n≥32?,所以满足条件的数有33,34,35,…,99,共67个;由“连加进位数”的定义可知15+16+17=(10+5)+(10+6)+(10+7)=30+(5+6+7)=30+18=48中也出现进位现象,所以在10到32之间有13,14,15,16,17,18,19,23,24,25,26,27,28,29,共14个“连加进位数”.综上可知,在0,1,2,…,99这100个自然数中“连加进位数”共有88个,所以从这100个数中任取一个数为“连加进位数”的概率为?=0.88.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
11.(2017内蒙古通辽中考)毛泽东在《沁园春·雪》中提到五位历史名
人:秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗,小红将这五位名人
简介分别写在五张完全相同的知识卡片上,小哲从中随机抽取一张,卡
片上介绍的人物是唐朝以后出生的概率是 ????.
答案?????
解析????在秦始皇、汉武帝、唐太宗、宋太祖、成吉思汗5人中,唐朝以
后出生的有2人.∴随机抽取一张,所抽到的人物为唐朝以后出生的概率
为?.
12.(2018江苏盐城神州路中学期末)在一个口袋中,装有白色、黑色、红
色球共36个,小红通过多次摸球试验后,发现摸到白色、黑色、红色球
的频率依次为?、?、?,则口袋中三种球的数目依次大约是 ??? ?.
答案 9个、6个、21个
解析????∵白色、黑色、红色球共36个,摸到白色、黑色、红色球的频率
依次为?、?、?,∴白色球有36×?=9个,黑色球有36×?=6个,红色球有
36×?=21个.
13.(2017北京平谷二模)在某次数学竞赛中,某校学生表现突出,成绩均
不低于60分.为了更好地了解该校学生的成绩分布情况,随机抽取了其
中50名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行了整理,结果
如下表:
成绩 频率
60≤x<70 0.3
70≤x<80 0.4
80≤x<90 0.2
90≤x≤100 0.1
按规定,成绩在80分以上(包括80分)的选手进入决赛.根据所给信息,请
估计该校参赛选手入选决赛的概率为 ????.
答案 0.3
解析????在大量重复试验的情况下,频率的稳定值可以作为概率的估计
值,∴估计该校参赛选手入选决赛的概率为0.2+0.1=0.3.
14.(2019山东莱芜期中)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《三
国演义》任务卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下
卡片正面所绘人物的名字后,原样放回,洗匀后再抽,通过多次试验后,发
现抽到绘有“诸葛亮”这个人物卡片的频率约为0.3,估计这些卡片中
绘有“诸葛亮”这个人物的卡片约有 ????张.
答案 15
解析????因为通过多次试验后,发现抽到绘有“诸葛亮”这个人物卡片的
频率约为0.3,所以估计抽到绘有“诸葛亮”这个人物卡片的概率约为0.3,所以估计这些卡片中绘有“诸葛亮”这个人物的卡片约有0.3×50=15 张.
15.从3,0,-1,-2,-3这五个数中随机抽取一个数,作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值,则恰好使所得函数的图象经过第一、三象限,且方程有实数根的概率为 ????.
答案?????
解析????当y=(5-m2)x的图象经过第一、三象限时,5-m2>0,易知m=0,-1,-2满
足条件.将m=0,-1,-2分别代入方程(m+1)x2+mx+1=0,可知当m=-1,-2时,该
方程有实数根,故所求概率为?.
16.(2017内蒙古呼和浩特中考)我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆
术”计算圆周率.随着时代发展,现在人们依据频率估计概率这一原理,
常用随机模拟的方法对圆周率π进行估计.用计算机随机产生m个有序
数对(x,y)(x,y是实数,且0≤x≤1,0≤y≤1),它们对应的点在平面直角坐标
系中全部在某一个正方形的边界及其内部,如果统计出这些点中到原点
的距离小于或等于1的点有n个,则据此可估计π的值为 ????.(用含m,
n的式子表示)
答案?????
解析????如图所示,易知n与m的比等于扇形面积与正方形面积之比,即?=
?,故可估计π的值为?.
?
三、解答题(共46分)
17.(7分)手机微信推出了抢红包游戏,它有多种玩法,其中一种为“拼手
气红包”:用户设定好总金额以及红包个数后,可以生成不等金额的红
包.现有一用户发了三个“拼手气红包”,随机被甲、乙、丙三人抢到.
(1)以下说法中正确的是 ????.
A.甲、乙两人抢到的红包金额之和一定比丙抢到的红包金额多
B.甲一定抢到金额最多的红包
C.乙一定抢到金额居中的红包
D.丙不一定抢到金额最少的红包
(2)记金额最多、居中、最少的红包分别为A、B、C,试求出甲抢到红
包A的概率P(A).
解析????(1)D 甲、乙两人抢到的红包金额之和不一定比丙抢到的红包
金额多,A错误;甲不一定抢到金额最多的红包,B错误;乙不一定抢到金
额居中的红包,C错误;丙不一定抢到金额最少的红包,D正确.
(2)P(A)=?.
18.(2017江苏南通中考)(7分)不透明袋子中装有2个红球,1个白球和1个
黑球,这些球除颜色外无其他差别.随机摸出1个球不放回,再随机摸出1
个球,求两次均摸到红球的概率.
解析????画树状图如下:
?
由树状图可以看出,可能出现的情况共有12种,并且它们出现的可能性
相同,其中两次均摸到红球的情况只有2种,∴P(两次都摸到红球)=?.
19.(2018辽宁锦州中考)(8分)动画片《小猪佩奇》风靡全球,受到孩子
们的喜爱.如图3-3-5,现有4张(小猪佩奇)角色卡片,分别是A佩奇,B乔治,
C佩奇妈妈,D佩奇爸爸(四张卡片除字母和内容外,其余完全相同),姐弟
两人做游戏,他们将这四张卡片混在一起,背面朝上放好.
(1)姐姐从中随机抽取一张卡片,恰好抽到A佩奇的概率为 ????;
(2)若两人分别随机抽取一张卡片(不放回),请用列表或画树状图的方法
求出恰好姐姐抽到A佩奇,弟弟抽到B乔治的概率.
?
图3-3-5
解析????(1)P(恰好抽到A佩奇的概率)=?.
(2)列表如下:
姐姐
弟弟 ???? A B C D
A BA CA DA
B AB CB DB
C AC BC DC
D AD BD CD
共12种等可能的结果,其中姐姐抽到A佩奇,弟弟抽到B乔治的结果有1种,故所求概率为?.
20.(8分)一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“灵”“秀”“鄂”
“州”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先
搅拌均匀.
(1)若从中任取一个球,则球上的汉字刚好是“鄂”的概率为多少?
(2)甲从中任取一球不放回,再从中任取一球,请用列表或画树状图的方
法求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的概率
P1;
(3)乙从中任取一球记下汉字后放回袋中,再从中任取一球,记乙取出的
两个球上的汉字恰能组成“灵秀”或“鄂州”的概率为P2,指出P1,P2的
大小关系.
解析????(1)∵有四个小球,任取一球,共有4种等可能的结果,∴任取一个
球,球上的汉字刚好是“鄂”的概率为?.
(2)画树状图如图.
?
根据树状图可知共有12种等可能的结果,满足要求的结果有4种,
∴P1=?=?.
(3)P1>P2.画树状图如图.
?
根据树状图可知共有16种等可能的结果,满足要求的结果有4种,
∴P2=?=?.∴P1>P2.
21.(2016湖南衡阳中考)(8分)有四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D,
其正面分别画有四个不同的几何图形(如图3-3-6).小华将这4张纸牌背
面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张.
?
图3-3-6
(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌可
用A、B、C、D表示);
(2)求摸出的两张纸牌牌面上所画几何图形,既是轴对称图形又是中心
对称图形的概率.
解析????(1)解法一:(画树状图法)
?
解法二:(列表法)
A B C D
A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
(2)由树状图(或表格)知:共有16种等可能的结果.∵纸牌牌面上所画几
何图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的只有B、C,∴摸出的两张
纸牌牌面上所画几何图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有
4种.
∴P=?=?.
22.(8分)
图3-3-7
某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,
均可凭购物小票参与抽奖活动.奖品是三种瓶
装饮料,它们分别是:绿茶(500 mL)、红茶(500 mL）
和可乐(600 mL).抽奖规则如下:①图3-3-7
是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等
分成五个扇形区域,每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样;②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止时,可获得指针所指区域的字样,我们称这次转动为一次“有效随机转动”);③假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针指向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”;④顾客完成一次抽奖活动后,记下两次指针所指区域的两个字,只要这两个字和奖品名称的
两个字相同(与字的顺序无关),便可获得相应奖品一瓶;不相同时,不能获得任何奖品.
根据以上规则,回答下列问题:
(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率;
(2)有一名顾客凭本超市的购物小票,参与了一次抽奖活动.请你用列表
或画树状图的方法,求该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶
可乐的概率.
第二次第一次 可 绿 乐 茶 红
可 (可,可) (可,绿) (可,乐) (可,茶) (可,红)
绿 (绿,可) (绿,绿) (绿,乐) (绿,茶) (绿,红)
乐 (乐,可) (乐,绿) (乐,乐) (乐,茶) (乐,红)
茶 (茶,可) (茶,绿) (茶,乐) (茶,茶) (茶,红)
红 (红,可) (红,绿) (红,乐) (红,茶) (红,红)
解析????(1)一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率是?.
(2)由题意列表如下:
由表格可知,共有25种等可能的结果,获得一瓶可乐的结果有两种:(可,乐),
(乐,可).∴P(该顾客获得一瓶可乐)=?.
