第五章 投影与视图
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第五章 投影与视图
知识点一????投影与中心投影
1.物体的投影
定义 一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.物体形成投影需要具备两个条件:一是有投影线,二是有投影面
特别提醒 (1)没有特殊说明时,本章中的投影问题均指在平面上形成的投影;(2)投影现象的特点:光线、物体、投影面的相对位置发生变化,物体的影子就会相应发生变化;(3)光是沿直线传播的,因此我们可以由物体和它的投影确定光线方向
2.中心投影
定义 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影
物高与影
长的关系 基本图形 对应关系
? 在灯光下,等高的物体垂直于地面放置时,离点光源近的物体的影子短,离点光源远的物体的影子长
? 在灯光下,等长的物体平行于地面放置时,离点光源越近,影子越长,离点光源越远,影子越短,但不会比本身的长度短
常见应用 (1)已知灯的位置画物体在灯光下的影子;(2)根据灯光下两个或两个以上物体及其影子判断灯的位置
特别提醒 (1)点光源、物体上的点以及影子上的对应点在同一条直线上;(2)点光源和物体所处的相对位置影响物体的中心投影,点光源或物体的相对位置改变,影子的位置也发生变化,但点光源和物
体的影子始终在物体的两侧
例1 图5-1-1是两棵树在同一时刻的影子,请在图中画出形成树影的光
线,并确定光源所在的位置.
?
图5-1-1
分析 由两棵树的影子在不同方向可知该投影一定为中心投影,且光源应
位于两棵树上方的中间位置.
解析????如图5-1-2,过一棵树的顶端A及其影子的顶端B作直线AB,过另一
棵树的顶端C及其影子的顶端D作直线CD,直线AB,CD相交于点O,则点
O所在的位置就是光源所在的位置.
图5-1-2
规律总结 确定中心投影的光源位置的方法:找到物体上两点及其影子
上的两个对应点,分别过物体上的点及其影子上的对应点画直线,两条
直线相交于一点,则这一点就是中心投影的光源.
知识点二????平行投影
定义 由平行光线形成的投影是平行投影
基本图形 同地点,同时刻 ? 等高的物体垂直于地面放置时,太阳光下的影长相等
? 等长的物体平行于地面放置时,太阳光下的影长相等
? 不等高的物体垂直于地面放置时,它们在太阳光下的物高与影长成比例,即?=?
不同时间 (1)一天之中,影子的长度变化为:长→短→长;(2)冬季(北半球)一天之中,影子的方向变化为:正西→西北→正北→东北→正东
常见应用 (1)根据太阳光下物体影子长短、位置的变化判断时刻的不同;(2)已知一物体及其在太阳光下的影子,可作出同一时刻另一物体在太阳光下的影子;(3)根据物高与影长成比例求物高或影长
例2 下列图形中,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是?(???? )
解析????因为在同一时刻,不同物体在阳光下的物高与影长成比例,所以
排除D;因为太阳光线是平行的,所以在同一时刻影子的方向相同,观察
可知,B、C选项中影子的方向不相同,故排除B、C.故选A.
答案????A
题型一????平行投影与中心投影的识别
例1 图5-1-3中的两幅图是两根标杆在同一时刻的投影,请在图中画出
形成投影的光线,判断它们是平行投影还是中心投影,并说明理由.
?
图5-1-3
解析????如图5-1-4所示:
?
图5-1-4
图5-1-4①是平行投影,因为它们的投影光线是平行的.
图5-1-4②是中心投影,因为它们的投影光线是相交的.
题型二????利用平行投影的性质求物高或影长
例2 如图5-1-5所示,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5 m,某
一时刻,AB在阳光下的投影BC=4 m.
(1)请你在图5-1-5中画出此时DE在阳光下的投影,并简述画图步骤;
(2)在测量AB的投影长时,同时测出DE在阳光下的投影长为6 m,请你计
算DE的长.
图5-1-5
解析????(1)如图5-1-6:
?
图5-1-6
作法:连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BE于F,
则EF就是DE在阳光下的投影.
(2)同一时刻,不同物体在阳光下的物高与影长成比例,
∴?=?.∵AB=5 m,BC=4 m,EF=6 m,∴?=?,∴DE=7.5 m.
点拨 (1)在平行投影下,物体上的点以及影子上的对应点的连线互相
平行,此性质常用于作图;(2)同一时刻,不同物体在阳光下的物高与影长
成比例,此性质常用于计算.
知识点一????投影与中心投影
1.下列属于中心投影的是?( )
A.太阳光下的树影 ???? B.皮影戏
C.月光下房屋的影子 ????D.日食
答案????B 中心投影的光源为灯光,平行投影的光源为阳光或月光,只有
B选项得到的投影为中心投影,故选B.
2.(2018河北宁晋模拟)如图5-1-1,夜晚路灯下有一排同样高的旗杆,离路
灯越近,旗杆的影子?( )
?
图5-1-1
A.越长 ???? B.越短
C.一样长 ??? ?D.随时间的变化而变化
答案????B 由图易得AB?
3.把图5-1-2中的物体与它们的投影用线连接起来.
?
图5-1-2
解析????
4.如图5-1-3,墙墩儿(用线段AB表示)的影子是BC,小明(用线段DE表示)
的影子是EF,在M处有一棵大树,它的影子是MN.
(1)图中的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的?
(2)请在图中画出表示大树高的线段.(不写作法,保留作图痕迹)
?
图5-1-3
解析????(1)如图,点P是灯泡的位置,图中的影子是在灯光下形成的.
(2)如图,线段GM是表示大树高的线段.
?
知识点二????平行投影
5.(2019甘肃靖远期末)图5-1-4中的四幅图是两个物体在不同时刻阳光
下的影子,按照时间的先后顺序排列是 ????.
?
图5-1-4
答案????C→D→A→B
解析????根据平行投影的特点和规律可知,C,D是上午,A,B是下午,根据影
子的长度可知先后顺序为C→D→A→B.
6.在一次数学活动课上,李老师带领学生去测教学楼的高度.如图5-1-5,
在阳光下,测得身高为1.65米的黄丽同学BC的影长BA为1.1米,与此同时,
测得教学楼DE的影长DF为12.1米.
(1)请你在图中画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF;
(2)请你根据已测得的数据,求出教学楼DE的高度(精确到0.1米).
?
图5-1-5
解析????(1)如图,注意AC与EF平行.
?
(2)∵?=?,∴?=?,
∴DE=18.15≈18.2(米).
答:教学楼DE的高度约为18.2米.
1.如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长,按照时间的先后顺序排
列正确的是?( )
?
A.①②③④ ???? B.④①③②
C.④②③① ???? D.④③②①
答案????B 太阳从东方升起,这时影子指向西方,然后依次为西北、北、
东北、东,影长先变短再变长,故先后顺序为④①③②.故选B.
2.在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球,球在地面上的影子是一个圆,
当把白炽灯向上移动时,圆形阴影的大小的变化情况是?( )
A.越来越小 ???? B.越来越大
C.大小不变 ???? D.不能确定
答案????A 灯光下涉及中心投影,根据中心投影的特点,灯光下影子的大
小与物体离灯源的距离有关,距离越大,影子越小,故选A.
3.如图,某自由下落的物体在灯光下的影子为AB,试确定灯M的位置,并
画出站在地面上的小明的影子EF.(保留作图痕迹,不写作法)
?
解析????点M及影子EF如图所示.
?
4.图①②分别是两根木杆及其影子.
(1)哪个图形是阳光下的情形?哪个图形是灯光下的情形?
(2)请你画出图中表示小树影子的线段.
?
解析????(1)题图①为灯光下的情形,题图②为阳光下的情形.
(2)如图所示:
?
1.如图5-1-6,一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1.2
米,太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°,则AB的长为?( )
?
图5-1-6
A.12米 ????B.0.6米 ????C.? 米 ????D.? 米
答案????C 如图,作BE∥CD交AC于点E,则四边形CDBE为平行四边形.
∴BE=CD=1.2米,∠AEB=∠ACD=60°.∵tan 60°=AB∶BE,∴AB=tan 60°×
BE=?×1.2=?米.所以AB的长为?米.故选C.
?
2.如图5-1-7,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P处时,
发现他身后影子的顶部刚好落在路灯AC的底部,当他向前再步行20 m
到达Q点处时,发现他身前影子的顶部刚好落在路灯BD的底部,已知丁
轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离
是?( )
?
图5-1-7
A.24 m B.25 m C.28 m D.30 m
答案????D 如图,由题意得△APM∽△ABD,△BQN∽△BAC,
?
∴?=?,?=?,即?=?,?=?.
又∵QB=AB-AP-PQ=AB-AP-20,
∴?∴?
∴两路灯之间的距离为30 m,故选D.
3.(2019四川成都郫都期中)墙壁CD上的D处有一盏灯(如图5-1-8),小明
站在A处测得他的影长与身高相等,都为1.6 m,他向墙壁走1 m到B处时,
发现影子刚好落在A点,则灯泡与地面的距离CD= ????.
?
图5-1-8
答案????? m
解析????如图,根据题意得BG=AF=AE=1.6 m,AB=
1 m.∵BG∥AF∥CD,∴△EAF∽△
ECD,△ABG∽△ACD.∴AE∶EC=AF∶CD,
AB∶AC=BG∶CD.
设BC=x m,CD=y m,则CE=(x+2.6)m,AC=(x+1)m,则
?即?=?,解得x=?,把x=?代入?=?,解得y=?,
∴CD=? m.
1.如图,太阳光线与地面成60°角,太阳光照射在地面上的一只皮球上,皮
球在地面上的投影长是10? cm,则皮球的直径是?( )
?
A.5? cm B.15 cm
C.10 cm D.8? cm
答案????B 如图,作AB⊥MN交MN于点B,因为AN=10? cm,∠ANB=60°,
所以∠BAN=30°,∴BN=?AN=5? cm,∴AB=?=15 cm,由于平
行线间的垂线段相等,所以皮球的直径为15 cm.
?
2.如图,方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后,在地面
上形成阴影,已知方桌的边长为1.2 m,桌面离地面1.2 m,灯泡离地面3.6
m,则地面上阴影部分的面积为( )
?
A.3.24 m2 ????B.0.36 m2 ????C.1.8 m2 ????D.1.44 m2
答案????A 如图,易知?=?=?=?=?,由于相似图形的面积比
等于相似比的平方,故地面上阴影部分的面积为?×1.2×1.2=3.24 m2.故
选A.
?
3.如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕
点A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂
直于地面时的影长为AC(假定AC>AB),影长的最大值为m,最小值为n,那
么下列结论:①m>AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.其
中,正确结论的序号是 ????.
?
答案 ①③④
解析????当木杆绕点A按逆时针方向旋转时,如图所示.当AB与BC垂直时,
影长最大,此时m>AC,①正确;②不正确;
当AB与地面重合时,影长最小,此时n=AB,故③正确;
影子的长度先增大后减小,④正确.
1.(2018四川新津期末,4,★★☆)在阳光照射下的升旗广场的旗杆从上
午九点到十一点的影长的变化规律为?( )
A.逐渐变长 ????B.逐渐变短
C.长度不变 ????D.无规律
一、选择题
答案????B 在阳光照射下的升旗广场的旗杆从上午九点到十一点的影
长逐渐变短,故选B.
2.(2018山东滕州期末,3,★★☆)图5-1-9中的四个图是同一天四个不同
时刻树的影子,其时间由早到晚的顺序为?( )
?
图5-1-9
A.1→2→3→4 ???? B.4→3→1→2
C.3→4→2→1 ??? ?D.4→2→3→1
答案????B 早上太阳从东方升起,这时树的影子指向西方;傍晚太阳从西
边落下,这时树的影子指向东方,于是可判断四个时刻的时间顺序.时间
由早到晚的顺序为4→3→1→2.故选B.
二、解答题
3.(2019甘肃靖远期末,20,★★☆)如图5-1-10,在路灯下,小明的身高为线
段AB,他在地面上的影子为线段AC,小亮的身高为线段FG,路灯灯泡在
线段DE上.
(1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子;
(2)如果小明的身高AB=1.6 m,他的影长AC=1.4 m,且他与路灯的距离
AD=2.1 m,求灯泡的高.
图5-1-10
解析????(1)如图,点O所在的位置为灯泡所在的位置,线段FH为小亮在灯
光下形成的影子.
?
(2)由已知可得?=?,∴?=?,∴OD=4 m.
∴灯泡的高为4 m.
1.(2017山东济南长清期末,6,★★☆)下面三幅图是在我国北方某地某
天上午不同时刻的同一位置拍摄的,则按时间的先后顺序可排列为?
( )
?
A.③②① ?? ??B.②①③
C.①②③ ??? ?D.②③①
答案????A 根据某天上午不同时刻物体影子的指向是:西—西北—北,影
长由长变短,将它们按时间的先后顺序排列为③②①.故选A.
2.(2018山东鄄城期末,20,★★☆)如图,两幅图中竹竿的影子是在太阳光
下形成的,还是在灯光下形成的?请你画出两图中小树的影子.
?
解析????如图所示:
?
图①中竹竿的影子是在灯光下形成的,图②中竹竿的影子是在太阳光下
形成的.
一、选择题
1.(2017广西贺州中考,8,★★☆)小明拿一个等边三角形木框在太阳下
玩耍,发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是?( )
?
答案????B 在太阳光下,等边三角形木框在地面上的投影可能是一条线
段,可能为三角形,无论如何看都得不到一点.故选B.
二、填空题
2.(2016北京中考,14,★★☆)如图5-1-11,小军、小珠之间的距离为2.7
m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m.已知小军、小珠的
身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 ????m.
?
图5-1-11
答案 3
解析????如图,由题意可知∠B=∠C=45°,AD⊥BC,
∴BC=2AD=BF+FH+HC=1.8+2.7+1.5=6,
∴AD=3.故路灯的高为3 m.
?
3.(2018广西百色中考,15,★★☆)如图5-1-12,长方体的一个底面ABCD
在投影面上,M,N分别是侧棱BF,CG的中点,矩形EFGH与矩形EMNH
的投影都是矩形ABCD,设它们的面积分别是S1,S2,S,则S1,S2,S的关系是
???? ????(用“=”“>”或“<”连起来).
?
图5-1-12
答案????S2>S1=S
解析????∵立体图形是长方体,
∴底面ABCD∥底面EFGH,
∵矩形EFGH的投影是矩形ABCD,∴S1=S,
∵EM>EF,EH=EH,∴S∴S1=S1.(2017黑龙江绥化中考,4,★★☆)正方形的正投影不可能是?( )
A.线段 ????B.矩形 ????C.正方形 ????D.梯形
答案????D 在同一时刻,平行物体的投影仍旧平行(或在同一直线上),得
到的应是平行四边形或特殊的平行四边形或线段.故正方形的正投影不
可能是梯形,故选D.
2.(2016广西南宁中考,2,★☆☆)把一个正六棱柱如图摆放,光线由上向
下照射,此时正六棱柱的正投影是?( )
?
?
答案????A 光线由上向下照射,属于平行投影,正投影的投影面相当于水
平面,即从上往下看得到的图形,容易得到正六棱柱的正投影为正六边
形,故选A.
3.(2014北京中考,10,★☆☆)在某一时刻,测得一根高为1.8 m 的竹竿的
影长为 3 m,同时测得一根旗杆的影长为25 m,则这根旗杆的高度为
???? ????m.
答案 15
解析????如图所示,设AB为竹竿,DE为旗杆,在平行光线的照射下得到
△ABC和△DEF,∴∠ACB=∠DFE,
又∵∠ABC=∠DEF=90°,∴△ABC∽△DEF,
∴?=?,
∵AB=1.8,BC=3,EF=25,
∴?=?,
解得DE=15,即这根旗杆的高度为15 m.
1.(2015江苏镇江中考)某兴趣小组开展课外活动.如图5-1-13,A、B两地
相距12米,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2秒后到达点D,此时他
(CD)在某一灯光下的影长为AD,继续按原速行走2秒到达点F,此时他在
同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为1.2米,然后他将速
度提高到原来的1.5倍,再行走2秒到达点H,此时他(GH)在同一灯光下的
影长为BH(点C、E、G在一条直线上).
(1)请在图中画出光源O点的位置,并画出他位于点F时在这个灯光下的
影长FM(不写画法);
(2)求小明原来的速度.
图5-1-13
解析????(1)如图.
?
(2)设小明原来的速度为x m/s,则CE=2x m,AM=AF-MF=(4x-1.2)m,
EG=2×1.5x=3x(m),BM=AB-AM=12-(4x-1.2)=(13.2-4x)m.
由题易知△OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,
∴?=?,?=?,
∴?=?,即?=?.
解得x1=1.5,x2=0,经检验,x1=1.5,x2=0都为方程的解,但x2=0不符合题意,舍
去,∴x=1.5,即小明原来的速度为1.5 m/s.
2.如图5-1-14,小明和小亮在阳光下玩耍,小亮对小明说:“我的身高为1.
6 m,你的身高我不知道,但我量出此时你、我的影长,我就能求出你的身
高.”小明不服气,当他们走到了一堵墙前时,小明的影子不全落在地面
上,有一部分落在墙上,小明灵机一动,问小亮:“现在你能求出我的身高
吗?”小亮说:“那还不容易,先量出我的影长(全在地面上)为2.4 m,你的
影长=墙上的影长+地上的影长=0.6+1.8=2.4(m),那么你的身高就是
?=1.6(m).”小明哈哈大笑:“照你这么说,我与你一样矮啦.”小
明在小亮耳边说了几句,小亮就恍然大悟.你知道小亮错在哪儿吗?
图5-1-14
解析????建立如图所示的示意图,
设AB为小亮,CD为小明,GF为小明在墙上的影子,
过A作AE∥CG,过F作FH∥CG,
则CH=FG=0.6 m,且△ABE∽△HDF,
∴?=?,即?=?,
∴DH=1.2 m.
故小明的身高为1.2+0.6=1.8(m).
?
1.如图,在一个长40 m、宽30 m的长方形小操场上,王刚从A地出发,沿着
A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需
要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶,当张华跑到距B地2? m的
D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好都落在与对角线AC平行的直线
上.求:
(1)他们的影子重叠时,两人相距多少米(DE的长);
(2)张华追赶王刚的速度是多少.
解析????(1)在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC=50 m.
由平行投影的性质可得DE∥AC,则∠DEB=∠ACB,∠EDB=∠CAB,
∴Rt△BDE∽Rt△BAC,
∴?=?,即?=?,∴DE=? m.
答:他们的影子重叠时,两人相距? m.
(2)在Rt△BDE中,由勾股定理得BE=2 m.
∴王刚走的总路程为AB+BE=42 m,
∴王刚走这段路程的时间为?=14 s,
∴张华用的时间为14-4=10(s).
又∵张华这段时间所走的路程是40-?=?(m),
∴张华追赶王刚的速度为?÷10=?(m/s).
2.如图,左边的楼高AB=60 m,右边的楼高CD=24 m,且BC=30 m,地面上
的目标P在距点C 15 m处.
(1)请画出从A处能够看到的地面上距离点C最近的点,这个点与点C之
间的距离是多少?
(2)从A处能看见目标P吗?为什么?
?
解析????(1)如图,点M即为所求点.
?
∵DC∥AB,∴?=?,
即?=?,∴MC=20 m.
∴从A处能够看到的地面上距离点C最近的点为点M,点M与点C之间的
距离是20 m.
(2)从A处不能看见目标P.理由如下:
由(1)得MC=20 m,而CP=15 m,
∵20>15,∴从A处不能看见目标P.
第五章 投影与视图
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点一????视图及常见几何体的三视图
内容
视图 当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个视图
三视图 用三个互相垂直的平面作为投影面,其中正对着我们的平面叫做正面,下方的平面叫做水平面,右边的平面叫做侧面.
一个物体在三个投影面内进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,叫做左视图
图例 ?
几种常见几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
例1 若一节电池如图5-2-1所示,则它的三种视图是?( )
?
图5-2-1
?
解析????根据三种视图的观察方法,分别得出三种视图的形状.从正面看,
得到下面是大矩形、上面是小矩形的组合图形;从左面看,得到下面是
大矩形、上面是小矩形的组合图形;从上面看,得到一个圆环.故选D.
答案????D
点拨 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面来观
察物体而得到的视图.
知识点二????三视图的画法
关系 内容 图示
位置 主视图在左上边,俯视图在它的下方,左视图在主视图的右边 ?
长度 主视图与俯视图“长对正”,主视图与左视图“高平齐”,左视图与俯视图“宽相等”
实虚 看得见的部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线
例2 图5-2-2是一个缺口朝正前方的立体图形,请画出它的三种视图.
?
图5-2-2
解析????根据题意画出图形,如图5-2-3.
?
方法总结 在画三视图时,一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出
来,看得见的部分的轮廓线要画成实线,看不见的部分的轮廓线要画成
虚线,不能漏掉.
知识点三????由三视图确定物体的形状及计算
由三视图
确定物体
的形状 由三视图想象几何体的形状,首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的正面、上面和左面,然后综合起来考虑整体图形.
由物体的三视图可以确定物体的形状,如果在三视图中给出有关的数据,如物体的高度、有关边长、底面半径等,我们就可以计算出该物体的体积或表面积
温馨提示 由物体的三视图想象几何体的形状从如下途径进行分析:(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面的形状;(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的部分;(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助;(4)由三视图画几何体与由几何体画三视图是互逆的,应反复练习,不断总结方法
例3 一个几何体的三种视图如图5-2-4所示,请你猜想这个几何体的形
状,并画出这个几何体的实物图.
?
图5-2-4
解析????这个几何体是一个空心的长方体,空心部分是一个圆柱,实物图
如图5-2-5所示.
?
图5-2-5
题型一????由三视图判断几何体
例1 与图5-2-6中的三种视图所对应的物体是?( )
图5-2-6
解析????由题图可知选A.
答案????A
点拨 由三视图还原几何体时,要了解简单的、常见的规则物体的视
图,还要善于分析和想象.
题型二????根据视图确定构成几何体的小正方体的个数
例2 由n个相同的小正方体堆成的几何体,其主视图和俯视图如图5-2-
7所示,则n的最大值是?( )
?
图5-2-7
A.18 ??? ? B.19 ? ???C.20 ????D.21
解析????由主视图可知:该几何体是由三层小正方体搭建而成的;由俯视
图可知:该几何体的最下面一层是由7个小正方体组成的.结合两种视图
可知第二层最多有7个小正方体,第三层最多有4个小正方体,故n的最大
值是7+7+4=18.
答案????A
题型三????实际应用问题
例3 长城大酒店的经理准备在前门台阶上铺红色地毯,下面是当时修
建台阶时的图纸,如图5-2-8所示.
(1)画出该台阶的实物模型;
(2)若红色地毯每平方米50元,那么铺上地毯需要多少元?
?
图5-2-8
解析????(1)台阶有三级,如图5-2-9.
?
图5-2-9
(2)由主视图知台阶长为6 m,由左视图知台阶宽为6 m,高为1 m,则地毯
的面积为6×6+1×6=42(m2).42×50=2 100(元).
答:铺上地毯需要2 100元.
素养解读 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与
变化,利用空间形式特别是图形,理解和解决数学问题的素养.主要包括:
借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描
述、分析数学问题;建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索
解决问题的思路.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要
手段,是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基
础.在直观想象核心素养形成的过程中,我们要能够进一步发展几何直
观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数
形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维.
由几何体的视图进行计算
典例剖析????
例 图5-2-10①是由两个长方体所组成的立体图形,图5-2-10②中的长
方体是图5-2-10①中的两个长方体的另一种摆放形式,图5-2-10③④⑤
是从不同的方向看图5-2-10①所得的平面图形.
图5-2-10
(1)填空:图5-2-10③是从 ????面看得到的平面图形,图5-2-10④是从????
????面看得到的平面图形,图5-2-10⑤是从 ????面看得到的平面图形;
(2)请根据各图中所给的信息(单位:cm),计算图5-2-10①中上面的小长方
体的体积.
分析(1)主视图是从几何体的正面看所得到的图形,俯视图是从几何体
的上面看所得到的图形,左视图是从几何体的左面看所得到的图形;
(2)根据图5-2-10⑤可得图5-2-10①中上面的小长方体高为2 cm,宽为
3 cm,进而可算出图5-2-10①中上面的小长方体的体积.
解析????(1)图5-2-10③是从正面看得到的平面图形,图5-2-10④是从上面
看得到的平面图形,图5-2-10⑤是从左面看得到的平面图形.
(2)由题图可得?解得?
5×3×2=30(cm3),
故图5-2-10①中上面的小长方体的体积为30 cm3.
素养呈现 直观想象的核心素养要求我们能由物体的形状想象出几何
图形,由几何图形想象出物体的形状.
知识点一????视图及常见几何体的三视图
1.(2018吉林中考)图5-2-1是由4个相同的小正方体组成的立体图形,它
的主视图是?( )
?
图5-2-1
?
答案????B 主视图是从正面看到的视图,由实物图知从正面看到的是4
个小正方形,有3列,其中左边一列有1个小正方形,中间一列有1个小正方
形,右边一列有2个小正方形,故选B.
2.(2018湖南永州中考)图5-2-2中几何体的主视图是?( )
?
图5-2-2
?
答案????B 主视图是从正面看到的视图,由实物图知右上角的部分没有,
所以没有虚线部分,其他均为实线.
3.(2019北京海淀期末)从图5-2-3①的正方体上截去一个三棱锥,得到一
个几何体,如图5-2-3②,从正面看该几何体所得到的平面图形是?(???? )
图5-2-3
?
答案????D 从正面看该几何体所得到的平面图形是?,故选D.
4.(2019黑龙江木兰期末)如图5-2-4,小明从左面看在水平讲台上放置的
圆柱形水杯和长方体形粉笔盒,看到的是?( )
图5-2-4
答案????D 圆柱的左视图是长方形,长方体的左视图是长方形,所以从左
面看到的是?,故选D.
知识点二????三视图的画法
5.(2019安徽无为期末)图5-2-5①是由小立方块所搭成的几何体从上面
看到的图形,正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数,请你在如
图5-2-5②的方格中画出这个几何体从正面、左面看到的图形.
?
图5-2-5
解析????如图所示:
?
6.在图5-2-6中的指定位置画出实物图的三种视图.
?
图5-2-6
解析????三视图如下:
?
主视图 左视图 俯视图????
知识点三????由三视图确定物体的形状及计算
7.(2018湖北襄阳中考)一个几何体的三视图如图5-2-7所示,则这个几何
体是?( )
图5-2-7
答案????C 根据主视图和左视图为矩形判断出这个几何体是柱体,根据
俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱.
8.(2018山东泰安中考)图5-2-8是下列哪个几何体的主视图与俯视图?
( )
?
图5-2-8
?
答案????C 四个选项中的几何体的主视图与俯视图分别是弓形与圆
环、半圆形与圆、半圆形与长方形、半圆形与三角形,故只有选项C符
合题意.
9.(2018山东临沂中考)图5-2-9是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:
cm).根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是?( )
?
图5-2-9
A.12 cm2 ????B.(12+π)cm2 C.6π cm2 ????D.8π cm2
答案????C 由三视图知该几何体是圆柱体,且底面直径是 2 cm,高是
3 cm,其侧面积为2π×3=6π cm2.
10.(2018黑龙江齐齐哈尔中考)三棱柱的三视图如图5-2-10所示,已知
△EFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,∠EFG=45°,则AB的长为 ????cm.
?
图5-2-10
答案 4?
解析????根据三棱柱的俯视图、左视图知,AB的长为点E到FG的距离,如
图,过点E作EH⊥FG于点H,在Rt△EFH中,EF=8 cm,∠EFG=45°,
∴sin∠EFH=?,∴AB=EH=8sin 45°=4?(cm).
1.(2018湖南怀化中考)下列几何体中,其主视图为三角形的是( )
?
答案????D 主视图是指从正面看到的图形,从左到右四个图形的主视图
分别是长方形、正方形、圆、三角形,故选D.
2.(2015广西桂林中考)下列四个物体的俯视图与给出视图一致的是?
( )
?
?
答案????C 俯视图的中间是一个与矩形两边相切的圆,可排除A、B、D,
故选C.
3.(2016湖南常德中考)如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体,那么
这个几何体的左视图是?( )
?
?
答案????B 根据几何体的特征及放置位置,可以判断选项B符合左视图
的特征,故选B.
4.(2018贵州黔东南、黔南、黔西南中考)下面的几何体是由四个大小
相同的正方体组成的,它的俯视图是?( )
?
?
答案????C 俯视图是从上面看所得到的图形,从这个几何体的上面看有
2行,从上向下数,第一行有2个,第2行有1个,且在左下方.故选C.
5.(2017陕西榆林期末)画出如图所示物体的主视图、左视图、俯视图.
?
解析????如图所示.
?
6.(2017河北石家庄四十二中一模)由几个相同的棱长为1的小立
方块搭成的几何体的俯视图如图所示,方格中的数字表示该位置
上小立方块的个数.
(1)请在如图的方格中分别画出这个几何体的主视图和左视图;
?
(2)根据三视图,请你求出这个组合几何体的表面积(包括底面积).
解析????(1)如图所示.
?
(2)几何体的表面积为(3+4+5)×2=24.
1.(2018山东济宁中考)一个几何体的三视图如图5-2-11所示,则该几何
体的表面积是?( )
?
图5-2-11
A.24+2π B.16+4π C.16+8π D.16+12π
答案????D 几何体如图所示.该几何体的表面积等于两个半圆、一个正
方形、一个曲面的面积之和.由主视图知,底面圆的直径为4,所以两个底
面的面积和为π×22=4π.正方形的面积就是主视图的面积,即为4×4=16.
曲面展开后是一个长方形,它的一边长为底面的弧长,即为π×2=2π,相邻
的另一边长为4,所以曲面的面积为2π×4=8π,于是该几何体的表面积为
4π+16+8π=16+12π.
?
2.(2017湖北荆州中考)图5-2-12是某几何体的三视图,根据图中的数据,
求得该几何体的体积为?( )
?
图5-2-12
A.800π+1 200 ????B.160π+1 700
C.3 200π+1 200 ????D.800π+3 000
答案????D 由三视图可知,几何体由一个圆柱和一个长方体组成,圆柱的
底面直径为20,高为8,长方体的长为30,宽为20,高为5,故该几何体的体积
为π×102×8+30×20×5=800π+3 000.
3.图5-2-13是一个包装纸盒的三视图(单位:cm).
(1)该包装纸盒的几何形状是 ????;
(2)画出该纸盒的平面展开图;
(3)计算制作一个纸盒所需纸板的面积.(精确到个位)
?
图5-2-13
解析????(1)正六棱柱.
(2)如图.
(3)由三视图可知该几何体的上、下底面是边长为5 cm的正六边形,侧
面是6个边长为5 cm的正方形,
则该几何体的表面积为6×52×?×2+6×5×5=75?+150=75(?+2)≈280(cm2).
答:制作一个纸盒所需纸板的面积为280 cm2.
1.(2016四川雅安中考)将如图所示的图形绕AB所在的直线旋转一周,所
得几何体的俯视图为?( )
?
?
答案????B 将该图形绕AB所在的直线旋转一周后得到一个由一个圆
锥、一个圆柱组合而成的几何体,其俯视图是外面一个实线的大圆(包
括圆心),里面一个虚线的小圆,故选B.
2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面,如图是它们的三视图,则
货架上的红烧牛肉方便面至少有?( )
?
A.8桶 ????B.9桶 ????C.10桶 ????D.11桶
答案????B 在俯视图中相应位置上的方便面桶数如图所示,分三种情况,
故货架上的红烧牛肉方便面至少有3+3+2+1=9桶,选B.
?
3.(2016内蒙古赤峰中考)一个长方体的三视图如图所示,则这个长方体
的体积为?( )
A.30 ????B.15 ????C.45 ????D.20
答案????A 观察题图可知,该长方体的长为3,宽为2,高为5,
故体积为3×2×5=30.故选A.
4.下图是由几个小立方体所搭成的几何体的三视图,根据三视图,可算出
小立方体的个数为 ????.
?
答案 7
解析????根据三视图,在俯视图的相应的位置上标出小立方体的个数,如
图,则小立方体的个数是1+2+3+1=7.
?
5.由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图
所示,俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数,则x
= ????,y= ????.
?
答案 1或2;3
解析????由俯视图可知,该组合体有两行两列,左边一列前一行有两个小
立方体,结合主视图可知x=1或2,由主视图右边一列可知y=3.
1.(2019甘肃白银靖远期末,1,★★☆)如图5-2-14所示的几何体的左视图
是?( )
图5-2-14
一、选择题
答案????D 几何体的左视图是中间无线条的矩形.
2.(2019四川成都郫都期中,2,★★☆)一个几何体的三视图如图5-2-15所
示,则这个几何体是?( )
?
图5-2-15
A.圆柱 ????B.球 ????C.圆锥 ????D.棱柱
答案????A 由主视图和左视图为正方形可得这个几何体为柱体,由俯视
图为圆可得这个几何体是圆柱.故选A.
3.(2019甘肃靖远期末,17,★★☆)一个几何体的三视图如图5-2-16所示,
这个几何体的表面积是 ????.(结果保留π)
?
图5-2-16
二、填空题
答案 100π
解析????根据三视图的主视图和左视图都为矩形,俯视图是圆形,可得出
这个几何体是圆柱,∵圆柱的底面直径为10,高为5,
∴这个圆柱的表面积=π×10×5+π×?×2=100π.
4.(2019四川成都郫都期中,16,★★☆)图5-2-17是由13个小立方块搭成
的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数,
请画出该几何体的主视图与左视图.
?
图5-2-17
三、解答题
解析????如图所示.
?
5.(2019甘肃兰州三校联考期末,18,★★☆)用小正方体搭一个几何体,使
它的主视图和俯视图如图5-2-18所示,俯视图中小正方形中的字母表示
在该位置小正方体的个数,请回答下列问题:
(1)a,b,c各表示几?
(2)这个几何体最少由几个小正方体搭成?最多呢?
(3)当d=e=1,f=2时,画出这个几何体的左视图.
?
图5-2-18
解析????(1)a=3,b=1,c=1.
(2)这个几何体最少由9个小正方体搭成,最多由11个小正方体搭成.
(3)当d=e=1,f=2时,这个几何体的左视图如图所示.
1.(2017山东泰安泰山期中,13,★☆☆)下图是一个几何体从三个方向看
得到的三视图,则这个几何体的形状可以是?( )
?
?
答案????C 根据俯视图可以将A、D排除,根据左视图可将B排除,故选C.
2.(2019山东淄博三校联考,11,★★☆)某几何体由若干个大小相同的小
正方体搭成,其主视图与左视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方
体最少有?( )
?
A.3个 ????B.5个 ????C.7个 ????D.9个
答案????B 由主视图和左视图可确定所需小正方体个数最少时的俯视
图,俯视图如图所示.
?
则搭成这个几何体的小正方体最少有5个.故选B.
3.(2018四川安岳期中,18,★★☆)图①是由一些相同的小立方块搭成的
几何体.
(1)图中共有 ????个小正方体;
(2)请在图②的网格中画出该几何体的三视图.
?
图① 图②
解析????(1)题图中共有6个小正方体.
(2)如图所示.
?
4.(2018黑龙江大庆杜尔伯特期中,33,★☆☆)已知如图为一几何体的三
视图:
?
(1)写出这个几何体的名称;
(2)若从正面看的长方形的长为10 cm,从上面看的圆的直径为4 cm,求这
个几何体的侧面积(结果保留π).
解析????(1)这个几何体是圆柱.
(2)∵从正面看的长方形的长为10 cm,从上面看的圆的直径为4 cm,
∴这个圆柱的底面直径为4 cm,高为10 cm,
∴这个几何体的侧面积为2πrh=2π×2×10=40π cm2.
5.(2017河北保定竞秀期末,18,★☆☆)按要求完成下列各题:
(1)图a是由6个同样大小的正方体摆成的几何体,将正方体①移走后,新
几何体从正面、左面、上面看到的形状图与原几何体相比,从 ????
面看到的形状图没有发生变化;
(2)如图b,请你借助图d的虚线网格画出该几何体从上面看到的形状图;
(3)图c是由几个正方体组成的几何体的俯视图,正方形上的数字表示该
位置上的正方体的个数,请你借助图d的虚线网格画出该几何体从左面
看到的形状图.
解析????(1)将正方体①移走后,新几何体的三视图与原几何体的三视图
相比,从左面看到的形状图没有发生改变.故答案为左.
(2)如图所示.
?
(3)如图所示.
?
1.(2018湖北黄石中考,5,★★☆)如图5-2-19,该几何体的俯视图是?(???? )
图5-2-19
一、选择题
答案????A 从上面看该几何体所得到的平面图形是一个矩形,且靠右侧
有一条竖直的棱边,用实线表示这条棱边.
2.(2018湖南娄底中考,7,★★☆)如图5-2-20所示的立体图形的俯视图是
?( )
?
图5-2-20
?
答案????B????从上面看有2行,从上往下数,第一行有两个小正方形,第二行
有一个小正方形,观察前后位置知B选项正确.
3.(2018甘肃酒泉中考,14,★★☆)已知某几何体的三视图如图5-2-21所
示,其中俯视图为正六边形,则该几何体的侧面积为 ????.
?
图5-2-21
二、填空题
答案 108
解析????观察该几何体的三视图可知该几何体为正六棱柱,根据提供的尺
寸求得其侧面积为3×6×6=108.
4.(2018山东青岛中考,14,★★★)一个由16个完全相同的小立方块搭成
的几何体,其最下面一层摆放了 9个小立方块,它的主视图和左视图如图
5-2-22所示,那么这个几何体的搭法共有 ????种.
?
图5-2-22
答案 10
解析????根据主视图和左视图,可知俯视图中有两个位置小正方体的个数
是确定的,分别为4个和3个,其他位置小正方体的个数为1或2,共10种情形.
1.(2017浙江衢州中考,2,★☆☆)如图是由四个相同的小立方块搭成的
几何体,它的主视图是?( )
?
?
答案????D 主视图是从正面看到的视图,易得从左到右有2列,左边一列
有2个正方形,右边一列有一个正方形.故选D.
2.(2017江苏盐城中考,2,★☆☆)如图是某个几何体的主视图、左视
图、俯视图,该几何体是?( )
?
A.圆柱 ??? ?B.球
C.圆锥 ??? ?D.棱锥
答案????C 由主视图与左视图是三角形,俯视图是圆(带圆心),可知该几
何体是圆锥,故选C.
3.(2017山东威海中考,8,★★☆)一个几何体由n个大小相同的小正方形
搭成,其左视图、俯视图如图所示,则n的值最小是?( )
?
A.5 ????B.7 ?? ??C.9 ? ???D.10
答案????B 由俯视图知该几何体1、2、3、4位置上都有小正方体,结合
左视图知1、2位置,其中一个位置上有三个小正方体,另一个位置上最
少有一个、最多有三个小正方体,3、4位置,其中一个位置上有两个小
正方体,另一个位置上最少有一个、最多有两个小正方体,故该几何体
至少由七个小正方体搭成.
?
4.(2016广西百色中考,16,★☆☆)某几何体的三视图如图所示,则组成该
几何体的小正方体的个数是 ????.????
?
答案 5
解析????由三视图可得出,这个几何体的底层有4个小正方体,第二层有1
个小正方体,因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1=5.
图5-2-23①是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体.
(1)请在如图5-2-23②的网格中画出这个几何体的左视图和俯视图;
(2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体,并保持这个几何
体的俯视图和左视图不变,那么最多可以添加几个小正方体?
?
图5-2-23
解析????(1)如图所示.
?
(2)在第二层第二列第二行和第三行各加一个,第三层第二列第三行加
一个,第三列第三行加1个,2+1+1=4(个),故最多可以添加4个小正方体.
1.小明用六个大小完全相同的小正方体搭一个两层的几何体,所搭的所
有几何体的俯视图都如图所示,则这些几何体的左视图与俯视图相同的
概率是 ????.
答案?????
解析????易知共有6种情况,其中左视图与俯视图相同的情况有4种,故这
些几何体的左视图与俯视图相同的概率是4÷6=?.
2.分别画出图(1)(2)中几何体的三种视图,并求出几何体的表面积和体
积.
?
解析????图(1)中几何体的三种视图如图.
?
该几何体的表面积为6×2×2+8×2×2+2×6×4÷2+2×5×8+6×8=208(cm2),
体积为(6×2+6×4÷2)×8=192(cm3).
图(2)中几何体的三种视图如图.
?
该几何体的表面积为15×5×2+10×15+2×?10×5-π×?×??+(3π
+4)×15=(460+36π)cm2,
体积为?×15=?750-?π?cm3.
第五章 投影与视图
初中数学（北师大版）
九年级 上册
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.(2018山东济南中考)如图5-3-1所示的几何体,它的俯视图是?( )
图5-3-1
答案????D 俯视图是从几何体的上面看所得到的视图,从上面看有2行,
从上往下数,第一行有3个,第二行有1个,且在最左面,故选D.
2.在同一时刻的阳光下,小明的影子比小强的影子长,那么在同一路灯下
? ( )
A.小明的影子比小强的影子长
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
答案????D 在同一路灯下,若位置不同,则影长也不同,所以无法判断谁
的影子长.
3.下列说法正确的是?( )
A.皮影戏可以看成平行投影
B.无影灯(手术用的)是平行投影
C.日食不是太阳光所形成的投影现象
D.月食是太阳光所形成的投影现象
答案????D 皮影戏是中心投影,光源是电灯;手术用的无影灯是由多个电
灯组成的,不是平行投影;月食(或日食)是在阳光下地球(或月球)在月球
(或地球)上产生的投影.
4.(2018云南曲靖中考)如图5-3-2所示的支架(一种小零件)的两个台阶的
高度和宽度相等,则它的左视图为?( )
图5-3-2
答案????D 从左面看到的平面图形为矩形,中间的线是实线,且是横着
的.
5.(2018辽宁抚顺中考)下列物体的左视图是圆的是?( )
?
答案????A 足球的三视图都是圆,水杯的左视图为长方形,圣诞帽的左视
图为等腰三角形,鱼缸的左视图为矩形,故选A.
6.(2016山东烟台中考)如图5-3-3,大圆柱中挖去一个小圆柱,那么这个几
何体的主视图和俯视图分别为?( )
?
图5-3-3
答案????B 主视图中,中间挖去的小圆柱为虚线,最上面用实线封口;俯
视图中,中间挖去的圆柱为实线圆.故选B.
7.(2018新疆乌鲁木齐中考)图5-3-4是某个几何体的三视图,该几何体是
?( )
?
图5-3-4
A.长方体 ????B.正方体 ????C.三棱柱 ????D.圆柱
答案????C 根据主视图和左视图为矩形判断这个几何体是柱体,根据俯
视图是三角形可判断这个几何体是三棱柱.
8.下列四幅图中,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是( )
?
答案????D 因为太阳光线是平行的,所以垂直于地面的不同物体在同一
时刻落在地面上的影子应该是平行的(或在同一条直线上),并且方向相
同;同一时刻,不同物体在阳光下物高与影长成比例.故选D.
9.(2015广东广州中考)图5-3-5是一个几何体的三视图,则该几何体的展
开图可以是?( )
?
图5-3-5
?
答案????A 根据三视图可知该几何体为圆柱,A是圆柱的展开图,B是圆
锥的展开图,C是三棱柱的展开图,D是长方体的展开图,所以选A.
10.如图5-3-6,礼盒上下底面为全等的正六边形,其主视图与左视图均由
矩形构成,主视图中大矩形各边长已在图中标出,左视图中包含两个全
等的矩形,如果用彩色胶带如图包扎礼盒,则所需胶带长度至少为(???? )
图5-3-6
A.320 cm B.395.24 cm
C.431.77 cm D.480 cm
答案????C 如图,正六边形为礼盒的俯视图,AB=?×60=30 cm,CD经过圆
心O,且CD⊥AB于D,上底面有三条与CD等长的胶带,OD=?=
?=15? cm,CD=30? cm,则胶带总长为6×30?+6×20=180?+120≈431.77 cm,故选C.
11.将如图5-3-7所示的Rt△ABC绕AB所在直线旋转一周,所得的几何体
的主视图是图中的?? ??(只填序号).
?
图5-3-7
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
答案 ②
解析????将Rt△ABC绕AB所在直线旋转一周,所得的几何体是两个底面
相同并相连的圆锥,圆锥的主视图是等腰三角形,所以该几何体的主视
图是两个底边相等的等腰三角形,并且上面的等腰三角形的高较长,故
为图②.
12.如图5-3-8,长方形ABCD的长AB=4,宽BC=3,以AB所在直线为轴,将长
方形旋转一周后所得几何体的主视图的面积是 ????.
?
图5-3-8
答案 24
解析????将长方形绕一边所在直线旋转一周后所得几何体为圆柱,那么主
视图的长为2BC=6,宽为AB=4,∴主视图的面积为6×4=24.
13.(2015黑龙江牡丹江中考)由一些大小相同的小正方体搭成的几何体
的主视图和俯视图如图5-3-9所示,则搭成该几何体的小正方体最多是
????个.
?
图5-3-9
答案 7
解析????根据几何体的主视图和俯视图知,搭成该几何体的小正方体最多
是7个.
14.如图5-3-10,小芳和爸爸正在散步,爸爸身高1.8 m,他在地面上的影长
为2.1 m.若小芳比他爸爸矮0.3 m,则她的影长为 ????m.
?
图5-3-10
答案 1.75
解析????∵爸爸身高1.8 m,小芳比他爸爸矮0.3 m,
∴小芳身高1.5 m.
设小芳的影长为x m,则1.5∶x=1.8∶2.1,
解得x=1.75,故小芳的影长为1.75 m.
15.(2017宁夏中考)图5-3-11是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的
一个几何体的三视图,则这个几何体的表面积是 ????.
?
图5-3-11
答案 22
解析????俯视图如图所示,小正方形内的数字表示在这个位置所摆放的小
正方体的个数.故这个几何体的表面积为5+8+4+5=22.
?
16.三棱柱的三视图如图5-3-12所示,△EFG中,EF=8 cm,EG=12 cm,
∠EGF=30°,则AB的长为 ????cm.
?
图5-3-12
答案 6
解析????过点E作EQ⊥FG于点Q,由题意可得出EQ=AB,
∵EG=12 cm,∠EGF=30°,∴AB=EQ=?×12=6(cm).
17.一个长方体的三视图如图5-3-13所示,若俯视图为正方形,则这个长
方体的表面积为 ????.
?
图5-3-13
答案 66
解析????设这个长方体底面正方形的边长为x,
则x2+x2=(3?)2,解得x=3(负值舍去),
故这个长方体的表面积为2×3×3+4×4×3=66.
18.(2015山东青岛中考)如图5-3-14,在一次数学活动课上,张明用17个棱
长为1的小正方体搭成了一个几何体,然后他请王亮用其他同样的小正
方体在旁边再搭一个几何体,使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几
何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状),那么
王亮至少还需要 ????个小正方体,王亮所搭几何体的表面积为 ???? ????.
?
图5-3-14
答案 19;48
解析????题图中已有的小正方体的个数为17,所以王亮至少还需要3×3×4-
17=19个小正方体.王亮所搭的几何体共3层,小正方体露在外面的面有48个,所以王亮所搭几何体的表面积为1×1×48=48.
19.(8分)图5-3-15是甲、乙两根木杆在同一时刻的影子.
(1)请在图中画出形成木杆影子的光线,并指出它们是平行投影还是中
心投影;
(2)若是路灯的光线,请找出路灯灯泡的位置;
(3)请在图中画出木杆丙的影子.
?
图5-3-15
三、解答题(共46分)
解析????(1)光线如图所示,是中心投影.
?
(2)点O所在的位置是灯泡的位置.
(3)木杆丙的影子如图所示.
20.(8分)图5-3-16是由一些棱长都为1 cm的小正方体组合成的简单几何
体.
?
图5-3-16
(1)该几何体的表面积(含下底面)为 ????;
(2)该几何体的主视图如图5-3-17所示,请在图中画出它的左视图和俯视
图.
?
图5-3-17
解析????(1)26 cm2.
(2)如图所示:
?
21.(10分)学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干个相同规格的碟子,
每一摞碟子的个数与碟子的高度的关系如下表:
碟子的个数 碟子的高度(单位:cm)
1 2
2 2+1.5
3 2+3
4 2+4.5
… …
(1)当桌子上放有x个碟子时,请写出碟子的高度(用含x的式子表示);
(2)分别从三个方向看,其三视图如图5-3-18所示,厨房师傅想把它们整
齐地叠成一摞,求叠成一摞后的高度.
图5-3-18
解析????(1)碟子的高度为2+1.5(x-1)=(1.5x+0.5)cm.
(2)由三视图可知共有12个碟子,
∴叠成一摞后的高度为1.5×12+0.5=18.5(cm).
22.(10分)图5-3-19为一几何体从三个不同方向看所得的三视图.
?
图5-3-19
(1)写出这个几何体的名称;
(2)任意画出这个几何体的一种表面展开图;
(3)若长方形的长为10厘米,三角形的边长为4厘米,求这个几何体的侧面
积.
解析????(1)正三棱柱.
(2)表面展开图如图所示.
?
(3)这个几何体的侧面积为3×10×4=120(cm2).
23.(10分)一个圆柱形器皿在点光源P下的投影如图5-3-20所示,已知AD
为该器皿底面圆的直径,且AD=3,CD为该器皿的高,CD=4,P'为P在地面
上的投影,CP'=1,点D在光源P下的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交
界,即点B处,点A在光源P下的投影为A',求点A'到CD的距离.
?
图5-3-20
解析????如图,延长AD交PD'于点E,根据题意可知△APD∽△A'PB,△PDE
∽△PBP',∴?=?=?,
?
又DE=CP'=1,AD=BC=3,∴BP'=BC+CP'=4.
将各线段长度代入得?=?,
解得A'B=12,
∴点A'到CD的距离为A'B+BC=12+3=15.
