1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程的概念
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2019上海浦东新区期末)下列方程是一元二次方程的是( )
A.y2=2 B.1+x2=(2-x)2 C.=4 D.(m-1)x2-x-1=0
2.(2019天津河东月考)若(m+2)+3x-1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为( )
A.-2 B.± C.±2 D.0
3.(2019广东揭阳揭西期末)关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项是0,则( )
A.m=4 B.m=2 C.m=2或m=-2 D.m=-2
4.(2019江苏徐州丰县期中)把一元二次方程(x+3)(x-5)=2化成一般形式,得( )
A.x2+2x-17=0 B.x2-8x-17=0 C.x2-2x=17 D.x2-2x-17=0
5.(2018天津宝坻期末)某幼儿园准备修建一个面积为210 m2的矩形活动场地,它的长比宽多12 m,设场地的长为x m,可列方程为( )
A.x(x+12)=210 B.x(x-12)=210 C.2x+2(x+12)=210 D.2x+2(x-12)=210
二、填空题
6.方程(3x+1)2-6x=2化成一般形式为9x2-1=0,则二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .?
7.(2019山西朔州右玉月考)已知下列一元二次方程:
第1个方程:3x2+2x-1=0;
第2个方程:5x2+4x-1=0;
第3个方程:7x2+6x-1=0;
……
按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律,则第8个方程为 .?
三、解答题
8.(2019上海浦东新区月考)已知关于x的方程(m-3)+(m-2)x+5=0.
(1)m为何值时,方程是一元二次方程?
(2)m为何值时,方程是一元一次方程?
9.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)x2+1=2x;
(2)-2=3x2;
(3)x(2x-1)=1;
(4)(x+1)(x-1)=2x-4.
1 认识一元二次方程(答案版）
第1课时 一元二次方程的概念
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2019上海浦东新区期末)下列方程是一元二次方程的是( )
A.y2=2 B.1+x2=(2-x)2 C.=4 D.(m-1)x2-x-1=0
答案 A A.符合一元二次方程,正确;B.化简后为4x-3=0,是一元一次方程,错误;
C.未知数在分母上,不是整式方程,错误;D.当m=1时,不是一元二次方程,错误,故选A.
2.(2019天津河东月考)若(m+2)+3x-1=0是关于x的一元二次方程,则m的值为( )
A.-2 B.± C.±2 D.0
答案 B ∵(m+2)+3x-1=0是关于x的一元二次方程,∴m2-4=2,且m+2≠0,解得m=±.故选B.
3.(2019广东揭阳揭西期末)关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项是0,则( )
A.m=4 B.m=2 C.m=2或m=-2 D.m=-2
答案 D 根据题意知解得m=-2,故选D.
4.(2019江苏徐州丰县期中)把一元二次方程(x+3)(x-5)=2化成一般形式,得( )
A.x2+2x-17=0 B.x2-8x-17=0 C.x2-2x=17 D.x2-2x-17=0
答案 D (x+3)(x-5)=2,去括号得x2-5x+3x-15=2,移项得x2-5x+3x-15-2=0,合并同类项得x2-2x-17=0,故选D.
5.(2018天津宝坻期末)某幼儿园准备修建一个面积为210 m2的矩形活动场地,它的长比宽多12 m,设场地的长为x m,可列方程为( )
A.x(x+12)=210 B.x(x-12)=210 C.2x+2(x+12)=210 D.2x+2(x-12)=210
答案 B ∵场地的长为x m,它的长比宽多12 m,∴宽为(x-12)m,根据题意得x(x-12)=210,故选B.
二、填空题
6.方程(3x+1)2-6x=2化成一般形式为9x2-1=0,则二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .?
答案 9;0;-1
解析 二次项系数为9,一次项系数为0,常数项为-1.
7.(2019山西朔州右玉月考)已知下列一元二次方程:
第1个方程:3x2+2x-1=0;
第2个方程:5x2+4x-1=0;
第3个方程:7x2+6x-1=0;
……
按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律,则第8个方程为 .?
答案 17x2+16x-1=0
解析 ∵二次项系数为序号的两倍加1,一次项系数为序号的两倍,常数项不变,为-1,∴第8个方程为17x2+16x-1=0,故答案为17x2+16x-1=0.
三、解答题
8.(2019上海浦东新区月考)已知关于x的方程(m-3)+(m-2)x+5=0.
(1)m为何值时,方程是一元二次方程?
(2)m为何值时,方程是一元一次方程?
解析 (1)∵关于x的方程(m-3)+(m-2)x+5=0是一元二次方程,
∴m2-7=2且m-3≠0,
解得m=-3.
故m=-3时,方程是一元二次方程.
(2)∵关于x的方程(m-3)+(m-2)x+5=0是一元一次方程,
∴m-3=0且m-2≠0,或m2-7=1且m-3+m-2≠0,
解得m=3或m=±2.
故m=3或±2时,方程是一元一次方程.
9.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)x2+1=2x;
(2)-2=3x2;
(3)x(2x-1)=1;
(4)(x+1)(x-1)=2x-4.
解析 (1)由原方程得到x2-2x+1=0,
所以二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为1.
(2)由原方程得到3x2+2=0,
所以二次项系数为3,一次项系数为0,常数项为2.
(3)由原方程得到2x2-x-1=0,
所以二次项系数为2,一次项系数为-1,常数项为-1.
(4)由原方程得到x2-2x+3=0,
所以二次项系数为1,一次项系数为-2,常数项为3.
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第2课时 一元二次方程的解和近似解
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2019江苏泰州姜堰期末)若方程x2+mx-3=0的一根为3,则m等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2019广东潮州饶平期末)已知x=a是方程x2-3x-5=0的根,则代数式a2-3a+4的值为( )
A.6 B.9 C.14 D.-6
3.根据下面表格中列出来的数据,猜想方程x2+2x-100=0的一个根大约是( )
x 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07
x2+2x-100 -0.400 -0.198 0.003 0.204 0.405
A.9.025 B.9.035 C.9.045 D.9.055
4.(2016山东青岛中考)输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如下表:
x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21
分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为( )
A.20.5C.20.7二、填空题
5.已知m是方程x2-4x-2=0的一个根,则代数式2m2-8m+1的值为 .?
6.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则
2 019(a+b+c)= .?
三、解答题
7.“一块矩形铁片,面积为2 m2,长比宽多2 m,求铁片的长.”小颖在做这道题时,是这样考虑的:设铁片的长为x m,列出方程为x(x-2)=2,小颖列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是她的探索过程.
第一步:
x 1 2 3 4
x2-2x-2 -3 -2
所以 第二步:
x 2.6 2.7 2.8 2.9
x2-2x-2
所以 (1)请你帮小颖填完表格,完成她未完成的部分;
(2)通过以上探索,可以估计矩形铁片长的整数部分是 ,十分位是 .?
8.根据题意列出方程,并利用估算的方法求出方程的近似解(估计到十分位).
一块矩形的土地长是10 m,宽是6 m,要在它的中央建一块矩形草地,四周铺上宽度相等的花砖路,草地占整个矩形土地的一半,求花砖路面的宽度.
第2课时 一元二次方程的解和近似解(答案版）
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2019江苏泰州姜堰期末)若方程x2+mx-3=0的一根为3,则m等于( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 A 把x=3代入方程x2+mx-3=0,得9+3m-3=0,解得m=-2.故选A.
2.(2019广东潮州饶平期末)已知x=a是方程x2-3x-5=0的根,则代数式a2-3a+4的值为( )
A.6 B.9 C.14 D.-6
答案 B ∵x=a是方程x2-3x-5=0的根,∴a2-3a-5=0,∴a2-3a=5,∴a2-3a+4=5+4=9.故选B.
3.根据下面表格中列出来的数据,猜想方程x2+2x-100=0的一个根大约是( )
x 9.03 9.04 9.05 9.06 9.07
x2+2x-100 -0.400 -0.198 0.003 0.204 0.405
A.9.025 B.9.035 C.9.045 D.9.055
答案 C 由表格可得方程的一个根介于9.04与9.05之间,故选C.
4.(2016山东青岛中考)输入一组数据,按下列程序进行计算,输出结果如下表:
x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21
分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为( )
A.20.5C.20.7答案 C 由表格可知,当x=20.7时,(x+8)2-826=-2.31,当x=20.8时,(x+8)2-826=3.44,故(x+8)2-826=0时,20.7二、填空题
5.已知m是方程x2-4x-2=0的一个根,则代数式2m2-8m+1的值为 .?
答案 5
解析 ∵m是方程x2-4x-2=0的一个根,∴m2-4m-2=0,
∴m2-4m=2,∴2m2-8m+1=2(m2-4m)+1=2×2+1=5.故答案为5.
6.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,则
2 019(a+b+c)= .?
答案 0
解析 把x=1代入ax2+bx+c=0(a≠0)得a+b+c=0,所以2 019(a+b+c)=2 019×0=0.
三、解答题
7.“一块矩形铁片,面积为2 m2,长比宽多2 m,求铁片的长.”小颖在做这道题时,是这样考虑的:设铁片的长为x m,列出方程为x(x-2)=2,小颖列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是她的探索过程.
第一步:
x 1 2 3 4
x2-2x-2 -3 -2
所以 第二步:
x 2.6 2.7 2.8 2.9
x2-2x-2
所以 (1)请你帮小颖填完表格,完成她未完成的部分;
(2)通过以上探索,可以估计矩形铁片长的整数部分是 ,十分位是 .?
解析 (1)
x 1 2 3 4
x2-2x-2 -3 -2 1 6
所以2x 2.6 2.7 2.8 2.9
x2-2x-2 -0.44 -0.11 0.24 0.61
所以2.7(2)由(1)可得,矩形铁片长的整数部分是2,十分位是7.
8.根据题意列出方程,并利用估算的方法求出方程的近似解(估计到十分位).
一块矩形的土地长是10 m,宽是6 m,要在它的中央建一块矩形草地,四周铺上宽度相等的花砖路,草地占整个矩形土地的一半,求花砖路面的宽度.
解析 设花砖路面的宽为x m.
根据题意,得(10-2x)(6-2x)=10×6×0.5.
将方程化为一般形式为x2-8x+7.5=0.
由于花砖路面的宽应小于6 m的一半,所以方程解的整数部分为0,1或2,据此列出下表:
x 0.5 1 1.5 2 2.5
x2-8x+7.5 3.75 0.5 -2.25 -4.5 -6.25
由上表可知方程的解在1~1.5之间,进一步计算:
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2-8x+7.5 -0.09 -0.66 -1.21 -1.74
由表格可知方程的解在1.0~1.1之间.
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第二章 一元二次方程
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第二章 一元二次方程
知识点一????一元二次方程的概念
概念 三个特征 举例
一元二
次方程 只含有一个未知数的整式方程,
并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程
叫做一元二次方程 (1)是整式方程,即等号两边都是
关于未知数的整式的方程;
(2)只含有一个未知数;
(3)未知数的最高次数是2 x2-3=0,
x2-x-5=0
例1 ①x2=9,②?+2x=3,③x(x+5)=x2-2x,④5x2=0,⑤?x-x2+100,⑥3x2+?x
-3=0,⑦?-y=0,属于一元二次方程的是 ????(只填序号).
解析????①④⑥⑦都是一元二次方程;②不是整式方程;③整理后不含二
次项;⑤不是方程.
答案 ①④⑥⑦
温馨提示 根据一元二次方程的定义判断,将方程化简变形后,如果能
同时满足定义中所包含的三个条件,那么这个方程是一元二次方程.
知识点二????一元二次方程的一般形式
一般形式 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)
项及项的系数 二次项:ax2,二次项系数:a
一次项:bx,一次项系数:b
常数项:c
重点解读 (1)“a≠0”是一元二次方程ax2+bx+c=0的重要组成部分,如果明确了
ax2+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件,当a=0,b≠0时,它就成为一元一次方程;
(2)指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时,一定要带上前面的符号;
(3)一元二次方程化为一般形式时,若没有出现一次项bx,并不是没有, 而是b=0
例2 把下列关于x的方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系
数和常数项.
(1)7x-3=2x2;
(2)(1-2x)(x+4)+7x=2x2+3;
(3)a(1-x2)+c(1+x2)=2bx(c≠a).
解析????(1)移项,得2x2-7x+3=0,
故二次项系数是2,一次项系数是-7,常数项是3.
(2)去括号,得x+4-2x2-8x+7x=2x2+3,
移项、合并同类项,得4x2-1=0,
故二次项系数是4,一次项系数是0,常数项是-1.
(3)去括号,得a-ax2+c+cx2=2bx,
移项、合并同类项,得(c-a)x2-2bx+a+c=0,
因为c≠a,所以c-a≠0,
故二次项系数为c-a,一次项系数为-2b,常数项为a+c.
规律总结 一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a
≠0),根据等式的性质,任意一个一元二次方程的一般形式不是唯一的,
但为了解题方便,化一元二次方程为一般形式时,应尽量化为最简形式.
知识点三????一元二次方程解的估算
一元二次
方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫一元二次方程的根
估计一元二次方程的解 一般步骤:
(1)列表,利用未知数的取值分别计算方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ax2+bx+c的值;
(2)在表中找出使ax2+bx+c的值可能等于0的未知数符合要求的范围;
(3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、缩小估计范围,直到符合题中精确度的要求为止
知识拓展 (1)要判断一个值是不是一元二次方程的解,只需将这个值代入已知方程的左右两边,看能否使方程的左右两边相等.若相等,则是方程的解; 否则不是.
(2)在估计一元二次方程解的取值范围时,使ax2+bx+c(a≠0)的值由正变负或由负变正的x的取值很重要,因为只有在这个范围内,才能存在使ax2+bx+c=0(a≠0)成立的x的值,即方程的解
例3 已知一元二次方程(x+2)(x-5)+7=0的一个解为正数.
(1)这个解在哪两个整数之间?
(2)这个解的十分位是几?
分析 (1)把方程化为(x+2)(x-5)=-7,估计方程为正数的解在4附近→依次
取x=2,3,4,5,求出相应的代数式(x+2)(x-5)的值→比较上述各代数式的值
与-7的大小,由此得到方程的解在哪两个整数之间;(2)估计方程(x+2)(x-
5)=-7为正数的解在3.8附近→依次取x=3.6,3.7,3.8,3.9,求出相应的代数
式(x+2)(x-5)的值→比较上述各代数式的值与-7的大小,由此得到方程的
解的十分位.
解析????(1)把该方程化为(x+2)(x-5)=-7,列表如下:
由表格可知,方程的这个正数解在3和4两个整数之间.
(2)列表如下:
x 2 3 4 5
(x+2)(x-5) -12 -10 -6 0
与-7比较 小于-7 小于-7 大于-7 大于-7
x 3.6 3.7 3.8 3.9
(x+2)(x-5) -7.84 -7.41 -6.96 -6.49
与-7比较 小于-7 小于-7 大于-7 大于-7
由表格可知,方程的这个正数解的十分位是7.
知识点四????由实际问题列出一元二次方程
根据数量关系列方程,就是把文字语言叙述的问题转化为数学语言
表达的式子.
列方程表示实际问题的数量关系的一般步骤:
(1)弄清题意,设未知数;
(2)分析题中包含的已知与未知的数量关系,列出相应的代数式;
(3)根据等量关系列出方程.
图2-1-1
例4 如图2-1-1所示,现有长方形纸片一张,长19 cm,宽15 cm,需要在四
个角剪去边长是多少厘米的小正方形才能将其做成底面积为81 cm2的
无盖长方体纸盒?请根据题意列出方程.
分析要做成底面积为81 cm2的无盖长方体纸盒,只要将底面的长和宽分
别用含未知数的代数式表示,根据长方形的面积公式,就可以找出等量
关系列出方程.
解析????设需要剪去的小正方形的边长为x cm,
则纸盒底面的长为(19-2x)cm,宽为(15-2x)cm.
根据题意,得(19-2x)·(15-2x)=81.
整理,得x2-17x+51=0.
题型一????利用定义求字母的值
例1 关于x的方程(|a|-1)x2-(a-1)x-3=0.
(1)当a满足什么条件时,该方程为一元二次方程?
(2)当a满足什么条件时,该方程为一元一次方程?
解析????(1)∵(|a|-1)x2-(a-1)x-3=0为一元二次方程,
∴|a|-1≠0,∴a≠ ± 1.
(2)∵(|a|-1)x2-(a-1)x-3=0为一元一次方程,
∴?解得a=- 1.
点拨 分清字母所处位置和相应条件是解含字母系数方程问题的关键.
题型二????一元二次方程的解与代数式求值的综合
例2 若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2 013-a-b
的值是?( )
A.2 018 ????B.2 008 ????C.2 014 ????D.2 012
解析????∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根,∴a·12+b·1+5=0,∴a
+b=-5,∴2 013-a-b=2 013-(a+b)=2 013-(-5)=2 018.
答案????A
方法规律 本题运用方程的解的定义,把已知方程的解直接代入方程得
到a+b=-5,再依据整体思想代入所求代数式即可求值.
易错点????判断一元二次方程时,忽略“a≠0”的条件
例 已知方程(m+1)x|m|+1+2x-3=0是关于x的一元二次方程,则m的值是?
( )
A.-1 ????B.1 ????C.±1 ????D.无法确定
解析????由题意得?∴m=1.
答案????B
易错警示 本题容易由|m|+1=2求得m=±1,从而错选C选项,原因是忽略
了m+1≠0,即m≠-1这个前提条件.事实上,当m+1=0时,原方程为2x-3=0,
它不是一元二次方程.
知识点一????一元二次方程的概念
1.(2019上海浦东新区期中)下列四个方程中,是一元二次方程的为?( ?)
A.x2-2=0 ????B.2x2-2x+3=4+2x+2x2
C.2x2-3?+1=0 ????D.2x2-?-3=0
答案????A 判断一个方程是不是一元二次方程,首先要看是不是整式方
程,然后看化简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
A.x2-2=0是一元二次方程;
B.2x2-2x+3=4+2x+2x2整理为-4x-1=0,不是一元二次方程;
C.2x2-3?+1=0不是整式方程,不是一元二次方程;
D.2x2-?-3=0不是整式方程,不是一元二次方程.
故选A.
2.(2019江苏扬州江都三中月考)已知(m-1)x|m|+1-2x+1=0是关于x的一元二
次方程,则m= ????.
答案 -1
解析????∵(m-1)x|m|+1-2x+1=0是关于x的一元二次方程,∴|m|+1=2,且m-1≠
0,解得m=-1.
知识点二????一元二次方程的一般形式
3.(2019山西太原期中)将方程(x+1)(2x-3)=1化成ax2+bx+c=0的形式,当a=
2时,b,c的值分别为?( )
A.b=-1,c=-3 ????B.b=-5,c=-3
C.b=-1,c=-4 ????D.b=5,c=-4
答案????C (x+1)(2x-3)=1,整理得2x2-x-4=0,
则a=2,b=-1,c=-4,故选C.
4.(2019山东青岛城阳九中月考)一元二次方程(x+1)(x+3)=9的一般形式
是 ????,二次项系数为 ????,常数项为 ????.
答案????x2+4x-6=0;1;-6
解析????由(x+1)(x+3)=9,得x2+4x+3-9=0,即x2+4x-6=0.其中二次项系数是1,
常数项是-6.
知识点三????一元二次方程解的估算
5.(2017山东青岛市北一模)根据表格中的数据,估计一元二次方程x2+2x-
4=0的一个解x的范围为?( )
A.-1x -1 0 1 2 3
x2+2x-4 -5 -4 -1 4 11
答案????C 根据表格中的数据,可以发现:x=1时,x2+2x-4=-1;x=2时,x2+2x-
4=4,故一元二次方程x2+2x-4=0的一个解x的范围是16.(2019浙江台州温岭期中)据有关数据统计,淘宝天猫在2016年“双11”
当天的成交额达1 207亿元,2018年“双11”当天的成交额达2 135亿元.
设年平均增长率为x,则所列方程正确的为?( )
A.2 135(1+x)2=1 207 ????B.1 207(1+x)2=2 135
C.1 207(1+x)2=2 135-1 207 D.1 207(1+2x)=2 135
知识点四????由实际问题列出一元二次方程
答案????B 根据题意得2018年“双11”当天的成交额为1 207(1+x)2,列
出方程为1 207(1+x)2=2 135,故选B.
7.已知如图2-1-1所示的图形的面积为24.根据图中的条件,可列出方程:
????.
?
图2-1-1
答案 答案不唯一,如(x+1)2=25
解析????本题可以利用将图形补全成一个大正方形的方法,确定大正方形
的边长为(x+1),补全的小正方形的面积为1,从而可以列出方程(x+1)2=
25.也可以利用分割的方式列出其他形式的方程.
1.下列方程中,是一元二次方程的有?( )
①ax2+bx+c=0;②?=5-6x;③2x(x-3)=2x2+1;④?=2x2;⑤y2-2xy+3=0;
⑥(3x2-1)2-3=0;⑦x2=4;⑧?x2+3x-7=0.
A.0个 ????B.1个 ????C.2个 ????D.3个
答案????C ①没有确定a的范围;③化简后是一元一次方程;②④分母中
含有未知数;⑤含有两个未知数;⑥化简后未知数的最高次数是4;⑦⑧
符合一元二次方程的定义.
2.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0 的一个根,则代数式a2+2ab+b2的值
为 ????.
答案 1
解析????把x=1代入一元二次方程x2+ax+b=0中,整理得a+b=-1,所以a2+2ab
+b2=(a+b)2=(-1)2=1.
3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次
项系数、常数项.
(1)(3x-1)(2x+3)=4;
(2)(2x+1)2=(4x+1)(4x-1).
解析????(1)去括号,得6x2+9x-2x-3=4,
移项、合并同类项,得6x2+7x-7=0,
所以二次项系数是6,一次项系数是7,常数项是-7.
(2)去括号,得4x2+4x+1=16x2-1,
移项、合并同类项,得-12x2+4x+2=0,
所以二次项系数是-12,一次项系数是4,常数项是2.
4.已知关于x的方程(k+1)?+(k-3)x-1=0.
(1)当k取何值时,它是一元一次方程?
(2)当k取何值时,它是一元二次方程?
解析????(1)由关于x的方程(k+1)?+(k-3)x-1=0是一元一次方程,得
?或?
解得k=-1或k=0.
∴当k=-1或k=0时,关于x的方程(k+1)?+(k-3)x-1=0是一元一次方程.
(2)由关于x的方程(k+1)?+(k-3)x-1=0是一元二次方程,得?解
得k=1.
∴当k=1时,关于x的方程(k+1)?+(k-3)x-1=0是一元二次方程.
5.将进价为40元的商品按50元出售时,能卖掉500个.已知该商品每涨价1元,其销量就减少10个,为了赚得8 000元利润,售价应定为多少?(只列出方程,
不必求解)
解析????设每个商品涨价x元,根据题意得(50-40+x)(500-10x)=8 000.
6.若a是方程x2-2 014x+1=0的一个根,求a2-2 013a+?的值.
解析????∵a是方程x2-2 014x+1=0的一个根,∴a2-2 014a+1=0,
即a2+1=2 014a,
∴a2-2 013a+?=a2+(-2 014a+a)+?=a2-2 014a+a+?=-1+a+?=
?=?=2 013.
7.为了绿化校园,需将草皮移植到操场,若矩形操场的长比宽多14 m,操
场的面积是3 300 m2,求绿化后操场的宽的取值范围.(精确到0.1 m)
解析????设绿化后操场的宽为x m,
根据题意,得x(x+14)=3 300,即x2+14x-3 300=0.
列表如下:
x … 40 45 49 50 51 52 …
x2+14x-3 300 … -1 140 -645 -213 -100 15 132 …
从表中可以看出x的整数部分的取值为50.
再列表如下:
所以绿化后操场的宽的取值范围为50.8x … 50 50.7 50.8 50.9 51 …
x2+14x-3 300 … -100 -19.71 -8.16 3.41 15 …
1.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,则方程必有一根为?( )
A.0 ????B.1 ????C.-1 ????D.±1
答案????B 把x=1代入方程ax2+bx+c=0,得a+b+c=0,
∴方程必有一根为1.故选B.
2.若x=m(m≠0)是方程x2-x-1=0的一个根,则代数式m2+?的值为?(??? )
A.1 ????B.-1 ????C.3 ????D.-3
答案????C 把x=m代入方程x2-x-1=0,得m2-m-1=0,∵m≠0,∴方程的两边
同时除以m得m-1-?=0,
∴m-?=1.
把m-?=1两边平方得?=1,
即m2+?-2m·?=1,即m2+ -2=1,
∴m2+?=3.
3.(2019山东青岛城阳九中月考)已知关于x的方程(m-1)?+2x-3=0是一
元二次方程,则m的值为 ????.
答案 -1
解析????由一元二次方程的定义得m2+1=2,且m-1≠0,解得m=-1.
4.已知如下一元二次方程:
第1个方程:3x2+2x-1=0,
第2个方程:5x2+4x-1=0,
第3个方程:7x2+6x-1=0,
……
按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律,则第8
个方程为 ????.
答案 17x2+16x-1=0
解析????由题中的三个方程可以看出:常数项都是-1,一次项系数是方程序号的2倍,二次项系数比一次项系数大1,所以第8个方程为17x2+16x-1=0.
5.如图2-1-2①,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的矩形图案,其中有两横两
竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2∶3,如果要使所有彩条所占面积为
原矩形图案面积的?,应如何设计每个彩条的宽度?
?
图2-1-2
分析:由横、竖彩条的宽度比为2∶3,可设每个横彩条的宽为2x cm,则每
个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系,将横、竖彩条
分别集中,将原图形转化为如图2-1-2②的情况,得到矩形ABCD.
(1)结合以上分析完成填空:如图2-1-2②,用含x的代数式表示:AB= ????
????cm,AD= ????cm,矩形ABCD的面积为 ????cm2;
(2)列出方程不解答.
解析????(1)(20-6x);(30-4x);(24x2-260x+600).
(2)根据题意得24x2-260x+600=?×20×30.
1.已知2是关于x的方程?x2-2a=0的一个根,则a的值是?( )
A.3 ????B.? ????C.2 ????D.?
答案????A 因为2是关于x的方程?x2-2a=0的一个根,所以?×22-2a=0,解
得a=3.
2.已知关于x的方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0(b≠c)有一个公共根,则(b+c)2 019的值为?( )
A.-1 ????B.1 ????C.-2 019 ????D.2 019
答案????A 设m是方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0的公共根,则m2+bm+c=0,m2
+cm+b=0.
∴m2+bm+c=m2+cm+b,
∴bm+c=cm+b,
整理得(b-c)m=b-c.
∵b≠c,∴m=?=1.
把x=1代入方程x2+bx+c=0得1+b+c=0,
∴b+c=-1,
∴(b+c)2 019=(-1)2 019=-1.
3.若一元二次方程(2a-4)x2+(3a+6)x+a-8=0没有一次项,则a的值为 ????????.
答案 -2
解析????由题意,得2a-4≠0且3a+6=0,∴a=-2.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1,且a、b、c满足b=?+
?-3,则a= ????,b= ????,c= ????.
答案 2;-3;1
解析????∵b=?+?-3,∴a-2≥0,2-a≥0,解得a=2,∴b=0+0-3=-3.
∴一元二次方程为2x2-3x+c=0,∴2×12-3×1+c=0,即2-3+c=0,∴c=1.
5.已知m是方程x2-x-3=0的一个实数根,则代数式(m2-m)?的值为
????.
答案 6
解析????∵m是方程x2-x-3=0的一个实数根,∴m2-m-3=0,∴m2-m=3,m2-3=m,
∴(m2-m)?=3×?=3×(1+1)=6.
1.(2019重庆渝中巴蜀中学月考,1,★☆☆)下列方程中是一元二次方程
的是?( )
A.2x-1=0 ????B.y2-x=1
C.x2-1=0 ???? D.?-x2=1
答案????C 是一元二次方程的为x2-1=0,根据一元二次方程的定义,判断
一个方程是不是一元二次方程,首先要看是不是整式方程,然后看化简
后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.故选C.
2.(2019陕西榆林定边期中,4,★☆☆)已知x=1是方程x2-2x+c=0的一个根,
则实数c的值是?( )
A.-1 ????B.0 ????C.1 ????D.2
答案????C 根据题意,将x=1代入x2-2x+c=0,得1-2+c=0,解得c=1,故选C.
3.(2019山西太原期中,9,★☆☆)为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准
备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一
圈等宽的白边,已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面
面积的90%,若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程?( )
A.90%×(2+x)(1+x)=2×1
B.90%×(2+2x)(1+2x)=2×1
C.90%×(2-2x)(1-2x)=2×1
D.(2+2x)(1+2x)=2×1×90%
答案????B 白边的宽为x米,则整幅宣传版面的长为(2+2x)米、宽为
(1+2x)米,根据题意得90%(2+2x)(1+2x)=2×1.故选B.
4.(2019山东青岛黄岛六中月考,12,★★☆)如图2-1-3,已知线段AB的长
为1,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边
在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD,垂足为点F.若正方形AENM
与四边形EFDB的面积相等,设AE=x,可列方程为 ????.
?
图2-1-3
答案????x2=1-x
解析????AE的长为x,则BE的长为1-x,又∵四边形ACDB是正方形,∴BD=
AB=1,由题意可列方程为x2=1-x.
1.(2018江苏无锡期中,1,★☆☆)下列关于x的方程中,一定是一元二次方
程的是?( )
A.x-1=0 ????B.x3+x=3
C.x2+3x-5=0 ????D.ax2+bx+c=0
答案????C????A项不是一元二次方程,故此选项不符合题意;
B项不是一元二次方程,故此选项不符合题意;
C项是一元二次方程,故此选项符合题意;
D项,a=0时,不是一元二次方程,故此选项不符合题意.故选C.
2.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测,4,★★☆)若方程ax2+bx+c=0(a≠
0)中,a、b、c满足a+b+c=0和a-b+c=0,则方程的根是?( )
A.1,0 ????B.-1,0
C.1,-1 ????D.无法确定
答案????C 将x=1代入方程ax2+bx+c=0,得a+b+c=0.
将x=-1代入方程ax2+bx+c=0,得a-b+c=0.
∴方程的根是1,-1.
3.(2018江苏无锡羊尖中学月考,11,★☆☆)把一元二次方程(x+1)(1-x)=
2x化成二次项系数大于零的一般式是 ????.
答案????x2+2x-1=0
解析????将方程(x+1)(1-x)=2x整理可得-x2-2x+1=0,根据等式的性质,方程
两边同乘-1得x2+2x-1=0.
1.(2018宁夏中考,4,★☆☆)若2-?是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是
?( )
A.1 ????B.3-? ????C.1+? ????D.2+?
答案????A 把x=2-?代入方程x2-4x+c=0,得(2-?)2-4(2-?)+c=0,解得c=1.故选A.
2.(2016山东青岛中考,8,★★☆)输入一组数据,按图2-1-4中的程序进行
计算,输出结果如下表:
?
图2-1-4
分析表格中的数据,估计方程(x+8)2-826=0的一个正数解x的大致范围为
?( )
x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 -13.75 -8.04 -2.31 3.44 9.21
答案????C 由表格可知,
当x=20.7时,(x+8)2-826=-2.31,
当x=20.8时,(x+8)2-826=3.44,
故(x+8)2-826=0时,20.7故选C.
A.20.5C.20.73.(2018辽宁大连中考,8,★★☆)
图2-1-5
如图2-1-5,有一张矩形纸片,长10 cm,宽6 cm,在它的四角各剪去一个同
样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中
阴影部分)面积是32 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形
边长是x cm,根据题意可列方程为?( )
A.10×6-4×6x=32 ????B.(10-2x)(6-2x)=32
C.(10-x)(6-x)=32 ????D.10×6-4x2=32
答案????B 剪去的小正方形边长是x cm,则纸盒底面的长为(10-2x)cm,宽
为(6-2x)cm,根据长方形的面积公式结合纸盒的底面面积是32 cm2,得(10
-2x)(6-2x)=32.
4.(2017江苏常州中考,13,★☆☆)已知x=1是关于x的方程ax2-2x+3=0的
一个根,则a= ????.
答案 -1
解析????把x=1代入方程ax2-2x+3=0,得a-2+3=0,解得a=-1.
5.(2016山东菏泽中考,12,★★☆)已知m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个
根,则2m2-4m= ????.
答案 6
解析????∵m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根,∴m2-2m-3=0,∴m2-2m=3,
则2m2-4m=2(m2-2m)=2×3=6.
1.(2017广东中考,4,★☆☆)若2是方程x2-3x+k=0的一个根,则常数k的值
为?( )
A.1 ????B.2 ????C.-1 ????D.-2
答案????B ∵2是方程x2-3x+k=0的一个根,∴22-3×2+k=0,∴k=2,故选B.
2.(2016浙江台州中考,8,★★☆)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45
场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是?( )
A.?x(x-1)=45 ????B.?x(x+1)=45
C.x(x-1)=45 ????D.x(x+1)=45
答案????A ∵有x支球队参加篮球比赛,每两队之间都比赛一场,∴总的
比赛场数为?x(x-1),又∵共比赛了45场,∴?x(x-1)=45.故选A.
3.(2017甘肃兰州中考,10,★★☆)
王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个
工具箱.如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形
后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具
箱.根据题意可列方程为?( )
A.(80-x)(70-x)=3 000
B.80×70-4x2=3 000
C.(80-2x)(70-2x)=3 000
D.80×70-4x2-(70+80)x=3 000
答案????C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的
矩形,由题意可列方程为(80-2x)(70-2x)=3 000.
1.(2017浙江温州中考)我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1,x2=-3.现给出
另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的解是?( )
A.x1=1,x2=3 ????B.x1=1,x2=-3
C.x1=-1,x2=3 ????D.x1=-1,x2=-3
答案????D 通过观察两个方程的形式进行整体代换.由题意可得2x+3=1
或2x+3=-3,所以x1=-1,x2=-3.故选D.
2.请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x-3=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方
程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,
所以x=?.
把x=?代入已知方程,得?+?-3=0.
化简,得y2+2y-12=0.故所求方程为y2+2y-12=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
(1)已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根
的3倍,则所求方程为???????????????????;
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根,求
一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数;
(3)已知关于x的方程x2-mx+n=0有两个实数根,求一个方程,使它的根分
别是已知方程根的平方.
解析????(1)设所求方程的根为y,则y=3x,所以x=?.
把x=?代入已知方程,得?+?-1=0,
化简,得y2+3y-9=0,
故所求方程为y2+3y-9=0.
(2)设所求方程的根为y,则y=?(x≠0),
于是x=?(y≠0),
把x=?代入方程ax2+bx+c=0,得a?+b·?+c=0,
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,有ax2+bx=0,于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0,不符合题意,∴c≠0.
故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).
(3)设所求方程的根为y,则y=x2,所以x=±?.
①当x=?时,把x=?代入已知方程,得
(?)2-m?+n=0,即y-m?+n=0;
②当x=-?时,把x=-?代入已知方程,得
(?)2+m?+n=0,即y+m?+n=0.
1.下面是一道作业题,请仔细阅读甲、乙两个同学的答案,判断谁的答案
正确.若都不正确,请给出正确的解答过程.
题目:若x2a+b-2xa-b+3=0是关于x的一元二次方程,则a,b的值各是多少?
学生甲:根据题意,得?解得?
学生乙:根据题意,得?或?解得?或?
解析????都不正确.根据题意,得?或?或?或
?或?
所以?或?或?或?或?
2.关于x的方程(m2-8m+19)x2-2mx-13=0是否一定是一元二次方程,甲、乙
两同学有不同意见:
甲同学认为:原方程中二次项系数与m有关,可能为零,所以不能确定这
个方程就是一元二次方程;
乙同学认为:原方程中二次项系数m2-8m+19肯定不会等于零,所以可以
确定这个方程一定是一元二次方程.
你认为甲、乙两同学的意见,谁正确?证明你的结论.
解析????乙同学的意见正确.
证明:因为m2-8m+19=m2-8m+16+3=(m-4)2+3≠0,
所以可以确定这个方程一定是一元二次方程,故乙同学的意见正确.
