2 用配方法求解一元二次方程
第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2018广东汕头潮阳期末)方程x2=4的解是( )
A.x=2 B.x=-2 C.x1=1,x2=4 D.x1=2,x2=-2
2.(2018贵州遵义期末)一元二次方程(x+2 017)2=1的解为( )
A.-2 016,-2 018 B.-2 016 C.-2 018 D.-2 017
3.关于x的方程(x+1)2-m=0(其中m>0)的解为( )
A.x=-1+m B.x=-1+ C.x=-1±m D.x=-1±
4.若方程(x-1)2=m有解,则m的取值范围是( )
A.m≤0 B.m≥0 C.m<0 D.m>0
5.一元二次方程(x-2)2=9的两个根分别是( )
A.x1=1,x2=-5 B.x1=-1,x2=-5 C.x1=1,x2=5 D.x1=-1,x2=5
6.(2018四川内江期末)用配方法解方程x2-4x-3=0,下列配方结果正确的是( )
A.(x-4)2=19 B.(x-2)2=7 C.(x+2)2=7 D.(x+4)2=19
7.下列方程配方正确的是( )
A.x2-2x-1=(x-1)2-1 B.x2-4x+1=(x-2)2-4
C.y2-2y-2=(y-1)2+1 D.y2-6y+1=(y-3)2-8
8.对于任意实数x,多项式x2-5x+8的值是一个( )
A.非负数 B.正数 C.负数 D.无法确定
9.一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为( )
A.(x-4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x+4)2=17 D.(x-4)2=17或(x+4)2=17
二、填空题
10.将一元二次方程x2+2x-1=0化成(x+a)2=b的形式,其中a,b是常数,则a= ,b= .?
三、解答题
11.解下列方程:
(1)(x-3)2=16;
(2)2(x+1)2=;
(3)(6x-1)2-25=0.
12.用配方法解方程:
(1)x(x+8)=16;
(2)x2-6x-6=0.
2 用配方法求解一元二次方程(答案版）
第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2018广东汕头潮阳期末)方程x2=4的解是( )
A.x=2 B.x=-2 C.x1=1,x2=4 D.x1=2,x2=-2
答案 D ∵x2=4,∴x1=2,x2=-2.故选D.
2.(2018贵州遵义期末)一元二次方程(x+2 017)2=1的解为( )
A.-2 016,-2 018 B.-2 016 C.-2 018 D.-2 017
答案 A 根据题意,得x+2 017=±1,所以x1=-2 018,x2=-2 016.故选A.
3.关于x的方程(x+1)2-m=0(其中m>0)的解为( )
A.x=-1+m B.x=-1+ C.x=-1±m D.x=-1±
答案 D 移项,得(x+1)2=m,开平方,得x+1=±,解得x=-1±.故选D.
4.若方程(x-1)2=m有解,则m的取值范围是( )
A.m≤0 B.m≥0 C.m<0 D.m>0
答案 B 根据题意得m≥0时,方程有解.故选B.
5.一元二次方程(x-2)2=9的两个根分别是( )
A.x1=1,x2=-5 B.x1=-1,x2=-5 C.x1=1,x2=5 D.x1=-1,x2=5
答案 D (x-2)2=9,两边直接开平方,得x-2=±3,则x-2=3或x-2=-3,解得x1=-1,x2=5.故选D.
6.(2018四川内江期末)用配方法解方程x2-4x-3=0,下列配方结果正确的是( )
A.(x-4)2=19 B.(x-2)2=7 C.(x+2)2=7 D.(x+4)2=19
答案 B x2-4x-3=0,∴x2-4x=3,∴x2-4x+4=3+4,即(x-2)2=7.故选B.
7.下列方程配方正确的是( )
A.x2-2x-1=(x-1)2-1 B.x2-4x+1=(x-2)2-4
C.y2-2y-2=(y-1)2+1 D.y2-6y+1=(y-3)2-8
答案 D A.x2-2x-1=(x-1)2-2,故错误;B.x2-4x+1=(x-2)2-3,故错误;
C.y2-2y-2=(y-1)2-3,故错误;D.y2-6y+1=(y-3)2-8=0,故正确.故选D.
8.对于任意实数x,多项式x2-5x+8的值是一个( )
A.非负数 B.正数 C.负数 D.无法确定
答案 B 因为x2-5x+8=x2-5x++=+,且任意实数的平方都是非负数,其最小值是0,
所以+的最小值是,故多项式x2-5x+8的值是一个正数,故选B.
9.一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为( )
A.(x-4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x+4)2=17 D.(x-4)2=17或(x+4)2=17
答案 D ∵方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,即x2-2qx+q2-15=0,∴-p=-2q,q2-15=1,解得q=4,p=8或q=-4,p=-8.当p=8时,方程为x2-8x-1=0,配方后为(x-4)2=17;当p=-8时,方程为x2+8x-1=0,配方后为(x+4)2=17.故选D.
二、填空题
10.将一元二次方程x2+2x-1=0化成(x+a)2=b的形式,其中a,b是常数,则a= ,b= .?
答案 1;2
解析 方程x2+2x-1=0,变形得x2+2x=1,配方得x2+2x+1=2,即(x+1)2=2,则a=1,b=2.
故答案为1;2.
三、解答题
11.解下列方程:
(1)(x-3)2=16;
(2)2(x+1)2=;
(3)(6x-1)2-25=0.
解析 (1)直接开平方,得x-3=±4,∴x1=7,x2=-1.
(2)方程两边同时除以2,得(x+1)2=,
直接开平方,得x+1=±1.5,
∴x1=0.5,x2=-2.5.
(3)(6x-1)2-25=0,
则(6x-1)2=25,
直接开平方,得6x-1=±5,
∴x1=1,x2=-.
12.用配方法解方程:
(1)x(x+8)=16;
(2)x2-6x-6=0.
解析 (1)去括号,得x2+8x=16,配方,得x2+8x+42=16+42,即(x+4)2=32.
∴x+4=±4,∴x1=4-4,x2=-4-4.
(2)移项,得x2-6x=6,配方,得x2-6x+9=6+9,即(x-3)2=15,
∴x-3=±,∴x1=3+,x2=3-.
2
第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
测试时间:25分钟
一、选择题
1.把方程2x2-3x-2=0配方成(x+m)2=n的形式,则m,n的值分别是( )
A.m=-,n= B.m=-,n= C.m=-,n= D.m=-,n=
2.用配方法解一元二次方程2x2-6x+1=0,则方程配方后可化为( )
A.= B.2= C.= D.2=
3.(2017天津六十三中模拟)用配方法解下列方程时,配方有误的是( )
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为= D.3x2-4x-2=0化为=
二、填空题
4.方程4x2-4x+1=0的解为 .?
5.把一元二次方程2x2-x-1=0配方成a(x-h)2+k=0的形式(a,h,k均为常数),则h和k的值分别为 .?
6.若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)2+q=0的形式,则直线y=px+q不经过的象限是 .?
7.用配方法解方程2x2-4x-1=0.
①方程两边同时除以2,得 ;?
②移项,得 ;?
③配方,得 ;?
④方程两边开平方,得 ;?
⑤解得x1= ,x2= .?
8.用配方法解方程2x2-3x-5=0,配方后可得方程为 .?
三、解答题
9.用配方法解下列方程:
(1)3x2-1=4x;
(2)2x2-4x+1=0;
(3)3x2-6x+1=0;
(4)3x2-5x-2=0.
10.如图,已知矩形ABCD的周长为16,四个正方形的面积和为68,求矩形ABCD的面积.
第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程（答案版）
测试时间:25分钟
一、选择题
1.把方程2x2-3x-2=0配方成(x+m)2=n的形式,则m,n的值分别是( )
A.m=-,n= B.m=-,n= C.m=-,n= D.m=-,n=
答案 A 将方程整理得x2-x=1,配方得x2-x+=,即=,则m=-,n=,故选A.
2.用配方法解一元二次方程2x2-6x+1=0,则方程配方后可化为( )
A.= B.2= C.= D.2=
答案 A ∵2x2-6x+1=0,∴2x2-6x=-1,则x2-3x=-,∴x2-3x+=-+,即=,故选A.
3.(2017天津六十三中模拟)用配方法解下列方程时,配方有误的是( )
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为= D.3x2-4x-2=0化为=
答案 B A.∵x2-2x-99=0,∴x2-2x=99,∴x2-2x+1=99+1,∴(x-1)2=100,故A选项配方正确.
B.∵x2+8x+9=0,∴x2+8x=-9,∴x2+8x+16=-9+16,∴(x+4)2=7,故B选项配方错误.
C.∵2t2-7t-4=0,∴2t2-7t=4,∴t2-t=2,∴t2-t+=2+,∴=,故C选项配方正确.
D.∵3x2-4x-2=0,∴3x2-4x=2,∴x2-x=,∴x2-x+=+,∴=.故D选项配方正确.
故选B.
二、填空题
4.方程4x2-4x+1=0的解为 .?
答案 x1=x2=
解析 ∵4x2-4x+1=0,∴(2x-1)2=0,则2x-1=0,解得x1=x2=,故答案为x1=x2=.
5.把一元二次方程2x2-x-1=0配方成a(x-h)2+k=0的形式(a,h,k均为常数),则h和k的值分别为 .?
答案 ,-
解析 2x2-x-1=0,2=0,2=0,2-=0.∴h=,k=-.故答案是,-.
6.若方程2x2+8x-32=0能配方成(x+p)2+q=0的形式,则直线y=px+q不经过的象限是 .?
答案 第二象限
解析 整理,得x2+4x=16,
配方,得x2+4x+4=20,
即(x+2)2-20=0,
所以p=2,q=-20,
则直线解析式为y=2x-20,此直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限.故答案为第二象限.
7.用配方法解方程2x2-4x-1=0.
①方程两边同时除以2,得 ;?
②移项,得 ;?
③配方,得 ;?
④方程两边开平方,得 ;?
⑤解得x1= ,x2= .?
答案 ①x2-2x-=0 ②x2-2x= ③(x-1)2= ④x-1=± ⑤1+;1-
8.用配方法解方程2x2-3x-5=0,配方后可得方程为 .?
答案 =
解析 移项,得2x2-3x=5,把二次项系数化为1,得x2-x=,
方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得x2-x+=+,
∴=.
三、解答题
9.用配方法解下列方程:
(1)3x2-1=4x;
(2)2x2-4x+1=0;
(3)3x2-6x+1=0;
(4)3x2-5x-2=0.
解析 (1)由原方程得3x2-4x=1,
3=1,
3=1,
3-=1,
3=,
=,
x-=±,
∴x1=,x2=.
(2)由原方程得x2-2x=-,
配方,得x2-2x+1=,即(x-1)2=,
直接开平方,得x-1=±,∴x1=1-,x2=1+.
(3)移项,得3x2-6x=-1,即x2-2x=-,
配方,得(x-1)2=,
直接开平方,得x-1=±,
∴x1=1-,x2=1+.
(4)3x2-5x-2=0,
3x2-5x=2,
x2-x=,
x2-x+=+,
=,
x-=±,
∴x1=-,x2=2.
10.如图,已知矩形ABCD的周长为16,四个正方形的面积和为68,求矩形ABCD的面积.
解析 设矩形的长AB为x,则宽AD为(8-x),由题意得
2x2+2(8-x)2=68,
2x2+2(64-16x+x2)=68,
2x2+128-32x+2x2=68,
∴4x2-32x=-60,∴x2-8x=-15,
∴x2-8x+16=-15+16,即(x-4)2=1,
∴x-4=±1,∴x1=5,x2=3.
所以矩形ABCD的长和宽分别等于5和3,所以矩形ABCD的面积是15.
4
第二章 一元二次方程
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点一????用直接开平方法解一元二次方程
例1 解下列方程:
(1)x2=169;(2)3x2-27=0;(3)?x2=3;(4)(2x-1)2=81.
分析 根据直接开平方法的一般解题步骤进行求解即可.
解析????(1)开平方,得x=±13.∴x1=13,x2=-13.
(2)移项,得3x2=27.两边同时除以3,得x2=9.
开平方,得x=±3,∴x1=3,x2=-3.
(3)两边同时乘2,得x2=6.开平方,得x=±?.
∴x1=?,x2=-?.
(4)开平方,得2x-1=±9,
即2x-1=9或2x-1=-9,
∴x1=5,x2=-4.
方法归纳 方程(1)可直接开平方,方程(2)(3)应先变形为(1)的形式再开
平方,方程(4)要把(2x-1)看作一个整体.
知识点二????用配方法解一元二次方程
例2 用配方法解下列方程:
(1)x2-4x+2=0;
(2)6x2-x-12=0;
(3)(x+2)2-2(x+2)=15.
分析(1)(2)可直接根据配方法的步骤解方程;(3)可以将(x+2)看成一个整
体,按照配方法的步骤解方程.
解析????(1)配方,得x2-4x+(-2)2=-2+(-2)2,即(x-2)2=2,∴x-2=±?.∴x1=?+2,
x2=-?+2.
(2)系数化为1,得x2-?x-2=0.移项,得x2-?x=2.配方,得x2-?x+?=2+
?,即?=?,
∴x-?=±?.∴x1=?,x2=-?.
(3)配方,得(x+2)2-2(x+2)+1=16,即(x+2-1)2=16,得x+1=±4.∴x1=3,x2=-5.
归纳总结 方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键,
将二次项系数化为1是进行这一关键步骤的重要前提.
经典例题全解
题型一????用直接开平方法或配方法解一元二次方程
例1 解下列方程:
(1)8(2-x)2-6=0;(2)9x2+6x+1=8;(3)3x2+2x-3=0.
解析????(1)原方程可变形为(2-x)2=?,
直接开平方,得2-x=±?,
∴2-x=?或2-x=-?,
∴x1=2-?,x2=2+?.
(2)原方程可变形为(3x+1)2=8,
直接开平方,得3x+1=±2?,
∴3x+1=2?或3x+1=-2?,
∴x1=?,x2=?.
(3)移项,得3x2+2x=3,
系数化为1,得x2+?x=1,
配方,得x2+?x+?=1+?,即?=?,
直接开平方,得x+?=±?,
∴x+?=?或x+?=-?,
∴x1=?,x2=?.
点拨????x1,x2表示方程的两个实根,其下标与根的大小无关.注意当方程配
成x2=a或(mx-n)2=p(m≠0)时,若方程等号右边的常数为非负数,则方程有
解;若方程等号右边的常数为负数,则方程无实数解.用配方法解一元二
次方程的口诀:左“未”右“已”先分离,“二系”化“1”是其次,
“一系”折半再平方,两边同加没问题,左“分解”来右“合并”,直接开方
易得解.
题型二????用配方法求二次三项式的最值
例2 求证:代数式x2-6x+12的最小值为3.
分析将代数式配方成(x±a)2+b的形式,再根据完全平方式的非负性,即(x
±a)2≥0,即可证明(x±a)2+b≥b.
证明????x2-6x+12=x2-6x+9-9+12=(x-3)2+3,因为(x-3)2≥0,所以(x-3)2+3≥3,
所以代数式x2-6x+12的值不小于3,即x2-6x+12的最小值为3.
点拨 将x2-6x加上一次项系数一半的平方,即9,就会变成完全平方式.当
然要注意这里不是方程,所以在加上9之后必须减去9,保证多项式本身
的值不变.
题型三????应用配方法结合非负数的性质求代数式的值
例3 若x2-4x+y2+6y+?+13=0,求(xy)z的值.
分析 原式有三个未知数,只能寻找特殊方法求解.注意到含有x的两项与
含有y的两项可分别配成完全平方式,故可从这里找到突破口.
解析????将x2-4x+y2+6y+?+13=0化为(x2-4x+4)+(y2+6y+9)+?=0,即
(x-2)2+(y+3)2+?=0.根据非负数的性质知x=2,y=-3,z=2,∴(xy)z=[2×(-3)]2=36.
点拨 这里将13拆成4与9的和,分别与其他项配成了完全平方式,从而
可以利用非负数的性质求值.
知识点一????用直接开平方法解一元二次方程
1.用直接开平方法解方程(5x+6)2=9,下列结论正确的是?( )
A.5x+6=3 ????B.5x+6=-3
C.5x+6=9或5x+6=-9 ????D.5x+6=3或5x+6=-3
答案????D (5x+6)2=9两边同时开平方,得5x+6=?或5x+6=-?,即5x+6=3
或5x+6=-3,故选D.
2.(2018广西柳州中考)一元二次方程x2-9=0的解是 ????.
答案????x1=3,x2=-3
解析????∵x2-9=0,∴x2=9,∴x1=3,x2=-3.
知识点二????用配方法解一元二次方程
3.(2017浙江舟山中考)用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是
?( )
A.(x+2)2=2 ????B.(x+1)2=2
C.(x+2)2=3 ????D.(x+1)2=3
答案????B 根据完全平方公式可配方,x2+2x+1-2=0,整理得(x+1)2=2.
4.(2017台湾省中考)一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48+b的形
式,其中a、b为整数,则a+b之值为?( )
A.20 ????B.12 ????C.-12 ????D.-20
答案????A????x2-8x=48,x2-8x+16=48+16,(x-4)2=48+16,∴a=4,b=16,
∴a+b=20.故选A.
5.填空:(1)x2+10x+ ????=(x+ ????)2;
(2)x2+( ????)x+36=[x+( ????)]2;
(3)x2-4x-5=(x- ????)2- ????.
答案 (1)25;5 (2)±12;±6 (3)2;9
6.(2016湖北荆州中考)将二次三项式x2+4x+5化成(x+p)2+q的形式应为???? ????.
答案 (x+2)2+1
解析????x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1.
7.用配方法解下列方程:
(1)x2+4x=0;
(2)x2-2x-2=0;
(3)2x2-3x-6=0;
(4)?x2+?x-2=0.
解析????(1)配方得(x+2)2=4,所以x+2=±2,所以x1=0,x2=-4.
(2)移项得x2-2x=2,配方得(x-1)2=3,所以x-1=±?,所以x1=?+1,x2=-?+1.
(3)系数化为1得x2-?x-3=0,配方得?=?,所以x-?=±?,所以x1=
?,x2=?.
(4)系数化为1得x2+?x-3=0,配方得?=?,所以x+?=±?,所以x1=?,x2
=-2.
1.(2015甘肃兰州中考)一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为?( )
A.(x+4)2=17 ????B.(x+4)2=15
C.(x-4)2=17 ????D.(x-4)2=15
答案????C 变形得x2-8x=1,x2-8x+16=1+16,(x-4)2=17,故选C.
2.下列配方有错误的是?( )
A.x2-2x-1=0化为(x-1)2=2
B.x2+6x+8=0化为(x+3)2=1
C.2x2-7x-6=0化为?=?
D.3x2-4x-2=0化为(3x-2)2=6
答案????D 3x2-4x-2=0,x2-?x=?,x2-?x+?=?+?,?=?,故选
D.
3.把方程x2+4x+1=0配方成(x+p)2+q=0的形式后,p2+q2的值是?( )
A.41 ????B.14 ????C.13 ????D.7
答案????C ∵x2+4x+1=0可以配方成(x+2)2-3=0的形式,∴p=2,q=-3.∴p2+
q2=22+(-3)2=13.
4.若方程x2+px+q=0可化为?=?的形式,则pq= ????.
答案 -?
解析?????=x2+x+?=?,则x2+x-?=0,则p=1,q=-?,则pq=-?.
5.若3?y2与-x4m-2y2是同类项,则m= ????.
答案 2或?
解析????由题意得2m2-m=4m-2,移项、合并同类项,得2m2-5m=-2,二次项系
数化为1,得m2-?m=-1,配方,得m2-?m+?=-1+?,?=?,∴m-
?=±?,∴m1=2,m2=?.
6.用配方法解下列方程:
(1)x2+7x-3=0;
(2)6x2-11x+4=0;
(3)x2-2?x-3=0;
(4)x2+?x-?=0;
(5)x2+2ax+a2-b2=0;
(6)(x+1)2-10(x+1)+9=0.
解析????(1)x2+7x=3,x2+7x+?=3+?,?=?,x+?=±?,∴x1=
?,x2=?.
(2)6x2-11x=-4,x2-?x=-?,
x2-?x+?=-?+?,?=?,
x-?=±?,∴x1=?,x2=?.
(3)x2-2?x=3,x2-2?x+(-?)2=3+(-?)2,
(x-?)2=5,x-?=±?,
∴x1=?+?,x2=-?+?.
(4)x2+?x=?,x2+?x+?=?+?,?=?,x+?=±?,
∴x1=?,x2=-?.
(5)x2+2ax+a2=b2,(x+a)2=b2,x+a=±b,
∴x1=b-a,x2=-b-a.
(6)令x+1=t,
则原式可变形为t2-10t+9=0,t2-10t=-9,t2-10t+52=-9+52,(t-5)2=16,t-5=±4.
∴t=1或t=9,即x+1=1或x+1=9,
∴x1=0,x2=8.
1.图2-2-1是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为?( )
输入x→(x-1)2→×(-3)→输出-27
图2-2-1
A.3或-3 ????B.4或-2 ????C.1或3 ????D.27
答案????B 根据题意得(x-1)2×(-3)=-27,化简得(x-1)2=9,∴x-1=±3,解得x=4
或x=-2.故选B.
2.若x2-4x+y2+6y+13=0,则yx= ????.
答案 9
解析????由原式得x2-4x+4+y2+6y+9=0,即(x-2)2+(y+3)2=0,可得x-2=0,且y+3
=0,∴x=2,y=-3,∴yx=(-3)2=9.
3.小明用直接降次法解方程(x-4)2=(5-2x)2时,得出一元一次方程x-4=5-
2x,则他漏掉的另一个方程为 ????.
答案????x-4=-(5-2x)
解析????由平方根的意义得x-4=±(5-2x),即x-4=5-2x或x-4=-(5-2x).故填x-4
=-(5-2x).
4.(2017福建福州马尾期末,23,★★★)利用完全平方公式可以将多项式
ax2+bx+c(a≠0)变形为a(x+m)2+n的形式,我们把这样的变形方法叫做多
项式的配方法.
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.
例如:x2+11x+24=x2+11x+?-?+24=?-?
=?
=(x+8)(x+3).
根据以上材料,解答下列问题:
(1)用配方法将多项式x2-3x-10化成(x+m)2+n的形式;
(2)用配方法及平方差公式对多项式x2-3x-10进行因式分解;
(3)求证:无论x,y取何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总为正数.
解析????(1)x2-3x-10=x2-3x+?-?-10
=?-?.
(2)x2-3x-10=?-?=?-?
=??=(x+2)(x-5).
(3)证明:x2+y2-2x-4y+16=(x2-2x+1)+(y2-4y+4)+11
=(x-1)2+(y-2)2+11≥11,
故无论x,y取何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总为正数.
1.对于代数式-x2+4x-5,通过配方能说明它的值一定是?( )
A.非正数 ????B.非负数 ????C.正数 ????D.负数
答案????D -x2+4x-5=-(x2-4x)-5=-(x-2)2-1,∵-(x-2)2≤0,∴-(x-2)2-1<0,故
选D.
2.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配
方成下列的?( )
A.(x-p)2=5 ????B.(x-p+2)2=5
C.(x-p+2)2=9 ????D.(x-p)2=9
答案????D ∵x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,即(x-p)2-7=0,∴x2-6x+
q=(x-p)2-7,∴x2-6x+q=2可配方成(x-p)2-7=2,即(x-p)2=9.故选D.
3.(2019陕西西安碑林月考)已知关于x的一元二次方程m(x-h)2-k=0
(m、h、k均为常数且m≠0)的解是x1=2,x2=5,则关于x的一元二次方程
m(x-h+3)2=k的解是?( )
A.x1=2,x2=3 ????B.x1=2,x2=5
C.x1=1,x2=0 ????D.x1=-1,x2=2
答案????D ∵方程m(x-h)2-k=0(m、h、k均为常数且m≠0)的解是x1=2,x2=5,
∴关于(x+3)的一元二次方程m[(x+3)-h]2=k的解为2或5,
即x+3=2或x+3=5,即x1=-1,x2=2,
∴关于x的一元二次方程m(x-h+3)2=k的解是x1=-1,x2=2.
4.某养牛场的一边靠墙,墙长25 m,另三边用木栏围成,现有材料可制作
木栏40 m.
(1)养牛场的面积能达到200 m2吗?若能,请求出养牛场的长和宽,若不能,
请说明理由;
(2)能围成面积为250 m2的养牛场吗?请说明理由.
解析????设平行于墙的木栏的长为x m,则垂直于墙的木栏的长为?
m.
(1)能.理由:若养牛场的面积为200 m2,则x·?=200,解得x1=x2=20,
则 =10.
∴养牛场的面积能达到200 m2,此时养牛场的长为20 m,宽为10 m.
(2)不能.理由:若养牛场的面积为250 m2,则有x·?=250,整理得
(x-20)2=-100,方程无解,∴不能围成面积为250 m2的养牛场.
1.(2019山西太原期中,7,★☆☆)用配方法解方程x2-8x+5=0,将其化为(x+
a)2=b的形式,正确的是?( )
A.(x+4)2=11 ????B.(x+4)2=21
C.(x-8)2=11 ????D.(x-4)2=11
答案????D????x2-8x+5=0?x2-8x+16=11?(x-4)2=11.
2.(2017海南东方思源中学期中,8,★★☆)用配方法解方程x2-8x+15=0的
过程中,配方正确的是?( )
A.x2-8x+(-4)2=1 ????B.x2-8x+(-4)2=31
C.(x+4)2=1 ????D.(x-4)2=-11
答案????A 选项A中,由原方程得x2-8x=-15,配方得x2-8x+(-4)2=-15+(-4)2=
1,正确;选项B中,右边应为-15+(-4)2=1,错误;选项C中,方程展开后左边的
一次项为8x,与原方程不符,错误;选项D中,右边应为-15+(-4)2=1,错误.故
选A.
3.(2019江苏南京二十九中月考,11,★★☆)如果方程(x-5)2=m-7可以用直
接开平方法求解,则m的取值范围是 ????.
答案????m≥7
解析????∵方程(x-5)2=m-7可以用直接开平方法求解,
∴m-7≥0,解得m≥7.
4.解下列方程:
(1)(2019河南洛阳月考,16(1),★★☆)(x-3)2-9=0(用配方法);
(2)(2019山东青岛城阳九中月考,11(2),★★☆)4x2-8x-3=0(用配方法);
(3)(2019江苏南京二十九中月考,17(2),★★☆)x2+3x-4=0(用配方法).
解析????(1)(x-3)2-9=0,∴(x-3)2=9,
∴x-3=±3,∴x1=0,x2=6.
(2)∵4x2-8x-3=0,∴4x2-8x=3,∴x2-2x=?,
则x2-2x+1=?+1,即(x-1)2=?,
∴x-1=±?,∴x=1±?,∴x1=?,x2=?.
(3)x2+3x-4=0,∴x2+3x=4,
∴x2+3x+?=4+?,∴?=?,
∴x+?=±?,∴x1=1,x2=-4.
5.(2019山东青岛城阳九中月考,14,★★☆)用配方法证明:无论x取何值
时,代数式2x2-4x+6的值恒大于零.
证明 2x2-4x+6=2(x2-2x+1)+4=2(x-1)2+4,
∵2(x-1)2为非负数,∴2(x-1)2+4为正数,
∴无论x取何值时,代数式2x2-4x+6的值恒大于零.
1.(2017山东潍坊诸城期中,3,★★☆)若一元二次方程x2+bx+5=0配方后
为(x-3)2=k,则b,k的值分别为?( )
A.0,4 ????B.0,5 ????C.-6,5 ????D.-6,4
答案????D 把x2+bx+5=0配方得?=?-5,所以?=-3,k=?-5,所以
b=-6,k=4,故选D.
2.(2017山东济南长清五中月考,3,★★☆)用配方法解下列方程,其中应
在左右两边同时加上4的是?( )
A.x2-2x=5 ????B.x2-8x=4
C.x2-4x-3=0 ????D.x2+2x=5
答案????C 选项A中,x2-2x+1=5+1,不符合题意;选项B中,x2-8x+16=4+16,
不符合题意;选项C中,x2-4x=3,x2-4x+4=3+4,符合题意;选项D中,x2+2x+1=
5+1,不符合题意.故选C.
3.(2017江西抚州崇仁一中期中,8,★☆☆)把方程x2+4x+1=0配方成(x+m) 2=n的形式,配方后所得方程是 ????.
答案 (x+2)2=3
解析????移项得x2+4x=-1,配方得x2+4x+4=3,即(x+2)2=3.
4.(2017甘肃兰州西固桃园中学期中,22,★★☆)用配方法解方程:
(x+3)(x-1)=12.(5分)
解析????将原方程整理,得x2+2x=15,两边都加上12,得x2+2x+12=15+12,即(x+
1)2=16,开平方,得x+1=±4,即x+1=4或x+1=-4,∴x1=3,x2=-5.
1.(2018山东临沂中考,4,★★☆)一元二次方程y2-y-? =0配方后可化为?
( )
A.?=1 ????B.?=1
C.?=? ????D.?=?
答案????B????y2-y-?=0,y2-y=?,y2-y+?=1,?=1.故选B.
2.(2016吉林中考,9,★★☆)若x2-4x+5=(x-2)2+m,则m= ????.
答案 1
解析????x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1=(x-2)2+m,则m=1.
3.解方程:
(1)(2016安徽中考,16,★★☆)x2-2x=4;(8分)
(2)(2016山东淄博中考,19,★☆☆)x2+4x-1=0.(5分)
解析????(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,所以x-1=±?,所以
原方程的解是x1=1+?,x2=1-?.
(2)∵x2+4x-1=0,∴x2+4x=1,
∴x2+4x+4=1+4,∴(x+2)2=5,
∴x+2=±?,∴x1=-2+?,x2=-2-?.
1.(2017浙江嘉兴中考,8,★☆☆)用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果
正确的是?( )
A.(x+2)2=2 ????B.(x+1)2=2
C.(x+2)2=3 ????D.(x+1)2=3
答案????B 移项得x2+2x=1,配方得x2+2x+1=1+1,即(x+1)2=2.
2.(2014山东枣庄中考,10,★★☆)x1,x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个
解,且x1A.x1小于-1,x2大于3
B.x1小于-2,x2大于3
C.x1,x2在-1和3之间
D.x1,x2都小于3
答案????A 由方程3(x-1)2=15得(x-1)2=5,∴x-1=±?,∵x1,x2是一元二次方
程3(x-1)2=15的两个解,且x13,x1=1-?<-1.故选A.
1.(2015湖南湘潭中考)阅读材料:用配方法求最值.
已知x,y为非负实数,
∵x+y-2?=(?)2+(?)2-2?·?=(?-?)2≥0,
∴x+y≥2?,当且仅当“x=y”时,等号成立.
示例:当x>0时,求y=x+?+4的最小值.
解:y=?+4≥2?+4=6,当x=?,即x=1时,y的最小值为6.
(1)尝试:当x>0时,求y=?的最小值;
(2)问题解决:随着人们生活水平的快速提高,小轿车已成为越来越多家
庭的交通工具,假设某种小轿车的购车费用为10万元,每年应缴保险费
等各类费用共计0.4万元,n年的保养、维护费用总和为? 万元.问这
种小轿车使用多少年报废最合算? ?即使用多少年的年平均费用最少,年
平均费用=??年平均费用最少为多少万元?
解析????(1)y=?=x+?+1≥2?+1=3,
∴当x=?,即x=1时,y的最小值为3.
(2)年平均费用=?÷n=?+?+?≥
2?+?=2+0.5=2.5(万元),
∴当?=?,即n=10时,年平均费用最少为2.5万元.
2.(1)用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0(x>0).配方的过程可以用拼图
表示.把方程x2+2x-24=0变形为x2+2x=24,即x(x+2)=24.配方的过程可以看
成是将一个长为x+2,宽为x,面积为24的矩形割补成一个正方形.请在图2
-2-2①中的“?”处补全“拼成一个正方形”过程的图;
(2)现有长为x+b,宽为x,面积为c的矩形(x>0,b>0,c>0,b、c为常数),如图2-
2-2②,你能利用四个这样相同的矩形构造1个图形,并利用你的拼图描
述方程x2+bx=c的求解过程吗?请画图并说明.
?
图2-2-2
解析????(1)
?
(2)画四个长为x+b,宽为x的矩形,构造的图形如图,则图中的大正方形的
面积可以有两种不同的表示方式:(x+x+b)2或四个长为x+b,宽为x的矩形
面积之和,加上中间边长为b的小正方形的面积,即(x+x+b)2=4x(x+b)+b2.
?
∵x(x+b)=c,∴(x+x+b)2=4c+b2,
∴(2x+b)2=4c+b2.
∵x>0,b>0,c>0,∴x=?.
1.阅读材料:把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方
式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即a2±
2ab+b2=(a±b)2.
例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,?+?x2是x2-2x+4的三种不同形式的配方,
即“余项”分别是常数项、一次项、二次项.
请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出x2-4x+2的三种不同形式的配方;
(2)将a2+ab+b2配方(至少两种形式);
(3)已知a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.
解析????(1)x2-4x+2=(x-2)2-2=(x-?)2-4x+2?x=2(x-1)2-x2.
(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=?+?b2=?+?a2.
(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=?+?(b-2)2+(c-1)2=0,所以a-?b=0,b-2=0,c-
1=0,
所以a=1,b=2,c=1.所以a+b+c=4.
2.阅读材料:为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1看作一个整体,
然后设x2-1=y①,那么原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-
1=1,∴x2=2,∴x=±?;当y=4时,x2-1=4,∴x2=5,∴x=±?,故原方程的解为x1
=?,x2=-?,x3=?,x4=-?.
解答问题:
(1)上述解题,在由原方程得到方程①的过程中,利用 ????法达到了
解方程的目的,体现了转化的数学思想;
(2)请利用以上知识解方程x4-x2-6=0.
解析????(1)换元.
(2)设x2=y,则原方程可化为y2-y-6=0,
解得y1=3,y2=-2.
当y=3时,x2=3,∴x=±?;
当y=-2时,x2=-2(无意义,舍去).
∴原方程的解为x1=?,x2=-?.
