3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2017天津红桥复兴中学模拟)用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a、b、c的值,下列叙述正确的是( )
A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3
2.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是( )
A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2+2x+4=0 D.x2-x-3=0
3.(2018四川泸州泸县一模)关于x的方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥0 B.k>0 C.k≥-1 D.k>-1
4.若关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=mx+m的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二、填空题
5.一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5 实数根.(填“有”或“没有”)?
6.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .?
7.方程2x2-2x-1=0的解是 .?
三、解答题
8.用公式法解下列方程:
(1)x2-3x+2=0;
(2)2x2+7x=4;
(3)x2-2x+2=0.
9.不解方程,判断下列方程根的情况.
(1)-x2-x=1;(2)x2=-x-.
10.关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若k为负整数,求此时方程的根.
11.关于x的方程mx2-x-m+1=0,有以下三个结论:
①当m=0时,方程只有一个实数解;
②当m≠0时,方程有两个不相等的实数解;
③无论m取何值,方程都有一个整数根.
(1)请你判断,这三个结论中正确的有 ;(填序号)?
(2)证明(1)中你认为正确的结论.
3 用公式法求解一元二次方程(答案版）
第1课时 用公式法求解一元二次方程
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2017天津红桥复兴中学模拟)用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a、b、c的值,下列叙述正确的是( )
A.a=3,b=2,c=3 B.a=-3,b=2,c=3 C.a=3,b=2,c=-3 D.a=3,b=-2,c=3
答案 D
2.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是( )
A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2+2x+4=0 D.x2-x-3=0
答案 D A.x2+1=0中Δ=02-4×1×1=-4<0,没有实数根;B.x2-2x+1=0中Δ=(-2)2-4×1×1=0,有两个相等的实数根;C.x2+2x+4=0中Δ=22-4×1×4=-12<0,没有实数根;D.x2-x-3=0中Δ=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,有两个不相等的实数根,故选D.
3.(2018四川泸州泸县一模)关于x的方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k≥0 B.k>0 C.k≥-1 D.k>-1
答案 A ∵方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,
∴k≥0,且Δ=(2)2-4×1×(-1)>0,解得k≥0,
∴k的取值范围是k≥0.故选A.
4.若关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根,则一次函数y=mx+m的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 A ∵关于x的一元二次方程mx2-2x-1=0无实数根,∴m≠0且Δ=(-2)2-4m×(-1)<0,∴m<-1,∴一次函数y=mx+m的图象经过第二、三、四象限,不经过第一象限.故选A.
二、填空题
5.一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5 实数根.(填“有”或“没有”)?
答案 有
解析 将方程(x+1)(x-3)=2x-5整理成一般形式,得x2-4x+2=0,
∵a=1,b=-4,c=2,∴Δ=(-4)2-4×1×2=8>0,∴一元二次方程有实数根.
6.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .?
答案 k>0且k≠1
解析 ∵原方程是关于x的一元二次方程,∴k-1≠0,解得k≠1,又∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=4+4(k-1)>0,解得k>0,即k的取值范围是k>0且k≠1,故答案为k>0且k≠1.
7.方程2x2-2x-1=0的解是 .?
答案 x1=,x2=
解析 方程2x2-2x-1=0的二次项系数a=2,一次项系数b=-2,常数项c=-1,Δ=(-2)2-4×2×(-1)=12>0,
∴x===,
∴x1=,x2=.
三、解答题
8.用公式法解下列方程:
(1)x2-3x+2=0;
(2)2x2+7x=4;
(3)x2-2x+2=0.
解析 (1)a=1,b=-3,c=2.
∵b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1>0,
∴x==,∴x1=2,x2=1.
(2)移项,得2x2+7x-4=0.
a=2,b=7,c=-4.
∵b2-4ac=72-4×2×(-4)=81>0,
∴x==,∴x1=,x2=-4.
(3)a=1,b=-2,c=2.
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×2=0,
∴x===,∴x1=x2=.
9.不解方程,判断下列方程根的情况.
(1)-x2-x=1;(2)x2=-x-.
解析 (1)原方程化为x2+x+1=0,Δ=12-4×1×=0,
∴方程有两个相等的实数根.
(2)原方程化为x2+x+=0,Δ=()2-4×1×=>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
10.关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)若k为负整数,求此时方程的根.
解析 (1)由题意知,Δ>0,
则(2k+1)2-4×1×(k2-1)>0,
解得k>-.
(2)∵k为负整数,∴k=-1,
则方程为x2-x=0,
解得x1=1,x2=0.
11.关于x的方程mx2-x-m+1=0,有以下三个结论:
①当m=0时,方程只有一个实数解;
②当m≠0时,方程有两个不相等的实数解;
③无论m取何值,方程都有一个整数根.
(1)请你判断,这三个结论中正确的有 ;(填序号)?
(2)证明(1)中你认为正确的结论.
解析 (1)这三个结论中正确的有①③,
故答案为①③.
(2)证明①:∵当m=0时,方程为-x+1=0,解得x=1,
∴方程只有一个实数解;
证明③:∵当m≠0时,方程为一元二次方程,
∴Δ=1-4m(-m+1)=1+4m2-4m=(2m-1)2≥0,
∴x=,
∴x1=1,x2=,
又∵当m=0时,方程的解为x=1,
∴无论m取何值,方程都有一个整数根x=1,
即③正确.
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第2课时 一元二次方程的简单应用
测试时间:20分钟
一、选择题
1.直角三角形两直角边长的和为7,面积为6,则斜边长为( )
A.5 B. C.7 D.
2.如图,从一块长方形铁片中间截去一个小长方形,使剩下部分四周的宽度都等于x cm,且小长方形的面积是原来长方形面积的一半,则x的值为( )
A.10 B.60 C.10或60 D.20或30
二、填空题
3.如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2,则道路的宽为 m.?
三、解答题
4.一个两位数等于各数位上数字之积的3倍,且十位数字比个位数字小2,求这个两位数.
5.(2017广西桂林二模)如图,矩形ABCD的长AD=5 cm,宽AB=3 cm,长和宽都增加x cm,那么面积增加y cm2.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)当增加的面积y=20 cm2时,求相应的x是多少.
6.(2019云南昆明官渡期末)某小区在绿化工程中有一块长为20 m、宽为8 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,使它们的面积之和为56 m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),求人行通道的宽度.
7.某人要扩建一个养鸡场,扩建后的养鸡场为长方形,且一边靠墙(墙长30 m),另三边用木栏围成,木栏长60 m.
(1)当扩建后的养鸡场面积为432 m2时,求它的长和宽;
(2)扩建后的养鸡场面积可以是400 m2吗?
(3)扩建后的养鸡场面积能达到500 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
第2课时 一元二次方程的简单应用(答案版）
测试时间:20分钟
一、选择题
1.直角三角形两直角边长的和为7,面积为6,则斜边长为( )
A.5 B. C.7 D.
答案 A 设直角三角形一直角边长为x,则另一直角边长为(7-x),
根据题意得x(7-x)=6,解得x=3或x=4,∴7-x=4或3,
所以斜边长为=5.故选A.
2.如图,从一块长方形铁片中间截去一个小长方形,使剩下部分四周的宽度都等于x cm,且小长方形的面积是原来长方形面积的一半,则x的值为( )
A.10 B.60 C.10或60 D.20或30
答案 A 由题意得小长方形的长为(80-2x)cm,宽为(60-2x)cm,
则小长方形的面积为(80-2x)(60-2x)cm2,
根据题意得(80-2x)(60-2x)=×80×60,
整理得x2-70x+600=0,解得x1=10,x2=60,
经检验,x=60不合题意,应舍去,所以x=10.故选A.
二、填空题
3.如图,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2,则道路的宽为 m.?
答案 1
解析 设道路的宽为x m,根据题意得32×20-32x-2×20x+2x2=570,
整理得x2-36x+35=0,解得x=1或x=35(不合题意,舍去),
故答案为1.
三、解答题
4.一个两位数等于各数位上数字之积的3倍,且十位数字比个位数字小2,求这个两位数.
解析 设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x-2),
这个两位数可表示为10(x-2)+x,
根据题意,得10(x-2)+x=3x(x-2).
整理,得3x2-17x+20=0.
解这个方程,得x1=4,x2=(不合题意,舍去).
当x=4时,x-2=2,10(x-2)+x=24.
答:这个两位数是24.
5.(2017广西桂林二模)如图,矩形ABCD的长AD=5 cm,宽AB=3 cm,长和宽都增加x cm,那么面积增加y cm2.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)当增加的面积y=20 cm2时,求相应的x是多少.
解析 (1)由题意可得(5+x)(3+x)-3×5=y,
化简得y=x2+8x.
(2)把y=20代入y=x2+8x中,得x2+8x-20=0,
解得x1=2,x2=-10(舍去),
∴x=2.
6.(2019云南昆明官渡期末)某小区在绿化工程中有一块长为20 m、宽为8 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,使它们的面积之和为56 m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),求人行通道的宽度.
解析 设人行通道的宽度为x米,根据题意得,
(20-3x)(8-2x)=56,
解得x1=2,x2=(不合题意,舍去).
答:人行通道的宽度为2米.
7.某人要扩建一个养鸡场,扩建后的养鸡场为长方形,且一边靠墙(墙长30 m),另三边用木栏围成,木栏长60 m.
(1)当扩建后的养鸡场面积为432 m2时,求它的长和宽;
(2)扩建后的养鸡场面积可以是400 m2吗?
(3)扩建后的养鸡场面积能达到500 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
解析 (1)设扩建后的养鸡场的长为x m,则宽为(60-x)m,
依题意得(60-x)x=432,解得x1=36,x2=24,所以(60-x1)=12,(60-x2)=18.
则该长方形的长为36 m,宽为12 m或该长方形的长为24 m,宽为18 m.
(2)假设扩建后的养鸡场面积可以是400 m2,依题意得(60-x)x=400,
整理得x2-60x+800=0,Δ=3 600-3 200=400>0,
则该方程有解,即扩建后的养鸡场面积可以是400 m2.
(3)假设扩建后的养鸡场面积能达到500 m2,依题意得(60-x)x=500,
整理得x2-60x+1 000=0,Δ=3 600-4 000=-400<0,
则该方程无解,即扩建后的养鸡场面积不能达到500 m2.
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第二章 一元二次方程
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点一????用公式法求解一元二次方程
求根公式 一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x=?,这个公式叫做一元二次方程的求根公式
公式法 把一元二次方程的各系数代入求根公式,直接求出方程的解,这种解一
元二次方程的方法叫做公式法
步骤 (1)把方程化为一般形式;
(2)确定a、b、c的值;
(3)计算b2-4ac的值;
(4)当b2-4ac≥0时,把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式,求得
方程的根;当b2-4ac<0时,方程没有实数根
例1 用公式法解下列方程:
(1)(3x+2)(x+3)=x+14;
(2)5x2+1=-7x.
解析????(1)(3x+2)(x+3)=x+14可化为3x2+10x-8=0.
这里a=3,b=10,c=-8.
∵b2-4ac=102-4×3×(-8)=196>0,
∴x=?=?,即x1=?,x2=-4.
(2)5x2+1=-7x可化为5x2+7x+1=0,
这里a=5,b=7,c=1.
∵b2-4ac=72-4×5×1=29>0,∴x=?,
即x1=?,x2=?.
温馨提示 用公式法解一元二次方程时,要注意两点:(1)一定要把方程
化为一般形式;(2)一定要计算b2-4ac的值,且b2-4ac的值大于或等于0时,
才能代入求根公式求解.
根的判别式 一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判别式,通常用符号“Δ”来表示,即Δ=b2-4ac
根的情况与判别式的关系???? Δ>0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数
根,即x=?
Δ=0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根, 即x1=x2=-?
Δ<0 方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根
重点解读 (1)应用根的判别式时,要将一元二次方程化为一般形式,并准确确定a、b、c的值;
(2)一元二次方程有实数根包含两种情形:方程有两个相等的实数根和方程有两个不相等的实数根;
(3)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当a、c异号时,方程一定有两个不相等的实数根;当c=0时,方程一定有一个根为0
知识点二????一元二次方程根的判别式
根的判别式的应用 (1)不解方程直接判断一元二次方程根的情况;
(2)已知一元二次方程根的情况,用根的判别式求方程中未知字母的值或取值范围
例2 不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)2x2+3x-4=0;(2)16y2+9=24y;(3)5(x2+1)-7x=0.
分析 先化成一元二次方程的一般形式,求出根的判别式Δ=b2-4ac,然后判
断是否有实数根.
解析????(1)2x2+3x-4=0,
Δ=b2-4ac=9+32=41>0,
故方程有两个不相等的实数根.
(2)16y2+9=24y,16y2-24y+9=0,
Δ=b2-4ac=576-4×16×9=0,
故方程有两个相等的实数根.
(3)5(x2+1)-7x=0,5x2-7x+5=0,
Δ=b2-4ac=49-4×5×5=-51<0,
故方程没有实数根.
题型一????利用b2-4ac由根的个数确定字母的值或范围
例1 已知关于x的一元二次方程2x2-4x+k=0.
(1)当k ????时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当k ????时,方程有两个相等的实数根;
(3)当k ????时,方程没有实数根.
解析????(1)当方程有两个不相等的实数根时,b2-4ac>0,即(-4)2-4×2k>0,∴k<2.
(2)当方程有两个相等的实数根时,b2-4ac=0,
即(-4)2-4×2k=0,∴k=2.
(3)当方程没有实数根时,b2-4ac<0,即(-4)2-4×2k<0, ∴k>2.
答案 (1)<2 (2)=2 (3)>2
点拨 根的判别式在解一元二次方程的相关问题中应用十分广泛,可以
利用它判断方程根的情况,也可以根据根的情况来确定方程中未知字母
的值或范围.
题型二????用公式法解一般的一元二次方程
例2 解下列方程:
(1)2x2-4x-1=0;
(2)5x+2=3x2.
解析????(1)∵a=2,b=-4,c=-1,
∴b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0,
∴x=?=?=?,
∴x1=?,x2=?.
(2)将原方程变形为3x2-5x-2=0,
∴a=3,b=-5,c=-2,
∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0,
∴x=?=?,
∴x1=2,x2=-?.
点拨 用公式法解一元二次方程时,一定要把方程化为一般形式,在解答过程中要注意各项的符号,正确应用公式,准确计算.
知识点一????用公式法求解一元二次方程
1.(2019广西贺州富川中学月考)用公式法解一元二次方程3x2+3=-2x时,
首先要确定a、b、c的值,下列叙述正确的是?( )
A.a=3,b=2,c=3 ????B.a=-3,b=2,c=3
C.a=3,b=2,c=-3 ????D.a=3,b=-2,c=3
答案????A 3x2+3=-2x,3x2+2x+3=0,这里a=3,b=2,c=3,故选A.
2.用公式法解下列方程:
(1)3x2=4x+1;(2)y2+2=2?y;(3)5x2=4x-1.
解析????(1)移项,得3x2-4x-1=0,
a=3,b=-4,c=-1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0,
∴x=?=?,
故x1=?,x2=?.
(2)移项,得y2-2?y+2=0,
a=1,b=-2?,c=2.
∵b2-4ac=(-2?)2-4×1×2=0,
∴y=?=?,即y1=y2=?.
(3)移项,得5x2-4x+1=0,a=5,b=-4,c=1.
∵b2-4ac=(-4)2-4×5×1=-4<0,
∴此方程无实数根.
知识点二????一元二次方程根的判别式
3.(2017河南中考)一元二次方程2x2-5x-2=0的根的情况是( )
A.有两个相等的实数根 ????B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 ????D.没有实数根
答案????B????Δ=(-5)2-4×2×(-2)=25+16=41>0,所以该一元二次方程有两个
不相等的实数根,故选B.
4.(2018江苏泰州靖江实验中学月考)已知关于x的一元二次方程x2+2x-
(m-3)=0有实数根,则m的取值范围是?( )
A.m>2 ????B.m<2 ????C.m≥2 ????D.m≤2
答案????C 根据题意知,Δ=22-4×1×[-(m-3)]≥0,
解得m≥2,故选C.
5.(2017吉林长春期中)不解方程,判断下列方程的根的情况:
(1)x2+2x-2=0;
(2)4x2-x+4=0.
解析????(1)∵Δ=22-4×1×(-2)=12>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵Δ=(-1)2-4×4×4=-63<0,
∴方程没有实数根.
6.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,根据下列条件求k的取值范围或
k的值.
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;
(3)方程没有实数根.
解析????Δ=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9.
(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即8k+9>0,解得k>-?.
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即8k+9=0,解得k=-?.
(3)∵方程没有实数根,∴Δ<0,即8k+9<0,解得k<-?.
1.一元二次方程x2-2x-1=0的解是?( )
A.x1=x2=1 ????B.x1=1+?,x2=-1-?
C.x1=1+?,x2=1-? ????D.x1=-1+?,x2=-1-?
答案????C ∵a=1,b=-2,c=-1,∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,∴x=?
=?=1±?,∴x1=1+?,x2=1-?.故选C.
2.一元二次方程4x2-1=4x的根的情况是?( )
A.有两个不相等的实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案????A 把方程化为一般形式为4x2-4x-1=0,∵Δ=b2-4ac=(-4)2-4×4×(-1)=
32>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
3.(2017山东泰安岱岳期末)若一元二次方程x2+x-1=0的较大根是m,则?
( )
A.m>2 ????B.m<-1 ????C.1答案????D ∵a=1,b=1,c=-1,∴Δ=1-4×1×(-1)=5>0,则x=?,∴方程的
较大根m=?,∵21.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足?( )
A.a≥1 ????B.a>1且a≠5 ????
C.a≥1且a≠5 ????D.a≠5
答案????A 分类讨论:
①当a-5=0,即a=5时,方程变为-4x-1=0,此时方程一定有实数根;
②当a-5≠0,即a≠5时,∵关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,∴16+4(a-
5)≥0,∴a≥1且a≠5.∴a的取值范围为a≥1.故选A.
2.若实数a、b满足|b-1|+?=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实
数根,则k的取值范围是????.
答案????k≤4且k≠0
解析????∵实数a、b满足|b-1|+?=0,∴b-1=0,8-2a=0,∴b=1,a=4.∵一
元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,即方程kx2+4x+1=0有两个实数根,
∴Δ=42-4k≥0且k≠0,∴k≤4且k≠0.
3.已知a,b,c分别是三角形的三边长,则方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0的根的
情况是 ????.
答案 无实数根
解析????Δ=(2c)2-4(a+b)(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b),∵a,b,c分别是
三角形的三边长,∴c+a+b>0,a+b>c,∴c-a-b<0,∴Δ<0,则方程无实数根.
4.(2018江苏无锡宜兴丁蜀第一次段测)已知关于x的一元二次方程mx2-
(m+2)x+2=0.
(1)证明:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)当m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?
解析????(1)证明:由题意知m≠0,Δ=[-(m+2)]2-8m=m2-4m+4=(m-2)2.∵无论m
为何值,都有(m-2)2≥0,即Δ≥0,∴方程总有实数根.
(2)解关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+2=0,得x=?=
?,∴x1=?,x2=1.∵方程的两个根都是正整数,∴?是正整数,
∴m=1或2.∵两根不相等,∴m≠2,∴m=1.∴当m=1时,方程有两个不相等
的正整数根.
5.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做
成两个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2,那么这段铁丝剪成两段后
的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗?若能,求出两段铁丝的长
度;若不能,请说明理由.
解析????设一段铁丝的长度为x cm,则另一段铁丝的长度为(20-x)cm.
(1)由题意可列方程?+?=17,
整理,得x2-20x+64=0.
∴x=?,∴x1=16,x2=4.
∴两段铁丝的长度分别为16 cm和4 cm.
(2)不能.理由:若两个正方形的面积之和等于12 cm2,则可列方程?+
?=12,整理,得x2-20x+104=0.
∵b2-4ac=(-20)2-4×1×104=-16<0,∴此方程无解.
∴两个正方形的面积之和不可能等于12 cm2.
1.(2015广西南宁中考)对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,
b}表示a,b中较大的数,如max{2,4}=4,按这个规定,方程max{x,-x}=?
的解为?( )
A.1-? ????B.2-?
C.1-?或1+? ????D.1+?或-1
答案????D 分类讨论:当x>-x,即x>0时,max{x,-x}=x,则x=?,∴x2-2x-1=
0,解得x1=1-?,x2=1+?,经检验,x=1+?符合题意;
当x<-x,即x<0时,max{x,-x}=-x,则-x=?,∴x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,经
检验,符合题意.
因此符合题意的方程的解是1+?或-1.
2.已知函数y=kx的图象如图所示,则对一元二次方程x2+x+k-1=0根的情
况说法正确的是?( )
?
A.没有实数根 ???? B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 ??? ?D.无法确定
答案????C 根据直线y=kx的图象得出k<0,∴在方程x2+x+k-1=0中,Δ=1-4(k-1)=5-4k>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选C.
3.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0有实数解,则整数a的最大值是
?( )
A.2 ?? ?? B.1 ?? ?? C.0 ???? D.-1
答案????C ∵方程(a-1)x2-2x+3=0是一元二次方程,∴a-1≠0,解得a≠1.
∵方程(a-1)x2-2x+3=0有实数解,∴(-2)2-4×(a-1)×3≥0,即4-12a+12≥0,解
得a≤?.∴a≤?且a≠1.∴整数a的最大值是0.故选C.
4.已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3?x+8=0,则△ABC的周长是 ????.
答案 6或12或10
解析????根据题意得k≥0,且(-3?)2-4×8≥0,解得k≥?,
∵整数k<5,∴k=4,∴方程为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2-6x+8=0,
∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2.
∴△ABC的周长为6或12或10.
5.(2019甘肃庆阳宁县期中)已知关于x的方程x2-2kx-1=0,求证:无论k取何
值,方程都有两个不相等的实数根.
证明????Δ=(-2k)2-4×1×(-1)=4k2+4.
∵k2≥0,∴4k2+4>0,即Δ>0,
∴无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根.
1.(2019四川绵阳江油月考,9,★☆☆)一元二次方程x2+x-1=0的根是?
( )
A.x=1-? ????B.x=?
C.x=-1+? ????D.x=?
答案????D ∵Δ=1-4×1×(-1)=5>0,
∴x=?,故选D.
2.(2019江苏无锡宜兴期中,2,★☆☆)一元二次方程x2-x+10=0的根的情
况是?( )
A.有两个不相等的实数根 ????B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 ????D.不能确定
答案????C ∵a=1,b=-1,c=10,
Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×10=1-40=-39<0,
∴方程没有实数根.故选C.
3.(2018江苏苏州太仓二中期中,13,★☆☆)关于x的一元二次方程x2-(2k+
1)x+k2-2=0有实数根,则k的取值范围是 ????.
答案????k≥-?
解析????∵关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有实数根,∴Δ=[-(2k+
1)]2-4(k2-2)=4k+9≥0,解得k≥-?.
4.(2019辽宁锦州凌海期中,23,★★☆)嘉淇同学用配方法推导一元二次
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做
的:
a
?
? (1)嘉淇的解法从第 ????步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 ????;
(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.
解析????(1)四;x=?.
(2)由x2-2x-24=0,得x2-2x=24,进而x2-2x+1=24+1,
即(x-1)2=25,故x-1=±5,∴x1=6,x2=-4.
5.用公式法解下列方程:
(1)(2019山东济南历下期中,19(1),★★☆)x2+3x=2;
(2)(2019湖北孝感云梦期中,17(2),★★☆)4x2-4?x-1=0.
解析????(1)x2+3x-2=0,Δ=32-4×1×(-2)=17,
所以x=?,所以x1=?,x2=?.
(2)4x2-4?x-1=0,
Δ=b2-4ac=(-4?)2-4×4×(-1)=64,
所以x=?,
所以x1=?,x2=?.
1.(2018江苏扬州树人学校月考,3,★☆☆)如果关于x的一元二次方程 k2x2-
(2k+1)x+1=0 有两个不相等的实数根,那么实数k的取值范围是?(???? )
A.k>-? ????B.k>-?且k≠0
C.k<-? ????D.k≥-?且k≠0
答案????B 因为方程有两个不相等的实数根,所以Δ>0且k≠0,即[-(2k+
1)]2-4k2>0且k≠0,解得k>-?且k≠0,故选B.
2.(2017安徽宿州第一次月考,16,★★☆)用公式法解下列方程:(8分)
(1)x2-x-12=0;
(2)2x2+5x-3=0.
解析????(1)a=1,b=-1,c=-12,
Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-12)=49>0,
∴x=?=?=?,∴x1=4,x2=-3.
(2)a=2,b=5,c=-3,
Δ=b2-4ac=52-4×2×(-3)=49>0,
∴x=?=?=?,
∴x1=?,x2=-3.
1.(2018内蒙古包头中考,9,★☆☆)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2
=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所
有正整数m的和为?( )
A.6 ????B.5 ????C.4 ????D.3
答案????B ∵a=1,b=2,c=m-2,且关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两
个实数根,
∴Δ=b2-4ac=22-4(m-2)=12-4m≥0,∴m≤3.
∵m为正整数,且该方程的根都是整数,∴m=2或3.
2+3=5.故选B.
2.(2018山东威海中考,14,★★☆)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0
有实根,则m的最大整数解是 ????.
答案 4
解析????∵关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实根,∴Δ=4-8(m-5)≥
0,且m-5≠0,
解得m≤5.5,且m≠5,则m的最大整数解是4.
3.(2018江苏南通中考,17,★★☆)若关于x的一元二次方程?x2-2mx-4m+
1=0有两个相等的实数根,则(m-2)2-2m(m-1)的值为 ????.
答案?????
解析????由题意可知Δ=4m2-2(1-4m)=4m2+8m-2=0,
∴m2+2m=?,
∴(m-2)2-2m(m-1)=-m2-2m+4=-?+4=?.
4.(2018甘肃兰州中考,18,★★☆)解方程:3x2-2x-2=0.(5分)
解析????a=3,b=-2,c=-2,
Δ=b2-4ac=(-2)2-4×3×(-2)=28>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
∴x=?=?,
∴x1=?,x2=?.
5.(2018北京中考,20,★★☆)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(5分)
(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时
方程的根.
解析????(1)依题意,得Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0.
故方程有两个不相等的实数根.
(2)由题意可知,a≠0,Δ=b2-4a=0.
答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0,
∴(x+1)2=0,∴x1=x2=-1.
1.(2017湖南娄底中考,7,★☆☆)若关于x的一元二次方程kx2-4x+1=0有
实数根,则k的取值范围是( )
A.k=4 ?? ?? B.k>4
C.k≤4且k≠0 ???? D.k≤4
答案????C 由一元二次方程kx2-4x+1=0有实数根可得k≠0,且Δ=(-4)2-4k
≥0,解得k≤4且k≠0,故选C.
2.(2016河北中考,14,★☆☆)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程
ax2+bx+c=0的根的情况是?( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
答案????B 由(a-c)2>a2+c2,得出-2ac>0,则a≠0,Δ=b2-4ac>0,所以方程ax2+
bx+c=0有两个不相等的实数根.
3.(2018广西玉林中考,21,★★☆)已知关于x的一元二次方程x2-2x-k-2=0
有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)给k取一个负整数值,解这个方程.
解析????(1)根据题意得Δ=(-2)2-4(-k-2)>0,解得k>-3.
(2)取k=-2,则方程变为x2-2x=0,解得x1=0,x2=2.
4.(2016甘肃白银中考,21,★★☆)已知关于x的方程x2+mx+m-2=0.
(1)若此方程的一个根为1,求m的值;
(2)求证:无论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
解析????(1)把x=1代入方程x2+mx+m-2=0得1+m+m-2=0,解得m=?.
(2)证明:Δ=m2-4(m-2)=(m-2)2+4,∵(m-2)2≥0,
∴(m-2)2+4>0,即Δ>0,
∴无论m取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.
5.(2015甘肃庆阳中考,23,★☆☆)已知关于x的一元二次方程?mx2+mx+
m-1=0有两个相等的实数根.(8分)
(1)求m的值;
(2)解原方程.
解析????(1)∵关于x的一元二次方程?mx2+mx+m-1=0有两个相等的实数
根,
∴Δ=m2-4×?m×(m-1)=0,且m≠0,解得m=2.
(2)由(1)知m=2,则原方程为x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,解得x1=x2=-1.
1.定义:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0,那么我们称
这个方程为“凤凰”方程.已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有
两个相等的实数根,则下列结论正确的是?( )
A.a=c ????B.a=b ????C.b=c ????D.a=b=c
答案????A ∵ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程,且有两个相等的实数
根,∴a+b+c=0,b2-4ac=0,∴b=-a-c.把b=-a-c代入b2-4ac=0,得(-a-c)2-4ac=0,
a2+2ac+c2-4ac=0,a2-2ac+c2=0,(a-c)2=0,∴a=c.故选A.
2.按下列提供的方法及范例解方程49x2+6x-?=0.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根为x=?,方程y2+by+ac=0
的根为y=?,显然x=?,因此要求ax2+bx+c=0(a≠0)的根,只要
求出y2+by+ac=0的根,再除以a就可以了.
范例:解方程72x2+8x+?=0.
解:先解方程y2+8y+72×?=0,
由求根公式解得y1=-2,y2=-6.
∴方程72x2+8x+?=0的两根为
x1=?=-?,x2=?=-?.
解析????先解方程y2+6y-?×49=0,由求根公式解得y1=1,y2=-7.∴方程49x2+6
x-?=0的两根为x1=?,x2=?=-?.
1.(2017重庆大渡口模拟)在-3、-2、-1、0、1、2这六个数中,随机取出
一个数记为a,那么使得关于x的一元二次方程x2-2ax+5=0无实数解,且使
得关于x的方程?-3=?有整数解,那么这6个数中所有满足条件的a
的值之和是?( )
A.-3 ???? B .0 ?? ??C.2 ??? ?D.3
答案????C ∵一元二次方程x2-2ax+5=0无实数解,∴Δ=4a2-4×5<0,∴a2<5,
∴a可取-2、-1、0、1、2.把方程?-3=?化为整式方程得x+a-3(x-
1)=-1,解得x=?a+2,∵x-1≠0,∴x≠1,则?a+2≠1,∴a≠-2.又∵关于x的方
程?-3=?有整数解,∴a≠±1,∴满足条件的a的值为0、2,它们的和
为2.
2.学校为了美化校园环境,计划在一块长40 m、宽20 m的矩形空地上新
建一个长9 m、宽7 m的矩形花圃.
(1)若要在这块空地上设计一个矩形花圃,使它的面积比学校计划的面
积多1 m2,请给出你认为合适的三种不同的设计方案;
(2)在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下,矩形花圃的面积能
否增加2 m2?如果能,请求出矩形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.
解析????(1)学校计划新建的矩形花圃的面积是9×7=63(m2),比它多1 m2的矩花的面积是64 m2,因此可设计以下方案:
方案一:长和宽都是8 m;
方案二:长为10 m,宽为6.4 m;
方案三:长为20 m,宽为3.2 m.
答案不唯一,但要注意矩形空地的实际大小.
(2)不能.理由:假设在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下,矩形花圃的面积能增加2 m2.计划新建的矩形花圃的周长是2×(9+7)=32(m), 设面积增加后的矩形花圃的长为x m,则宽是(16-x)m, 根据题意,得x(16-x)=9×7+2.整理,得x2-
16x+65=0.因为b2-4ac=(-16)2-4×1×65=-4<0,所以此方程没有实数根.
所以在学校计划新建的矩形花圃周长不变的情况下,矩形花圃的面积不能增
2 m2.
