4 用因式分解法求解一元二次方程
测试时间:20分钟
一、选择题
1.一元二次方程x(x-5)=0的解是( )
A.x=0 B.x=5 C.x1=0,x2=5 D.x1=0,x2=-5
2.(2018湖南衡阳期末)方程x2=4x的解是( )
A.x=4 B.x1=0,x2=4 C.x=0 D.x1=2,x2=-2
3.(2018广东深圳福田三模)方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )
A.x=2 B.x=3 C.x=-1或x=2 D.x=-1或x=3
4.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-10x+21=0的一个根,则该三角形第三边的长是( )
A.6 B.3或7 C.3 D.7
5.一元二次方程(x+2)(x-1)=4的解是( )
A.x1=0,x2=-3 B.x1=-3,x2=2 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
二、填空题
6.方程x2-x=0的根是 .?
7.方程x(x-5)=2x的根是 .?
8.已知方程2x2-px+q=0的两根分别是2和3,则因式分解2x2-px+q的结果是 .?
三、解答题
9.用因式分解法解下列方程:
(1)3x2-12x=0;(2)(x+4)2=36;(3)(3x+2)2=4(x-3)2;(4)x2-3x=4;(5)2x(x-3)=3-x.
10.选用适当的方法解下列方程(要求每个方程均采用两种解法):
(1)x2+4x-4=0;(2)(x+3)2=2.
4 用因式分解法求解一元二次方程(答案版）
测试时间:20分钟
一、选择题
1.一元二次方程x(x-5)=0的解是( )
A.x=0 B.x=5 C.x1=0,x2=5 D.x1=0,x2=-5
答案 C ∵x(x-5)=0,∴x=0或x-5=0,解得x1=0,x2=5,故选C.
2.(2018湖南衡阳期末)方程x2=4x的解是( )
A.x=4 B.x1=0,x2=4 C.x=0 D.x1=2,x2=-2
答案 B 移项得x2-4x=0,∴x(x-4)=0,
∴x=0或x-4=0,解得x1=0,x2=4.故选B.
3.(2018广东深圳福田三模)方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )
A.x=2 B.x=3 C.x=-1或x=2 D.x=-1或x=3
答案 D 将原方程移项,得(x+1)(x-2)-(x+1)=0,
∴(x+1)(x-2-1)=0,∴x+1=0或x-3=0,
解得x=-1或x=3.故选D.
4.三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2-10x+21=0的一个根,则该三角形第三边的长是( )
A.6 B.3或7 C.3 D.7
答案 D 方程x2-10x+21=0可化为(x-3)(x-7)=0,解得x1=3,x2=7,
∴三角形第三边的长为3或7.
当第三边的长为3时,由3+3=6,得三边不能构成三角形,舍去,所以第三边的长为7,故选D.
5.一元二次方程(x+2)(x-1)=4的解是( )
A.x1=0,x2=-3 B.x1=-3,x2=2 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
答案 B 将原方程整理得x2+x-6=0,∴(x+3)(x-2)=0,∴x+3=0或x-2=0,
∴x1=-3,x2=2.故选B.
二、填空题
6.方程x2-x=0的根是 .?
答案 x1=0,x2=
解析 原方程可变形为x(x-)=0,可得x=0或x-=0,解得x1=0,x2=.
7.方程x(x-5)=2x的根是 .?
答案 x1=0,x2=7
解析 将方程x(x-5)=2x变形为x2-7x=0,则x(x-7)=0,∴x=0或x-7=0,解得x1=0,x2=7,故答案为x1=0,x2=7.
8.已知方程2x2-px+q=0的两根分别是2和3,则因式分解2x2-px+q的结果是 .?
答案 2(x-2)(x-3)
解析 ∵方程2x2-px+q=0的两根分别是2和3,∴2x2-px+q=2(x-2)(x-3)=0,
∴2x2-px+q=2(x-2)(x-3).故答案为2(x-2)(x-3).
三、解答题
9.用因式分解法解下列方程:
(1)3x2-12x=0;(2)(x+4)2=36;(3)(3x+2)2=4(x-3)2;(4)x2-3x=4;(5)2x(x-3)=3-x.
解析 (1)原方程可变形为3x(x-4)=0.
∴3x=0或x-4=0,∴x1=0,x2=4.
(2)原方程可变形为(x+4)2-36=0,
因式分解,得(x+4+6)(x+4-6)=0,即(x+10)(x-2)=0.
∴x1=-10,x2=2.
(3)移项,得(3x+2)2-[2(x-3)]2=0.
因式分解,得[(3x+2)+2(x-3)][(3x+2)-2(x-3)]=0,
整理,得(5x-4)(x+8)=0.
∴x1=,x2=-8.
(4)x2-3x-4=0,
(x-4)(x+1)=0,
所以x-4=0或x+1=0,
所以x1=4,x2=-1.
(5)2x(x-3)+x-3=0,
(x-3)(2x+1)=0,
所以x-3=0或2x+1=0,
所以x1=3,x2=-.
10.选用适当的方法解下列方程(要求每个方程均采用两种解法):
(1)x2+4x-4=0;(2)(x+3)2=2.
解析 (1)解法一:移项,得x2+4x=4.
方程两边都加上4,得x2+4x+4=4+4,配方,得(x+2)2=8.
直接开平方,得x+2=±2,
∴x1=-2+2,x2=-2-2.
解法二:这里a=1,b=4,c=-4,
∴b2-4ac=42-4×1×(-4)=32,
∴x==-2±2,
∴x1=-2+2,x2=-2-2.
(2)解法一:方程两边同乘2,得(x+3)2=4,
直接开平方,得x+3=±2.
∴x1=-1,x2=-5.
解法二:方程两边同乘2,得(x+3)2=4,
移项,得(x+3)2-4=0.
因式分解,得(x+3+2)(x+3-2)=0,即(x+5)(x+1)=0.
∴x1=-1,x2=-5.
1
第二章 一元二次方程
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点一????因式分解法
解一元次方程 定义 依据 步骤
因式分解法 因式分解法解一元二次方程,是将方程的一边化为0,而另一边分解为两个一次因式乘积的形式, 分别令每个因式等于0,得到两个一次方程,解这两个方程得到一元二次方程的两个根 因式分解法解一元二次方程的依
据是“若a·b=0,那么a=0或b=0” 移项:将方程的右边化为0;
化积:把方程的左边分解为两个一次因式的积;
转化:令每个因式分别为0,转化为两个一元一次方程;
求解:解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根
因式分
解的常
用方法 (1)提公因式:一元二次方程右边化为0后,若左边多项式有公因式,则把公因式提到括号外面,将多项式分解成两个一次因式的乘积的形式,再解方程.
(2)运用公式:一元二次方程右边化成0后,若左边多项式可逆用平方差公式或完全平方公式分解因式,则将多项式分解为两个一次因式的乘积的形式,再解方程
例1 用因式分解法解下列方程:
(1)(x+3)(x-2)=0;(2)3x2-12x=0;
(3)(x+4)2=36;(4)(x-2)2=2-x.
分析 (1)符合因式分解法的要求,只需令每个因式等于0即可;(2)因为3x2
与12x都含有因式3x,所以可利用提公因式法分解因式;(3)因为36=62,所
以移项后可利用平方差公式分解因式;(4)将(x-2)看成一个整体,将方程
右边的(2-x)移到方程的左边后,可用提公因式法分解因式.
解析????(1)若x+3=0,则x=-3;若x-2=0,则x=2.
∴x1=-3,x2=2.
(2)原方程可变形为3x(x-4)=0.
若3x=0,则x=0;若x-4=0,则x=4.∴x1=0,x2=4.
(3)原方程可变形为(x+4)2-36=0,
∴(x+4+6)(x+4-6)=0,即(x+10)(x-2)=0.
若x+10=0,则x=-10;若x-2=0,则x=2.
∴x1=-10,x2=2.
(4)移项,得(x-2)2+(x-2)=0.
∴(x-2)[(x-2)+1]=0,
即(x-2)(x-1)=0,
∴x-2=0或x-1=0,
∴x1=2,x2=1.
知识点二????灵活选择方法解一元二次方程
方法 理论依据 适用方程 关键步骤
直接开平方法 平方根的意义 (x-m)2=n(n≥0) 开平方
配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方
公式法 配方法 所有一元二次方程 代入求根公式
因式分解法 若两个因式的积为0,那么这两个因式至少有一个为0 一边是0,另一边易于分解成两个
一次因式的乘积的方程 分解因式
一元二次方程主要有四种解法,它们的理论依据及适用范围如下表:
例2 用适当的方法解下列方程:
(1)2(x-1)2-18=0;(2)x2+4x-1=0;
(3)9(x+1)2=(2x-5)2;(4)9x2-12x-1=0.
分析 (1)2(x-1)2-18=0,整理可得(x-1)2=9,适合用直接开平方法;
(2)x2+4x-1=0,二次项系数为1,一次项系数为偶数,适合用配方法;
(3)9(x+1)2=(2x-5)2,整理可得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,适合用因式分解法;
(4)9x2-12x-1=0,用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,适合
用公式法.
解析????(1)2(x-1)2-18=0,整理得(x-1)2=9,开平方得x-1=±3,即x-1=3或x-1=
-3,
所以方程的两根为x1=4,x2=-2.
(2)原方程变形为x2+4x=1.配方得x2+4x+22=1+22,即(x+2)2=5,由此可得x+2
=±?,
所以方程的两根为x1=-2+?,x2=-2-?.
(3)9(x+1)2=(2x-5)2,整理得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,因式分解得
[3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]=0,于是得3(x+1)+(2x-5)=0或3(x+1)-(2x-5)=0,
即5x-2=0或x+8=0,所以方程的两根为x1=?,x2=-8.
(4)9x2-12x-1=0,a=9,b=-12,c=-1,Δ=b2-4ac=(-12)2-4×9×(-1)=144+36=180>0，
所以x=?=?=?,所以方程的两根为x1=
?,x2=?.
点拨 一元二次方程的解法的选择顺序:先特殊,后一般,即先考虑能否
用直接开平方法和因式分解法,不能用这两种方法时,再用公式法,没有
特殊要求解法时,一般不用配方法,因为用配方法解方程比较烦琐.
(1)当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直
接开平方法.
(2)当方程的一边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式
时,运用因式分解法求解.
(3)当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负数时,常用配方法.
(4)当不使用上面三种方法时,就用公式法.
题型一????用多种方法解一元二次方程
例1 已知一元二次方程(x-2)2=(2x+5)2,可以用哪几种方法来解这个方程?
分析 一元二次方程的解法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配
方法,其中直接开平方法与因式分解法较简单.
解析????解法一:(直接开平方法)开平方,得x-2=±(2x+5),
即x-2=2x+5或x-2=-(2x+5).
∴原方程的解是x1=-7,x2=-1.
解法二:(因式分解法)移项,得(x-2)2-(2x+5)2=0.
因式分解,得[(x-2)-(2x+5)][(x-2)+(2x+5)]=0,
即(-x-7)(3x+3)=0.∴-x-7=0或3x+3=0,
∴原方程的解是x1=-7,x2=-1.
解法三:(公式法)将原方程变形为x2+8x+7=0,
这里a=1,b=8,c=7,
∴b2-4ac=82-4×1×7=36,∴x=?=?.
∴原方程的解是x1=-1,x2=-7.
解法四:(配方法)将原方程变形为x2+8x+7=0.
移项,得x2+8x=-7.
配方,得x2+8x+42=-7+42,即(x+4)2=9.
开平方,得x+4=±3,
∴原方程的解是x1=-1,x2=-7.
点拨 解法一运用的是直接开平方法,若方程能写成A2=B2的形式,就可用直接开平方法求解,开平方时要注意一个正数的平方根有两个,且互为相反数,不要出现A=B的错误;解法二运用的是因式分解法,若方程的一边为0,另一边能分解成两个一次因式的乘积,就可用因式分解法来解; 解法三和解法四是先把方程整理为一元二次方程的一般形式,再选用公式法或配方法来解,这是解一元二次方程的常规方法.解一元二次方程时要同时掌握这些方法,以便灵活运用.
题型二????用因式分解法解形如x2-(a+b)x+ab=0(a,b为常数)的一元二次方程
例2 用因式分解法解下列方程:
(1)x2+2 013x-2 014=0;
(2)x2-2 013x-2 014=0;
(3)x2-(?+?)x+?=0.
分析 (1)要设法找到两个数a,b,使a+b=-2 013,ab=-2 014,经过反复试验可发现这两个数分别为1,-2 014,所以方程x2+2 013x-2 014=0可转化为(x-1) (x+2 014)=0.同样地,方程(2)(3)的左边也可以分解成两个一次因式的乘积的形式.
解析????(1)x2+2 013x-2 014=0,(x-1)(x+2 014)=0,
∴x-1=0或x+2 014=0,∴x1=1,x2=-2 014.
(2)x2-2 013x-2 014=0,(x-2 014)(x+1)=0,
∴x-2 014=0或x+1=0,∴x1=2 014,x2=-1.
(3)x2-(?+?)x+?=0,(x-?)(x-?)=0,
∴x-?=0或x-?=0,∴x1=?,x2=?.
易错点????用因式分解法解方程时,方程两边同除以一个式子时,忽略了
所除的式子可能为0的情况
例 解方程:(x-2)2=2(x-2).
解析????移项,得(x-2)2-2(x-2)=0.
∴(x-2)(x-2-2)=0,∴x-2=0或x-4=0.
∴x1=2,x2=4.
易错警示 若方程两边同时除以(x-2),得x-2=2,解得x=4.造成错解的原
因是方程两边同时除以(x-2)时,没有注意到x-2可能等于0的情况,违背了
等式的性质,从而漏解.
1.(2019江苏盐城六校联考期中)方程x2=4x的解是?( )
A.x=0 ????B.x1=4,x2=0
C.x=4 ????D.x=2
知识点一????因式分解法
答案????B????x2=4x,x2-4x=0,x(x-4)=0,∴x-4=0或x=0,∴x1=4,x2=0,故选B.
2.经计算,整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的根为
?( )
A.x1=-1,x2=-4 ????B.x1=-1,x2=4
C.x1=1,x2=4 ????D.x1=1,x2=-4
答案????B 由题意知方程x2-3x-4=0可化为(x+1)(x-4)=0,则x+1=0或x-4=0,
解得x1=-1,x2=4,故选B.
3.(2019河南新野期中)方程3x(x-2)=x-2的根为?( )
A.x=2 ????B.x=0
C.x1=2,x2=0 ????D.x1=2,x2=?
答案????D 3x(x-2)=x-2,
3x(x-2)-(x-2)=0,
(x-2)(3x-1)=0,
所以x-2=0或3x-1=0,
所以x1=2,x2=?.故选D.
4.用因式分解法解下列方程:
(1)x2-7x-18=0;
(2)2(x-3)=5x(x-3);
(3)(y-3)(y+2)=6;
(4)(5x-2)2=3.
解析????(1)将原方程化为(x+2)(x-9)=0,
∴x+2=0或x-9=0,∴x1=-2,x2=9.
(2)将原方程化为5x(x-3)-2(x-3)=0,
即(x-3)(5x-2)=0,
∴x-3=0或5x-2=0,∴x1=3,x2=?.
(3)将原方程化为y2-y-12=0,即(y-4)(y+3)=0,
∴y-4=0或y+3=0,∴y1=4,y2=-3.
(4)将原方程化为(5x-2)2-(?)2=0,
即(5x-2+?)(5x-2-?)=0,
∴5x-2+?=0或5x-2-?=0,
∴x1=?,x2=?.
知识点二????灵活选择方法解一元二次方程
5.解下列方程:
①2x2-18=0;
②9x2-12x-1=0;
③2x2+4x+2=0;
④2(5x-1)2=3(5x-1).
较简便的方法是?( )
A.依次为:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为:因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C.①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法
D.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法
答案????D
6.用适当的方法解下列方程:
(1)(3x-1)2=4(2x+3)2;
(2)2x2-?x-5=0;
(3)(x-5)2-9=0;
(4)x2-6x=5.
解析????(1)直接开平方,得3x-1=±2(2x+3),即3x-1=2(2x+3)或3x-1=-2(2x+
3),解得x1=-7,x2=-?.
(2)∵a=2,b=-?,c=-5,
∴b2-4ac=(-?)2-4×2×(-5)=42>0,
∴x=?,
∴x1=?,x2=?.
(3)(x-5+3)(x-5-3)=0,
即(x-2)(x-8)=0,
∴x-2=0或x-8=0,
∴x1=2,x2=8.
(4)原方程可化为x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14,
∴x-3=±?,
∴x1=3+?,x2=3-?.
1.解方程2(4x+5)2=3(5+4x)的最佳方法是?( )
A.直接开平方法 ????B.因式分解法
C.配方法 ????D.公式法
答案????B 原方程左右两边都含有公因式4x+5,移项后可利用提公因式
法分解因式.
2.(2017上海浦东新区期中)一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,那
么二次三项式2x2+px+q可分解为?( )
A.(x+1)(x-2) ????B.(2x+1)(x-2)
C.2(x-1)(x+2) ????D.2(x+1)(x-2)
答案????D ∵一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,∴2(x+1)(x-2)=0,
∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2).故选D.
3.方程2(x-3)2=x2-9的解是 ????.
答案????x1=3,x2=9
解析????方程整理得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,因式分解得(x-3)(2x-6-x-3)=0,所
以x-3=0或x-9=0,所以x1=3,x2=9.
4.用因式分解法解下列方程:
(1)x2+2 007x-2 008=0;
(2)2(x-3)2=x(x-3);
(3)x2+16=8x.
解析????(1)x2+2 007x-2 008=0,(x-1)(x+2 008)=0,
∴x-1=0或x+2 008=0,∴x1=1,x2=-2 008.
(2)移项,得2(x-3)2-x(x-3)=0,
因式分解,得(x-3)(2x-6-x)=0,
即(x-3)(x-6)=0,
∴x-3=0或x-6=0,∴x1=3,x2=6.
(3)移项,得x2-8x+16=0,
因式分解,得(x-4)2=0,
∴x1=x2=4.
1.(2019江苏江阴澄西期中)若一个三角形的两边长分别为2和6,第三边
长是方程x2-8x+15=0的一个根,则这个三角形的周长为?( )
A.11 ????B.13或15 ????C.13 ????D.11或13
答案????C 由方程x2-8x+15=0可得(x-3)(x-5)=0,
∴x=3或x=5,根据三角形的三边关系可知第三边长只能取5,所以三角形
的周长为2+5+6=13.故选C.
2.若方程(x-2)(3x+1)=0,则3x+1的值为?( )
A.7 ????B.2 ????C.0 ????D.7或0
答案????D 由(x-2)(3x+1)=0,可得x-2=0或3x+1=0,解得x1=2,x2=-?.当x=2
时,3x+1=3×2+1=7;当x=-?时,3x+1=3×?+1=0.故选D.
3.已知(x2+y2-1)(x2+y2+3)=0,则x2+y2的值为?( )
A.1或-3 ????B.1 ????C.-3 ????D.-1或3
答案????B (x2+y2-1)(x2+y2+3)=0,于是有x2+y2-1=0或x2+y2+3=0,∴x2+y2=1或
x2+y2=-3,∵无论x、y为何值,x2+y2都不等于-3,∴x2+y2=1,故选B.
4.阅读下面材料:
把方程x2-4x+3=0写成x2-4x+4-4+3=0,(x-2)2-12=0.
因式分解,得(x-2+1)(x-2-1)=0,(x-1)(x-3)=0.
发现:(-1)+(-3)=-4,(-1)×(-3)=3.
结论:方程x2-(p+q)x+pq=0可变形为(x-p)(x-q)=0.
应用上面总结的解题方法,解下列方程:
(1)x2+5x+6=0;(2)x2-7x+10=0;
(3)x2-5x-6=0;(4)x2+3x-4=0.
解析????(1)方程变形为(x+2)(x+3)=0,∴x1=-2,x2=-3.
(2)方程变形为(x-2)(x-5)=0,∴x1=2,x2=5.
(3)方程变形为(x-6)(x+1)=0,∴x1=6,x2=-1.
(4)方程变形为(x+4)(x-1)=0,∴x1=-4,x2=1.
1.(2015贵州安顺中考)已知三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程
x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长是?( )
A.14 ????B.12
C.12或14 ????D.以上都不对
答案????B 解方程x2-12x+35=0得x1=5,x2=7,根据三角形的三边关系可知
第三边长只能取5,所以三角形的周长为12,故选B.
2.若对于实数a,b,规定a*b=?例如:2*3,因为2<3,所以2*3=2×
3-22=2.若x1,x2是方程x2-2x-3=0的两根,则x1*x2= ????.
答案 12或-4
解析????方程x2-2x-3=0因式分解,得(x-3)(x+1)=0,∴x=3或-1.当x1=3,x2=-1
时,x1*x2=?-x1x2=9+3=12;当x1=-1,x2=3时,x1*x2=x1x2-?=-3-1=-4.
3.我们知道多项式x2-3x+2可分解成(x-1)(x-2),所以方程x2-3x+2=0有两根
x1=1,x2=2.已知多项式x3+3x2-3x+k有一个因式是x+2,则k= ????.
答案 -10
解析????∵多项式x3+3x2-3x+k有一个因式是x+2,∴方程x3+3x2-3x+k=0就有
一个解是x=-2,把x=-2代入x3+3x2-3x+k=0中,得-8+12+6+k=0,解得k=-10.
4.阅读下面材料:
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1
=y,则(x2-1)2=y2,原方程化为y2-5y+4=0.解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2-1=1,所以
x2=2,所以x=±?;当y=4时,x2-1=4,所以x2=5,所以x=±?.所以原方程的解
为x1=?,x2=-?,x3=?,x4=-?.利用上述方法解方程:x4-3x2-4=0.
解析????设x2=y,则原方程化为y2-3y-4=0,即(y-4)(y+1)=0,所以y1=4,y2=-1.当y
=4时,x2=4,所以x=±2;当y=-1时,x2=-1无实数根,所以原方程的解为x1=2,x2
=-2.
1. (2018广东东莞翰林学校期中,1,★☆☆)方程2(2x+1)(x-3)=0的两根分
别为?( )
A.?和3 ????B.-?和3
C.?和-3 ????D.-?和-3
答案????B 由方程2(2x+1)(x-3)=0,可得2x+1=0或x-3=0,解得x1=-?,x2=3.
2.(2019上海宝山实验学校月考,19,★☆☆)一元二次方程(x+1)(x+2)=2
的解是?( )
A.x1=0,x2=-3 ????B.x1=-1,x2=-2
C.x1=1,x2=2 ????D.x1=0,x2=3
答案????A 原方程整理得x2+3x=0,因式分解得x(x+3)=0,所以x=0或x+3=
0,所以x1=0,x2=-3.故选A.
3.(2019河南南阳淅川期中,13,★★☆)已知(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0,则x2+y2=
????.
答案 4
解析????设t=x2+y2,则t2-t-12=0,整理得(t-4)(t+3)=0,解得t1=4,t2=-3.所以x2+y2
=4或x2+y2=-3,∵无论x、y为何实数,x2+y2都不等于-3,∴x2+y2=4.
4.(2019四川绵阳江油月考,19,★★☆)用适当的方法解下列方程:
(1)4x2-3x+2=0;
(2)(x-1)(x+3)=12;
(3)x2+3x+1=0;
(4)3x(x-2)=2(2-x).
解析????(1)4x2-3x+2=0,∵a=4,b=-3,c=2,∴b2-4ac=9-4×4×2=-23<0,∴原方
程无实数解.
(2)(x-1)(x+3)=12,整理得x2+2x-15=0,因式分解得(x-3)(x+5)=0,所以x-3=0
或x+5=0,解得x1=3,x2=-5.
(3)x2+3x+1=0,∵a=1,b=3,c=1,∴b2-4ac=9-4×1×1=5>0,∴x=?=
?,∴x1=?,x2=?.
(4)3x(x-2)=2(2-x),3x(x-2)+2(x-2)=0,(x-2)(3x+2)=0,∴x-2=0或3x+2=0,∴x1
=2,x2=-?.
1.(2017吉林长春三校联考,6,★☆☆)已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相
反数,则x的值是?( )
A.-1或3 ????B.1或-3 ????C.1或3 ????D.-1或-3
答案????A ∵代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,∴(3-x)+(-x2+3x)=0,即
(3-x)-x(x-3)=0,因式分解得(3-x)(x+1)=0,解得x1=3,x2=-1.故选A.
2.(2019河南南阳邓州期中,12,★☆☆)已知等腰三角形的两条边长恰好
是方程x2-9x+18=0的解,则此等腰三角形的三边长是 ????.
答案 3,6,6
解析????x2-9x+18=0,(x-3)(x-6)=0,所以x1=3,x2=6,根据三角形的三边关系可
知等腰三角形的两腰长为6、6,底边长为3.
3.(2019江苏扬州江都实验中学月考,14,★★☆)若(a2+b2)2-3(a2+b2)-4=0,
则代数式a2+b2的值为 ????.
答案 4
解析????设t=a2+b2,则原方程为t2-3t-4=0,∴(t-4)(t+1)=0,解得t1=4,t2=-1,∵a2
+b2≥0,∴t=4,∴a2+b2=4.
1.(2018台湾省中考,3,★★☆)若一元二次方程x2-8x-3×11=0的两根
为a、b,且a>b,则a-2b之值为何??( )
A.-25 ????B.-19 ????C.5 ????D.17
答案????D 因式分解,得(x-11)(x+3)=0,所以x-11=0或x+3=0,所以x1=11,x2
=-3,又a>b,所以a=11,b=-3,所以a-2b=11-2×(-3)=11+6=17.故选D.
2.(2018贵州安顺中考,6,★★☆)一个等腰三角形的两条边长分别是方
程x2-7x+10=0的两根,则该等腰三角形的周长是?( )
A.12 ????B.9 ????C.13 ????D.12或9
答案????A????x2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0,x-2=0或x-5=0,所以x1=2,x2=5.
①当等腰三角形的三边长是2,2,5时,∵2+2<5,
∴不符合三角形三边关系定理,此时不符合题意;
②当等腰三角形的三边长是2,5,5时,符合三角形三边关系定理,此时三
角形的周长是2+5+5=12.
故选A.
3.(2014辽宁鞍山中考,11,★★☆)对于实数a,b,我们定义一种运算
“※”为:a※b=a2-ab,例如:1※3=12-1×3.若x※4=0,则x= ????.
答案 0或4
解析????观察公式“a※b=a2-ab”,可知符号“※”的运算规则是:前一个
数的平方与两数积的差,因为x※4=0,所以x※4=x2-4x=0,解得x=0或x=4.
4.解方程:
(1)(2018四川巴中中考,22,★★☆)3x(x-2)=x-2;
(2)(2018广西梧州中考,20,★★☆)2x2-4x-30=0.
解析????(1)3x(x-2)=x-2,移项得3x(x-2)-(x-2)=0,整理得(x-2)(3x-1)=0,∴x-2=
0或3x-1=0,解得x1=2,x2=?.
(2)∵2x2-4x-30=0,∴x2-2x-15=0,∴(x-5)(x+3)=0,∴x1=5,x2=-3.
5.(2017山东滨州中考,20,★★☆)根据要求,解答下列问题.(9分)
(1)①方程x2-2x+1=0的解为 ????;
②方程x2-3x+2=0的解为 ????;
③方程x2-4x+3=0的解为 ????;
……
(2)根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程x2-9x+8=0的解为 ????;
②关于x的方程 ????的解为x1=1,x2=n.
(3)请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
解析????(1)①x1=1,x2=1;②x1=1,x2=2;③x1=1,x2=3.
(2)①x1=1,x2=8.
②x2-(1+n)x+n=0.
(3)x2-9x+8=0,x2-9x=-8,x2-9x+?=-8+?,
?=?.∴x-?=±?.∴x1=1,x2=8.
1.(2018贵州铜仁中考,3,★★☆)关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为
?( )
A.x1=-1,x2=3 ????B.x1=1,x2=-3
C.x1=1,x2=3 ????D.x1=-1,x2=-3
答案????C????x2-4x+3=0,因式分解得(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,故选C.
2.(2016湖北荆门中考,9,★★☆)已知3是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的
一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边
长,则△ABC的周长为( )
A.7 ????B.10 ????C.11 ????D.10或11
答案????D 因为3是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根,所以32-
(m+1)×3+2m=0,解得m=6,当m=6时,方程为x2-7x+12=0,解得x1=3,x2=4.当
三角形的三边长为3,3,4时,3+3>4,此时等腰三角形的周长是10;当三角
形的三边长为4,4,3时,4+3>4,此时等腰三角形的周长是11.故选D.
3.(2018湖北黄冈中考,12,★★☆)一个三角形的两边长分别为3和6,第三
边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为 ????.
答案 16
解析????解方程x2-10x+21=0得x1=3,x2=7,
∵3<第三边长<9,∴第三边长为7.
∴这个三角形的周长是3+6+7=16.
4.(1)(2016甘肃兰州中考,21(2),★★☆)解方程:2y2+4y=y+2;(5分)
(2)(2014四川自贡中考,16,★☆☆)解方程:3x(x-2)=2(2-x).(8分)
解析????(1)原方程变形为2y(y+2)=y+2,2y(y+2)-(y+2)=0,(y+2)(2y-1)=0,所
以y+2=0或2y-1=0,解得y1=-2,y2=?.
(2)移项,得3x(x-2)+2(x-2)=0,则(3x+2)(x-2)=0,
∴3x+2=0或x-2=0,∴x1=-?,x2=2.
1.(2017河南南阳宛城期末)在实数范围内定义一种运算“?”,其规则
为:a?b=a2-b2-5a,则方程(x+2)??=0的所有解的和为 ????.
答案 1
解析????根据题意得(x+2)2-(?)2-5(x+2)=0,变形为(x+2)2-5(x+2)-6=0,(x+2-
6)(x+2+1)=0,即(x-4)(x+3)=0,∴x-4=0或x+3=0,解得x1=4,x2=-3.∵4+(-3)=1,
∴方程(x+2)??=0的所有解的和为1.
2.已知下列n(n为正整数)个关于x的一元二次方程:
x2-1=0 ①
x2+x-2=0 ②
x2+2x-3=0 ③
? ? ?
x2+(n-1)x-n=0 ?????
(1)请解上述一元二次方程①、②、③、…、?;
(2)请你指出这n个方程的根具有什么共同点,写出一条即可.
解析????(1)①原方程变形为(x+1)(x-1)=0,所以x1=-1,x2=1.
②原方程变形为(x+2)(x-1)=0,所以x1=-2,x2=1.
③原方程变形为(x+3)(x-1)=0,所以x1=-3,x2=1.
……
?原方程变形为(x+n)(x-1)=0,所以x1=-n,x2=1.
(2)共同点:都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数等.(写
出一条即可)
1.(2015四川遂宁中考)阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题.
计算:?×?-?×?,
令?+?+?=t,则原式=(1-t)?-?t=t+?-t2-?t-?t+t2=?.
(1)计算:?1-?-?-…-??×??+?+?+…+??-?1-?-?-…-?-
??×??+?+?+…+??;
(2)解方程(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.
解析????(1)令?+?+?+…+?=t,
则原式=(1-t)?-?t=t+?-t2-?-t+t2+?=
?.
(2)令x2+5x+1=t,则原方程可化为t(t+6)=7,
即t2+6t-7=0,因式分解得(t+7)(t-1)=0,
解得t1=-7,t2=1.
当t=-7时,x2+5x+1=-7,此时方程无实数根;
当t=1时,x2+5x+1=1,解得x1=0,x2=-5.
所以原方程的解为x1=0,x2=-5.
2.阅读例题:
解方程x2-|x|-2=0.
(1)当x≥0时,原方程可化为x2-x-2=0,
解得x1=2,x2=-1(舍去);
当x<0时,原方程可化为x2+x-2=0,
解得x1=1(舍去),x2=-2.
∴原方程的解是x=2或x=-2.
请参考上述方法解方程:x2-|x-1|-1=0.
(2)∵x2=|x|+2,
∴原方程可变为|x|2-|x|-2=0,
把|x|看成一个整体,得|x|1=2,|x|2=-1(舍去).
∴x1=2,x2=-2.
请参考上述方法解方程:x2-2x-|x-1|-5=0.
解析????(1)当x≥1时,原方程可化为x2-x=0,
解得x1=1,x2=0(舍去);
当x<1时,原方程可化为x2+x-2=0,
解得x1=-2,x2=1(舍去).
∴原方程的解是x=1或x=-2.
(2)原方程可化为|x-1|2-|x-1|-6=0,
把|x-1|看成一个整体t,得t1=3,t2=-2(舍去),
∴|x-1|=3,∴x1=4,x2=-2.
