6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程的几何应用
测试时间:25分钟
一、选择题
1.一张面积为240的长方形彩纸,长比宽大8,设它的宽为x,可列方程为( )
A.8x=240 B.x(x-8)=240 C.x(x+8)=240 D.8(8+x)=240
2.(2014湖北襄阳中考)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm,则可列方程为( )
A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64 C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64
3.如图,某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室,饲养室一面靠墙(假设墙足够长),另三面用总长58米的建筑材料围成.若设该长方形垂直于墙的一边长为x米,则下列方程正确的为( )
A.x(58-x)=200 B.x(29-x)=200 C.x(29-2x)=200 D.x(58-2x)=200
二、填空题
4.现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形,做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子.根据题意列方程,化简可得 .?
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,AC=8 cm,点P从点A出发向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从B点出发向点C以1 cm/s的速度移动.若P,Q分别同时从A,B出发,设运动时间为t s,当四边形APQB的面积是16 cm2时,t的值为 .?
6.如图,把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,则小圆形场地的半径为 .?
三、解答题
7.如图,一个正方形场地被平行于一边的一条直线分割成两个面积不等的矩形,这两个矩形的面积之差为72 m2,且面积较小的矩形的宽为7 m,求原正方形场地的边长.
8.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2?
9.用20 cm长的铁丝围矩形.
(1)当所围矩形的面积是16 cm2时,求所围矩形的长和宽;
(2)能围成面积是30 cm2的矩形吗?若能,求出矩形的长和宽;若不能,说明理由.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从A点出发沿AB以5 cm/s的速度向点B移动,到达点B时停止移动;同时,点Q从C点出发沿CD以3 cm/s的速度向点D移动,到达点D时停止移动.经过多长时间,P、Q两点之间的距离为10 cm?
6 应用一元二次方程(答案版）
第1课时 一元二次方程的几何应用
测试时间:25分钟
一、选择题
1.一张面积为240的长方形彩纸,长比宽大8,设它的宽为x,可列方程为( )
A.8x=240 B.x(x-8)=240 C.x(x+8)=240 D.8(8+x)=240
答案 C 长方形彩纸的宽为x,则长为(x+8),根据题意得x(x+8)=240.故选C.
2.(2014湖北襄阳中考)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm,则可列方程为( )
A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64 C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64
答案 B 如图,长方形的长为x cm,则宽为(20-x)cm,根据长方形的面积公式可列方程为x(20-x)=64.
3.如图,某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室,饲养室一面靠墙(假设墙足够长),另三面用总长58米的建筑材料围成.若设该长方形垂直于墙的一边长为x米,则下列方程正确的为( )
A.x(58-x)=200 B.x(29-x)=200 C.x(29-2x)=200 D.x(58-2x)=200
答案 D ∵长方形垂直于墙的一边长为x米,∴平行于墙的一边长为(58-2x)米.根据题意得x(58-2x)=200,故选D.
二、填空题
4.现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形,做成一个底面积为1 500 cm2的无盖的长方体盒子.根据题意列方程,化简可得 .?
答案 x2-70x+825=0
解析 因为小正方形的边长为x cm,所以长方体盒子的底面的长是(80-2x)cm,宽是(60-2x)cm.根据矩形面积=长×宽,即可得到(80-2x)·(60-2x)=1 500.整理,得x2-70x+825=0.
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,AC=8 cm,点P从点A出发向点C以2 cm/s的速度移动,点Q从B点出发向点C以1 cm/s的速度移动.若P,Q分别同时从A,B出发,设运动时间为t s,当四边形APQB的面积是16 cm2时,t的值为 .?
答案 2
解析 在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,AC=8 cm,∴BC==6 cm.
当运动时间为t秒时,AP=2t cm,PC=(8-2t)cm,BQ=t cm,CQ=(6-t)cm,
根据题意得×6×8-(8-2t)(6-t)=16,整理得t2-10t+16=0,解得t1=2,t2=8.
∵8-2t≥0,∴t≤4,∴t=2.
6.如图,把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,则小圆形场地的半径为 .?
答案 (5+5)m
解析 设小圆形场地的半径为x m,则大圆形场地的半径为(x+5)m,
根据题意,得π(x+5)2=2πx2,
解得x=5+5或x=5-5(不合题意,舍去).
故答案为(5+5)m.
三、解答题
7.如图,一个正方形场地被平行于一边的一条直线分割成两个面积不等的矩形,这两个矩形的面积之差为72 m2,且面积较小的矩形的宽为7 m,求原正方形场地的边长.
解析 设原正方形场地的边长为x m.
由题意得(x-7)x-7x=72,
解得x=18或x=-4(舍去).
答:原正方形场地的边长为18 m.
8.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2?
解析 设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,则平行于墙的一边长为(26-2x)m,
由题意得x(26-2x)=80,
化简,得x2-13x+40=0,解得x1=5,x2=8,
当x=5时,26-2x=16>12,舍去;当x=8时,26-2x=10<12.
答:所围矩形猪舍的长为10 m,宽为8 m时,猪舍面积为80 m2.
9.用20 cm长的铁丝围矩形.
(1)当所围矩形的面积是16 cm2时,求所围矩形的长和宽;
(2)能围成面积是30 cm2的矩形吗?若能,求出矩形的长和宽;若不能,说明理由.
解析 (1)设所围矩形的长为x cm,则宽为(10-x)cm,
根据题意,得x(10-x)=16,整理,得x2-10x+16=0,
解得x1=8,x2=2.
又∵x≥10-x,∴x≥5,
∴x=8,10-x=2.
答:所围矩形的长为8 cm,宽为2 cm.
(2)假设能,设矩形的长为y cm,则宽为(10-y)cm,
根据题意,得y(10-y)=30,
整理,得y2-10y+30=0,
∵Δ=(-10)2-4×1×30=-20<0,
∴该方程无解,
∴假设不成立,即不能围成面积是30 cm2的矩形.
10.如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,点P从A点出发沿AB以5 cm/s的速度向点B移动,到达点B时停止移动;同时,点Q从C点出发沿CD以3 cm/s的速度向点D移动,到达点D时停止移动.经过多长时间,P、Q两点之间的距离为10 cm?
解析 过点Q作QE⊥AB于点E,如图所示.
设运动时间为t s,则AP=5t cm,CQ=3t cm,易得PE=|16-8t|cm,
根据勾股定理得PQ2=PE2+QE2,即102=|16-8t|2+62,
解得t1=1,t2=3.
∵5t≤16,∴t≤,
∴t1=1,t2=3均为一元二次方程的解,且符合题意.
答:经过1 s或3 s,P、Q两点之间的距离为10 cm.
1
第2课时 一元二次方程的代数应用
测试时间:25分钟
一、选择题
1.某型号的手机连续两次降价,每台手机的售价由原来的1 185元降到580元,设平均每次降价的百分率为x,则列出方程正确的是( )
A.580(1+x)2=1 185 B.1 185(1-x)2=580 C.580(1-x)2=1 185 D.1 185(1+x)2=580
2.两个连续整数的乘积为12,则这两个整数中较小的一个是( )
A.3 B.-4 C.-3或4 D.-4或3
3.某种植物的主干长出若干个数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是111,问每个支干长出多少个小分支?解:设主干长出x个支干,每个支干又长出x个小分支,由题意,所列方程正确的是( )
A.1+x+x2=111 B.x+x2=111 C.2x+1=111 D.2x=111
4.(2014天津中考)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.x(x+1)=28 B.x(x-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28
二、填空题
5.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染给
个人.?
6.在国庆节的一次同学聚会上,每人都向其他人赠送了一份小礼品,共互送110份小礼品,则参加聚会的有 名同学.?
三、解答题
7.网购已经成为一种时尚,某网络购物平台“双十一”全天的交易额逐年增长,2016年交易额为500亿元,2018年交易额为720亿元.
(1)2016年至2018年,“双十一”交易额的年平均增长率是多少?
(2)若保持原来的增长率不变,试计算2019年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元.
8.根据扬州市某风景区的旅游信息,A公司组织一批员工到该风景区旅游,支付给旅行社2 800元.问A公司参加这次旅游的员工有多少人?
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人,人均收费降低1元,但人均收费不低于55元
9.某商人开始将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,每天售出100件.后来他利用提高售价的方法来增加利润,发现这种商品每提价1元,每天的销售量就会减少10件.
(1)若他想每天的利润达到350元,求此时的售价应为每件多少元;
(2)每天的利润能否达到380元?为什么?
第2课时 一元二次方程的代数应用(答案版）
测试时间:25分钟
一、选择题
1.某型号的手机连续两次降价,每台手机的售价由原来的1 185元降到580元,设平均每次降价的百分率为x,则列出方程正确的是( )
A.580(1+x)2=1 185 B.1 185(1-x)2=580 C.580(1-x)2=1 185 D.1 185(1+x)2=580
答案 B 平均每次降价的百分率是x,根据题意列方程得,1 185(1-x)2=580.故选B.
2.两个连续整数的乘积为12,则这两个整数中较小的一个是( )
A.3 B.-4 C.-3或4 D.-4或3
答案 D 设这两个整数中较小的一个是x,则较大的一个是(x+1),根据题意,得x(x+1)=12,
解得x1=3,x2=-4.故选D.
3.某种植物的主干长出若干个数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是111,问每个支干长出多少个小分支?解:设主干长出x个支干,每个支干又长出x个小分支,由题意,所列方程正确的是( )
A.1+x+x2=111 B.x+x2=111 C.2x+1=111 D.2x=111
答案 A 根据题意列方程得x2+x+1=111,故选A.
4.(2014天津中考)要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,设比赛组织者应邀请x个队参赛,则x满足的关系式为( )
A.x(x+1)=28 B.x(x-1)=28 C.x(x+1)=28 D.x(x-1)=28
答案 B 对每一个队而言,都要和其余(x-1)个队比赛一场,考虑到重复性,故总共要比赛x(x-1)场,根据题意,总共比赛4×7=28场,可列方程为x(x-1)=28,故选B.
二、填空题
5.有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染给
个人.?
答案 7
解析 设每轮传染中平均一个人传染给x个人,
根据题意,得1+x+x(1+x)=64,
解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
故每轮传染中平均一个人传染给7个人.
6.在国庆节的一次同学聚会上,每人都向其他人赠送了一份小礼品,共互送110份小礼品,则参加聚会的有 名同学.?
答案 11
解析 设参加聚会的有x名同学,根据题意,得x(x-1)=110,
解得x1=11,x2=-10(舍去),即参加聚会的有11名同学.
三、解答题
7.网购已经成为一种时尚,某网络购物平台“双十一”全天的交易额逐年增长,2016年交易额为500亿元,2018年交易额为720亿元.
(1)2016年至2018年,“双十一”交易额的年平均增长率是多少?
(2)若保持原来的增长率不变,试计算2019年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元.
解析 (1)设2016年至2018年,“双十一”交易额的年平均增长率为x,
根据题意得500(1+x)2=720,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).
答:2016年至2018年,“双十一”交易额的年平均增长率为20%.
(2)720(1+20%)=864(亿元).
答:2019年该平台“双十一”的交易额将达到864亿元.
8.根据扬州市某风景区的旅游信息,A公司组织一批员工到该风景区旅游,支付给旅行社2 800元.问A公司参加这次旅游的员工有多少人?
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人,人均收费降低1元,但人均收费不低于55元
解析 设A公司参加这次旅游的员工有x人,
∵30×80=2 400<2 800,∴x>30.
根据题意,得x[80-(x-30)]=2 800,解得x1=40,x2=70.
当x=40时,80-(x-30)=70>55,
当x=70时,80-(x-30)=40<55,舍去.
答:A公司参加这次旅游的员工有40人.
9.某商人开始将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售,每天售出100件.后来他利用提高售价的方法来增加利润,发现这种商品每提价1元,每天的销售量就会减少10件.
(1)若他想每天的利润达到350元,求此时的售价应为每件多少元;
(2)每天的利润能否达到380元?为什么?
解析 (1)设每件这种商品的售价提高x元,则每天可售出(100-10x)件,
根据题意,得(10+x-8)(100-10x)=350,
整理,得x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5,
∴10+x=13或15.
答:此时的售价应为每件13元或15元.
(2)假设能,设每件这种商品的售价提高y元,则每天可售出(100-10y)件,
根据题意,得(10+y-8)(100-10y)=380,
整理,得y2-8y+18=0.
∵Δ=(-8)2-4×1×18=-8<0,
∴该方程无解,
∴假设不成立,
∴每天的利润不能达到380元.
3
第二章 一元二次方程
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点????列一元二次方程解应用题
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答. (1)审清题意,明确题目中有哪些量,哪些是已知量,哪些是未知量,对复杂问题多读细审;
(2)设未知数,有直接设未知数和间接设未知数两种常用方法,一般选择直接设未知数,当问题难以解决时考虑间接设未知数;
(3)列方程,这是最关键的一步,根据前面的分析,找出等量关系,把等量关系转化为方程,方程中要只含有所设的未知数;
(4)解方程,把所列的方程解出来;
(5)检验并作答,所谓的检验是要看结果是否符合实际意义,一元二次方程往往求出两个根,而其中一个根常常不符合实际意义,这就是检验,如增长率要符合增长的意义,线段长不能为负值等.
2.列方程解应用题的常见类型
例 某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:
在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,
就会少售出10件玩具.
(1)设该种品牌玩具的销售单价为x(x>40)元,请你分别用关于x的代数式
来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得的利润W(元),并把化简后的
结果填写在表格中;
销售单价/元 x
销售量y/件
销售玩具获得的利润W/元
(2)在(1)问的条件下,若商场获得了10 000元的销售利润,求该玩具的销
售单价应定为多少元.
分析 (1)由销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具,得y=600-(x-40)×10=
1 000-10x,W=(1 000-10x)(x-30)=-10x2+1 300x-30 000;
(2)令-10x2+1 300x -30 000=10 000,解这个方程即可求出x的值.
解析????(1)如下表所示:
(2)令-10x2+1 300x-30 000=10 000,得x1=50,x2=80.
故该玩具的销售单价定为50元或80元时,商场可获得10 000元的销售利润.
销售单价/元 x
销售量y/件 1 000-10x
销售玩具获得的利润W/元 -10x2+1 300x-30 000
题型一????数字问题
例1 一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和是5,把这个数的
十位上的数字与个位上的数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数
的乘积为736,求原来的两位数.
分析设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上的数字为5-x,可列表如下:
十位上的数字 个位上的数字 两位数
原来 x 5-x 10x+(5-x)
现在 5-x x 10(5-x)+x
解析????设原来的两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为5-x.根据
题意,得
[10x+(5-x)][10(5-x)+x]=736.
整理,得x2-5x+6=0.
解这个方程,得x1=2,x2=3.
当x=2时,5-x=3,则原来的两位数是23;
当x=3时,5-x=2,则原来的两位数是32.
综上所述,原来的两位数是23或32.
题型二????增长率与降低率问题
例2????(2016广西贺州中考)某地区2014年投入教育经费2 900 万元,2016
年投入教育经费3 509万元.
(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率;
(2)按照义务教育法规定,教育经费的投入不低于国民生产总值的百分
之四,结合该地区国民生产总值的增长情况,该地区到2018年需投入教
育经费4 250万元.如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区
投入的教育经费是否能达到4 250万元?请说明理由.
(参考数据:?=1.1,?=1.2,?=1.3,?=1.4)
解析????(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x,
由题意得2 900(1+x)2=3 509,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
答:2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.
(2)不能.理由:按10%的增长率,到2018年投入教育经费为
3 509×(1+10%)2=4 245.89(万元).
因为4 245.89<4 250,
所以如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区投入的教育
经费不能达到4 250万元.
例3????(2015湖北襄阳中考)如图2-6-1,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的
一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方
便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.所围矩形猪舍的长、
宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2?
?
图2-6-1
题型三????几何问题
解析????设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m,则其邻边长为(26-2x) m.
依题意,得x(26-2x)=80.化简,得x2-13x+40=0.
解这个方程,得x1=5,x2=8.
当x=5时,26-2x=16>12(舍去);
当x=8时,26-2x=10<12.
答:所建猪舍的长为10 m,宽为8 m.
注意 解答题目时,由于门不占用建筑材料,故相当于三边所用建筑材料的长度为26米.
例4 某校要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是( )
A.5 ????B.6 ????C.7 ????D.8
题型四????单、双循环问题
解析????设参赛球队的个数是x,则?x(x-1)=21,解得x1=7,x2=-6(舍去),故
选C.
答案????C
温馨提示 解决体育比赛问题,关键是分清是单循环问题还是双循环问
题.握手问题、互赠礼物问题等都是相关的单循环、双循环问题.
单循环问题 设参加队伍有n个队,则总的比赛场数为?n(n-1)
双循环问题 设参加队伍有n个队,则总的比赛场数为n(n-1)
题型五????销售问题
例5 某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元
的价格售出200个;第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但
商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,
可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售一周后,商店对
剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪
念品共获利1 250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?
分析 根据纪念品的进价和售价以及销量表示出两周的总利润,进而列出
方程求解即可.
解析????由题意得,200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[600-200-(200+
50x)]=1 250,
整理得x2-2x+1=0,
解得x1=x2=1.10-1=9(元).
答:第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元.
素养解读 数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问
题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在
实际情境中从数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,构建模型,确定
参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决实际问题.
建立一元二次方程模型解决面积和增长(降低)率问题是常见的实际问
题,销售问题也是现实生活中经常遇到的实际问题,同样可建立一元二
次方程模型解答.
例 某商店如果将进货价为每件8元的商品按每件10元售出,每天可销
售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润,如果这种商品
每件涨0.5元,其销售量就会减少10件,那么,将售价定为多少元,才能使每
天的利润为640元?
典例剖析????
解析????设每件的售价提高x元,则每件的利润为(10+x-8)元,即(x+2)元,每
天的销售量为?件.
根据题意,得(x+2)?=640,
化简,得x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6.
当x=2时,售价为每件12元,每天的销售量为200-?×10=160(件);
当x=6时,售价为每件16元,每天的销售量为200-?×10=80(件).
因为要减少进货量,所以售价定为每件16元才合适.
素养呈现 数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,随着我们学习的不
断深入,要重视数学知识与现实生活的联系.一元二次方程解应用题建
模的一般步骤为:审、设、列、解、验、答.先审题,明确已知量、未知
量,通过分析问题找出题中的数量关系、等量关系,再列出方程求解.销
售利润=(每件售价-每件进价)×销售件数,若设每件的售价提高x元,则每
件的利润为(10+x-8)元,每天的销售量为?件,根据等量关系
列方程即可.
知识点????列一元二次方程解应用题
1.(2018四川眉山中考)我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销
售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快
资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方
4 860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是?( )
A.8% ????B.9% ????C.10% ????D.11%
答案????C 设平均每次下调的百分率为x,则根据题意可得6 000(1-x)2=
4 860,解方程得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).故选C.
2.(2015广东佛山中考)如图2-6-1,将一块正方形空地划出部分区域进行
绿化,原空地一边减少了2 m,其邻边减少了3 m,剩余一块面积为20 m2的
矩形空地,则原正方形空地的边长是?( )
?
图2-6-1
A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m
答案????A 设原正方形空地的边长为x m,依题意得(x-3)·(x-2)=20,解得x1
=7,x2=-2(不合题意,舍去),∴原正方形空地的边长为7 m.故选A.
3.已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少4,这个两位数十位和个位交换位置后,新两位数与原两位数的积为1 612,那么这个两位数是?( )
A.95 ???? B.59 ???? C.26 ???? D.62
答案????D 设个位上的数字为y,十位上的数字为x,则这个两位数为10x+y,且x-4=y,交换位置后,新两位数为10y+x,则(10x+y)(10y+x)=1 612,即(11x-4)(11x-40)=1 612,整理得x2-4x-12=0,解得x=6 或x=-2(舍去),则10x+y=60+(6-4)=62.故这个两位数是62.故选D.
4.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛
一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过
程,并完成填空.
解:设应邀请x支球队参赛,则每队共打 ????场比赛,比赛总场数用代
数式表示为 ????,根据题意,可列出方程 ????.
整理,得 ????.
解这个方程,得 ????.
合乎实际意义的解为 ????.
答:应邀请 ????支球队参赛.
答案 (x-1);?x(x-1);?x(x-1)=28;x2-x-56=0;x1=8,x2=-7;x=8;8
解析????设应邀请x支球队参赛,则每队共打(x-1)场比赛,比赛总场数用代
数式表示为?x(x-1).
根据题意,可列出方程?x(x-1)=28.
整理,得x2-x-56=0,
解得 x1=8,x2=-7.
合乎实际意义的解为 x=8.
答:应邀请 8支球队参赛.
5.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备
将院内一块长30 m,宽20 m的长方形空地,建成一个矩形花园,要求在花
园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如
图2-6-2,要使种植花草的面积为532 m2,那么小道进出口的宽度应为多
少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
?
图2-6-2
解析????设小道进出口的宽度为x m.依题意得(30-2x)(20-x)=532.
整理,得x2-35x+34=0.解得x1=1,x2=34.
∵34>30(不合题意,舍去),∴x=1.
答:小道进出口的宽度应为1 m.
1.(2014江苏宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是 ????m.
答案 12
解析????设矩形菜地的长为x m,则宽为(x-2)m,由题意得x(x-2)=120,解得x1
=12,x2=-10(舍去),故原菜地的长为12 m.
2.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n= ????.
答案 10
解析????由题意,得n+n2+1=111,解得n1=-11(舍去),n2=10.
3.(2015贵州黔西南州中考)某精品店购进甲乙两种小礼品,已知1件甲种
礼品的进价比1件乙种礼品的进价多1元,购进2件甲种礼品与1件乙种礼
品共需11元.
(1)求甲种礼品的进价;
(2)经市场调查发现,若甲种礼品按6元/件销售,每天可卖40件;若按5元/件
销售,每天可卖60件.假设每天销售的件数y(件)与售价x(元/件)之间满
足一次函数关系,求y与x之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当甲种礼品的售价定为多少时,才能使每天销售甲种
礼品的利润为60元?
解析????(1)设甲种礼品的进价为m元,则乙种礼品的进价为(m-1)元,则2m
+m-1=11,解得m=4.
答:甲种礼品的进价为4元.
(2)设y与x的关系式为y=kx+b(k≠0),把x=6,y=40;x=5,y=60代入上式得
?解得?
∴y与x的关系式为y=-20x+160.
(3)由题意得(x-4)(-20x+160)=60,
整理得x2-12x+35=0,
解得x=5或x=7.
答:当甲种礼品的售价定为5元或7元时,才能使每天销售甲种礼品的利润为60元.
1.如图2-6-3,在长为70 m,宽为40 m的长方形花园中,欲修宽度相等的观
赏路(阴影部分所示),要使观赏路的面积占总面积的?,则路宽x应满足的
方程是?( )
图2-6-3
A.(40-x)(70-x)=350 B.(40-2x)(70-3x)=2 450
C.(40-2x)(70-3x)=350 D.(40-x)(70-x)=2 450
答案????B 由题意得(40-2x)(70-3x)=?×70×40,即(40-2x)(70-3x)=2 450.故选B.
2.已知平面中有n个点,A,B,C三个点在一条直线上,A,D,E,F四个点也在
一条直线上,除此之外,再没有三点共线或四点共线,以这n个点为直线上
的点作直线,一共可以作出38条不同的直线,则n等于?( )
A.9 ???? B.10 ???? C.11 ???? D.12
答案????B 由n个点每次选取两个点作直线,可以作出?条直线.
若A,B,C三点不在一条直线上,可以作出3条直线;若A,D,E,F四点不在一
条直线上,可以作出6条直线,∴?-3-6+2=38,整理得n2-n-90=0,∴(n-
10)(n+9)=0,解得n=10或n=-9(舍去),故选B.
3.图2-6-4是某月的日历,在此日历上可以用一个矩形圈出3×3个位置相
邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小
数的积为192,则这9个数的和为 ????.
?
图 2-6-4
解析????根据日历表可以得出,圈出的9个数中,最大数与最小数的差为16.
设最小数为x,则最大数为x+16,根据题意,得x(x+16)=192,
解得x1=8,x2=-24(不合题意,舍去),
故这9个数为8,9,10,15,16,17,22,23,24,
这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
答案 144
4.以下是龙湾风景区旅游信息:
根据以上信息,某公司组织一批员工到该风景区旅游,支付给旅行社2 800
元.从中可以推算出该公司参加旅游的人数为 ????.
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费80元
超过30人 每增加1人,人均收费降低1元,但人均收费不低于50元
答案 40
解析????因为30×80=2 400<2 800,所以人数超过30人.设该公司参加旅游
的人数为x,依题意可知x[80-(x-30)]=2 800,解得x=40或x=70.
当x=40时,80-(x-30)=70>50;当x=70时,80-(x-30)=80-40=40<50,故应舍去.
故该公司参加旅游的人数为40.
5.(2018江苏盐城中考)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件
盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利
不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均
每天可多售出2件.
(1)若降价3元,则平均每天销售数量为 ????件;
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元?
解析????(1)26.
(2)设每件商品降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天销售数量为
(20+2x)件,
由题意得(40-x)(20+2x)=1 200,
解得x1=10,x2=20.
当x=10时,40-x=40-10=30>25;
当x=20时,40-x=40-20=20<25,不符合题意,舍去.
答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元.
1.如图,把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积扩大了
一倍,则小圆形场地的半径为?( )
?
A.5 m B.(5+?)m
C.(5+3?)m D.(5+5?)m
答案????D 设小圆形场地的半径为x m,则大圆形场地的半径为(x+5)m,
根据题意得π(x+5)2=2πx2,
解得x=5+5?或x=5-5?(不合题意,舍去).
故选D.
2.某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本,经过两轮培殖
后,总和达24 000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的
有益菌.
(1)每轮分裂中,平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培殖后有多少个有益菌?
解析????(1)设每轮分裂中,平均每个有益菌可分裂出x个有益菌,根据题
意,得60(1+x)2=24 000.
解这个方程,得x1=19,x2=-21(不合题意,舍去).
答:每轮分裂中,平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.
(2)由(1)可得60×(1+19)3=60×203=480 000(个).
答:经过三轮培殖后共有480 000个有益菌.
3.如图,中间用相同的白色正方形瓷砖,四周用相同的黑色长方形瓷砖铺
设矩形地面,请观察图形并解答下列问题.
(1)依据规律在第6个图形中,黑色瓷砖有 ??块,白色瓷砖有 ?????块;
(2)某学校教室要装修,每间教室面积为68 m2,准备定制边长为0.5米的白色正方形瓷砖和长为0.5米、宽为0.25 米的黑色长方形瓷砖来铺地面,按照
此图案进行装修,瓷砖无需切割,恰好完成铺设.已知白色瓷砖每块20元,黑色瓷砖每块10元,请问每间教室铺设瓷砖共需要多少元?
解析????(1)28;42.
通过观察图形可知,当n=1时,黑色瓷砖有8块,白色瓷砖有2块;
当n=2时,黑色瓷砖有12块,白色瓷砖有6块;
当n=3时,黑色瓷砖有16块,白色瓷砖有12块,
则在第n个图形中,黑色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4(n+1),白色瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n(n+1),当n=6时,黑色瓷砖有4×(6+1)=28块,白色瓷砖有6×(6+1)=42块.
(2)设按第n个图案进行装修,根据题意,得0.52×n(n+1)+0.5×0.25×4(n+1)=68,
解得n1=15,n2=-18(不合题意,舍去), 则白色瓷砖的块数为n(n+1)=240,
黑色瓷砖的块数为4(n+1)=64,
所以每间教室铺设瓷砖共需要20×240+10×64=5 440元.
答:每间教室铺设瓷砖共需要5 440元.
4.如图所示,一根木棍OE垂直平分柱子AB,AB=200 cm,OE=260 cm,一只
老鼠C由柱子底端A点以2 cm/s的速度向顶端B点爬行,同时,另一只老鼠
D由O点以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行.问:是否存在这样的时刻,使两只
老鼠与O点组成的三角形的面积为1 800 cm2?
?
解析????存在.理由:
(1)当老鼠C在AO上运动时,设两只老鼠同时爬行经过x s,两只老鼠与O
点组成的△COD的面积为1 800 cm2,即S△OCD=1 800 cm2,则AC=2x cm,OC
=(100-2x)cm,OD=3x cm.
由S△OCD=?OC·OD,得?(100-2x)·3x=1 800,
整理,得x2-50x+600=0.解得x1=20,x2=30.
(2)如图,当老鼠C在OB上运动时,设两只老鼠同时爬行经过x s,两只老鼠
与O点组成的△C'OD'的面积为1 800 cm2,即S△C'OD'=1 800 cm2,
则AC'=2x cm,OC'=(2x-100)cm,OD'=3x cm.
由S△C'OD'=?OC'·OD',得?(2x-100)·3x=1 800.
整理,得x2-50x-600=0,解得x1=60,x2=-10(舍去).
综合以上两种情况,在20 s,30 s或60 s时,两只老鼠C,D与O点组成的三角形的面积为1 800 cm2.
1.(2019天津红桥期中,6,★★☆)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,一
共碰杯55次,设参加酒会的人数为x,则可列方程为?( )
A.?x(x-1)=55 ????B.x(x-1)=55
C.?x(x+1)=55 ????D.x(x+1)=55
答案????A 根据题意得?x(x-1)=55,故选A.
2.(2017宁夏中卫海原期中,22,★★☆)如图2-6-5,在宽为20 m、长为30 m
的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积
需要551 m2,则修建的道路宽应为多少?
?
图2-6-5
解析????设修建的道路宽为x m.
根据题意列方程为20×30-(30x+20x-x2)=551,
解得x1=49(舍去),x2=1.
答:修建的道路宽为1 m.
3.(2019江苏镇江句容月考,25,★★☆)某天猫店销售某种规格的学生软
式排球,成本为每个30元.以往销售的大数据分析表明:当每个售价为40
元时,平均每月售出600个;若售价每上涨1元,其月销售量就减少20个,若
售价每下降1元,其月销售量就增加200个.
(1)若售价上涨m元,每月能售出 ????个排球(用含m的代数式表示);
(2)为迎接“双十一”,该天猫店在10月底备货1 300个该规格的排球,并
决定整个11月份进行降价促销,问售价定为多少元时,能使11月份这种
规格的排球获利恰好为8 400元?
解析????(1)(600-20m).
(2)设每个排球降价x元,则11月份可售出该种排球(200x+600)个,
根据题意得(40-x-30)(200x+600)=8 400,
解得x1=3,x2=4.
当x=3时,200x+600=1 200<1 300,符合题意;
当x=4时,200x+600=1 400>1 300,舍去.
∴40-x=37.
答:每个排球的售价为37元.
4.(2019江苏常州期中,22,★★☆)如图2-6-6,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=
8 cm,点P从点A沿边AB以1 cm/s的速度向点B移动,同时点Q从点B沿边
BC以2 cm/s的速度向点C移动,当P、Q两点中有一个点到终点时,则另
一个点也停止运动.当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时,求点
P运动的时间.
?
图2-6-6
解析????设当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时,点P运动了x秒.
根据题意得
?×8×x+?×2x(6-x)+?×6(8-2x)+?=6×8,
化简得2x2-10x+?=0,
解这个方程得x1=?,x2=?(不符合题意,舍去).
答:当△DPQ的面积比△PBQ的面积大19.5 cm2时,点P运动了?秒.
1.(2018重庆二十三中月考,10,★☆☆)北碚区某中学大力发展“红色底
蕴,绿色发展”的校园文化建设,教育教学质量逐年提高,赢得了社会各
界的关注和好评.近几年来,每年高一新生报名人数均创新高.已知该校
2015年高一招生450人,2017年达到648人,假设每年招生人数的增长率相
同,请你预计该校2018年的高一招生人数大约为( )
A.678 ???? B.728 ? ? ??C.758 ????D.778
答案????D 设每年招生人数的增长率为x,根据题意得450(1+x)2=648,解
得x=0.2或x=-2.2(舍去),648×(1+0.2)≈778(人).所以预计该校2018年高一
大约招生778人.故选D.
2.(2017四川自贡期中,8,★★☆)如图,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩条的宽度比为2∶1,如果要使彩条所占面积是图案面积的?,则竖彩条的宽度为( )
A.1 cm B.2 cm C.19 cm D.1 cm或19 cm
答案????A 设竖彩条的宽度为x cm,则横彩条的宽度为2x cm,则(30-2x)(20-
4x)=30×20×?,
整理得x2-20x+19=0,
解得x1=1,x2=19(不合题意,舍去).
故竖彩条的宽度为1 cm.故选A.
3.(2017河南郑州经纬中学月考,20,★★☆)端午节期间,某食品店平均每
天可卖出300个粽子,且卖出1个粽子的利润是1元.经调查发现,零售单价
每下降0.1元,每天可多卖出100个粽子.为了使每天获取的利润更多,该
店决定把零售单价下降m(0
定为多少时,才能使该店每天获取的利润是420元,并且卖出的粽子更多?
解析????由题意得(1-m)?=420.
化简,得100m2-70m+12=0,
即m2-0.7m+0.12=0,
解得m=0.4或m=0.3.
易知,当m=0.4时卖出的粽子更多.
答:当m定为0.4时,才能使该店每天获取的利润是420元,并且卖出的粽子更多.
4.(2017江苏南京鼓楼期中,26,★★☆)某青年旅社有60间客房供游客居住,在旅游旺季,当客房的定价为每天200元时,所有客房都可以住满.客房的定价每提高10元,就会有1间客房空闲,对有游客入住的客房,旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用.设每间客房的定价提高了x元. (8分)
(1)填表(不需化简);
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200 60×20
提价后
(2)若该青年旅社希望每天的纯收入为14 000元且能吸引更多的游客,则
每间客房的定价应为多少元?(纯收入=总收入-维护费用)
解析????(1)60-?;200+x;20?.
(2)根据题意,得?(200+x)-20?=14 000.整理,得x2-420x+
32 000=0,
解这个方程,得x1=320,x2=100.
当x=320时,有游客居住的客房为60-?=28(间);
当x=100时,有游客居住的客房为60-?=50(间).
所以当x=100时能吸引更多的游客,每间客房的定价应为200+100=300 (元).
答:每间客房的定价应为300元.
填空题
(2018黑龙江龙东中考,15,★★☆)某中学组织初三学生进行篮球比赛,
以班为单位,每两班之间都比赛一场,计划安排15场比赛,则共有多少个
班级参赛??( )
A.4 ????B.5 ????C.6 ????D.7
答案????C 设有x个班级参赛,根据题意得?x(x-1)=15,解得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去),∴共有6个班级参赛,故选C.
1.(2016台湾省中考,15,★★☆)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和
丙、丁两个等腰直角三角形所组成的,其中甲、乙的面积和等于丙、丁
的面积和.若丙的一股长为2,且丁的面积比丙的面积小,则丁的一股长为
何??( )
?
A.? ????B.? ????C.2-? ????D.4-2?
答案????D 设丁的一股长为a,且a<2,∵甲面积+乙面积=丙面积+丁面积,
∴2a+2a=?×22+?×a2,∴4a=2+?a2,∴a2-8a+4=0,∴a=?=
?=4±2?,∵4+2?>2,不合题意,4-2?<2,合题意,∴a=4-2?.故选D.
2.(2016内蒙古包头中考,23,★★☆)一幅长20 cm,宽12 cm的图案,如图,
其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3∶2,设竖彩条的宽度
为x cm,图案中三条彩条所占面积为y cm2.(10分)
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的?,求横、竖彩条的宽度.
?
解析????(1)根据题意可知,横彩条的宽度为?x cm.
∴y=20×?x+2×12·x-2×?x·x=-3x2+54x,
∴y与x之间的函数关系式为y=-3x2+54x.
(2)-3x2+54x=?×20×12,
整理,得x2-18x+32=0,
解得x1=2,x2=16(舍去),∴?x=3.
答:横彩条的宽度为3 cm,竖彩条的宽度为2 cm.
3.(2017四川眉山中考,24,★★☆)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六
个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调
查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品?
(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.
若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,该烘焙店生产的是第几
档次的产品?
解析????(1)设此批次蛋糕属第x档次产品,则
10+2(x-1)=14,解得x=3.
答:此批次蛋糕属第三档次产品.
?或:∵?+1=3,∴此批次蛋糕属第三档次产品?
(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品,根据题意,得
[10+2(x-1)][76-4(x-1)]=1 080,
解得x1=5,x2=11(舍去).
答:该烘焙店生产的是第五档次的产品.
1.在一块长8 m,宽6 m的长方形荒地上建一个花园,要求花园所占面积
为荒地面积的一半,图2-6-7①是小明的设计方案,花园四周小路的宽度
相等,通过解方程小明得到小路的宽为1 m或6 m.图2-6-7②是小丽的设
计方案,其中花园四个角上的扇形都相同.
(1)你认为小明的计算结果对吗?请说明理由;
(2)请你帮小丽求出图中的x的值(π取3,结果精确到0.1);
(3)你还有其他的设计方案吗?请在图2-6-7③中画出你设计的草图,并简
要说明.
?
① ② ③
图2-6-7
解析????(1)小明的计算结果不对.理由:
设小路的宽为x m,
根据题意得(8-2x)(6-2x)=?×8×6,
解得x1=1,x2=6.
因为荒地的宽为6 m,所以x=6不符合题意,舍去.
所以小路的宽为1 m.
(2)由题意得4×?=?×8×6,所以x2=?,所以x≈2.8(负值舍去).
(3)举例如图所示,取四条边的中点,依次连接各边中点所得的四边形即
为所要设计的花园的草图.
2.读诗解题,通过列方程算出周瑜去世时的年龄.
大江东去浪淘尽,千古风流数人物;
而立之年督东吴,早逝英年两位数;
十位恰小个位三,个位平方与寿符.
哪位学子算得快,多少年华属周瑜.
解析????设周瑜去世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为(x-3),依题意,
可得x2=10(x-3)+x,即x2-11x+30=0,解得x1=5,x2=6.
当x=5时,周瑜去世时的年龄x2=25岁<30岁,不符合题意,舍去;
当x=6时,周瑜去世时的年龄x2=36岁,符合题意.
答:周瑜去世时36岁.
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P、Q同时由A、B两点出发,分别沿
AC、BC方向向C点匀速运动,其速度均为2 m/s, ????s后△PCQ的
面积是△ABC面积的一半.?( )
?
A.1.5 B.9 C.1.5或9 D.10
答案????A 设t s后△PCQ的面积是△ABC面积的一半,则PC=AC-AP=(12-
2t)m,CQ=BC-BQ=(9-2t)m,∴△PCQ的面积为?PC·CQ=?(12-2t)(9-2t)=
(6-t)·(9-2t)m2,∵△PCQ的面积是△ABC面积的一半,又△ABC的面积为
?AC·BC=?×12×9=54(m2),∴(6-t)·(9-2t)=?×54,解得t1=1.5,t2=9(不合题意,
舍去),即1.5 s后△PCQ的面积是△ABC面积的一半.故选A.
2.(2014浙江湖州中考)已知某市2013年企业用水量x(吨)与该月应交的水费y(元)之间的函数关系如图所示.
(1)当x≥50时,求y关于x的函数关系式;
(2)若某企业2013年10月份的水费为620元,求该企业2013年10月份的用水量;
(3)为贯彻省委“五水共治”发展战略,鼓励企业节约用水,该市自2014
年1月份开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费,规定:若企业
月用水量x超过80吨,则除按2013年收费标准收取水费外,超过80吨的部
分每吨另加收? 元,若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600
元,求这个企业该月的用水量.
?
第二章 一元二次方程
初中数学（北师大版）
九年级 上册
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.方程①2x2-9=0,②?-?=0,③xy+x2=9,④7x+6=x2中,一元二次方程有?
( )
A.1个 ????B.2个 ????C.3个 ????D.4个
答案????B 因为②?-?=0中分母含有未知数,③xy+x2=9中含有两个未
知数,所以②③不是一元二次方程,而①④是一元二次方程,故选B.
2.(2019江苏镇江句容中考)用配方法解一元二次方程x2+2x-1=0,配方后
得到的方程是?( )
A.(x-1)2=2 ????B.(x-1)2=3
C.(x+1)2=2 ????D.(x+1)2=3
答案????C 把方程x2+2x-1=0的常数项移到等号的右边,得x2+2x=1,方程
两边同时加上一次项系数一半的平方,得x2+2x+1=1+1,配方得(x+1)2=2,
故选C.
3.(2017上海中考)下列方程中,没有实数根的是?( )
A.x2-2x=0 ????B.x2-2x-1=0
C.x2-2x+1=0 ????D.x2-2x+2=0
答案????D????A选项,Δ=(-2)2-4×1×0=4>0;
B选项,Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0;
C选项,Δ=(-2)2-4×1×1=0;
D选项,Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,
∴D选项中的方程没有实数根,故选D.
4.(2018江苏盐城模拟)已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的
值为?( )
A.-2 ?? ??B.2 ? ???C.-4 ????D.4
答案????B 本题中a=1,b=k,c=-3,由“两根之和=-?,两根之积=?”得另
一个根为-3÷1=-3,∴-3+1=-k,即k=2.
5.已知a是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是
?( )
A.0C.1.5答案????C 解方程x2-x-1=0得x=?,∵a是方程x2-x-1=0较大的根,∴a=
?,∵2∴1.56.(2018四川眉山中考)若α,β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根,则?+?
的值是?( )
A.? ????B.-? ????C.-? ????D.?
答案????C 由根与系数的关系可知:α+β=-?,αβ=-3,所以?+?=?=
?=?=-?,故选C.
7.(2018宁夏中考)某企业2018年年初获利润300万元,到2020年年初计划
利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是?(???? )
A.300(1+x)=507
B.300(1+x)2=507
C.300(1+x)+300(1+x)2=507
D.300+300(1+x)+300(1+x)2=507
答案????B 因为年利润的平均增长率为x,所以2019年年初获利润300(1+x)万元,2020年年初获利润300(1+x)2万元.那么可列方程为300(1+x)2=507.
8.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长为方程y2-7y+10=0的一个根,
则菱形ABCD的周长为?( )
A.8 ????B.20 ????C.8或20 ????D.10
答案????B 解方程y2-7y+10=0得y1=2,y2=5.当y=2时,由于一条对角线的长
为6,2+2<6,与三角形三边关系矛盾,故舍去;当y=5时,5+5>6,符合三角形
三边关系,所以菱形的周长为5×4=20.故选B.
9.(2017天津和平三模)某种植物的主干长出若干数目的枝干,每个枝干
又长出同样数目的小分支,主干、枝干和小分支的总数是91.设每个枝
干长出x个小分支,则x满足的关系式为?( )
A.x+x2=91 ????B.1+x2=91
C.1+x+x2=91 ????D.1+x(x-1)=91
答案????C 根据题意得x2+x+1=91.故选C.
10.已知m是整数,且满足?则关于x的方程m2x2-4x-2=(m+2)x2+3x
+4的解为?( )
A.x1=-2,x2=-?
B.x1=2,x2=?
C.x=-?
D.x1=-2,x2=-?,x3=-?
答案????A 解不等式组?得?即?∵m是整数,∴m=1,则原方程可化为2x2+7x+6=0,解得x1=-2,x2=-?.故选A.
11.(2018福建龙岩上杭期中)一元二次方程3x(x-3)=2x2+1化成一般形式
为 ????.
答案????x2-9x-1=0
解析????一元二次方程3x(x-3)=2x2+1去括号、移项、合并同类项,得x2-9x-1=0.
12.(2016四川雅安中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实
数根为2,则另一实数根及 m的值分别为 ????.
答案 -4,2
解析????设另一实数根为x2.由根与系数的关系得2x2=-8,2+x2=-m,所以x2=-4,
m=2,
则另一实数根及m的值分别为-4,2.
13.写出一个一元二次方程,使它的两根互为相反数,该方程可以是 ??? ????.
答案????x2-4=0(答案不唯一)
解析????因为方程的两根互为相反数,根据两根之和公式可知一次项系数为0,
为了保证方程有意义,Δ必须大于或等于0,
所以一元二次方程可写为x2-4=0等.
14.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1,x2满足3x1x2-x1-x2>
2,则m的取值范围是 ????.
答案 3解析????依题意得?
解得?所以315.(2017湖南岳阳中考)在△ABC中,BC=2,AB=2?,AC=b,且关于x的方
程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为 ????.
答案 2
解析????因为关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,所以Δ=(-4)2-4b
=16-4b=0,所以AC=b=4,又因为BC=2,AB=2?,所以BC2+AB2=AC2,所以三
角形ABC为直角三角形,AC为斜边,则AC边上的中线长为斜边的一半,即2.
16.(2017山东潍坊诸城期中)已知线段AB的长为2,以AB为边在AB的下
方作正方形ACDB.取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形
AENM.过点E作EF⊥CD,垂足为点F,如图2-7-1.若正方形AENM与四边
形EFDB的面积相等,则AE的长为 ????.
?
图2-7-1
答案?????-1
解析????设AE=x,则BE=2-x,∵正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,
∴x2=2(2-x),解得x1=?-1,x2=-?-1(舍去).∴AE的长为?-1.
17.(8分)解下列方程:
(1)3x2-6x+2=0;
(2)9(x-2)2-4x2=0.
解析????(1)3x2-6x+2=0,
∴x2-2x+?=0,
∴(x-1)2=?,
∴x1=1+?,x2=1-?.
(2)9(x-2)2-4x2=0,
∴[3(x-2)+2x][3(x-2)-2x]=0,
∴(5x-6)(x-6)=0,
∴x1=?,x2=6.
18.(2019广东广州越秀期中)(7分)已知关于x的方程x2-2mx+m2-4m-1=0.
(1)若这个方程有实数根,求m的取值范围;
(2)若此方程有一个根是1,请求出m的值.
解析????(1)根据题意知Δ=(-2m)2-4(m2-4m-1)≥0,
解得m≥-?.
(2)将x=1代入方程得1-2m+m2-4m-1=0,
整理,得m2-6m=0,
解得m1=0,m2=6,
由(1)可知m≥-?,
∴m=0和m=6均符合题意,
故m=0或m=6.
19.(2019江苏镇江句容期中)(7分)如图2-7-2,学校要用长24米的篱笆围
成一个长方形生物园ABCD,EF是ABCD内用篱笆做成的竖直隔断.为了
节约材料,场地的一边CD借助原有的一面墙,墙长为12米,长方形生物园
ABCD的面积为45平方米,求长方形场地的边AD的长.
?
图2-7-2
解析????设AD的长为x米,则AB的长为(24-3x)米,
根据题意得x(24-3x)=45,
化简得x2-8x+15=0,
解得x1=3,x2=5.
当x=3时,24-3x=15>12(不符合题意,舍去);
当x=5时,24-3x=9.
答:长方形场地ABCD的边AD的长为5米.
20.(2019天津红桥期中)(8分)某商品现在的售价为每件60元,每月可卖
出300件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每月要少卖出10件.该商
品的进价为每件40元,设每件涨价x元.
(1)根据题意,填写下表:
每件涨价/元 0 4 8 … x
每件利润/元 20 24 ???? … ????
月卖出量/件 300 ???? 220 … ????
(2)若该商品上个月的销售利润为5 250元,求上个月该商品的定价.
解析????(1)300-10×4=260,20+8=28,
当每件涨价x元时,每件的利润为(20+x)元,每月可卖出(300-10x)件,
故答案为260;28;20+x;300-10x.
(2)根据题意得(20+x)(300-10x)=5 250,
整理得x2-10x-75=0,
解得x1=-5(舍去),x2=15.
∴60+x=75(元).
答:上个月该商品的定价为75元.
21.(2019江苏扬州邗江期中)(8分)如图2-7-3,△ABC中,∠B=90°,AB=9,
BC=12,点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动,与此同时,点Q
从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时
出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,点P、Q运动了t秒,问:
(1)填空:BQ= ????cm,PB= ????cm(用含t的代数式表示);
(2)经过几秒,PQ的长为6? cm?
(3)经过几秒,△PBQ的面积等于8 cm2?
?
图2-7-3
解析????(1)根据题意得BQ=2t cm,PB=(9-t)cm.
故答案为2t;9-t.
(2)根据题意得(9-t)2+(2t)2=(6?)2,
整理得5t2-18t+9=0,
解得t1=?,t2=3,
∴经过?秒或3秒,PQ的长为6? cm.
(3)根据题意得?×(9-t)×2t=8,
整理得t2-9t+8=0,
解得t1=8,t2=1,
由题意知0≤t≤6,∴t=1.
答:经过1秒,△PBQ的面积等于8 cm2.
22.(8分)学校为了美化校园环境,在一块长40米,宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米,宽7米的长方形花圃.
(1)若在这块空地上设计一个长方形花圃,使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米,请你给出你认为合适的三种不同的方案;
(2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米?如果能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能,请说明理由.
解析????(1)方案一:长为9?米,宽为7米.
方案二:长为9米,宽为7?米.
方案三:长=宽=8米.
(2)在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增加2平方米.
由题意得长方形花圃长与宽的和为16米.
设长方形花圃的长为x米,则宽为(16-x)米.
解法一:由题意得x(16-x)=9×7+2,
整理得x2-16x+65=0,
∵Δ=(-16)2-4×1×65=-4<0,
∴此方程无实数根,
∴在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增加2平方
米.
解法二:由题意得S长方形花圃=x(16-x)=-x2+16x=-(x-8)2+64.∴当x=8时,S长方形花圃
取得最大值,最大值为64.
∴在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃的最大面积为64平方
米,因此不能增加2平方米.
