1 成比例线段
第1课时 成比例线段的概念及等积性
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2019上海徐汇一模)某零件长40厘米,若该零件在设计图上的长是2毫米,则这幅设计图的比例尺是( )
A.1∶2 000 B.1∶200 C.200∶1 D.2 000∶1
2.(2019广东揭西期末)已知四条线段a、b、c、d成比例,其中b=3 cm,c=8 cm,d=12 cm,则a=( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
3.(2019福建南安期中)下列四条线段中,不能成比例的是( )
A.a=4,b=8,c=5,d=10 B.a=2,b=2,c=,d=5
C.a=1,b=2,c=3,d=4 D.a=1,b=2,c=2,d=4
4.(2018上海嘉定一模)已知线段a、b、c、d,如果ab=cd,那么下列式子中一定正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
二、填空题
5.(2019上海宝山一模)甲、乙两地的实际距离为500千米,甲、乙两地在地图上的距离为10厘米,那么图上距离为4.5厘米的两地之间的实际距离为 千米.?
6.已知a=2 m,b=8 m,c=4 m,若a,b,c,d是成比例线段,则d= m;若b,a,c,d是成比例线段,则d= m.?
三、解答题
7.如图,已知=,且AD=6.4 cm,DB=4.8 cm,EC=4.2 cm.求AC的长.
8.(2019安徽合肥瑶海期中)已知三个数2、4、8,请你再添上一个数,使它们成比例,求出所有符合条件的数.
1 成比例线段(答案版）
第1课时 成比例线段的概念及等积性
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2019上海徐汇一模)某零件长40厘米,若该零件在设计图上的长是2毫米,则这幅设计图的比例尺是( )
A.1∶2 000 B.1∶200 C.200∶1 D.2 000∶1
答案 B 因为2毫米=0.2厘米,所以0.2厘米∶40厘米=1∶200,所以这幅设计图的比例尺是1∶200.故选B.
2.(2019广东揭西期末)已知四条线段a、b、c、d成比例,其中b=3 cm,c=8 cm,d=12 cm,则a=( )
A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
答案 A ∵四条线段a、b、c、d成比例,∴=,∵b=3 cm,c=8 cm,d=12 cm,
∴=,∴a=2 cm.故选A.
3.(2019福建南安期中)下列四条线段中,不能成比例的是( )
A.a=4,b=8,c=5,d=10 B.a=2,b=2,c=,d=5
C.a=1,b=2,c=3,d=4 D.a=1,b=2,c=2,d=4
答案 C A.4×10=5×8,能成比例;B.2×5=2×,能成比例;C.1×4≠2×3,不能成比例;D.1×4=2×2,能成比例.故选C.
4.(2018上海嘉定一模)已知线段a、b、c、d,如果ab=cd,那么下列式子中一定正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
答案 C ∵ab=cd,∴=.故选C.
二、填空题
5.(2019上海宝山一模)甲、乙两地的实际距离为500千米,甲、乙两地在地图上的距离为10厘米,那么图上距离为4.5厘米的两地之间的实际距离为 千米.?
答案 225
解析 ∵甲、乙两地的实际距离为500千米,甲、乙两地在地图上的距离为10厘米,
∴比例尺==,
设图上距离为4.5厘米的两地之间的实际距离为x厘米,则
=,
解得x=22 500 000,
∵22 500 000厘米=225千米,
∴图上距离为4.5厘米的两地之间的实际距离为225千米.
故答案为225.
6.已知a=2 m,b=8 m,c=4 m,若a,b,c,d是成比例线段,则d= m;若b,a,c,d是成比例线段,则d= m.?
答案 16;1
解析 ∵a,b,c,d是成比例线段,
∴=,即=,
∴d=16 m.
∵b,a,c,d是成比例线段,
∴=,即=,∴d=1 m.
三、解答题
7.如图,已知=,且AD=6.4 cm,DB=4.8 cm,EC=4.2 cm.求AC的长.
解析 ∵=,∴=.
∴AE=5.6 cm.
则AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8(cm).
8.(2019安徽合肥瑶海期中)已知三个数2、4、8,请你再添上一个数,使它们成比例,求出所有符合条件的数.
解析 设添加的数为x,
当2∶4=8∶x时,x=16;
当4∶x=8∶2时,x=1;
当8∶x=4∶2时,x=4;
当4∶8=2∶x时,x=4.
所以可以添加的数为1,4,16.
1
第2课时 成比例线段的等比性
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2019陕西西安碑林期中)已知==,且b+d≠0,下列各式正确的是( )
A.2c=3d B.= C.= D.=
2.(2019福建泉州期末)若=,则的值为( )
A. B. C. D.-
二、填空题
3.(2019广东揭西期末)已知==(x、y、z均不为零),则= .?
三、解答题
4.(2018浙江宁波慈溪期中)已知=,求下列算式的值.
(1);(2).
5.已知x∶y∶z=2∶3∶4,求的值.
6.(2019甘肃兰州期末)已知△ABC和△DEF中,有===,且△ABC和△DEF的周长之差为15厘米,求△ABC和△DEF的周长.
7.我们知道:选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么就说两条线段的比AB∶CD=m∶n,如果把表示成比值k,那么=k,或AB=kCD.请完成以下问题:
(1)四条线段a,b,c,d中,如果 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段;?
(2)已知==2,那么= ,= ;?
(3)如果=,那么=成立吗?请用两种方法说明其中的理由;
(4)如果===m,求m的值.
第2课时 成比例线段的等比性(答案版）
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2019陕西西安碑林期中)已知==,且b+d≠0,下列各式正确的是( )
A.2c=3d B.= C.= D.=
答案 D ∵==,且b+d≠0,∴==,故选D.
2.(2019福建泉州期末)若=,则的值为( )
A. B. C. D.-
答案 B 由=,设a=5x,b=3x(x≠0),把a=5x,b=3x代入,==,故选B.
二、填空题
3.(2019广东揭西期末)已知==(x、y、z均不为零),则= .?
答案
解析 设x=5k,y=4k,z=3k(k≠0),则
==,
故答案为.
三、解答题
4.(2018浙江宁波慈溪期中)已知=,求下列算式的值.
(1);(2).
解析 (1)∵=,∴==.
(2)∵=,∴设a=3k,b=2k(k≠0),
∴===.
5.已知x∶y∶z=2∶3∶4,求的值.
解析 ∵x∶y∶z=2∶3∶4,
∴设x=2k,y=3k,z=4k(k≠0),
∴===.
6.(2019甘肃兰州期末)已知△ABC和△DEF中,有===,且△ABC和△DEF的周长之差为15厘米,求△ABC和△DEF的周长.
解析 设△ABC和△DEF的周长分别是x厘米和y厘米.
∵===,
∴==,①
由题意可得y-x=15,②
由①式得x=y,③
将③式代入②式得y-y=15,
∴y=45,
将y=45代入③式得x=30.
答:△ABC和△DEF的周长分别是30厘米和45厘米.
7.我们知道:选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么就说两条线段的比AB∶CD=m∶n,如果把表示成比值k,那么=k,或AB=kCD.请完成以下问题:
(1)四条线段a,b,c,d中,如果 ,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段;?
(2)已知==2,那么= ,= ;?
(3)如果=,那么=成立吗?请用两种方法说明其中的理由;
(4)如果===m,求m的值.
解析 (1)四条线段a,b,c,d中,如果a∶b=c∶d,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段.
(2)∵==2,
∴a=2b,c=2d,
∴==3,==3.
(3)成立.理由如下:
方法一:∵=,
∴-1=-1,即-=-,
∴=.
方法二:设==k(k≠0),那么a=kb,c=kd,
∵==k-1,==k-1,∴=.
(4)①当x+y+z=0时,y+z=-x,z+x=-y,x+y=-z,
∴m为其中任何一个比值,即m==-1;
②当x+y+z≠0时,
m===2.
∴m=2或-1.
4
第四章 图形的相似
初中数学（北师大版）
九年级 上册
第四章 图形的相似
知识点一????线段的比及成比例线段
1.线段的比
内容
概念 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成?= ?.其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把?表示成比值k,那么?=k,或AB=k·CD
详解 (1)确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一.
(2)因为每条线段的长度都是正值,所以两条线段的比值也是正数,且
结果没有单位
链接 比例尺:在地图或工程图纸上,图上长度与实际长度的比通常称为比例尺
2.成比例线段
定义 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即?=?,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段
其他概念 在?=?中,a,d叫做比例外项,b,c叫做比例内项.若?=?,则b叫做a,c的比例中项
要求 四条线段a,b,c,d成比例,只能记作?=?或a∶b=c∶d,不能写成其他形式,也就是说四条线段成比例时,一定要将这四条线段按顺序写出
例1 判断下列各组线段是否成比例.
(1)a=3 cm,b=5 cm,c=7 cm,d=4 cm;
(2)a=3 cm,b=20 m,c=6 cm,d=10 m.
分析 当四条线段的长度单位不相同时,先统一单位,再把它们按从小到
大(或从大到小)的顺序排列,然后依次计算前两个数的比与后两个数的
比,看这两个比值是否相等即可.
解析????(1)∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,4,5,7,?=?,?=
?,且?≠?,∴?≠?.
∴这四条线段不成比例.
(2)a=3 cm,b=20 m=2 000 cm,c=6 cm,d=10 m=1 000 cm.
∵四条线段的数值按从小到大的顺序排列为3,6,1 000,2 000,∴?=?=?,
?=?=?,∴?=?,
∴这四条线段成比例.
方法归纳 解此类问题的基本步骤:①统一单位;②进行排序;③进行计
算;④做出判断.
知识点二????比例的性质
名称 内容
比例的
基本性质 如果?=?,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么?=?
等式的
基本性质 (1)?=???=?(b,c,d不为0),?=???=?(a,b,d不为0);
(2)?=???=?(a,b,c,d不为0)
合比性质 如果?=?,那么 ?=? (b,d不为0)
等比性质 如果?=?=?=…=?(b+d+f+…+n≠0),那么 ?=?
例2 (1)根据下列各题的条件求a∶b的值.
①2a=3b;②?=?;③?=?.
(2)已知?=?=?,且a,b,c都是正数,求?的值.
解析????(1)①由2a=3b,得?=?,所以a∶b=3∶2.
②由?=?,得2(a-b)=a,即2a-2b=a,从而a=2b,所以a∶b=2∶1.
③由?=?,得3(a+2b)=15b,得3a+6b=15b,从而3a=9b,所以a∶b=3∶1.
(2)设?=?=?=k(k>0),那么a=2k,b=3k,c=4k,所以?=
=?=?.
方法归纳 通过比例的基本性质来改变比例的形式得出所求的比,也可
以通过设辅助元来计算比例式的值.
题型一????利用比例线段求线段的长
例1 已知a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=0.6 cm,c=4 cm,那么d= ????
????cm.
解析????因为a,b,c,d是成比例线段,所以?=?,则d=?=?=1.2(cm).
答案 1.2
规律总结 比例线段的有序性:对于利用比例线段关系求线段长的题,
一般先根据线段的关系写出比例式,然后根据比例的基本性质转化成关
于所求线段的等式,最后代入相应的数据.不过,在写比例式时,一定要注
意题目中四条线段成比例的顺序,不能随便更改位置.
例2 已知三条线段的长分别为1 cm,? cm,2 cm,请你再添加一条线段,
使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.
分析 因为本题中没有明确告知是求1,?,2的第四比例项,所以所添加
的线段长可能是前三个数的第四比例项,也可能不是,因此应进行分类
讨论.
题型二????与比例线段有关的开放题
解析????设所添加的线段的长为x cm.
若x∶1=?∶2,则x=?;若1∶x=?∶2,则x=?;
若1∶?=x∶2,则x=?;若1∶?=2∶x,则x=2?.
综上所述,所添加的线段的长有三种可能,可以是? cm,? cm或2? cm.
规律总结 本题运用了分类讨论思想.当题目中给出的数没有顺序时,
要依据所求的数在这个比例式中的位置进行讨论.若使四个数成比例,
则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比,或其中两个数的乘积恰
好等于另外两个数的乘积.
知识点一????线段的比及成比例线段
1.(2019福建泉州南安期中)下列四条线段中,不能成比例的是( )
A.a=4,b=8,c=5,d=10 ????B.a=2,b=2?,c=?,d=5
C.a=1,b=2,c=3,d=4 ????D.a=1,b=2,c=2,d=4
答案????C 根据比例线段的概念,让最小的线段和最大的线段相乘,另外
两条线段相乘,看它们的积是否相等,即可得出答案.
A.4×10=5×8,能成比例;
B.2×5=2?×?,能成比例;
C.1×4≠2×3,不能成比例;
D.1×4=2×2,能成比例.
故选C.
2.(2019广西桂林灌阳期中)已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=5,b=4,c=10,
则线段d= ????.
答案 8
解析????∵a,b,c,d是成比例线段,
∴?=?,即ad=bc,
∵a=5,b=4,c=10,
∴5d=40,解得d=8.
3.(2019天津南开期末)在比例尺为1∶1 000 000的地图上,量得甲、乙两
地的距离是2.6 cm,则甲、乙两地的实际距离为 ????千米.
答案 26
解析????根据比例尺=图上距离∶实际距离,得甲、乙两地的实际距离为
2.6×1 000 000=2 600 000(cm)=26(千米).
知识点二????比例的性质
4.(2018浙江温州期末)已知?=?,则?的值为?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????A ∵?=?,∴b=?,∴?=?.
5.(2019北京西城期中)已知?=?,则?= ????.
答案 -?
解析????∵?=?,∴?=?,则?=-?.
1.在比例尺为1∶38 000的交通旅游图上,南京玄武湖隧道长7 cm,则它
的实际长度是?( )
A.26.6 km B.2.66 km
C.0.266 km D.266 km
答案????B 设它的实际长度为x cm,由题意,得?=?,解得x=266 000.
因为266 000 cm=2.66 km,所以它的实际长度为2.66 km.故选B.
2.延长线段AB到C,使得BC=?AB,则AC∶AB=?( )
A.2∶1 ????B.3∶1 ????C.3∶2 ????D.4∶3
答案????C 因为BC=?AB,
所以?=?,所以?=?.
3.正方形的边长与其对角线长的比是 ????.
答案 1∶?
解析????设正方形的边长为a,则其对角线长为?a,
∴所求比为a∶?a=1∶?.
4.已知x∶y∶z=2∶3∶4,求?的值.
解析????∵x∶y∶z=2∶3∶4,
∴设x=2k,y=3k,z=4k(k≠0),
∴?=?=?=?.
1.如果四条线段的长度3,x,5,y满足?=?,那么下列各式中不成立的是?
( )
A.?=? ????B.?=? ????C.?=? ????D.?=?
答案????C 设?=?=?(k>0),则x=3k,y=5k,故?=?=?,A选项成立;?=
?+1,?=?+1,∵?=?,∴?=?,B选项成立;?=?-1,?=?-1,
∵?=?,∴?=?,∴?-1=?-1,D选项成立.故选C.
2.已知三个数2,?,4,如果再添加一个数,使这四个数成比例,则添加的数
是?( )
A.2? ????B.2?或? C.2?,4?或8? ????D.2?,?或4?
答案????D 设添加的这个数是x,当2∶?=4∶x时,2x=4?,解得x=2?;
当2∶4=?∶x时,2x=4?,解得x=2?;当2∶4=x∶?时,4x=2?,解得x=
?;当2∶?=x∶4时,?x=8,解得x=4?.故选D.
3.(2019山东济南长清五中月考)若?=?=?,则?= ????.
答案?????
解析????设?=?=?=k(k≠0),则x=3k,y=4k,z=5k,
所以?=?=?.
4.若?=?,求?的值.
解析????解法一:∵?=?,∴?=?,
∴?=?,∴?=?.
解法二:∵?=?,∴3(2m-n)=n,∴6m-3n=n,
∴6m=4n,∴?=?=?.
5.已知:在△ABC和△A'B'C'中,?=?=?=?,且△A'B'C'的周长为
80 cm,求△ABC的周长.
解析????因为A'B'+B'C'+A'C'≠0,所以根据等比性质,得?=?, 即?=?,∴C△ABC=? cm.
1.已知a,b,c为正数,且满足?=?=?=k,试判断点(-6,-3)是否在正
比例函数y=kx的图象上.
解析????因为a,b,c为正数,所以a+b+c≠0.又因为?=?=?=k,所以k
=?=?,所以正比例函数的关系式为y=?x,当x=-6时,y=?×(-6)=-
3,所以点(-6,-3)在正比例函数y=?x的图象上.
2.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足(a-c)∶(a+b)∶(c-b)=-2∶7∶1,试
判断△ABC的形状.
解析????令a-c=-2k(k≠0),由题意得?
解得?显然有a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.
一、选择题
1.(2019河北保定安国期中,3,★★☆)已知3x-5y=0,则?的值为?
(???? )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????A ∵3x-5y=0,∴?=?,
∴?=?-1=?-1=?.故选A.
2.(2019山东济南长清五中月考,7,★★☆)已知?=?,则在①?=?, ②?=?,③?=?,④?=?,这四个式子中正确的个数是?( )
A.1 ????B.2 ????C.3 ????D.4
答案????B ∵?=?,∴y=?x.
∴①?=?=-?,②?=?=?,③?=?=?, ④?=?=?,故选B.
3.(2017甘肃兰州模拟,2,★★☆)已知?=?=?=?,若a+c+e=6,则b+d+f=
? ( )
A.12 ????B.9 ????C.6 ????D.4
答案????B 由?=?=?=?得
a=?b,c=?d,e=?f,
则?b+?d+?f=6,即?(b+d+f)=6,
∴b+d+f=6×?=9.故选B.
二、填空题
4.(2019四川成都西蜀实验学校月考,22,★★☆)若?=?≠0,则 =??? ????.
答案 1
解析????∵?=?≠0,∴a=?b,
∴?=?=?=1.
1.(2017安徽合肥高新兴园中学模拟,8,★★☆)如果x∶(x+y)=3∶5, 那么x∶y=? ( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D ∵x∶(x+y)=3∶5,
∴5x=3x+3y,2x=3y,
∴x∶y=3∶2.故选D.
2.(2017上海浦东新区期中,19,★★☆)已知:?=?=?,x-y+z=6,求代数式 3x-2y+z的值.
解析????设?=?=?=k(k≠0),
则x=2k,y=3k,z=4k,
把x=2k,y=3k,z=4k代入x-y+z=6,
可得2k-3k+4k=6,解得k=2,所以x=4,y=6,z=8,
把x=4,y=6,z=8代入,3x-2y+z=12-12+8=8.
一、选择题
1.(2018甘肃陇南中考,4,★☆☆)已知?=?(a≠0,b≠0),下列变形错误的
是? ( )
A.?=? ????B.2a=3b ????C.?=? ????D.3a=2b
答案????B 由?=?,得3a=2b.
A.由等式的性质可得3a=2b,正确;
C.由等式的性质可得3a=2b,正确;
D正确.故选B
二、填空题
2.(2018宁夏中考,12,★☆☆)已知:?=?,则?的值是 ????.
答案 -?
解析????由?=?,得b=?a.
∴?=?=-?.
3.(2018四川成都中考,13,★☆☆)已知?=?=?,且a+b-2c=6,则a的值为 ????.
答案 12
解析????设?=?=?=x(x≠0),
则a=6x,b=5x,c=4x,
∵a+b-2c=6,∴6x+5x-8x=6,
解得x=2,故a=12.
1.(2017甘肃兰州中考,1,★☆☆)已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是
?( )
A.?=? ????B.?= C.?=? ????D.?=?
答案????A 在等式左右两边同时除以2y(y≠0),可得?=?,故选A.
2.(2015甘肃兰州中考,17,★★☆)如果?=?=?=k(b+d+f≠0),且a+c+e=3
(b+d+f),那么k= ????.
答案 3
解析????由等比性质,得k=?=?,
又a+c+e=3(b+d+f),∴k=3.
3.(2017湖南娄底中考,16,★★☆)湖南地图出版社首发的竖版《中华人
民共和国地图》,将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1∶6 700 000表示
出来,使读者能够全面、直观地认识我国版图,若在这种地图上量得我
国南北的图上距离是82.09厘米,则我国南北的实际距离大约是 ????
????千米(结果精确到1千米).
答案 5 500
解析????我国南北的实际距离大约是82.09×6 700 000=550 003 000(cm)≈
5 500(km).
1.在平面直角坐标系中,直线l经过点(a,b)和坐标原点,如果a,b,c,d四个数
成比例,你认为点(a,b),点(c,d)和坐标原点在同一条直线上吗?请说明理
由.
解析????点(a,b),点(c,d)和坐标原点在同一条直线上.
理由:∵直线l经过坐标原点,
∴设直线l对应的函数关系式为y=kx(k≠0).
∵直线l经过点(a,b),∴y=?x.
∵a,b,c,d成比例,
∴?=?,∴?=?.
∴点(c,d)在直线l上,∴点(a,b),点(c,d)和坐标原点在同一条直线上.
2.如图4-1-1,将一张长宽之比为?的矩形纸片ABCD依次不断对折,可
以得到矩形BCFE,矩形AEML,矩形GMFH,矩形LGPN.
(1)在折叠过程中,这些矩形的长和宽的比变了吗?请说明理由;
(2)在这些矩形中,有成比例的线段吗?
?
图4-1-1
解析????(1)矩形BCFE,矩形AEML,矩形GMFH,矩形LGPN的长和宽的比不变.
理由如下:设矩形ABCD的宽为a,则长为?a,
∴BC=a,BE=AE=?a,ME=MF=?,HF=LG=?a,LN=?,∴?=?=?,
?=?=?,?=?=?,?=?=?,
∴矩形BCFE,矩形AEML,矩形GMFH,矩形LGPN的长和宽的比不变.
(2)有成比例的线段,如线段AB∶AD=BC∶BE.
1.设a,b,c是△ABC的三边长,且?=?=?,判断△ABC为何种三角
形,并说明理由.
解析????△ABC为等边三角形.理由如下:
∵a,b,c是△ABC的三边长,∴a+b+c≠0.
∵?=?=?,∴?=?=?=?=0,
∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,
∴a=b=c,∴△ABC为等边三角形.
2.如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做
格点.△ACB和△DCE的顶点都在格点上,请问AC,AB,CD,DE是成比例
线段吗?请说明理由.
?
解析????AC,AB,CD,DE是成比例线段.
理由:由题图得AC=3,CD=2,AB=?=?=3?,DE=
?=?=2?,∵?=?=?,∴AC,AB,CD,DE是成比例线
段.
