第四章 图形的相似
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定定理1
测试时间:20分钟
一、选择题
1.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别是40°,80°,则这两个三角形( )
A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定
2.如图,∠AED=∠B,则下列结论正确的是( )
A.△ADE∽△ABC B.△AED∽△ABC C.△EAD∽△ABC D.△AED∽△ACB
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
5.(1)如图(1),AB与CD相交于点O,AC与BD不平行,当 = 或 = 时,△AOC∽△DOB;?
(2)如图(2),AD与BC相交于点O,AB∥CD,则 ∽ .?
6.(2017湖南长沙二十九中模拟)如图,要使△ABC∽△ACD,则需补充的条件是 .(只需写出一种)?
三、解答题
7.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F.证明:△ABF∽△EAD.
8.如图,D是线段BC上一点,连接AD.若AB=AC,∠B=∠BAD.求证:△ABC∽△DBA.
9.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.
10.如图所示,已知△ABC与△ADE的边BC和AD相交于O,且∠1=∠2=∠3,求证:
(1)△ABO∽△CDO;
(2)△ABC∽△ADE.
第四章 图形的相似(答案版）
4 探索三角形相似的条件
第1课时 相似三角形的判定定理1
测试时间:20分钟
一、选择题
1.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别是40°,80°,则这两个三角形( )
A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定
答案 C ∵一个三角形的两个内角分别是40°,60°,∴第三个内角为80°,又∵另一个三角形的两个内角分别是40°,80°,∴这两个三角形有两个内角相等,∴这两个三角形一定相似.故选C.
2.如图,∠AED=∠B,则下列结论正确的是( )
A.△ADE∽△ABC B.△AED∽△ABC C.△EAD∽△ABC D.△AED∽△ACB
答案 B ∵在△AED与△ABC中,∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,∴△AED∽△ABC.故选B.
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
答案 C ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°,∠A+∠ACD=90°,∠ACD+∠DCB=90°,∠A+∠B=90°,
∴∠A=∠BCD,∠B=∠ACD,∴△ABC∽△ACD,△ACD∽△CBD,△ABC∽△CBD,
∴相似三角形共有三对,故选C.
4.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形的对数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C ∵DE∥BC,EF∥AB,∴△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.∴题图中相似三角形的对数是3.故选C.
二、填空题
5.(1)如图(1),AB与CD相交于点O,AC与BD不平行,当 = 或 = 时,△AOC∽△DOB;?
(2)如图(2),AD与BC相交于点O,AB∥CD,则 ∽ .?
答案 (1)∠A;∠D;∠C;∠B
(2)△AOB;△DOC
解析 (1)AB与CD相交于点O,AC与BD不平行,当∠A=∠D或∠C=∠B时,△AOC∽△DOB.
(2)因为AB∥CD,所以△AOB∽△DOC.
6.(2017湖南长沙二十九中模拟)如图,要使△ABC∽△ACD,则需补充的条件是 .(只需写出一种)?
答案 ∠ACD=∠B(或∠ADC=∠ACB)
解析 要使两三角形相似,已知有一组公共角,则可以再添加一组对应角相等.
三、解答题
7.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F.证明:△ABF∽△EAD.
证明 在矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=∠BAD=90°,∴∠BAF+∠EAD=90°,∠EAD+∠AED=90°,
∴∠BAF=∠AED.
∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°,∴∠AFB=∠D.
∴△ABF∽△EAD.
8.如图,D是线段BC上一点,连接AD.若AB=AC,∠B=∠BAD.求证:△ABC∽△DBA.
证明 ∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠B=∠BAD,∴∠BAD=∠C,
又∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA.
9.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.
证明 ∵DE∥BC,∴∠AED=∠C.
又EF∥AB,∴∠A=∠FEC,∴△ADE∽△EFC.
10.如图所示,已知△ABC与△ADE的边BC和AD相交于O,且∠1=∠2=∠3,求证:
(1)△ABO∽△CDO;
(2)△ABC∽△ADE.
证明 (1)∵∠1=∠3,∠AOB=∠COD,
∴△ABO∽△CDO.
(2)∵△ABO∽△CDO,∴∠B=∠D,
∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
∴∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE.
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第四章 图形的相似
第2课时 相似三角形的判定定理2
测试时间:25分钟
一、选择题
1.(2019天津红桥期末)如图,以A,B,C为顶点的三角形与以D,E,F为顶点的三角形相似,则这两个三角形的相似比为( )
A.2∶1 B.3∶1 C.4∶3 D.3∶2
2.满足下列条件的各对三角形中,相似的两个三角形是( )
A.∠A=60°,AB=5 cm,AC=10 cm;∠A'=60°,A'B'=3 cm,A'C'=10 cm
B.∠A=45°,AB=4 cm,BC=6 cm;∠D=45°,DE=2 cm,DF=3 cm
C.∠C=30°,AB=8 cm,BC=4 cm;∠E=30°,DF=6 cm,FE=3 cm
D.∠A=∠A',且AB·A'C'=AC·A'B'
3.(2018天津河北模拟)下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD·AC D.=
4.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是( )
A.①与②相似 B.①与③相似 C.①与④相似 D.②与④相似
5.(2017山东枣庄中考)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
二、解答题
6.根据下列条件判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
(1)∠A=100°,AB=5 cm,AC=15 cm,∠A'=100°,A'B'=4 cm,A'C'=10 cm;
(2)AB=5 cm,BC=6 cm,AC=7 cm,A'B'=10 cm,B'C'=12 cm,A'C'=14 cm.
7.如图,在正方形ABCD中,P是BC边上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:△ADQ∽△QCP.
8.如图所示,A、B、C、P均在边长为1的正方形网格的格点上.
(1)判断△PBA与△ABC是否相似,并说明理由;
(2)求∠BAC的度数.
9.如图,在△ABC中,点D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且AD=CE=3,AE=6,BD=15,根据以上条件,你认为∠B=∠AED吗?为什么?
10.(2016浙江杭州中考)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠AED=∠B.射线AG分别交线段DE、BC于点F、G,且=.
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若=,求的值.
第四章 图形的相似(答案版）
第2课时 相似三角形的判定定理2
测试时间:25分钟
一、选择题
1.(2019天津红桥期末)如图,以A,B,C为顶点的三角形与以D,E,F为顶点的三角形相似,则这两个三角形的相似比为( )
A.2∶1 B.3∶1 C.4∶3 D.3∶2
答案 A ∵以A,B,C为顶点的三角形与以D,E,F为顶点的三角形相似,∴====,故选A.
2.满足下列条件的各对三角形中,相似的两个三角形是( )
A.∠A=60°,AB=5 cm,AC=10 cm;∠A'=60°,A'B'=3 cm,A'C'=10 cm
B.∠A=45°,AB=4 cm,BC=6 cm;∠D=45°,DE=2 cm,DF=3 cm
C.∠C=30°,AB=8 cm,BC=4 cm;∠E=30°,DF=6 cm,FE=3 cm
D.∠A=∠A',且AB·A'C'=AC·A'B'
答案 D A.∵∠A=60°,AB=5 cm,AC=10 cm,∠A'=60°,A'B'=3 cm,A'C'=10 cm,
∴∠A=∠A',=,=1,
∴≠,
∴△ABC和△A'B'C'不相似;
B.∵∠A=45°,AB=4 cm,BC=6 cm,∠D=45°,DE=2 cm,DF=3 cm,
∴∠A=∠D,==2,
但是∠A和∠D不是夹角,∴△ABC和△DEF不相似;
C.∵∠C=30°,AB=8 cm,BC=4 cm,∠E=30°,DF=6 cm,FE=3 cm,
∴==,
但是∠C和∠E不是夹角,∴△ABC和△DFE不相似;
D.∵∠A=∠A',且AB·A'C'=AC·A'B',
∴AB∶A'B'=AC∶A'C',
∴△ABC和△A'B'C'相似.
故选D.
3.(2018天津河北模拟)下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD·AC D.=
答案 D A.∵∠ABD=∠ACB,∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意;
B.∵∠ADB=∠ABC,∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意;
C.∵AB2=AD·AC,∴=,∵∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC,故此选项不符合题意;
D.由=不能判定△ADB∽△ABC,故此选项符合题意.故选D.
4.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是( )
A.①与②相似 B.①与③相似 C.①与④相似 D.②与④相似
答案 B ∵OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,故选B.
5.(2017山东枣庄中考)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
答案 C A.阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;
B.阴影三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;
C.两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项符合题意;
D.两三角形的对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意.故选C.
二、解答题
6.根据下列条件判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
(1)∠A=100°,AB=5 cm,AC=15 cm,∠A'=100°,A'B'=4 cm,A'C'=10 cm;
(2)AB=5 cm,BC=6 cm,AC=7 cm,A'B'=10 cm,B'C'=12 cm,A'C'=14 cm.
解析 (1)不相似.理由:
∵=,==,
∴≠,
∴△ABC与△A'B'C'不相似.
(2)相似.理由:
∵==,==,==,
∴==,
∴△ABC∽△A'B'C'.
7.如图,在正方形ABCD中,P是BC边上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:△ADQ∽△QCP.
证明 设正方形ABCD的边长为4a(a>0),则AD=CD=BC=4a.
∵Q是CD的中点,BP=3PC,∴DQ=CQ=2a,PC=a.
∴==2.
又∵∠D=∠C=90°,∴△ADQ∽△QCP.
8.如图所示,A、B、C、P均在边长为1的正方形网格的格点上.
(1)判断△PBA与△ABC是否相似,并说明理由;
(2)求∠BAC的度数.
解析 (1)△PBA与△ABC相似.理由:
∵BC=5,PB=1,AB=,∴==,
又∵∠PBA=∠ABC,∴△PBA∽△ABC.
(2)由(1)知,△PBA∽△ABC,∴∠BPA=∠BAC,
又易知∠BPA=135°,则∠BAC=135°.
9.如图,在△ABC中,点D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,且AD=CE=3,AE=6,BD=15,根据以上条件,你认为∠B=∠AED吗?为什么?
解析 ∠B=∠AED.理由:
因为==,==,且∠A为公共角,
所以△AED∽△ABC,所以∠B=∠AED.
10.(2016浙江杭州中考)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠AED=∠B.射线AG分别交线段DE、BC于点F、G,且=.
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若=,求的值.
解析 (1)证明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB.∴∠ADE=∠C.
又∵=,∴△ADF∽△ACG.
(2)由(1)知△ADF∽△ACG,∴==,∴=1.
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第四章 图形的相似
第3课时 相似三角形的判定定理3
测试时间:25分钟
一、选择题
1.已知△ABC的三条边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一条边长为4 cm,当△DEF的另两条边长分别是 时,这两个三角形相似.( )?
A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm
2.(2019重庆北碚期末)如图所示,每个小正方形的边长均为1,则下列选项中的三角形(阴影部分)与△EFG相似的是( )
3.(2019上海杨浦期中)如图,已知△ABC和△EDF,下列条件中一定能推得△ABC与△EDF相似的是( )
A.== B.==
C.=且∠A=∠E D.=且∠B=∠E
二、填空题
4.学习相似三角形的相关内容后,张老师请同学们交流这样的一个问题:“如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形是否相似?”那么,你认为△A1B1C1和△A2B2C2
(填“相似”或“不相似”),理由是 .?
三、解答题
5.一个三角形的三边长分别为12 cm,8 cm,7 cm,另一个三角形的三边长分别为16 cm,24 cm,
14 cm,这两个三角形相似吗?为什么?
6.如图所示,已知==,求证:∠ABD=∠CBE.
7.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点.求证:△ABC∽△FDE.
8.如图,点B、D、E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数;
(3)连接EC,求证:△ABD∽△ACE.
第四章 图形的相似(答案版）
第3课时 相似三角形的判定定理3
测试时间:25分钟
一、选择题
1.已知△ABC的三条边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm,△DEF的一条边长为4 cm,当△DEF的另两条边长分别是 时,这两个三角形相似.( )?
A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm
答案 C 设△DEF的另两条边的长分别为x cm,y cm,不妨设x若△DEF中长为4 cm的边的对应边的长为6 cm,
则==,解得x=5,y=6;
若△DEF中长为4 cm的边的对应边的长为7.5 cm,
则==,解得x=3.2,y=4.8;
若△DEF中长为4 cm的边的对应边的长为9 cm,
则==,解得x=,y=.故选C.
2.(2019重庆北碚期末)如图所示,每个小正方形的边长均为1,则下列选项中的三角形(阴影部分)与△EFG相似的是( )
答案 B ∵小正方形的边长为1,∴在△EFG中,EG=,FG=2,EF==.
A中,一边=3,一边=,一边==,阴影三角形的三边与△EFG中的三边不对应成比例,故两三角形不相似;B中,一边=1,一边=,一边==,有==,即阴影三角形的三边与△EFG中的三边对应成比例,故两三角形相似;C中,一边=1,一边=,一边=2,阴影三角形的三边与△EFG中的三边不对应成比例,故两三角形不相似;D中,一边=2,一边=,一边==,阴影三角形的三边与△EFG中的三边不对应成比例,故两三角形不相似.故选B.
3.(2019上海杨浦期中)如图,已知△ABC和△EDF,下列条件中一定能推得△ABC与△EDF相似的是( )
A.== B.==
C.=且∠A=∠E D.=且∠B=∠E
答案 B 选项A,△ABC与△EDF的三组边不对应成比例,所以不能判定△ABC与△EDF相似;选项B,△ABC与△EDF的三组边对应成比例,所以能判定△ABC与△EDF相似;选项C,△ABC与△EDF的两组边不是对应边,虽然夹角对应相等,但是仍不能判定△ABC与△EDF相似;选项D,△ABC与△EDF的两组边不是对应边,且非对应角相等,所以不能判定△ABC与△EDF相似.故选B.
二、填空题
4.学习相似三角形的相关内容后,张老师请同学们交流这样的一个问题:“如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形是否相似?”那么,你认为△A1B1C1和△A2B2C2
(填“相似”或“不相似”),理由是 .?
答案 相似;==
解析 设每个小正方形的边长为1,则A1C1=4,A2C2=2,
由勾股定理,得A1B1==2,B1C1==2,
A2B2==,B2C2==,
∴==2,==2,==2,
∴===2,
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
三、解答题
5.一个三角形的三边长分别为12 cm,8 cm,7 cm,另一个三角形的三边长分别为16 cm,24 cm,
14 cm,这两个三角形相似吗?为什么?
解析 相似.理由:把两个三角形的三边按从小到大的顺序排列,分别为7 cm,8 cm,12 cm和14 cm,16 cm,24 cm.
因为=,=,=,所以==.所以这两个三角形相似.
6.如图所示,已知==,求证:∠ABD=∠CBE.
证明 因为==,所以△ABC∽△DBE,
所以∠ABC=∠DBE,所以∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC,
即∠ABD=∠CBE.
7.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点.求证:△ABC∽△FDE.
证明 ∵点D,E,F分别是CA,AB,BC的中点,
∴DE,DF,EF分别是三角形ABC的中位线,
∴===,∴△ABC∽△FDE.
8.如图,点B、D、E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.
(1)求证:∠BAD=∠CAE;
(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数;
(3)连接EC,求证:△ABD∽△ACE.
解析 (1)证明:∵==,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF,
即∠BAD=∠CAE.
(2)由(1)知△ABC∽△ADE,
∴∠ABC=∠ADE,
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,
∴∠EBC=∠BAD=21°.
(3)证明:由(1)知∠BAD=∠CAE,
又∵=,
∴△ABD∽△ACE.
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第四章 图形的相似
第4课时 黄金分割
测试时间:15分钟
一、选择题
1.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式中成立的是( )
A.AC2=BC·AB B.AC2=2AB·BC C.AB2=AC·BC D.BC2=AC·AB
2.若点C是线段AB的黄金分割点,AB=8 cm,AC>BC,则AC的长为( )
A. cm B.2(-1)cm C.4(-1)cm D.6(-1)cm
3.(2017贵州六盘水中考)矩形的长与宽分别为a、b,下列数据中能构成“黄金矩形”的是( )
A.a=4,b=+2 B.a=4,b=-2 C.a=2,b=+1 D.a=2,b=-1
二、填空题
4.如图是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割(AC>BC).已知AB=10 cm,则AC的长约为 cm.(结果保留根号)?
5.五角星是我们生活中常见的一种图形,在如图所示的五角星中,点C,D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点,已知黄金比为,且AB=2,则图中五边形CDEFG的周长为 .?
三、解答题
6.一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿多高的鞋子才好看?精确到1 cm,参考数据:黄金分割比为,≈2.236
7.已知线段AB,按照如下的方法作图:以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边,作正方形AFGH,那么点H是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由.
第四章 图形的相似(答案版）
第4课时 黄金分割
测试时间:15分钟
一、选择题
1.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式中成立的是( )
A.AC2=BC·AB B.AC2=2AB·BC C.AB2=AC·BC D.BC2=AC·AB
答案 A 根据黄金分割的定义,得AC2=BC·AB.故选A.
2.若点C是线段AB的黄金分割点,AB=8 cm,AC>BC,则AC的长为( )
A. cm B.2(-1)cm C.4(-1)cm D.6(-1)cm
答案 C 根据黄金分割的定义得AC=AB=4(-1)cm.
3.(2017贵州六盘水中考)矩形的长与宽分别为a、b,下列数据中能构成“黄金矩形”的是( )
A.a=4,b=+2 B.a=4,b=-2 C.a=2,b=+1 D.a=2,b=-1
答案 D ∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,∴=,∴a=2,b=-1符合题意,故选D.
二、填空题
4.如图是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割(AC>BC).已知AB=10 cm,则AC的长约为 cm.(结果保留根号)?
答案 (5-5)
解析 AC=AB=×10=(5-5)cm.
5.五角星是我们生活中常见的一种图形,在如图所示的五角星中,点C,D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点,已知黄金比为,且AB=2,则图中五边形CDEFG的周长为 .?
答案 10-20
解析 ∵点C,D分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点,
∴AC=BD=AB=-1,BC=AB-AC=3-,
∴CD=BD-BC=(-1)-(3-)=2-4,
∴五边形CDEFG的周长=5(2-4)=10-20.
故答案为10-20.
三、解答题
6.一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看.如图是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿多高的鞋子才好看?精确到1 cm,参考数据:黄金分割比为,≈2.236
解析 设她应穿x cm高的鞋子,
根据题意,得=,解得x≈10.
故她应穿10 cm高的鞋子才好看.
7.已知线段AB,按照如下的方法作图:以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边,作正方形AFGH,那么点H是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由.
解析 点H是线段AB的黄金分割点(其中AH>BH).理由:设正方形ABCD的边长为2a,
在Rt△AEB中,依题意,得AE=a,AB=2a,
由勾股定理知EB==a,
∴AH=AF=EF-AE=EB-AE=(-1)a,HB=AB-AH=(3-)a.
∴AH2=(6-2)a2,AB·HB=2a·(3-)a=(6-2)a2,
∴AH2=AB·HB,
∴点H是线段AB的黄金分割点.
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