第四章 图形的相似
*5 相似三角形判定定理的证明
测试时间:30分钟
一、选择题
1.(2018上海青浦一模)如图,在?ABCD中,点E在边AD上,射线CE、BA交于点F,下列等式成立的是( )
A.= B.= C.= D.=
2.如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=4,CD=12,那么EF的长是( )
A.2 B.2.5 C.3 D.2.8
3.如图,点M是?ABCD的边CD上的一点,BM的延长线交AD的延长线于点N,则图中相似三角形有( )
A.3对 B.2对 C.1对 D.0对
4.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,DE与AC相交于点F,则图中相似三角形有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
二、填空题
5.(2017辽宁锦州中考)如图,E为?ABCD的边AB的延长线上一点,且BE∶AB=2∶3,连接DE交BC于点F,则CF∶AD= .?
6.如图标记了△ABC和△DEF的边、角的一些数据,请你添加一个条件,使△ABC∽△DEF,这个条件可以是 .(只填一个即可)?
三、解答题
7.如图,已知∠BAE=∠CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.
求证:△ABC∽△AED.
8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点M是BC的中点,过点A作AM的垂线,交CB的延长线于点D.求证:△DBA∽△DAC.
9.如图,在△ABC中,BD是△ABC的角平分线,点E在边AB上,且DE∥BC,已知AB=6,BC=4,求DE的长.
10.如图,△ABC的高AD,BE交于点F.写出图中所有与△AFE相似的三角形,并选择一个进行证明.
11.(2017云南楚雄期末)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=16 cm,BC=8 cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发,沿BC方向运动,如果点P的运动速度为4 cm/s,点Q的运动速度为2 cm/s,那么运动几秒时,△ABC和△PCQ相似?
第四章 图形的相似(答案版）
*5 相似三角形判定定理的证明
测试时间:30分钟
一、选择题
1.(2018上海青浦一模)如图,在?ABCD中,点E在边AD上,射线CE、BA交于点F,下列等式成立的是( )
A.= B.= C.= D.=
答案 C A.由AF∥CD,可得△AEF∽△DEC,∴=,A项不成立;
B.由AF∥CD,可得△AEF∽△DEC,∴=,B项不成立;
C.由AF∥CD,可得△AEF∽△DEC,∴=,又∵AE∥BC,∴=,∴=,C项成立;
D.由AF∥CD,可得△AEF∽△DEC,∴=,D项不成立.故选C.
2.如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=4,CD=12,那么EF的长是( )
A.2 B.2.5 C.3 D.2.8
答案 C ∵AB、CD、EF都与BD垂直,∴AB∥EF∥CD,
∴△DEF∽△DAB,△BFE∽△BDC,
∴=,=,∴+==1,
∵AB=4,CD=12,∴EF=3.故选C.
3.如图,点M是?ABCD的边CD上的一点,BM的延长线交AD的延长线于点N,则图中相似三角形有( )
A.3对 B.2对 C.1对 D.0对
答案 A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴△DMN∽△CMB,△DMN∽△ABN,
∴△CMB∽△ABN,∴共有3对相似三角形,故选A.
4.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,DE与AC相交于点F,则图中相似三角形有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
答案 C ∵△ABC和△ADE均为等边三角形,
∴∠BAC=∠B=∠C=∠DAE=∠ADE=∠E=60°,∴△ABC∽△ADE.∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAD=∠FAE,∴△ABD∽△AEF.∵∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,∴△AEF∽△DCF,
∴△ABD∽△DCF.∵∠DAF=∠CAD,∠ADF=∠C,∴△ADF∽△ACD,故题图中相似三角形有5对,故选C.
二、填空题
5.(2017辽宁锦州中考)如图,E为?ABCD的边AB的延长线上一点,且BE∶AB=2∶3,连接DE交BC于点F,则CF∶AD= .?
答案 3∶5
解析 由题意,得CD∥AE,CD=AB,AD=BC,
∴△CDF∽△BEF,∴=,
∵==,∴=,
∴=,∵AD=BC,∴=.
6.如图标记了△ABC和△DEF的边、角的一些数据,请你添加一个条件,使△ABC∽△DEF,这个条件可以是 .(只填一个即可)?
答案 DF=6或∠C=60°或∠B=35°(答案不唯一)
解析 根据两角分别相等的两个三角形相似,可以添加∠C=60°或∠B=35°;根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可以添加DF=6.
三、解答题
7.如图,已知∠BAE=∠CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.
求证:△ABC∽△AED.
证明 ∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,即∠BAC=∠EAD,
∵AB=18,AC=48,AE=15,AD=40,
∴==,
∴△ABC∽△AED.
8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,点M是BC的中点,过点A作AM的垂线,交CB的延长线于点D.求证:△DBA∽△DAC.
证明 ∵∠BAC=90°,点M是BC的中点,
∴AM=CM,∴∠C=∠CAM,
∵DA⊥AM,∴∠DAM=90°,
∴∠DAB=∠CAM,∴∠DAB=∠C,
∵∠D=∠D,∴△DBA∽△DAC.
9.如图,在△ABC中,BD是△ABC的角平分线,点E在边AB上,且DE∥BC,已知AB=6,BC=4,求DE的长.
解析 ∵DE∥BC,∴∠EDB=∠DBC,
∵BD是△ABC的角平分线,∴∠EBD=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,
∵DE∥BC,∴∠AED=∠ABC,
∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC,
∴=,即==,
可得=,解得DE=2.4.
10.如图,△ABC的高AD,BE交于点F.写出图中所有与△AFE相似的三角形,并选择一个进行证明.
解析 与△AFE相似的三角形有△BFD,△ACD,△BCE.
选择求证:△ACD∽△AFE.
证明:∵△ABC的高AD,BE交于点F,
∴∠ADC=∠AEF=90°.
∵∠CAD=∠FAE,
∴△ACD∽△AFE.
11.(2017云南楚雄期末)如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=16 cm,BC=8 cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动;动点Q同时从点B出发,沿BC方向运动,如果点P的运动速度为4 cm/s,点Q的运动速度为2 cm/s,那么运动几秒时,△ABC和△PCQ相似?
解析 设运动t s时,△ABC和△PCQ相似,则PC=4t cm,BQ=2t cm,CQ=(8-2t)cm.
当△PCQ∽△BCA时,=,即=,解得t=0.8;
当△PCQ∽△ACB时,=,即=,解得t=2.
答:运动0.8 s或2 s时,△ABC和△PCQ相似.
5
第四章 图形的相似
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点一????相似三角形的概念
内容 温馨提示
概念 三个角分别相等,三条边成比例的三角形叫做相似三角形 相似三角形的概念是最基本的判定方法
表示 相似用符号“∽”来表示,读作“相似于” 用“∽”表示相似时,对应顶点应写在对应的位置上
相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比,通常用“k”表示 (1)相似比有顺序;
(2)全等是相似的特殊情形,相似比等于1
性质 相似三角形的对应角相等,对应边成比例 关键是找准对应边和对应角
例1 图4-4-1中的两个三角形是否相似?请说明理由.
?
图4-4-1
分析 要判断两个三角形是否相似,需要看三个角是否分别相等,三条边
是否成比例.
解析????这两个三角形相似.理由:
∵?=?=?,?=?=?,?=?=?,
∴?=?=?.
∵∠D=180°-105°-30°=45°,∠C=180°-105°-45°=30°,
∴∠A=∠E,∠B=∠D,∠C=∠F,∴△ABC∽△EDF.
规律总结 判定两个三角形相似,除了要掌握定义外,还要注意正确找
出两个三角形分别相等的角和成比例的边.
知识点二????相似三角形的判定定理1
文字语言 两角分别相等的两个三角形相似
数学语言 ∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'
图形 ?
归纳总结 用两角分别相等来判定三角形相似是常用方法,应掌握好寻找等角的方法,同时要注意图形中隐含的等角条件,如公共角、对顶角等
例2 如图4-4-2所示,∠1=∠2=∠3,试问△ABC与△ADE相似吗?请说明
理由.
?
图4-4-2
解析????△ABC∽△ADE.理由:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
∴∠BAC=∠DAE,∵∠1=∠3,∠AOB=∠COD,∴∠B=∠D,
∴△ABC∽△ADE.
点拨 应仔细观察图形,寻找图中的隐含条件,从中发现相等关系.
知识点三????相似三角形的判定定理2
文字语言 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
数学语言 ∵?=?,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'
图形 ?
特别提醒 利用该判定定理时,相等的角必须是已知两组边的夹角,否则两个三角形不一定相似
例3 如图4-4-3所示,已知∠A=60°,BD,CE分别是△ABC对应边上的高,
问△ADE∽△ABC成立吗?为什么?
?
图4-4-3
分析 已知△ADE和△ABC有一个公共角,即∠A,要说明两个三角形相似,
可找另一组角相等或夹公共角的两边成比例.根据在直角三角形中,30°
的角所对的直角边等于斜边的一半可知,?=?=?,从而结论得证.
解析????△ADE∽△ABC成立.理由如下:
∵BD⊥AC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠A=60°,∴∠ABD=∠ACE=30°,
∴AB=2AD,AC=2AE,∴?=?=?.
又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.
点拨 (1)当条件中有两边成比例时,通常考虑相似三角形的判定定理2.
(2)注意利用图中的隐含条件,如公共角、对顶角等.
(3)相似三角形没有类似全等三角形判定定理的简写形式,解题时不能
把相似三角形的判定定理书写为SSS,SAS等.
知识点四????相似三角形的判定定理3
文字语言 三边成比例的两个三角形相似
数学语言 ∵?=?=?,∴△ABC∽△A'B'C'
图形 ?
方法技巧 判断三角形三边是否成比例的一般步骤:(1)排:将三角形的边按大小顺序排列;(2)算:分别计算小、中、大边的比;(3)判:由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例
例4 图4-4-4,图4-4-5中小正方形的边长均为1,则图4-4-5中的三角形
(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形?
?
图4-4-4
?
图4-4-5
解析????BC=2,由勾股定理求得AC=?,AB=?.
图4-4-5①中,三角形的三边长分别为1,?,2?;
图4-4-5②中,三角形的三边长分别为1,?,?;
图4-4-5③中,三角形的三边长分别为?,?,3;
图4-4-5④中,三角形的三边长分别为2,?,?.
∵?=?=?=?,
∴图4-4-5②中的三角形与△ABC相似.
规律总结 利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法:首先把
两个三角形的边分别按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,再分别计
算小、中、大边的比,最后看三个比是否相等,若相等,则两个三角形相
似,否则不相似.特别地,若三个比相等且等于1,则两个三角形全等.
知识点五????黄金分割
黄金分割的概念
一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图4-4-6所示),如果?=
?,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC
与AB的比叫做黄金比.
?
图4-4-6
注意 线段AB有两个黄金分割点(如图4-4-7所示),其中一点D靠近点A,
有?=?;另一点C靠近点B,有?=?,并且AD=BC,AC=BD.
?
图4-4-7
例5 已知线段AB=20 cm,点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,求AC和BC
的长.
分析 由点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,可想到?=?,而BC=
AB-AC,故AC和BC的长可求.
解析????∵点C是AB的黄金分割点,且AC>BC,∴?=?.又∵AB=20 cm,
∴AC=?×20=10(?-1)(cm),BC=AB-AC=20-10(?-1)=(30-10?)cm.
题型????添加条件使两个三角形相似
例 如图4-4-8,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,要使△ABC∽
△AED成立,还需要添加一个条件为 ????.
?
图4-4-8
序号 添加条件 分析
① ∠B=∠AED ∵∠B=∠AED,∠A=∠A,∴△ABC∽△AED
② ∠C=∠ADE ∵∠C=∠ADE,∠A=∠A,∴△ABC∽△AED
③ ?=? ∵?=?,∠A=∠A,∴△ABC∽△AED
解析????分析如下:
答案 ∠C=∠ADE?
点拨 解答添加条件使两个三角形相似的题目,要掌握好三角形相似的
判定方法,看题目有什么已知条件或隐含条件,再根据判定方法添加缺
少的条件.
综上可知,共有三种添加方法.
知识点一????相似三角形的概念
1.已知△ABC∽△A'B'C',若AC=3,A'C'=1.8,则△A'B'C'与△ABC的相似比
为?( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????D 对应边的比是相似比,且有顺序性,故△A'B'C'与△ABC的相
似比为?=?=?.故选D.
2.△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一边
是36,则最短的一边是?( )
A.27 ????B.12 ????C.18 ????D.20
答案????C 设另一个三角形最短的一边是x,
∵△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一
边是36,
∴?=?,解得x=18.故选C.
3.如图4-4-1,在△ABC中,DE∥BC.
(1)求?,?,?的值;
(2)△ADE与△ABC相似吗?为什么?
?
图4-4-1
解析????(1)由题图可知AB=9,AC=6,
∴?=?=?,?=?=?,?=?=?.
(2)△ADE与△ABC相似.
理由:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.
由(1)知?=?=?,又∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC.
知识点二????相似三角形的判定定理1
4.如图4-4-2所示的三个三角形,相似的是?( )
?
图4-4-2
A.①② ????B.②③ ????C.①③ ????D.①②③
答案????A 第①、②个三角形满足角对应相等,故选A.
5.下列各组图形中有可能不相似的是?( )
A.各有一个角是50°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.各有一个角是100°的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
答案????A 选项A中,当一个三角形中,50°的角为顶角,底角为65°,另一个
三角形中,50°的角为底角,顶角为80°时,这两个三角形不相似,故选A.
6.(2018天津和平期末)如图4-4-3,四边形ABCD是矩形,E是边BC延长线
上的一点,AE与CD相交于点F,则图中的相似三角形共有?( )
?
图4-4-3
A.4对 ????B.3对 ????C.2对 ????D.1对
答案????B ∵∠E=∠DAF,∠FCE=∠D,∴△CEF∽△DAF.∵∠E是公共
角,∠B=∠FCE,
∴△ABE∽△FCE,∴△ABE∽△FDA.共有3对.故选B.
7.如图4-4-4所示,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD= ????.
?
图4-4-4
答案?????
解析????在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=?=?=5.
∵∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
∴?=?,即?=?.∴AD=?.
8.如图4-4-5,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E,求证:△ABD∽△CBE.
?
图4-4-5
证明 ∵AB=AC,BD=CD,CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°,又∠B=∠B,
∴△ABD∽△CBE.
9.(2017山东德州二模)如图4-4-6,在边长为1的正方形ABCD中,E是AB的
中点,CF⊥DE,F为垂足.
(1)△CDF与△DEA是否相似?说明理由;
(2)求CF的长.
?
图4-4-6
解析????(1)△CDF∽△DEA,理由:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=90°,AB∥CD,
∴∠CDF=∠DEA.
又∵CF⊥DE,
∴∠CFD=90°,∴∠CFD=∠A,
∴△CDF∽△DEA.
(2)由题意知AD=CD=1,AE=?,
在直角△DEA中,DE=?=?=?.
由(1)可得?=?,则CF=?=?.
知识点三????相似三角形的判定定理2
10.(2018江苏宜兴外国语学校月考)下列条件中可以判定△ABC∽
△A'B'C'的是?( )
A.?=? ???? B.?=?,∠B=∠B'
C.?=?,∠A=∠A' ????D.?=?
答案????C????A,D中只有对应边成比例,角不确定,A,D错;B中∠B不是AB,
AC的夹角,所以B错;C中对应边成比例,且夹角相等,所以C可判定两三
角形相似,C对,故选C.
11.(2014贵州贵阳中考)如图4-4-7,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点
均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为?( )
?
图4-4-7
A.P1 ????B.P2 ????C.P3 ????D.P4
答案????C 由题图可知∠E=∠A=90°,要使△ABC∽△EPD,则?=?=
2,所以EP=2AB=6,则点P所在的格点为P3,故选C.
12.如图4-4-8,两对角线AC、BD相交于O点,且将四边形ABCD分成甲、
乙、丙、丁四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD=1∶2,则下列说法中正确
的是?( )
图4-4-8
A.甲、丙相似,乙、丁相似
B.甲、丙相似,乙、丁不一定相似
C.甲、丙不相似,乙、丁相似
D.甲、丙不相似,乙、丁不一定相似
答案????B 在△OAB和△OCD中,OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD,
∴△OAB∽△OCD,即甲、丙相似.无法证明△OAD与△OCB相似,即乙、
丁不一定相似.故选B.
13.如图4-4-9,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中
点.求证:△ADQ∽△QCP.
?
图4-4-9
证明 设正方形ABCD的边长为4a,则AD=CD=BC=4a.
∵Q是CD的中点,BP=3PC,∴DQ=CQ=2a,PC=a.
∴?=?=2.又∵∠D=∠C=90°,∴△ADQ∽△QCP.
知识点四????相似三角形的判定定理3
14.若△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是
?( )
A.AB=3,BC=8,AC=9,DE=?,EF=2,DF=6
B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10,DF=16
C.AB=1,BC=?,AC=2,DE=?,EF=?,DF=?
D.AB=1,BC=?,AC=3,DE=?,EF=2?,DF=?
答案????A????A中,∵?=?,?=?=?,?=?=?,
∴?=?=?.∴△ABC与△DEF相似.
易知B,C,D不正确,故选A.
15.如图4-4-10,在4×4的正方形网格中,是相似三角形的是( )
?
图4-4-10
A.①和② ????B.②和③
C.①和③ ????D.②和④
答案????C 该网格中每个小正方形的边长为1.由题图得①中的三角形
的各边长分别为2、?、?,③中的三角形的各边长分别为2?、2、
2?,∵?=?=?,∴两个三角形的三边对应成比例,
∴①③相似.故选C.
16.图4-4-11中的两个三角形是否相似?为什么?
?
图4-4-11
解析????先将两个三角形的三边分别按从大到小(或从小到大)的顺序排
列,再计算边的比值.?=?,?=?=?,?=?=?,因为?≠
?≠?,所以△ABC与△A'B'C'不相似.
知识点五????黄金分割
17.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列各式成立的是?
( )
A.AB2=AC·CB ????B.CB2=AC·AB
C.AC2=BC·AB ????D.AC2=2BC·AB
答案????C 根据黄金分割的概念得?=?,∴AC2=BC·AB.
18.主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图4-4-12所示,如果舞台AB的长为12米,一名主持人现在站在A处,则她至少走 ????米才最理想.?( )
?
图4-4-12
A.18-6? ????B.6?-6
C.6?+6 ???? D.18-6?或6?-6
答案????A 如图所示,AP?
∵BP=?AB=12×?=(6?-6)米,
∴AP=AB-BP=(18-6?)米.
故选A.
19.如图4-4-13,乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点,支撑点C是
AB靠近点B的黄金分割点,若AB=80 cm,则AC= ????.
?
图4-4-13
答案 40(?-1)cm
解析????∵点C为AB靠近点B的黄金分割点,
∴AC=?AB,又AB=80 cm,
∴AC=?×80=40(?-1)cm.
1.在△ABC中,BC=54,CA=45,AB=63,另一个和它相似的三角形的最短边
的长是15,则最长边的长一定是?( )
A.18 ????B.21 ????C.24 ????D.19.5
答案????B????设最长边的长为x,则?=?,解得x=21.故选B.
2.如图,?=?=?,则下列结论不成立的是?( )
?
A.△AEB∽△ADC ????B.△BOD∽△COE
C.△BOD∽△BAE ????D.DC∶EB=1∶2
答案????C 因为?=?=?,∠A=∠A,所以△ADC∽△AEB,因此DC∶
EB=1∶2,∠B=∠C,又因为∠BOD=∠COE,所以△BOD∽△COE.故选C.
3.如图,矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、CD上,且∠BEF=90°,则三角
形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中一定相似的是?( )
?
A.Ⅰ和Ⅲ ????B.Ⅲ和Ⅳ
C.Ⅰ和Ⅳ ????D.Ⅱ和Ⅳ
答案????A ∵∠BEF=90°,∴∠AEB+∠DEF=90°,
又∵∠AEB+∠ABE=90°,∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠AEB=∠DFE,∠ABE=∠DEF,∴△AEB∽△DFE.
故选A.
4.如图,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③?=?;
④AC2=AD·AB.其中能够判定△ABC∽△ACD的有( )
?
A.1个 ????B.2个 ????C.3个 ????D.4个
答案????C ①∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD.
②∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ABC∽△ACD.
③不能判定△ABC∽△ACD.
④∵AC2=AD·AB,即?=?,又∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACD.故选C.
5.已知△ABC的三边长分别为4、2、5,△DEF的两边长分别为6、3,当
△DEF的第三边长为 ????时,△ABC∽△DEF.
答案 7.5
解析????根据相似三角形三边对应成比例,可得△DEF的第三边长应该是
5的1.5倍,即第三边长为7.5.
6.△ABC中,∠1=∠2=∠3,图中有相似三角形吗?请说明理由.
?
解析????有相似三角形,△DEF∽△BCA.理由:
∵∠CFD=∠3+∠FAC,且∠1=∠3,
∴∠CFD=∠BAC.
同理可得∠FED=∠ACB,
∴△DEF∽△BCA.
7.如图,已知OA⊥OB,以AB为边作正方形ABCD,过点D作DE垂直于OA,
交OA的延长线于点E.证明:△OAB∽△EDA.
证明 ∵OA⊥OB,∴∠1+∠2=90°.
又∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.
∵OA⊥OB,DE⊥OA,
∴∠BOA=∠AED=90°,
∴△OAB∽△EDA.
1.如图4-4-14,D、E分别在△ABC的边AB、AC上,且∠1=∠2=∠B,则图
中相似三角形有?( )
?
图4-4-14
A.1对 ????B.2对 ????C.3对 ????D.4对
答案????D ∵∠1=∠B,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.∵∠A=∠A,∠1=∠2,
∴△ADE∽△ACD,∴△ABC∽△ACD,∵∠1=∠B,∴DE∥BC,∴∠EDC=
∠DCB,又∠B=∠2,∴△CDE∽△BCD.故选D.
2.如图4-4-15,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=2,BC=6,AB=
7,点P是线段BA上的一个动点,连接PC、PD.若△PAD与△PBC是相似
三角形,则满足条件的点P有?( )
?
图4-4-15
A.5个 B.4个 ????C.3个 ????D.2个
答案????C ∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠PAD=90°,设AP=x,则BP=7-x.分
两种情况:①当?=?时,?=?,解得x=?;②当?=?时,?=?,
解得x=3或x=4,经检验,x=3,x=4皆为方程的解.综上所述,当AP=?或3或4时,
△PAD与△PBC是相似三角形,即满足条件的点P有3个.故选C.
3.如图4-4-16,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2 cm,D为BC的中
点,若动点E以1 cm/s的速度从A点出发,沿着A→B的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<4),连接DE,当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时,t的值为?( )
?
图4-4-16
A.2 ????B.2.5或3.5
C.2或3.5 ????D.2或2.5
答案????C ∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°,∴AB=2BC=4 cm.分两
种情况:①当∠EDB=∠ACB=90°时,DE∥AC,△EBD∽△ABC,∵D为BC
的中点,∴BD=CD=?BC=1 cm,E为AB的中点,∴AE=BE=?AB=2 cm,∴t=
2;②当∠DEB=∠ACB=90°时,∵∠B=∠B,∴△DBE∽△ABC,∴∠BDE=
∠A=30°,∴BE=?BD=? cm,∴AE=3.5 cm,∴t=3.5.综上所述,当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时,t的值为2或3.5,故选C.
4.一个铝质三角形框架的三条边长分别为24 cm、30 cm、36 cm,要做
一个与它相似的铝质三角形框架,现有长为27 cm、45 cm的两根铝材,
要求以其中的一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外
两边,则截法有?( )
A.0种 ????B.1种 ????C.2种 ????D.3种
答案????B 分两种情况讨论:(1)以27 cm为一边,把45 cm截成两段.设截
成的两段长分别为x cm、y cm(x?②(注:27 cm不可能是最小边),由①解得x=18,y=22.5,符合题意;由②
解得x=?,y=?,而x+y=?+?=?=54>45,不合题意,舍去.
(2)以45 cm为一边,把27 cm截成两段,设截成的两段长分别为x cm、y cm(x而x+y=30+37.5=67.5>27,不合题意,舍去.
综上可知,截法只有一种.
5.如图4-4-17所示,等边三角形ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D
为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长为 ????.
?
图4-4-17
答案?????
解析????∵∠APD=60°,△ABC是等边三角形,∴∠CPD+∠APB=120°,
∠B=∠C=60°,∴∠BAP+∠APB=120°,
∴∠BAP=∠CPD,∴△ABP∽△PCD,∴?=?,∴?=?,∴CD=?.
6.如图4-4-18所示,在矩形ABCD中,BC=12 cm,AB=8 cm,P,Q分别是AB,BC
上的点.若P自点A出发,以1 cm/s的速度沿AB方向运动,同时Q自点B出
发,以2 cm/s的速度沿BC方向运动,则经过几秒,△PBQ与△BCD相似?
图4-4-18
解析????设经过x s,△PBQ与△BCD相似.
①当∠1=∠2时,有?=?,
即?=?,解得x=?.
②当∠1=∠3时,有?=?,
即?=?,解得x=2.
故经过2 s或? s,△PBQ与△BCD相似.
?
7.(2017浙江杭州西湖模拟)如图4-4-19,B,C,D在同一直线上,△ABC和
△DCE都是等边三角形,且在直线BD的同侧,BE交AD于F,交AC于M,AD交
CE于N.
(1)求证:AD=BE;
(2)求证:△ABF∽△ADB.
?
图4-4-19
证明 (1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE,即∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中,?
∴△BCE≌△ACD(SAS),∴AD=BE.
(2)由(1)知△BCE≌△ACD,∴∠CBE=∠CAD.
∵∠BMC=∠AMF,
∴∠AFB=∠ACB=60°=∠ABC.
又∵∠BAF=∠DAB,∴△ABF∽△ADB.
1.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记
为点B',折痕为EF,已知AB=AC=3,BC=4,若以点B',F,C为顶点的三角形与
△ABC相似,那么BF的长度是?( )
?
A.? ????B.2 ????C.?或2 ????D.?或2
答案????D 设BF=x,则FC=4-x,∵△ABC按题图所示的方式折叠,使点B
落在边AC上,∴B'F=BF=x.当∠B'FC=∠B时,∵∠C=∠C,∴△B'FC∽△ABC,∴?=?,即?=?,解得x=?;当∠FB'C=∠B时,△FB'C∽△ABC,所以?=?,∵AB=AC,∴FB'=FC,即x=4-x,解得x=2.故若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度为2或?.故选D.
2.如图,△ABC为等边三角形,P为BC上一点,△APQ为等边三角形,PQ与
AC相交于点M,则下列结论中正确的是( )
①AB∥CQ;②∠ACQ=60°;③AP2=AM·AC;④若BP=PC,则PQ⊥AC.
?
A.只有①② ??? ?B.只有①③
C.只有①②③ ????D.①②③④
答案????D ∵△ABC和△APQ是等边三角形,∴AB=AC,AP=AQ,∠BAC=
∠B=∠PAQ=60°,∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC,∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴∠ACQ=∠B=60°,故②正确;∵∠BAC=60°,∴∠BAC=∠ACQ,∴AB∥CQ,故①正确;∵∠APQ=∠ACP=60°,∠PAC=∠PAC,∴△APM∽△ACP,
∴?=?,∴AP2=AC·AM,故③正确;若BP=PC,则∠BAP=30°,∴∠PAC=
30°,∵∠APQ=60°,∴∠AMP=90°,∴PQ⊥AC,故④正确.故选D.
3.如图,在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,直线l经过C,且l∥AB,P为l上一个动
点,若△ABC与△PAC相似,则PC= ????.
?
答案 6.4或10
解析????∵在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∴AB=?=10,∵l∥AB,∴∠PCA=∠CAB.当PA⊥AC时,△ABC∽△CPA,∴AB∶PC=AC∶AC,即10∶PC=8∶8,解得PC=10;当AP⊥PC时,△ABC∽△CAP,∴AB∶AC=AC∶PC,即10∶8=8∶PC,解得PC=6.4.综上可知,若△ABC与△PAC相似,则PC=6.4或10.
4.如图,在4×4的正方形网格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小
正方形的顶点上.
(1)填空:∠ABC= ????,BC= ????;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
?
解析????(1)135°;2?.
(2)相似.证明:△DEF中,∠DEF=135°,
易知AB=2,BC=2?,EF=2,DE=?.
因为?=?=?,?=?=?,
所以?=?,又∠ABC=∠DEF=135°,
所以△ABC∽△DEF.
5.如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,△ABE和△ACF都是等边三
角形.求证:△EBD∽△FAD.
?
证明 ∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠ABD+∠ACD=∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠ABD=∠DAC.
∵∠ADC=∠ADB=90°,
∴△ABD∽△CAD.
∴?=?.
∵△ABE和△ACF都是等边三角形,
∴AB=BE,AF=AC,
∴?=?.
又∵∠EBA=∠CAF=60°,
∴∠EBA+∠ABD=∠CAF+∠DAC,即∠EBD=∠FAD,
∴△EBD∽△FAD.
6.如图所示,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接DE并延长,交
BC的延长线于点F,连接DC、BE,∠BDE+∠BCE=180°.
(1)写出图中两对相似的三角形(注意:不得添加字母和线);
(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对,说明它们相似的理由.
?
解析????(1)△ADE∽△ACB,△CEF∽△DBF.
(2)△ADE∽△ACB.
理由:∵∠ADE+∠BDE=180°,∠BDE+∠BCE=180°,
∴∠ADE=∠BCE.又∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB.
1.(2019湖南长沙铁路一中期中,11,★★☆)如图4-4-20,已知BC交AD于
点E,AB∥EF∥CD,那么图中相似三角形共有?( )
?
图4-4-20
A.1对 ????B.2对 ????C.3对 ????D.4对
一、选择题
答案????C ∵EF∥AB,∴△DEF∽△DAB,
∵EF∥CD,∴△BEF∽△BCD,
∵AB∥CD,∴△ABE∽△DCE,故选C.
2.(2018天津和平期末,3,★★☆)如图4-4-21,在4×4的正方形网格中,小正
方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形
所在的网格图形是?( )
?
图4-4-21
?
答案????B 根据勾股定理,得AB=?=2?,BC=?=?,AC=
?=?,
所以△ABC的三边长之比为?∶2?∶?=1∶2∶?.
B项,三角形的三边长分别为2,4,?=2?,所以三边长之比为2∶4∶
2?=1∶2∶?,故B选项正确.
3.(2019贵州铜仁松桃月考,16,★★☆)如图4-4-22,在?ABCD中,F是BC
上一点,直线DF与AB的延长线相交于点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,
请问图中共有几对相似三角形?答: ????.
?
图4-4-22
二、填空题
答案 6对
解析????∵BP∥DF,∴△ABP∽△AED.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,BC∥AD,
∴△CDF∽△BEF,△EFB∽△EDA.
同理,△CDF∽△AED,△CDF∽△ABP,△ABP∽△BEF,
故答案为6对.
4.(2019福建莆田秀山中学月考,15,★★☆)如图4-4-23,△ABC中,∠C=
90°,BC=8 m,AB=10 m,点P从B点出发,沿BC方向以2 m/s的速度移动,点
Q从C点出发,沿CA方向以1 m/s的速度移动.若P、Q同时分别从B、C出
发,经过 ????秒,△CPQ∽△CBA.
?
图4-4-23
答案 2.4
解析????设经过t秒,△CPQ∽△CBA,则CQ=t m,CP=(8-2t)m.在△ABC中,
∠C=90°,BC=8 m,AB=10 m,
由勾股定理得AC=?=?=6(m),
∵△CPQ∽△CBA,∴CP∶CB=CQ∶CA,即(8-2t)∶8=t∶6,∴t=2.4.
三、解答题
5.(2019河北唐山滦州期中,26,★★☆)如图4-4-24,点P是?ABCD对角线
AC上的一点,连接DP并延长交边AB于点E,连接BP并延长交AD于点F,
交CD的延长线于点G,已知?=?.
(1)求?的值;
(2)若四边形ABCD是菱形.
①求证:△APB≌△APD;
②若DP的长为6,求GF的长.
?
图4-4-24
解析????(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∵?=?,
∴设DF=x,则AF=2x,∴AD=3x,∴BC=AD=3x,
∵AD∥BC,∴?=?=?=?.
(2)①∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BAD,AB=AD,
∴∠DAP=∠BAP,
又AP=AP,∴△APB≌△APD(SAS).
②∵△APB≌△APD,∴DP=BP=6,
∵?=?,∴FP=4,∴BF=10,
∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥DC,
∴?=?=?,∴?=?,∴GF=5.
1.(2018江苏扬州江都月考,6,★★☆)如图,点P在△ABC的边AC上,添加
下列一个条件,不能判定△ABP∽△ACB的是( )
?
A.∠ABP=∠C ?B.∠APB=∠ABC
C.?=? ????D.?=?
答案????D ∵在△ABP和△ACB中,∠BAP=∠CAB,
∴当∠ABP=∠C时,满足两角相等,可判定△ABP∽△ACB,故A正确;
当∠APB=∠ABC时,满足两角相等,可判定△ABP∽△ACB,故B正确;
当?=?时,因为∠A=∠A,所以满足两边成比例且夹角相等,可判定
△ABP∽△ACB,故C正确;
当?=?时,其夹角不一定相等,则不能判定△ABP∽△ACB,故D不正
确.故选D.
2.(2017甘肃兰州二十七中模拟,5,★★☆)如图,∠APD=90°,AP=PB=BC=
CD,则下列结论成立的是?( )
?
A.△PAB∽△PCA ????B.△PAB∽△PDA
C.△ABC∽△DBA ????D.△ABC∽△DCA
答案????C ∵∠APD=90°,而∠ABP=∠PAB≠∠PAC,
∴无法判定△PAB与△PCA相似,故A错误;
同理,无法判定△PAB与△PDA,△ABC与△DCA相似,故B、D错误;
∵∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,
∴AB=?PA,AC=?PA,AD=?PA,BD=2PA,
∴?=?=?,?=?=?,?=?=?,
∴?=?=?,
∴△ABC∽△DBA,故C正确.故选C.
3.(2017安徽合肥十九中模拟,14,★★☆)如图,在平面直角坐标系中有两
点A(4,0)、B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为 ????
????或 ????时,使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(至
少找出两个满足条件的点的坐标).
?
答案 (-1,0);(1,0)(答案不唯一)
解析????∵点C在x轴上,∴点C的纵坐标是0.
①当△AOB∽△COB,即OC与OA对应时,OC=OA=4,此时C(-4,0);
②当△AOB∽△BOC,即OC与OB对应时,OC=1,此时C(-1,0)或(1,0).
故点C的坐标可以为(-1,0)、(1,0)或(-4,0),填两个即可.
4.(2019江苏苏州相城期中,26,★★☆)如图,在矩形ABCD中,E为BC上一
点,DF⊥AE于点F,且AD=10,BE=8,EF=2,求DF的长.
?
解析????∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,
∴∠B=∠AFD=90°.
又∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,∴△ABE∽△DFA,
∴?=?,
∵AD=10,BE=8,EF=2,
∴?=?,
解得AF=8或AF=-10(舍去),
∴DF=?=?=6.
5.(2017上海普陀一模,22,★★☆)已知,如图,在四边形ABCD中,∠BAD=
∠CDA,AB=CD=?,CE=a,AC=b
求证:(1)△DEC∽△ADC;(2)AE·AB=BC·DE.
(2)∵△DEC∽△ADC,
∴∠DAE=∠CDE,?=?,
∵∠BAD=∠CDA,∴∠BAC=∠EDA,
又∵DC=AB,∴?=?,即?=?,
∴△ADE∽△CAB,∴?=?,
即AE·AB=BC·DE.
证明 (1)∵DC=?,CE=a,AC=b,
∴CD2=CE·CA,即?=?,
又∵∠ECD=∠DCA,∴△DEC∽△ADC.
6.(2019辽宁鞍山铁西期中,23,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在
BC边上,CE⊥AD,交AD的延长线于E,且BC=2AE.
(1)求证:AD=CD;
(2)求证:AB2=AD·BC.
?
∵AB=AC,∴BC=2CF.
∵BC=2AE,∴CF=AE.
在Rt△ACE和Rt△CAF中,?
∴Rt△ACE≌Rt△CAF(HL),
∴CE=AF.
∵∠AFD=∠CED=90°,且∠ADF=∠CDE,
证明 (1)过点A作AF⊥BC于点F,如图所示.
∴△ADF≌△CDE(AAS),
∴AD=CD.
(2)∵AB=AC,∴∠ACB=∠B.
又∵∠DAC=∠ACD,
∴∠CAD=∠B,
∴△ACD∽△BCA,
∴AC2=CD·BC.
∵∠DAC=∠ACD,
∴AD=CD.
又∵AB=AC,
∴AB2=AD·BC.
一、选择题
1.(2018湖北恩施中考,12,★★☆)如图4-4-25所示,在正方形ABCD中,G
为CD边的中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG
于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为?( )
?
图4-4-25
A.6 ????B.8 ????C.10 ????D.12
答案????D ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,∴△ABF∽△GDF,∴?=?=2,∴AF=2GF=4,∴AG=6.
∵CG∥AB,AB=2CG,∴CG为△EAB的中位线,∴AE=2AG=12.故选D.
2.(2018山东莱芜中考,12,★★★)如图4-4-26,在矩形ABCD中,∠ADC的
平分线与AB交于E,点F在DE的延长线上,∠BFE=90°,连接AF、CF,CF
与AB交于G.
有以下结论:
①AE=BC;②AF=CF;
③BF2=FG·FC;④EG·AE=BG·AB.
其中正确的个数是?( )
A.1 ????B.2 ????C.3 ????D.4
图4-4-26
答案????C ①∵DE平分∠ADC,∠ADC为直角,
∴∠ADE=?×90°=45°,
∴△ADE为等腰直角三角形,∴AD=AE,
又∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∴AE=BC.故①正确.
②∵∠BFE=90°,∠BEF=∠AED=45°,
∴△BFE为等腰直角三角形,∴EF=BF,
又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°,∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°,
∴∠AEF=∠CBF.
在△AEF和△CBF中,AE=BC,∠AEF=∠CBF,EF=BF,
∴△AEF≌△CBF(SAS),∴AF=CF.故②正确.
③连接AC,假设BF2=FG·FC,则△FBG∽△FCB,
∴∠FBG=∠FCB=45°,
易得∠ACF=45°,∴∠ACB=90°,显然不可能,故③错误.
④∵∠BGF=180°-∠CGB,∠DAF=90°+∠EAF=90°+(90°-∠AGF)=180°-
∠AGF,∠AGF=∠BGC,
∴∠DAF=∠BGF,∵∠ADF=∠FBG=45°,
∴△ADF∽△GBF,
∴?=?=?.
∵EG∥CD,∴?=?=?,∴?=?.
∵AD=AE,∴EG·AE=BG·AB,故④正确.
故选C.
二、填空题
3.(2018北京中考,13,★★☆)如图4-4-27,在矩形ABCD中,E是边AB的中
点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为 ????.
?
图4-4-27
答案?????
解析????∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,∴∠FAE=
∠FCD,又∵∠AFE=∠CFD,∴△AFE∽△CFD,∴?=?=2.∵AC=
?=5,∴CF=?·AC=?×5=?.
4.(2018四川南充中考,15,★★☆)如图4-4-28,在△ABC中,DE∥BC,BF平
分∠ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1,BD=2,BC=4,则EF= ????.
?
图4-4-28
答案?????
解析????∵DE∥BC,∴∠F=∠FBC,∵BF平分∠ABC,∴∠DBF=∠FBC,
∴∠F=∠DBF,∴DB=DF.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴?=?,
即?=?,解得DE=?.∵DF=DB=2,∴EF=DF-DE=2-?=?.
5.(2018贵州安顺中考,15,★★☆)如图4-4-29,点P1,P2,P3,P4均在坐标轴上,
且P1P2⊥P2P3,P2P3⊥P3P4,若点P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),则点P4的坐
标为 ????.
?
图4-4-29
答案 (8,0)
解析????∵点P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),
∴OP1=1,OP2=2.∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3,
∴?=?,即?=?,解得OP3=4.
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4,∴?=?,即?=?,
解得OP4=8.则点P4的坐标为(8,0).
6.(2018山东东营中考,24,★★☆)
(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:
如图4-4-30①,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,
AO=3?,BO∶CO=1∶3,求AB的长.
经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构
造△ABD就可以解决问题(如图4-4-30②).
请回答:∠ADB= ????°,AB= ????.
(2)请参考以上解决思路,解决问题:
如图4-4-30③,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,
AO=3?,∠ABC=∠ACB=75°,BO∶OD=1∶3,求DC的长.
三、解答题
?
图4-4-30
解析????(1)∵BD∥AC,∴∠ADB=∠OAC=75°.∵∠BOD=∠COA,
∴△BOD∽△COA,∴?=?=?.
又∵AO=3?,∴OD=?AO=?,∴AD=AO+OD=4?.
∵∠BAD=30°,∠ADB=75°,∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB,
∴AB=AD=4?.
故答案为75;4?.
(2)过点B作BE∥AD交AC于点E,如图所示.
?
∵AC⊥AD,BE∥AD,∴∠DAC=∠BEA=90°.∵∠AOD=∠EOB,∴△AOD∽△EOB,∴?=?=?.
∵BO∶OD=1∶3,∴?=?=?.∵AO=3?,∴EO=?,∴AE=4?.
∵∠ABC=∠ACB=75°,∴∠BAC=30°,AB=AC,∴AB=2BE.在Rt△AEB中,
BE2+AE2=AB2,即(4?)2+BE2=(2BE)2,解得BE=4,∴AB=AC=8,AD=12.
在Rt△CAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,解得CD=4?.
1.(2017山东潍坊中考,15,★★☆)如图,在△ABC中,AB≠AC,D、E分别
为边AB、AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条
件: ????,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
?
答案 ∠A=∠BDF?∠A=∠BFD或∠ADE=∠BFD或∠ADE=∠BDF或
DF∥AC或?=?或?=??
解析????∵AC=3AD,AB=3AE,∴?=?=?,
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,∴∠AED=∠B.
故要使△FDB与△ADE相似,只需再添加一组角相等,或夹角的两边成
比例即可.
2.(2016湖北黄冈中考,14,★★☆)如图,已知△ABC,△DCE,△FEG,△
HGI是四个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,且AB=
2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI= ????.
?
答案?????
解析????∵△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是四个全等的等腰三角形,
∴GI=EG=CE=BC=1,∴BI=4,
∵AB=2,∴?=?,
∵∠ABC=∠IBA,∴△ABC∽△IBA,
∴?=?,∴AI=4.
∵∠ACB=∠FGE,∴GQ∥AC.
∴?=?,∴QI=?.
3.(2016浙江杭州中考,19,★★☆)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、
AC上,∠AED=∠B.射线AG分别交线段DE、BC于点F、G,且?=?.
(8分)
(1)求证:△ADF∽△ACG;
(2)若?=?,求?的值.
?
解析????(1)证明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB.∴∠ADE=∠C.
又∵?=?,∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG,
∴?=?=?,∴?=1.
4.(2018上海中考,23,★★☆)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一
点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E、F.
(1)求证:EF=AE-BE;
(2)连接BF,如果?=?,求证:EF=EP.
证明 (1)如图,∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵BE⊥AP,DF⊥AP,
∴∠BEA=∠AFD=90°.
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3.
在△ABE和△DAF中,
?
∴△ABE≌△DAF,
∴BE=AF,
∴EF=AE-AF=AE-BE.
?
(2)如图,∵?=?,AF=BE,
∴?=?,∴?=?,
∴Rt△BEF∽Rt△DFA,
∴∠4=∠3,又∠1=∠3,∴∠4=∠1,
∵∠5=∠1,∴∠4=∠5,
即BE平分∠FBP,又BE⊥EP,∴EF=EP.
5.(2018福建中考B卷,21,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC
=8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到,△EFG由△ABC
沿CB方向平移得到,且直线EF过点D.
(1)求∠BDF的大小;
(2)求CG的长.
?
解析????(1)∵线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到,
∴∠DAB=90°,AD=AB=10.
∴∠ABD=45°.
∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,∴AB∥EF,
∴∠BDF=∠ABD=45°.
(2)由平移的性质可得AE∥CG,AB∥EF,且AE=CG.
∴∠DEA=∠DFC=∠ABC,∠ADE+∠DAB=180°,
∵∠DAB=90°,∴∠ADE=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ADE=∠ACB,∴△ADE∽△ACB,
∴?=?,∵AC=8,AB=AD=10,∴AE=?,∴CG=AE=?.
6.(2018浙江杭州中考,19,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边
上的中线,DE⊥AB于点E.
(1)求证:△BDE∽△CAD;
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.
?
解析????(1)∵AB=AC,AD为BC边上的中线,
∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,∴△BDE∽△CAD.
(2)∵AB=AC,AD为BC边上的中线,BC=10,∴AD⊥BC,BD=CD=5.
在Rt△ADB中,AD=?=?=12,
∵?AD·BD=?AB·DE,∴DE=?.
如图4-4-31,矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为CD边上的动点,当△ADP与
△BCP相似时,DP= ????.
图4-4-31
答案 1或4或2.5
解析????①当△APD∽△PBC时,?=?,即?=?,解得PD=1或
PD=4,经检验,PD=1,PD=4都是原方程的解;②当△PAD∽△PBC时,?=
?,即?=?,解得DP=2.5,经检验,DP=2.5是原方程的解.综上所述,
当△ADP与△BCP相似时,DP的长度是1或4或2.5.
1.如图,平面直角坐标系中,已知点A(4,0)和点B(0,3),点C是AB的中点,点
P在折线AOB上,直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似,那么点P
的坐标是 ????.
?
答案?????或(2,0)或?
解析????当PC∥OA时,△BPC∽△BOA,因为点C是AB的中点,所以P为OB
的中点,此时点P的坐标为?;
当PC∥OB时,△ACP∽△ABO,因为点C是AB的中点,所以P为OA的中
点,此时点P的坐标为(2,0);
当PC⊥AB时,如图,∵∠CAP=∠OAB,∴Rt△APC∽Rt△ABO,∴?=
?,∵A(4,0),B(0,3),∴AB=?=5,∵点C是AB的中点,∴AC=?,∴?=
?,∴AP=?,∴OP=OA-AP=4-?=?,此时点P的坐标为?.
?
综上所述,满足条件的点P的坐标为?或(2,0)或?.
2.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,
0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B,C重合),经过点O,P折叠
该纸片,得点B'和折痕OP.设BP=t.
?
(1)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;
(2)如图②,经过点P两次折叠纸片,使点C落在直线PB'上,得点C'和折痕
PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(3)在(2)的条件下,当点C'恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结
果即可).
解析????(1)根据题意知∠OBP=90°,OB=6,在Rt△OBP中,∠BOP=30°,BP=t,则
OP=2t.根据勾股定理得OP2=OB2+BP2,即(2t)2=62+t2,解得t=2?或t=-2?(不合题意,舍去),∴点P的坐标为(2?,6).
(2)∵△OB'P,△QC'P分别是由△OBP,△QCP折叠得到的,∴△OB'P≌△OBP,△QC'P≌△QCP,∴∠OPB'=∠OPB,∠QPC'=∠QPC.∵∠OPB'+∠OPB+
∠QPC'+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90°,又∵∠BOP+∠OPB=90°,
∴∠BOP=∠QPC.又∵∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ,∴?=?.
∵BP=t,AQ=m,BC=OA=11,AC=OB=6,∴PC=11-t,CQ=6-m,
∴?=?,∴m=?t2-?t+6(0(3)点P的坐标为?或?.
3.如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB.
(1)图①中共有 ????对相似三角形,分别为 ????
(不需证明);
(2)已知AB=10,AC=8,请你求出CD的长;
(3)在(2)的情况下,如果以AB为x轴,CD为y轴,点D与坐标原点O重合,建立
直角坐标系(如图②),若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB
运动,点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿线段BA运动,其中一点最
先到达线段的端点时,两点即刻同时停止运动.设运动时间为t秒,是否存
在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出
点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图①
图②
解析????(1)3;△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.
(2)解法一:在△ABC中,∠ACB=90°,BC=?=6,
∵S△ABC=?AC·BC=?AB·CD,
∴6×8=10·CD,
∴CD=4.8.
解法二:在△ABC中,∠ACB=90°,BC=?=6,
由(1)可知△ABC∽△ACD,
∴?=?,∴?=?,∴CD=4.8.
(3)存在点P,使△BPQ与△ABC相似,理由:
在△BOC中,∠BOC=90°,OB=?=3.6.
(i)当∠BQP=90°时(如图),易得△PQB∽△ACB,
?
∴?=?,∴?=?.
解得t=2.25,此时BQ=CP=2.25,
∴OQ=1.35,BP=3.75.
在△BPQ中,PQ=?=3,
∴点P的坐标为(1.35,3).
(ii)当∠BP1Q1=90°时(如图),易得△Q1P1B∽△ACB,
∴?=?,∴?=?,
解得t=3.75,此时BQ1=CP1=3.75,则BP1=2.25,
过点P1作P1E⊥x轴于点E,
∵△QP1B∽△ACB,∴?=?,∴?=?,
∴P1E=1.8.
在△BP1E中,BE=?=1.35,
∴OE=2.25,∴点P1的坐标为(2.25,1.8).
综上所述,点P的坐标为(1.35,3)或(2.25,1.8).
4.类比、转化、从特殊到一般等思想方法在数学学习和研究中经常用
到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:如图,在?ABCD中,点E是BC边的中点,点F是线段AE上一点,BF的
延长线交射线CD于点G.若?=3,求?的值.
?
(1)尝试探究
过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是 ???? ，
CG和EH的数量关系是 ????,?的值是 ????.
(2)类比延伸
如图,在原题的条件下,若?=m(m>0),则?的值是 ????(用含m的
代数式表示),试写出解答过程.
?
(3)拓展迁移
如图,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上一点,AE和BD相交于
点F.若?=a,?=b(a>0,b>0),则?的值是 ????(用含a、b的代数
式表示).
?
解析????(1)过点E作EH∥AB交BG于点H,如图所示,
则△ABF∽△EHF,
∴?=?=3,∴AB=3EH.
∵在?ABCD中,EH∥AB,
∴EH∥CD.
又∵E为BC的中点,
∴EH为△BCG的中位线,
∴CG=2EH.
∴?=?=?=?.
故答案为AB=3EH;CG=2EH;?.
(2)如图所示,过点E作EH∥AB交BG于点H,则△EFH∽△AFB.
∴?=?=m,
∴AB=mEH.
∵AB=CD,∴CD=mEH.
∵EH∥AB∥CD,
∴△BEH∽△BCG.
∴?=?=2,
∴CG=2EH,
∴?=?=?.
(3)如图所示,过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,则EH∥AB∥CD.
∵EH∥CD,∴△BCD∽△BEH,
∴?=?=b,
∴CD=bEH.
又∵?=a,
∴AB=aCD=abEH.
∵EH∥AB,∴△ABF∽△EHF,
∴?=?=?=ab.
