第四章 图形的相似
6 利用相似三角形测高
测试时间:20分钟
一、选择题
1.中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时,会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在测量距离AB的示意图中,记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上,则下列结论中,正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
2.(2018北京大兴期末)为测量某河的宽度,小军在河对岸选定一个目标点A,再在他所在的这一侧选点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,然后找出AD与BC的交点E.如图所示,若测得BE=90 m,EC=45 m,CD=60 m,则这条河的宽AB等于( )
A.120 m B.67.5 m C.40 m D.30 m
3.(2018北京怀柔期末)网球单打比赛场地的宽度为8米,长度在球网的两侧各为12米,球网的高度为0.9米(如图中AB的高度).在比赛中,某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球,设计打出直线穿越球,使球落在对方底线C处,用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中,为保证战术成功,该运动员击球点的高度至少为 ( )
A.1.65米 B.1.75米 C.1.85米 D.1.95米
二、填空题
4.(2018江苏扬州江都期中)如图,身高为1.7 m的小明AB站在小河的一岸,利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度,CD在水中的倒影为C'D,A、E、C'在同一条直线上.如果小河BD的宽度为12 m,BE=3 m,那么这棵树CD的高为 m.?
5.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC上,AB的长为9毫米,AC被分成60等份,如果小玻璃管口径DE正好对着量具上20份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是 毫米.?
三、解答题
6.某人想利用甲楼测乙楼的高度,他在E处放一面镜子,在A处观测镜子恰好看到乙楼的楼顶C.已知甲楼AB的高为15米,BE=6米,DE=10米.试求乙楼的高.
7.如图,为测量一棵树CD的高度,小明在距树24 m处立了一根高为2 m的标杆EF,然后他前后调整自己的位置,当他与树相距27 m时,他的头顶、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的身高AB为1.6 m,求树的高度.
8.如图,在相对的两栋楼中间有一堵墙,甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙,视线如图1所示.根据实际情况画出平面图形,如图2(CD⊥DF,AB⊥DF,EF⊥DF)所示,甲从点C可以看到点G处,乙从点E可以看到点D处,点B是DF的中点,墙AB的高为5.5米,DF=100米,BG=10.5米,求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差(结果精确到0.1米).
9.周末,小凯和同学带着皮尺去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度.如图,由于无法直接测量,小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF,通过在直线EF上选点观测,发现当他位于N点时,他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处;当他位于N'点时,视线从M'点通过D点正好落在遮阳篷B点处,这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽.已知AB∥CD∥EF,点C在AG上,AG、DE、MN、M'N'均垂直于EF,MN=M'N',露台的宽CD=GE.实际测得GE=5米,EN=15.5米,NN'=6.2米.请根据以上信息,求遮阳篷的宽AB是多少米.
第四章 图形的相似(答案版）
6 利用相似三角形测高
测试时间:20分钟
一、选择题
1.中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时,会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在测量距离AB的示意图中,记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上,则下列结论中,正确的是( )
A.= B.= C.= D.=
答案 B ∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴==,故选B.
2.(2018北京大兴期末)为测量某河的宽度,小军在河对岸选定一个目标点A,再在他所在的这一侧选点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,然后找出AD与BC的交点E.如图所示,若测得BE=90 m,EC=45 m,CD=60 m,则这条河的宽AB等于( )
A.120 m B.67.5 m C.40 m D.30 m
答案 A ∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴AB∥CD,∴△BAE∽△CDE,∴=,
∵BE=90 m,CE=45 m,CD=60 m,
∴=,则AB=120 m,故选A.
3.(2018北京怀柔期末)网球单打比赛场地的宽度为8米,长度在球网的两侧各为12米,球网的高度为0.9米(如图中AB的高度).在比赛中,某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球,设计打出直线穿越球,使球落在对方底线C处,用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中,为保证战术成功,该运动员击球点的高度至少为 ( )
A.1.65米 B.1.75米 C.1.85米 D.1.95米
答案 D 如图,由题意知AB∥DE,
则△ABC∽△EDC,∴=,即=,解得ED=1.95,故选D.
二、填空题
4.(2018江苏扬州江都期中)如图,身高为1.7 m的小明AB站在小河的一岸,利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度,CD在水中的倒影为C'D,A、E、C'在同一条直线上.如果小河BD的宽度为12 m,BE=3 m,那么这棵树CD的高为 m.?
答案 5.1
解析 ∵AB,CD均垂直于地面,∴AB∥CD,∴∠B=∠C'DE,又∠AEB=∠C'ED,△ABE∽△C'DE,
∵CD在水中的倒影为C'D,∴易证得△ABE∽△CDE,∴=,
又∵AB=1.7 m,BE=3 m,BD=12 m,∴=,∴CD=5.1 m.
5.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC上,AB的长为9毫米,AC被分成60等份,如果小玻璃管口径DE正好对着量具上20份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是 毫米.?
答案 3
解析 ∵DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,∴CD∶CA=DE∶AB,∴20∶60=DE∶9,
∴DE=3毫米,∴小玻璃管口径DE的长是3毫米.故答案为3.
三、解答题
6.某人想利用甲楼测乙楼的高度,他在E处放一面镜子,在A处观测镜子恰好看到乙楼的楼顶C.已知甲楼AB的高为15米,BE=6米,DE=10米.试求乙楼的高.
解析 依题意得△ABE∽△CDE,∴=,即=,∴CD=25米.故乙楼的高为25米.
7.如图,为测量一棵树CD的高度,小明在距树24 m处立了一根高为2 m的标杆EF,然后他前后调整自己的位置,当他与树相距27 m时,他的头顶、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的身高AB为1.6 m,求树的高度.
解析 如图,过点A作AN⊥CD,交CD于点N,交EF于点M.
因为人、标杆、树都垂直于地面,
所以∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,所以AB∥EF∥CD,所以∠EMA=∠CNA=90°.
又因为∠EAM=∠CAN,所以△AEM∽△ACN,所以=.
因为AB=1.6 m,EF=2 m,BD=27 m,FD=24 m,
所以=,所以CN=3.6 m,所以CD=CN+ND=CN+AB=3.6+1.6=5.2(m).
故树的高度为5.2 m.
8.如图,在相对的两栋楼中间有一堵墙,甲、乙两人分别在这两栋楼内观察这堵墙,视线如图1所示.根据实际情况画出平面图形,如图2(CD⊥DF,AB⊥DF,EF⊥DF)所示,甲从点C可以看到点G处,乙从点E可以看到点D处,点B是DF的中点,墙AB的高为5.5米,DF=100米,BG=10.5米,求甲、乙两人的观测点到地面的距离之差(结果精确到0.1米).
解析 由题意可知∠ABG=∠CDG=90°.
又∵∠AGD为公共角,
∴△ABG∽△CDG.
∴=.
∵DF=100米,点B是DF的中点,
∴BD=BF=50米,
∵AB=5.5米,BG=10.5米,
∴=,
∴CD≈31.69(米).
又∵∠ABD=∠EFD=90°,∠EDF为公共角,
∴△ADB∽△EDF,
∴==,
∴EF=2AB=11(米).
∴CD-EF≈20.7(米).
答:甲、乙两人的观测点到地面的距离之差约为20.7米.
9.周末,小凯和同学带着皮尺去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度.如图,由于无法直接测量,小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF,通过在直线EF上选点观测,发现当他位于N点时,他的视线从M点通过露台D点正好落在遮阳篷A点处;当他位于N'点时,视线从M'点通过D点正好落在遮阳篷B点处,这样观测到的两个点A、B间的距离即为遮阳篷的宽.已知AB∥CD∥EF,点C在AG上,AG、DE、MN、M'N'均垂直于EF,MN=M'N',露台的宽CD=GE.实际测得GE=5米,EN=15.5米,NN'=6.2米.请根据以上信息,求遮阳篷的宽AB是多少米.
解析 过点M'作M'H⊥DE于H,如图,则HM=EN=15.5米,CD=GE=5米,
MM'=NN'=6.2米,∵CD∥HM,∴∠ADC=∠DMH,∴Rt△ACD∽Rt△DHM,
∴==,∵AB∥MM',∴△ABD∽△MM'D,∴==,即=,∴AB=2(米).
答:遮阳篷的宽AB是2米.
1
第四章 图形的相似
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点一????利用阳光下的影子测量高度
类型 原理 操作图 操作说明 相关算式
利用阳光下的影子测高(如测量旗杆的高度) 同一时刻
物高与
影长成
比例 ? (1)需测参照物(人)的高度及参照物(人)的影长;
(2)测量被测物体(旗杆)的影长 ?=?,则AB=?
例1 如图4-6-1,甲、乙两楼楼顶上的点A和点E与地面上的点C在同一
条直线上,点B、D分别在点E、A的正下方,且D、B、C三点在同一条直
线上,B、C相距30米,D、C相距50米.甲楼的影子DC恰好与乙楼的影子
BC在同一条直线上,乙楼高BE为18米,求甲楼的高AD.
?
图4-6-1
分析 由题意,易证△ADC∽△EBC.根据相似三角形对应边成比例,写出
含AD的比例式,把已知数据代入即可求出AD.
解析????由题意知BE∥AD,
∴△EBC∽△ADC,
∴?=?,
∵BC=30米,DC=50米,BE=18米,
∴AD=?=?=30(米).
答:甲楼的高AD为30米.
知识点二????利用标杆测量高度
类型 原理 操作图 操作说明 相关算式
利用标杆测高(如测量古塔的高度) 构造相似三角形,把被测物体分成两部分求解 ? (1)人眼、标杆顶端和被测物体(古塔)的顶端三点要共线,即人眼恰好看不见被测物体(古塔);
(2)需测人眼高、标杆高、人与古塔的距离及人与标杆的距离 ?=?,则PB=?,
从而PO=PB+AD
例2 如图4-6-2,直立在点B处的标杆AB高2.5 m,站立在点F处的观察者
从点E处看到标杆顶端A、旗杆顶端C在一条直线上.已知BD=18 m,FB=
3 m,EF=1.6 m,求旗杆的高CD.
?
图4-6-2
解析????过E作EH⊥CD交CD于点H,交AB于点G,如图4-6-3所示.
?
图4-6-3
∴EF=GB=DH=1.6 m,EG=FB=3 m,GH=BD=18 m,
∴AG=AB-GB=0.9 m.
∵AB⊥FD,CD⊥FD,∴AG∥CH,
∴△AEG∽△CEH,∴AG∶CH=EG∶EH.
∵EH=EG+GH=21 m,∴CH=?=6.3 m,
∴CD=CH+HD=7.9 m.
答:旗杆的高CD为7.9 m.
点拨 解题的关键是正确作出辅助线,构造相似三角形.
知识点三????利用镜子的反射测量高度
类型 原理 操作图 操作说明 相关算式
利用镜子的反射测高(如测量旗杆的高度) 根据反射角等于入射角构造相似三角形 ? (1)人来回移动,恰好在镜子里看到旗杆的顶端;
(2)需测人眼的高度、人到镜子的距离和旗杆底端
到镜子的距离 ?=?,则AB=
?
例3 某同学要测量一烟囱的高度,他将一面镜子放在地面上某一位置,
然后站到与镜子、烟囱成一条直线的地方,刚好从镜子中看到烟囱的顶
部.如果这名同学的眼高为1.65 m,他到镜子的距离是2 m,测得镜子到烟
囱的距离为20 m,求烟囱的高度.
解析????如图4-6-4,用AB长表示该同学的眼高,CD长表示烟囱的高度,O表
示放镜子的地点.
由光学知识及等角的余角相等,得∠AOB=∠COD.
又因为∠B=∠D=90°,
所以△AOB∽△COD,则?=?,即?=?,
所以CD=16.5 m.
故烟囱的高度是16.5 m.
图4-6-4
方法总结 利用镜子的反射求物体的高度,可根据等角的余角相等和
人、物体均与地面垂直以及物理学上的反射角等于入射角得相似三角
形,由此得对应边成比例,从而求出物体的高度.
题型????利用刻度尺测物体的高度
例 如图4-6-5,一个人拿着一把刻有厘米的刻度尺,站在离电线杆约
30 m的地方,他把手臂向前伸直,刻度尺竖直,看到尺上约12个刻度恰好遮
住电线杆,已知臂长约60 cm,你能根据以上数据求出电线杆的高度吗?
?
图4-6-5
分析 根据本题所描述的内容可画如图4-6-6所示的示意图,则EB=60 cm=
0.6 m,AB=12 cm=0.12 m,CF=30 m,求DC的长.
解析????能.如图4-6-6,∵OF⊥FC,EB∥FC,
∴∠OEB=∠OFC,∠EOB=∠FOC,
∴△OEB∽△OFC,∴?=?.
∵AB⊥FC,DC⊥FC,
∴AB∥DC,∴∠OAB=∠ODC,∠OBA=∠OCD,
∴△OAB∽△ODC,∴?=?,∴?=?.
∵EB=60 cm=0.6 m,AB=12 cm=0.12 m,CF=30 m,
∴?=?,∴DC=?=6(m).
故电线杆的高度为6 m.
图4-6-6
知识点一????利用阳光下的影子测量高度
1.(2019江苏无锡锡山月考)小兵身高1.4 m,他的影长是2.1 m,若此时学
校旗杆的影长是12 m,那么旗杆的高度是?( )
A.4.5 m B.6 m C.7.2 m D.8 m
答案????D 设旗杆的高度为x m,根据题意得?=?,解得x=8,即旗杆的
高度为8 m,故选D.
2.(2018江西九江期末)如图4-6-1,某班上体育课,当甲、乙两名同学分别
站在C、D的位置时,乙的影子DA恰好与甲的影子CA在同一条直线上,
已知甲身高1.8米,乙身高1.5米,甲的影长是6米,则甲、乙两同学相距????
????米.?( )
?
图4-6-1
A.1 ????B.2 ????C.3 ????D.5
答案????A 设甲、乙两同学相距x米,则CD=x米,DA=(6-x)米.易知△ADE
∽△ACB,∴?=?,∴?=?,
解得x=1.故选A.
知识点二????利用标杆测量高度
3.(2018山东临沂中考)如图4-6-2,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知
标杆BE高1.2 m,测得AB=1.6 m,BC=12.4 m,则建筑物CD的高是?( )
?
图4-6-2
A.9.3 m B.10.5 m C.12.4 m D.14 m
答案????B ∵EB∥CD,∴△ABE∽△ACD,
∴?=?,即?=?,∴CD=10.5(米).故选B.
4.如图4-6-3,直立在B处的标杆AB=2.4 m,直立在F处的观测者从E处看
到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F,B,D也在同一条直线上).已知
BD=8 m,FB=2.5 m,人眼高EF=1.5 m,求树高CD.
?
图4-6-3
解析????如图,过点E作EG⊥CD,交CD于点G,交AB于点H.
?
∴EF=HB=GD=1.5 m,EH=FB=2.5 m,HG=BD=8 m,
∴AH=AB-HB=2.4-1.5=0.9(m),
EG=FD=FB+BD=2.5+8=10.5(m).
∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴AB∥CD,
∴△EHA∽△EGC,∴?=?,
∴CG=?=?=3.78(m),
∴CD=CG+GD=3.78+1.5=5.28(m).
故树高CD为5.28 m.
知识点三????利用镜子的反射测量高度
5.(2017甘肃兰州中考)如图4-6-4,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A
到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的平
台DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的
点G处,测得CG=15米,然后沿着直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子
里看到凉亭的顶端A,测得GE=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB
约为?( )
图4-6-4
A.8.5米 ????B.9米 ????C.9.5米 ????D.10米
答案????A 由题意得∠AGC=∠FGE,∵∠ACG=∠FEG=90°,∴△ACG∽
△FEG,∴?=?,∴?=?,
∴AC=8米,∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米.
6.如图4-6-5所示,从点A(0,2)发出的一束光经x轴反射过点B(4,3),则这束
光从点A到点B所经过路径的长为 ????.
?
图4-6-5
答案?????
解析????如图所示,过点B作BD⊥x轴于点D,
则△AOC∽△BDC,∴?=?=?.
设OC=x(x>0),则CD=4-x,
∴?=?,解得x=?.
∴AC=?=?.
∵?=?=?,∴CB=?.
∴AC+BC=?+?=?.
1.如图,小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度,测量时,使
直角边DF保持水平状态,其延长线交AB于点G,使斜边DE所在的直线经
过点A.测得边DF离地面的高度为1 m,点D到AB的距离等于7.5 m.已知
DF=1.5 m,EF=0.6 m,那么树AB的高度等于?( )
?
A.4 m B.4.5 m C.4.6 m D.4.8 m
答案????A 由题意知BG=DC=1,DG=7.5,EF∥AG,
∴△DEF∽△DAG,∴?=?,即?=?,∴AG=3,∴AB=BG+AG=1+3
=4.所以树AB的高度为4 m.故选A.
2.(2015新疆中考)如图,李明打网球时,球恰好打过网,且落在离网4 m的
位置上,则网球拍击球的高度h为 ????.
?????
?
答案 1.4 m
解析????由题意得DE∥BC,所以△ABC∽△AED,
所以?=?,即?=?,所以h=1.4 m.
1.如图4-6-6,网球单打比赛场地的宽度为8米,长度在球网的两侧各为12
米,球网AB的高度为0.9米.中网比赛中,某运动员退出场地在距球网14米
的D点处接球,设计打出直线穿越球,使球落在对方底线上的点C处,用刁
钻的落点牵制对方.在这次进攻的过程中,为保证战术成功,该运动员击
球点的高度至少为?( )
?
图4-6-6
A.1.65米 ????B.1.75米 ????C.1.85米 ????D.1.95米
答案????D 如图,由题意知AB∥DE,
?
则△ABC∽△EDC,∴?=?,即?=?,
∴ED=1.95米,故选D.
2.某数学兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下,一名同学测得一根
长为1米的竹竿的影长为0.4米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树
的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此
影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图4-6-7,若此时落在地面上的影
长为4.4米,则树高为?( )
?
图4-6-7
A.11.5米 ????B.11.75米 ????C.11.8米 ????D.12.25米
答案????C 如图,设AB为树高,BC为树在地面上的影子,CD和DE为树在
台阶上的影子.如果我们把BC平移到FD的位置,易知四边形FBCD是矩
形,因此FD=BC,则EF=FD+DE=4.6米.设AB=x米,则AF=(x-0.3)米.根据题
意,得?=?,解得x=11.8.则树高为11.8米.故选C.
?
3.如图4-6-8所示,小华在测量电线杆AB的高度时,发现电线杆的影子恰
好落在坡面CD与地面BC上,影子CD=4 m,BC=10 m,CD与地面成30°角,
且此时测得1 m长的标杆的影长为2 m,求电线杆的高度(结果精确到0.1 m,?取1.41,?取1.73).
?
图4-6-8
解析????延长AD交BC的延长线于点F,过点D作DE⊥CF于点E,如图.
?
在Rt△DCE中,因为CD=4 m,∠DCE=30°,
所以DE=2 m,CE=?=2? m.
由同一时刻影长与物高成比例,得?=?=?.
所以AB=?BF,DE=?EF.
所以EF=4 m,则AB=?(BC+CE+EF)≈8.7(m).
所以电线杆的高度是8.7 m.
4.(2015陕西中考)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步.小聪问小军:“你
有多高?”小军一时语塞,小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及
地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯下沿直线NQ移动,如图4-6-9,
当小聪正好站在广场的A点(距N点5 块地砖长)时,其影长AD恰好为1块
地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时,其影长BF恰好
为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身
高AC为1.6米,MN⊥NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ.请你根据以上信息,求出小军
身高BE的长.(结果精确到0.01米)
图4-6-9
解析????由题意得∠CAD=∠MND=90°,∠CDA=∠MDN,
∴△CAD∽△MND.∴?=?.
∴?=?.∴MN=9.6.
又∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MFN,
∴△EBF∽△MNF.∴?=?.
∴?=?.∴EB≈1.75.
∴小军的身高约为1.75米.
1.如图所示的两根电线杆分别在高10 m的A处和15 m的C处用钢索将两
杆固定,求钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH.
?
解析????∵AB∥CD,∴△ABM∽△DCM,
∴?=?=?=?,
设BH=2x,x>0,则DH=3x,
∵MH∥AB,∴△MDH∽△ADB,
∴?=?=?,
∴MH=?AB=6.
答:钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH为6 m.
2.如图,李华晚上在两相距50 m的路灯下来回散步.已知李华身高AB=
1.7 m,灯柱CD=EF=8.5 m.
(1)若李华距灯柱CD的距离为DB=x m,他的影长BQ=y m,求y关于x的函
数关系式;
(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后两个影子的长度之和PB+BQ是
否会发生变化?请说明理由.
?
解析????(1)∵CD∥AB,∴△QAB∽△QCD.∴?=?,
∵DB=x m,BQ=y m,AB=1.7 m,CD=8.5 m,
∴?=?,整理得y=?.
(2)不会发生变化.理由:由(1)可得BQ=?,
同理可得PB=?,
则PB+BQ=?+?=?=12.5(m),是定值.
1.(2018北京通州期末,3,★★☆)如图4-6-10,为了测量某棵树的高度,小
刚用长为2 m的竹竿作测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰
好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距6 m,与树相距15 m,那么
这棵树的高度为( )
?
图4-6-10
A.5 m B.7 m C.7.5 m D.21 m
一、选择题
答案????B 如图,∵AB⊥OD,CD⊥OD,∴AB∥CD,
∴△OAB∽△OCD,∴?=?,
∵AB=2 m,OB=6 m,OD=6+15=21 m,∴?=?,
∴CD=7 m,故这棵树的高度为7 m,故选B.
?
2.(2018安徽宿松期末,3,★★☆)如图4-6-11,为估算某河的宽度,在河对
岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点D在
BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=30 m,EC=15 m,CD=
30 m,则河的宽度AB为?( )
?
图4-6-11
A.90 m B.60 m C.45 m D.30 m
答案????B ∵AB⊥BC,CD⊥BC,∴∠ABE=∠DCE=90°,
又∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等),∴△ABE∽△DCE,
∴?=?,即?=?,∴AB=60 m.故选B.
3.(2019内蒙古乌拉特前旗期末,20,★★☆)图4-6-12是小明设计利用光
线来测量某古城墙CD高度的示意图,如果镜子P与古城墙的距离PD=12
米,镜子P与小明的距离BP=1.5米,小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点
C,小明眼睛距地面的高度AB=1.2米,那么该古城墙的高度是多少?
?
图4-6-12
二、解答题
解析????由题意知∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP,
∴△ABP∽△CDP,
∴?=?,即?=?,
∴CD=9.6(米).
答:该古城墙的高度是9.6米.
1.(2017陕西西安三十九中模拟,21,★★☆)某学校的学生为了对小雁塔
有基本的认识,在老师的带领下对小雁塔进行了测量.测量方法如下:如
图,间接测得小雁塔底部点D到地面上一点E的距离为115.2米,小雁塔的
顶端为点B,且BD⊥DE,在点E处竖直放一根木棒,其顶端为C,CE=1.72
米,在DE的延长线上找一点A,使A、C、B三点在同一直线上,测得AE=
4.8米.求小雁塔的高度.
?
解析????由题意可得△AEC∽△ADB,
则?=?,故?=?,
所以DB=43米.
答:小雁塔的高度为43米.
2.(2017湖南邵阳隆回模拟,22,★★☆)如图,已知CD为一幢3米高的温
室,其南面窗户的底框G距地面1米,CD在地面上留下的最大影长CF为2
米,现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB(设A,C,F在
同一水平线上).
(1)按比例较精确地作出楼房AB及它的最大影长AE;
(2)问楼房AB建成后是否影响温室CD的采光?试说明理由.
?
解析????(1)如图.
?
(2)影响采光,理由:如图,设BE与CD交于点H.
由题易知HE∥DF,HC∥AB,
∴△CDF∽△ABE∽△CHE,
∴AE∶AB=CF∶DC=CE∶CH,
∵CF=2米,DC=3米,AB=12米, ∴AE=8米,由AC=7米,可得CE=1米,
故CH=1.5米,又∵CH=1.5米>1米,∴影响采光.
3.(2017湖南常德澧县期末,18,★★☆)如图,小明同学用自制的直角三角
形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DE保持水
平,并且边DE与点B在同一条直线上.已知纸板的两条边DE=70 cm,EF=
30 cm,测得AC=? m,BD=9 m,求树高AB.
?
解析????在直角△DEF中,DE=70 cm,EF=30 cm,
由勾股定理得DF=?=?=10? cm.
在△DEF和△DCB中,∠D=∠D,∠DEF=∠DCB,
∴△DEF∽△DCB,∴?=?,
又∵EF=30 cm,BD=9 m,
∴BC=?=?=?(m).
∵AC=? m,
∴AB=AC+BC=?+?=?(m),
即树高AB是? m.
一、选择题
1.(2018浙江绍兴中考,7,★★☆)学校门口的栏杆如图4-6-13所示,栏杆
从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别
为B,D,AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,则栏杆D端应下降的垂直距离CD为
?( )
?
图4-6-13
A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m
答案????C ∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABO=∠CDO=90°,
又∵∠AOB=∠COD,∴△ABO∽△CDO,∴?=?.
∵AO=4 m,AB=1.6 m,CO=1 m,
∴?=?,∴CD=0.4 m,故选C.
2.(2017四川绵阳中考,6,★★☆)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想
到了物理学中平面镜成像的原理.她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将
镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看
到旗杆的顶端E,标记脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中
心C的距离是50 cm,镜面中心C距旗杆底部D的距离为4 m,如图4-6-14所
示.已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离为4 cm,则旗杆DE的高度等于( )
?
A.10 m B.12 m C.12.4 m D.12.32 m
图4-6-14
答案????B 由题意可得AB=1.5 m,BC=0.5 m,DC=4 m,
∵△ABC∽△EDC,∴?=?,即?=?,
解得DE=12.故选B.
3.(2017贵州铜仁中考,16,★★☆)如图4-6-15,身高为1.8米的某学生想测
量学校旗杆的高度,当她站在B处时,她头顶端的影子正好与旗杆顶端的
影子重合,并测得AB=2米,BC=18米,则旗杆CD的高度是 ????米.
?
图4-6-15
二、填空题
答案 18
解析????如图.
∵BE⊥AC,CD⊥AC,
∴BE∥CD,
∴△ABE∽△ACD,
∴?=?,∴?=?,
∴CD=18米.
4.(2018吉林中考,12,★★☆)图4-6-16是测量河宽的示意图,AE与BC相
交于点D,∠B=∠C=90°.测得BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求得河宽AB
= ????m.
?
图4-6-16
答案 100
解析????∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,
∴△ABD∽△ECD,
∴?=?,∴AB=?,
∴AB=?=100(m).
三、解答题
5.(2018陕西中考,20,★★☆)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量
家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部
作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖
起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A
共线.
已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图
如图4-6-17所示.
请根据相关测量信息,求河宽AB.
图4-6-17
解析????∵CB⊥AD,ED⊥AD,
∴∠ABC=∠ADE=90°.
∵∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE,
∴?=?.
∵BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m,
∴?=?,
∴AB=17 m.
∴河宽AB为17 m.
1.(2015贵州黔南州中考,16,★☆☆)下图是小明设计用手电来测量都匀
南沙州古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发
经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥
BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是 ????
????米(平面镜的厚度忽略不计).
?
答案 8
解析????由题意知∠ABP=∠CDP=90°,∠APB=∠CPD,∴Rt△ABP∽
Rt△CDP,∴?=?,∴CD=?=8米.
2.(2017甘肃天水中考,16,★★☆)如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小
明站在距离灯的底部(点O)20米的A处,则小明的影子AM长 ????米.
?
答案 5
解析????如图,设路灯位于C处,由题意可得△MAB∽△MOC,所以?=
?,即?=?,所以AM=5米.
?
3.(2014山东潍坊中考,17,★☆☆)如图,某水平地面上建筑物的高度为
AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF,两标杆相隔52米,
并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后退2米到
点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆
EF后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直
线上,则建筑物的高是 ????米.
?
答案 54
解析????∵AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,
∴AB∥CD∥EF,
∴△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,
∴?=?=?,?=?=?,
∵CD=DG=EF=2米,DF=52米,FH=4米,
∴?=?,?=?,
∴?=?,
∴BD=52米,∴?=?,
∴AB=54米.
4.(2014湖南岳阳中考,22,★★☆)如图,矩形ABCD为台球桌面,AD=260 cm,
AB=130 cm,球目前在E点位置,AE=60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点
F将球打过去,经过反弹后,球刚好弹到D点位置.
(1)求证:△BEF∽△CDF;
(2)求CF的长.
?
解析????(1)证明:∵∠DFC=∠EFB,∠EBF=∠FCD=90°,
∴△BEF∽△CDF.
(2)由(1)知△BEF∽△CDF,
∴?=?,即?=?.
解得CF=169.
经检验,CF=169是原方程的解.
故CF的长度是169 cm.
1.九年级某班开展数学活动,活动内容为测量如图4-6-18所示的电线杆
AB的高度.在太阳光的照射下,电线杆影子的一部分(BE)落在地面上,另
一部分(EF)落在斜坡上,站在水平面上的小明的影子为DG,已知∠FEH
=30°,CD=1.6 m,DG=0.8 m,BE=2.1 m,EF=1.7 m,则电线杆的高约为 ????
????m.(精确到0.1,参考数据:?≈1.41,?≈1.73)
?
图4-6-18
答案 8.0
解析????如图,延长AF交BH于点N,过点F作FM⊥BH于点M,∵∠FEH=30°,
EF=1.7 m,∴FM=0.85 m,∴EM≈1.47 m.由题意可得AB∥FM∥CD,
∴△FMN∽△CDG,∴?=?,∵CD=1.6 m,DG=0.8 m,∴MN=0.425 m,
∵BE=2.1 m,∴BN=2.1+1.47+0.425=3.995≈4.00(m),∵?=?,∴?=
?,∴AB≈8.0 m.
2.(2016陕西中考)某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、
共享发展理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同
学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验
自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月
阁”底部间的距离不易测得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首
先用平面镜进行测量,方法如下:如图4-6-19,小芳在小亮和“望月阁”
之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直
线BM上的对应位置为点C.镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走
动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记
重合.这时,测得小亮眼睛与地面的距离ED=1.5米,CD=2米;然后,在阳光
下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图4-6-19,小亮
从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测
得小亮的影长FH=2.5米,身高FG=1.65米.
已知:AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM.其中,测量时所使用的平面镜的厚度
忽略不计.请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长
度.
?
图4-6-19
解析????由题意得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,∠ACB=∠ECD,∠AFB=
∠GHF.
∴△ABC∽△EDC,△ABF∽△GFH.
∴?=?,?=?,
即?=?,?=?,∴AB=99米.
答:“望月阁”的高度为99米.
如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是CD的中点,CD是水平的,在阳光
的照射下,塔影DE落在坡面上.已知CD=12 m,DE=18 m,小明和小华的身
高都是1.5 m,同一时刻小明站在E处,影子落在坡面上,影长为2 m,小华
站在平地上,影子也落在平地上,影长为1 m,则塔高AB是 ????米.
?
答案 22.5
解析????过D点作DF∥AE,交AB于F点,如图所示:
?
设塔影落在坡面DE部分的塔高AF=h1,塔影落在平地BD部分的塔高BF=
h2,则铁塔的高为h1+h2.∵h1∶18 m=1.5 m∶2 m,∴h1=13.5 m,∵h2∶6 m=
1.5 m∶1 m,∴h2=9 m.∴AB=13.5+9=22.5(m).
∴铁塔的高度为22.5 m.
