第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质(1)
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2019上海黄浦一模)如果两个相似三角形对应边的比为4∶5,那么它们对应中线的比是( )
A.2∶ B.2∶5 C.4∶5 D.16∶25
2.(2018宁夏银川兴庆期中)两个相似三角形对应高之比为1∶3,那么它们对应中线的比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
二、填空题
3.顺次连接三角形三边的中点,所构成的三角形与原三角形对应高的比是 .?
4.已知,△ABC∽△DEF,BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线,BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm,则EH= cm.?
三、解答题
5.如图,灯泡在圆桌的正上方,当距桌面2 m时,圆桌的影子的直径为2.8 m,在仅仅改变圆桌的高度,其他条件不变的情况下,圆桌的桌面升高多少米,其影子的直径变为3.2 m?
6.如图,△ABC∽△A'B'C',AD、A'D'分别是这两个三角形的高,EF、E'F'分别是这两个三角形的中位线,与相等吗?为什么?
7.如图所示,有一批形状、大小相同的铁片呈直角三角形,已知∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,现在想用这批铁片裁出正方形铁片,这里有两种不同的设计方案:方案一:正方形的两边分别落在△ABC的两条直角边上;方案二:正方形的一边落在斜边AB上.通过计算说明哪种方案能裁出面积最大的正方形铁片.
∵HG∥AB,
∴△CHG∽△CBA,
第四章 图形的相似(答案版）
7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形的性质(1)
测试时间:20分钟
一、选择题
1.(2019上海黄浦一模)如果两个相似三角形对应边的比为4∶5,那么它们对应中线的比是( )
A.2∶ B.2∶5 C.4∶5 D.16∶25
答案 C 相似三角形对应中线的比等于相似比.∵两个相似三角形对应边的比为4∶5,
∴它们对应中线的比也为4∶5,故选C.
2.(2018宁夏银川兴庆期中)两个相似三角形对应高之比为1∶3,那么它们对应中线的比为( )
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶9
答案 B ∵两个相似三角形对应高之比为1∶3,
∴它们的相似比为1∶3,∴它们对应中线的比也为1∶3.故选B.
二、填空题
3.顺次连接三角形三边的中点,所构成的三角形与原三角形对应高的比是 .?
答案 1∶2
解析 根据中位线的性质可知,顺次连接三角形三边的中点所形成的线段都是原三角形对应边的一半,所以所构成的三角形与原三角形相似,且相似比是1∶2,所以新三角形与原三角形对应高的比为1∶2,故答案为1∶2.
4.已知,△ABC∽△DEF,BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线,BC=6 cm,EF=4 cm,BG=4.8 cm,则EH= cm.?
答案 3.2
解析 如图所示,∵△ABC∽△DEF,∴∠C=∠F,∠ABC=∠DEF,又∵BG、EH分别是△ABC和
△DEF的角平分线,∴∠GBC=∠HEF,∴△GBC∽△HEF.∴=,即=,解得EH=3.2 cm.
三、解答题
5.如图,灯泡在圆桌的正上方,当距桌面2 m时,圆桌的影子的直径为2.8 m,在仅仅改变圆桌的高度,其他条件不变的情况下,圆桌的桌面升高多少米,其影子的直径变为3.2 m?
解析 依题意,易证△ABC∽△ADE.
设圆桌的直径为a m,灯泡距影子h m,圆桌的桌面升高x m.
由相似三角形的性质定理,可得=.①
圆桌的桌面升高x m后,有=.②
由①得ah=5.6.由②得ah=3.2(2-x),
则2-x=ah÷3.2=5.6÷3.2=1.75.∴x=0.25.
故圆桌的桌面升高0.25 m,其影子的直径变为3.2 m.
6.如图,△ABC∽△A'B'C',AD、A'D'分别是这两个三角形的高,EF、E'F'分别是这两个三角形的中位线,与相等吗?为什么?
解析 与相等.理由:
∵△ABC∽△A'B'C',
∴=,
∵EF、E'F'分别是这两个三角形的中位线,
∴==,
∴=,
∴=,
∵AD、A'D'分别是这两个三角形的高,
∴=,
∴=.
7.如图所示,有一批形状、大小相同的铁片呈直角三角形,已知∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,现在想用这批铁片裁出正方形铁片,这里有两种不同的设计方案:方案一:正方形的两边分别落在△ABC的两条直角边上;方案二:正方形的一边落在斜边AB上.通过计算说明哪种方案能裁出面积最大的正方形铁片.
解析 ∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,则AC==4 cm.
方案一:如图1,设正方形CGFE的边长为x cm,则BE=(3-x)cm,
∵EF∥AC,
∴△BEF∽△BCA,
∴=,即=,解得x=;
方案二:如图2,设正方形HGFE的边长为y cm,作CM⊥AB于M,交HG于N,
∵CM·AB=BC·AC,
∴CM== cm,
∵HG∥AB,
∴△CHG∽△CBA,
∴=,即=,解得y=,
∵x==>=y,
∴方案一能裁出面积最大的正方形铁片.
1
第四章 图形的相似
第2课时 相似三角形的性质(2)
测试时间:25分钟
一、选择题
1.若两个相似三角形的面积之比为4∶9,则它们对应角的平分线之比为( )
A. B. C. D.
2.(2018辽宁锦州凌海期末)如图,已知△ABC∽△DEF,=,则下列等式一定成立的是( )
A.= B.=
C.= D.=
3.如图,已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,且S△ADE∶S四边形DBCE=1∶8,那么AE∶AC等于( )
A.1∶9 B.1∶3 C.1∶8 D.1∶2
4.(2019黑龙江道里期末)如图,△ABC∽△ADE,且BC=2DE,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
5.若两个相似三角形对应中线的比是2∶3,它们的周长之和为15,则较小的三角形的周长为 .?
6.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则= .?
三、解答题
7.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50,EC=30,问△ABC与△ADE的周长之比是多少?
8.已知△ABC∽△DEF,=,△ABC的周长是12 cm,面积是30 cm2.求:
(1)△DEF的周长;
(2)△DEF的面积.
9.在比例尺为1∶10 000的地图上,有甲、乙两个相似的三角形区域,其周长分别为10 cm和15 cm.
(1)求它们的面积比;
(2)若在地图上量得甲三角形区域的面积为16 cm2,那么乙三角形区域的实际面积是多少?
10.如图所示,已知在?ABCD中,点P在BC上,且BP∶PC=1∶3,连接AP,BD,交于点Q,S△BPQ=
2 cm2.
求:(1)△BPQ与△DAQ的周长比;(2)S△DAQ.
第四章 图形的相似(答案版）
第2课时 相似三角形的性质(2)
测试时间:25分钟
一、选择题
1.若两个相似三角形的面积之比为4∶9,则它们对应角的平分线之比为( )
A. B. C. D.
答案 A ∵两个相似三角形的面积之比为4∶9,∴两个相似三角形的相似比为2∶3,∴它们对应角的平分线之比为2∶3,故选A.
2.(2018辽宁锦州凌海期末)如图,已知△ABC∽△DEF,=,则下列等式一定成立的是( )
A.= B.=
C.= D.=
答案 D ∵△ABC∽△DEF,=,∴=.故选D.
3.如图,已知D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,DE∥BC,且S△ADE∶S四边形DBCE=1∶8,那么AE∶AC等于( )
A.1∶9 B.1∶3 C.1∶8 D.1∶2
答案 B ∵S△ADE∶S四边形DBCE=1∶8,∴S△ADE∶S△ABC=1∶9,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴AE∶AC=1∶3,故选B.
4.(2019黑龙江道里期末)如图,△ABC∽△ADE,且BC=2DE,则的值为( )
A. B. C. D.
答案 B ∵△ABC∽△ADE,且BC=2DE,∴==,∴==,故选B.
二、填空题
5.若两个相似三角形对应中线的比是2∶3,它们的周长之和为15,则较小的三角形的周长为 .?
答案 6
解析 ∵两个相似三角形对应中线的比为2∶3,∴它们的周长的比为2∶3,∵它们的周长之和为15,∴较小的三角形的周长为15×=6.
6.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则= .?
答案
解析 由题意得S△ADE=S四边形DBCE,∴S△ABC=2S△ADE.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴==,∴=,故答案为.
三、解答题
7.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50,EC=30,问△ABC与△ADE的周长之比是多少?
解析 ∵AE=50,EC=30,∴AC=AE+EC=80.
∵△ABC∽△ADE,
∴===,
即△ABC与△ADE的周长之比是8∶5.
8.已知△ABC∽△DEF,=,△ABC的周长是12 cm,面积是30 cm2.求:
(1)△DEF的周长;
(2)△DEF的面积.
解析 (1)∵△ABC∽△DEF,=,
∴△DEF的周长为12×=8(cm).
(2)∵△ABC∽△DEF,=,∴==,
∴△DEF的面积为30×=13(cm2).
9.在比例尺为1∶10 000的地图上,有甲、乙两个相似的三角形区域,其周长分别为10 cm和15 cm.
(1)求它们的面积比;
(2)若在地图上量得甲三角形区域的面积为16 cm2,那么乙三角形区域的实际面积是多少?
解析 (1)∵甲三角形区域的周长∶乙三角形区域的周长=10∶15=2∶3,
∴==.
(2)∵=,S甲三角形区域=16 cm2,
∴=,∴S乙三角形区域=36 cm2,
即乙三角形区域在地图上的面积为36 cm2.
设它的实际面积为x cm2,则=,
∴x=3.6×109,3.6×109 cm2=3.6×105 m2.
答:乙三角形区域的实际面积为3.6×105 m2.
10.如图所示,已知在?ABCD中,点P在BC上,且BP∶PC=1∶3,连接AP,BD,交于点Q,S△BPQ=
2 cm2.
求:(1)△BPQ与△DAQ的周长比;(2)S△DAQ.
解析 (1)因为四边形ABCD为平行四边形,
所以AD∥BC,AD=BC,
所以∠QBP=∠QDA,∠QPB=∠QAD,所以△BPQ∽△DAQ.
因为BP∶PC=1∶3,所以BP∶BC=1∶4,
所以BP∶AD=1∶4,所以△BPQ与△DAQ的周长比为1∶4.
(2)因为△BPQ∽△DAQ,
所以==,即=,
所以S△DAQ=32 cm2.
1
第四章 图形的相似
初中数学（北师大版）
九年级 上册
知识点一????相似三角形对应线段的比
内容 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比
基本图形 ??????
符号表示 如图所示,△ABC∽△A‘B’C‘,△ABC和△A’B‘C’的相似比为k,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,AF是BC边的中线,A‘D’是B‘C’边上的高,A‘E’是∠B‘A’C‘的平分线,A’F‘是B’C‘边的中线,那么?=?=?=k
例1 如图4-7-1,点P在AB的正上方,AB∥CD,AB=2 m,CD=6 m,点P到CD
的距离是2.7 m,则AB与CD间的距离是 ????m.
?
图4-7-1
解析????如图4-7-2,过点P作PN⊥CD,分别交AB,CD于点M,N.由AB∥CD
易得△APB∽△CPD.由相似三角形的性质可知?=?,即?=?,所
以PM=0.9(m),所以MN=PN-PM=2.7-0.9=1.8(m).故AB与CD间的距离是
1.8 m.
?
图4-7-2
答案 1.8
如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,则?=?=?=k.因此AB=
kA'B',BC=kB'C',AC=kA'C',
∴?=?=k,
即?=k.
由此我们得到:相似三角形的周长比等于相似比.
?=?=?·?=k·k=k2(AD、A'D'分别为边BC、B'C'上
的高).
这样,我们得到:相似三角形的面积比等于相似比的平方.
知识点二????相似三角形的周长比和面积比
例2 如图4-7-3,在△ABC中,D为AB的中点,DE∥BC,交AC于E,BE,CD相
交于G.
(1)求?的值;
(2)求?与?的值.
?
图4-7-3
分析 由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,△DEG∽△CBG,然后利用相似三
角形的性质求解即可.
解析????(1)∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.
∴△ADE∽△ABC,∴?=?.
∵D是AB的中点,∴?=?.∴?=?=?.
(2)∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∠DEG=∠CBG,
∴△GED∽△GBC,∴?=?=?.
∵△ADE∽△ABC,∴?=?=?=?.
知识点三????相似多边形的性质
相似多边形 性质
边、角 相似多边形的对应边的比相等,对应角相等
周长 相似多边形的周长比等于相似比
面积 相似多边形的面积比等于相似比的平方
例3 已知甲、乙两个多边形相似,其相似比为2∶5.若多边形甲的周长
为24,则多边形乙的周长为 ????;若两个多边形的面积之和为174,则
多边形甲的面积为 ????.
解析????(1)设甲、乙两个多边形的周长分别为C甲,C乙.根据题意,得?=?,
即?=?,∴C乙=?=60,即多边形乙的周长为60.
(2)设甲、乙两个多边形的面积分别为S甲,S乙.根据题意,得?=?=?,
∴?=?,即?=?,∴S甲=?=24,∴多边形甲的面积为24.
答案 60;24
点拨 根据相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系列出比例式,
用比例的性质列方程解题.
题型一????利用相似三角形的性质计算线段的长
分析 根据四边形DEFG是矩形推出DG∥BC,进而得到△ADG∽△ABC,
由四边形DEFG的面积与△ADG的面积相等推出△ADG与△ABC的相
似比,根据“相似三角形对应边成比例”即可求出DG的长.
例1 如图4-7-4所示,在△ABC中,E、F都是BC上的点,
D、G分别是AB、AC上的点,四边形DEFG是矩形,AH是
BC边上的高,AH与DG相交于点K.若BC=12,矩形DEF的面积与△ADG的面积相等,求DG的长.
图4-7-4
解析????∵四边形DEFG是矩形,∴DG∥BC,
∴△ADG∽△ABC,
∵矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等,且DG⊥KH,
∴DG·KH=?DG·AK,
∴AK=2KH,∴?=?,∴?=?=?.
∵BC=12,∴DG=?BC=8.
解题技巧 解答本题的关键是求△ADG与△ABC的相似比,由于利用两
三角形的对应边求相似比比较困难,故转化为利用两三角形对应边上高
的比求相似比,以矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等为切入点.
题型二????相似三角形的性质与判定的综合应用
例2 如图4-7-5所示,在△ABC和△ADE中,?=?=?,∠BAD=∠CAE,
△ABC的周长是12 cm,△ADE的面积是135 cm2.
(1)求△ADE的周长;
(2)求△ABC的面积.
?
图4-7-5
分析 首先根据相似三角形的判定定理判定△ABC和△ADE相似,然后根
据相似三角形的周长比等于相似比、相似三角形的面积比等于相似比
的平方求解.
解析????(1)∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC
=∠DAE.又∵?=?=?,∴△ABC∽△ADE.∵?=?,△ABC的周长是
12 cm,∴△ADE的周长为?=18 cm.
(2)∵△ABC∽△ADE,且?=?,∴?=?=?,
∵△ADE的面积是135 cm2,∴S△ABC=135×?=60(cm2).
解题技巧 解答本题的关键是根据相似三角形的判定定理判定△ABC
∽△ADE,进而利用相似三角形的性质定理求解.
知识点一????相似三角形对应线段的比
1.(2016甘肃兰州中考)已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似
比为?,则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A.? ????B.? ????C.? ????D.?
答案????A ∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为?,∴△ABC
与△DEF对应中线的比为?,故选A.
2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为4∶3,若△ABC中BC边上的中线AM=
8,则△DEF中EF边上的中线DN= ????.
答案 6
解析????由相似三角形对应线段的比等于相似比,得?=?,∵AM=8,
∴DN=6.
3.已知△ABC∽△A'B'C',AE和A'E'是它们的对应高,AB=4 cm,A'B'=
10 cm,AE=4.8 cm.求A'E'的长.
解析????∵△ABC∽△A'B'C',∴?=?.
∴?=?.∴A'E'=12 cm.
知识点二????相似三角形的周长比和面积比
4.(2019江苏无锡期中)两个三角形的相似比是3∶2,则其面积比是?
(???? )
A.4∶9 ????B.3∶2 ????C.9∶4 ????D.27∶8
答案????C 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
5.(2015江苏南京中考)如图4-7-1,在△ABC中,DE∥BC,?=?,则△ADE
的周长与△ABC的周长比是?( )
?
图4-7-1
A.3 ????B.? ????C.2 ????D.?
答案????B ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽
△ABC.∵?=?,∴?=?,∴△ADE的周长∶△ABC的周长=AD∶AB=
1∶3.
6.如图4-7-2,在平行四边形ABCD中,点E在CD上,若DE∶CE=1∶2,则
△CEF与△ABF的周长比为?( )
?
图4-7-2
A.1∶2 ????B.1∶3 ????C.2∶3 ????D.4∶9
答案????C ∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,CD=AB.∴△CEF
∽△ABF,∵DE∶EC=1∶2,∴EC∶DC=CE∶AB=2∶3,∴C△CEF∶C△ABF=
2∶3.故选C.
7.(2019上海浦东新区月考)已知两个相似三角形的一组对应高分别是
15和5,面积之差为80,则较大三角形的面积为?( )
A.90 ????B.180 ????C.270 ????D.3 600
答案????A ∵两个相似三角形的一组对应高分别为15,5,
∴两个相似三角形的相似比为3∶1,∴面积比为9∶1,
设两个相似三角形的面积分别为9x和x,
根据题意列方程得9x-x=80,解得x=10,
则较大三角形的面积为90,故选A.
8.(2015四川德阳中考)如图4-7-3,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连
接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.
(1)求证:AG=BG;
(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积.
?
图4-7-3
解析????(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠CBD,
∵∠ABM=2∠BAM,
∴∠ABD=∠BAM,
∴AG=BG.
(2)∵AD∥BC,∴△ADG∽△MBG,
∴?=?,
∵点M为BC的中点,∴?=2,
∴?=?=4,
∵S△BMG=1,∴S△ADG=4.
知识点三????相似多边形的性质
9.如图4-7-4,在四边形ABCD中,E,F,G分别是BA,BD,BC上的点,EF∥AD,
FG∥DC,且?=?,则四边形ABCD和四边形EBGF的周长之比为(???? )
?
图4-7-4
A.4∶3 ????B.3∶2 ????C.4∶1 ????D.2∶1
答案????B 因为?=?,所以?=?.
因为EF∥AD,所以?=?=?.
因为FG∥CD,所以?=?=?,
所以?=?=?=?.
由EF∥AD,FG∥CD可知∠A=∠BEF,∠C=∠FGB,∠ADB=∠EFB,
∠BDC=∠BFG,
∴∠ADC=∠EFG,又∠ABC=∠EBG,
所以四边形ABCD∽四边形EBGF,
所以?=?=?.
10.如图4-7-5,已知五边形ABCDE,O是五边形ABCDE内一点,连接OA,
OB,OC,OD,OE,A'、B'、C'、D'、E'分别是OA、OB、OC、OD、OE上
一点,连接A'B',B'C',C'D',D'E',E'A',且A'B'∥AB,B'C'∥BC,C'D'∥CD,D'E'∥
DE,E'A'∥EA,OD=2OD',S五边形ABCDE=100 cm2,求S五边形A'B'C'D'E'.
?
图4-7-5
解析????由已知,得?=?=?=?=?=?=?=?=?=
?,即?=?=?=?=?.
又由已知得∠B'A'O=∠BAO,∠E'A'O=∠EAO,∴∠B'A'O+∠E'A'O=
∠BAO+∠EAO,即∠B'A'E'=∠BAE,同理,其余各角对应相等.∴五边形
ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'.
∵OD=2OD',∴?=?.∴?=?=?=?.∴S五边形A'B'C'D'E'=?
S五边形ABCDE=?×100=25(cm2).
1.已知△ABC∽△A'B'C',AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高,且
AD∶A'D'=2∶3,那么?( )
A.△ABC与△A'B'C'的周长之比为4∶9
B.AB∶A'B'=2∶3
C.S△A'B'C'∶S△ABC=?∶?
D.S△ABC∶S△A'B'C'=2∶3
答案????B 相似三角形对应边上高的比等于相似比,故B正确.
2.已知△ABC和△DEF相似,且△ABC的三边长分别为3、4、5,如果
△DEF的周长为6,那么下列不可能是△DEF的边长的是?( )
A.1.5 ????B.2 ????C.2.5 ????D.3
答案????D ∵△ABC的三边长分别为3、4、5,∴△ABC的周长=12,
∴?=?=2.选项A,1.5×2=3,与△ABC的一边长相符,故本选项不符合
题意;选项B,2×2=4,与△ABC的一边长相符,故本选项不符合题意;选项C,
2.5×2=5,与△ABC的一边长相符,故本选项不符合题意;选项D,3×2=6,故
本选项符合题意.故选D.
3.如图,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,G,H分别为DE,EF的中点,则
△GEH与△ABC的面积比为?( )
?
A.1∶4 ?? ??B.1∶16
C.1∶32 ????D.1∶64
答案????B 根据题意得△GEH∽△DEF∽△CAB,
GH∶DF=1∶2,DF∶BC=1∶2,∴GH∶BC=1∶4,
∴△GEH与△ABC的面积比为1∶16.故选B.
4.已知△ABC的三边长之比为2∶3∶4,若△DEF与△ABC相似,且
△DEF的最大边长为20,则△DEF的周长为 ????.
答案 45
解析????∵△DEF与△ABC相似,△ABC的三边长之比为2∶3∶4,∴△DEF的三边长之比为2∶3∶4,又∵△DEF的最大边长为20,∴△DEF的另外两边长分别为10、15,∴△DEF的周长为10+15+20=45.
1.“差之毫厘,失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小,结果会造
成很大的误差或错误的成语.现实中就有这样的实例,如步枪在瞄准时
的示意图如图4-7-6,从眼睛到准星的距离OE为80 cm,眼睛距离目标
200 m,步枪上准星的宽度AB为2 mm,若射击时,由于抖动导致视线偏离
了准星1 mm,则目标偏离的距离为?( )
?
图4-7-6
A.25 cm B.50 cm C.75 cm D.100 cm
答案????A 设目标偏离的距离为x m.
OE=80 cm=0.8 m,AB=2 mm=0.002 m,1 mm=0.001 m,
BE=?AB=0.001 m,
∵AB∥CD,∴△OBE∽△ODF,
∴?=?,即?=?,
∴x=0.25.
0.25 m=25 cm.故选A.
2.(2016湖北随州中考)如图4-7-7,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的
点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE
的比是?( )
?
图4-7-7
A.1∶3 ????B.1∶4 ????C.1∶5 ????D.1∶25
答案????B ∵DE∥AC,∴△DOE∽△COA,∵S△DOE∶S△COA=1∶25,∴?
=?,∵DE∥AC,∴?=?=?,∴?=?,∴S△BDE与S△CDE的比是1∶4,故选B.
3.如图4-7-8,小正方形的边长均为1,每个小格的顶点称为格点,以格点连
线为边的三角形叫格点三角形.在5×5的方格中,作格点三角形和△ABC
相似,则所作的格点三角形中,最小面积和最大面积分别为?( )
?
图4-7-8
A.0.5,2.5 ????B.0.5,5 ????C.1,2.5 ????D.1,5
答案????B 如图,△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形.
因为△DEF,△GHI都与△ABC相似,AB=?,DE=1,GH=?,所以DE∶AB
=1∶?,GH∶AB=?∶?,又因为S△ABC=?×2×1=1,所以△DEF和△GHI
的面积分别为0.5,5.故选B.
?
4.如图4-7-9,在?ABCD中,延长AB到E,使BE=?AB,延长CD到F,使DF=DC,
连接EF交BC于G,交AD于H,则△BEG与△CFG的面积之比是 ???? ???.
?
图4-7-9
答案 1∶16
解析????∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴△BEG∽△CFG,∴?=?,∵BE=?AB,CF=2AB,∴?=?,
∴?=?.
5.(2016贵州安顺中考)如图4-7-10,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落
在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=?EH,那么EH的长为 ????.
?
图4-7-10
答案?????
解析????∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥BC,
∴△AEH∽△ABC,
∵AM⊥EH,AD⊥BC,
∴?=?.
设EH=3x,则EF=2x,AM=AD-EF=2-2x,
∴?=?,解得x=?,则EH=?.
6.如图4-7-11,△ABC中,DE∥FG∥BC,且S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG,试求
DE∶FG∶BC.
?
图4-7-11
解析????∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC,
∵S△ADE=S梯形DFGE=S梯形FBCG,
∴?=?=?,?=?=?,
∴DE∶FG∶BC=1∶?∶?.
1.如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的
面积是 ????.(结果可用根号表示)
?
答案 2?-2
解析????要求题图中矩形内阴影部分的面积,可以通过将小正方形平移到
大矩形的一边上去,剩下的阴影部分就变成了一边长为小正方形的边
长,其邻边长是大正方形的边长减去小正方形的边长的小矩形,而此时
利用两个正方形相似,可以求得两个正方形的边长的关系,于是即可求
得小矩形的面积.设小正方形的边长为x,大正方形的边长为y,则题图中
矩形内阴影部分的面积是x(y-x)=xy-x2,因为任意两个正方形都相似,所以
? = ,即?=?,所以xy=?y2=2?,所以阴影部分的面积=xy-x2=2?-2.
2.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为
线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
(1)求证:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=4,AD=3?,AE=3,求AF的长.
?
解析????(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADE=∠DEC,∠B+∠C=180°,
∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC.
(2)由(1)知△ADF∽△DEC,∴?=?.
∵AE⊥BC,AD∥BC,∴AE⊥AD,∴DE=?=6.
∴?=?,∴AF=2?.
3.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC.
(1)若AD=DF=FB,求S1∶S2∶S3;
(2)若S1∶S2∶S3=1∶8∶27,求AD∶DF∶FB.
?
解析????∵DE∥FG∥BC,
∴△ADE∽△AFG∽△ABC.
(1)∵AD=DF=FB,
∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3.
∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶4∶9.
令S△ADE=k,k>0,
则S△AFG=4k,S△ABC=9k,
∴S1=k,S2=4k-k=3k,S3=9k-4k=5k.
∴S1∶S2∶S3=1∶3∶5.
(2)∵S1∶S2∶S3=1∶8∶27,
∴可设S1=m,m>0,则S2=8m,S3=27m,
∴S△ADE=m,S△AFG=m+8m=9m,
S△ABC=m+8m+27m=36m.
∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶9∶36.
∴AD∶AF∶AB=1∶3∶6,
∴AD∶DF∶FB=1∶2∶3.
4.如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,动点P(与点A,C不重合)在AC边
上,PQ∥AB交BC于点Q.
(1)当△PCQ的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长;
(2)当△PCQ的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长;
(3)试问在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,
请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长.
?
解析????(1)∵S△PCQ=S四边形PABQ,∴S△PCQ∶S△ABC=1∶2.
∵PQ∥AB,∴△PCQ∽△ACB.
∴?=?=?,∴?=?,∴CP=?AC=?×4=2?.
(2)∵△PCQ的周长与四边形PABQ的周长相等,
∴PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ,
∴PC+CQ=PA+AB+QB=?(AB+BC+AC)=6.
∴CQ=6-CP.
又∵PQ∥AB,∴△PQC∽△ABC,∴?=?,即?=?.
解得CP=?.
(3)存在.根据题意分两种情况:
①如图a,当PQ为等腰直角三角形的腰,即∠MPQ=90°时,
?
∵BC2+AC2=32+42=52=AB2,∴∠C=90°,
∴△ABC中AB边上的高为?.
设PM=PQ=x,∵△PQC∽△ABC,
∴?=?,解得x=?.
∴当∠MPQ=90°,PM=PQ时,PQ=?.
同理,当∠M'QP=90°,QM'=PQ时,PQ=?.
②如图b,当PQ为等腰直角三角形的底,即∠PMQ=90°时,M到PQ的距离
为?PQ.
设PQ=x,∵△PQC∽△ABC,
∴?=?,解得x=?,即PQ=?.
1.(2019河北博野期末,13,★★☆)已知△ABC∽△DEF,面积比为9∶4,则
△ABC与△DEF的对应角平分线之比为?( )
A.3∶4 ????B.2∶3 ????C.9∶16 ????D.3∶2
一、选择题
答案????D ∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的面积比为9∶4,∴△ABC
与△DEF的相似比为3∶2,∴△ABC与△DEF的对应角平分线之比为3∶2,故选D.
2.(2018江苏宜兴丁蜀期中,5,★★☆)如图4-7-12,点D、E分别为△ABC
的边AB、AC上的中点,则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为
?( )
?
图4-7-12
A.1∶2 ????B.1∶3 ????C.1∶4 ????D.1∶1
答案????B ∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点,
∴DE为△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=?BC,
∴△ADE∽△ABC,∴?=?=?,
∴△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为1∶3.
故选B.
3.(2018山东嘉祥期末,15,★★☆)如图4-7-13,在?ABCD中,AC,BD相交
于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长,交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列
结论:①?=?;②S△BCE=36;③S△ABE=12;④△AEF∽△ACD,其中一定正确
的是 ????.(填序号)
?
图4-7-13
二、填空题
答案 ①②③
解析????在?ABCD中,AO=?AC,∵点E是OA的中点,∴AE=?CE,∵AD∥BC,
∴△AFE∽△CBE,∴?=?=?,∵AD=BC,∴AF=?AD,∴?=?,故①
正确;
∵S△AEF=4,?=?=?,∴S△BCE=36,故②正确;
∵?=?=?,∴?=?,∴S△ABE=12,故③正确;
△AEF与△ACD不一定相似,故④错误.
故答案为①②③.
4.(2017河南沈丘期中,20,★★☆)如图4-7-14所示,Rt△ABC∽Rt△DFE,
CM、EN分别是斜边AB、DF上的中线,已知AC=9 cm,CB=12 cm,DE=
3 cm.
(1)求CM和EN的长;
(2)你发现?的值与相似比有什么关系?得到什么结论?
?
图4-7-14
三、解答题
解析????(1)在Rt△ABC中,AB=?=?=15 cm,∵CM是斜边
AB上的中线,∴CM=?AB=7.5 cm,
∵Rt△ABC∽Rt△DFE,∴?=?,即?=?,∴DF=5 cm,
∵EN为斜边DF上的中线,∴EN=?DF=2.5 cm.
(2)∵?=?=?,相似比为?=?=?,
∴相似三角形对应中线的比等于相似比.
1.(2017甘肃兰州模拟,2,★★☆)若△ABC∽△A'B'C',已知AB=6 cm,A'B'=
3 cm,则△ABC与△A'B'C'的面积比为?( )
A.1∶2 ????B.2∶1 ????C.1∶4 ????D.4∶1
答案????D ∵△ABC∽△A'B'C',AB=6 cm,A'B'=3 cm,
∴两个相似三角形的相似比为?=?=?,
∴△ABC与△A'B'C'的面积比为(AB∶A'B')2=4∶1.故选D.
2.(2017四川成都青羊二模,8,★★☆)将一个三角形改成与它相似的三
角形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的?( )
A.9倍 ????B.3倍 ????C.81倍 ????D.18倍
答案????B ∵两个相似三角形的面积比为1∶9,
∴这两个相似三角形的相似比为1∶3,
∴这两个相似三角形的周长比为1∶3,
∴周长扩大为原来的3倍,故选B.
1.(2018黑龙江绥化中考,9,★★☆)两个相似三角形的最短边分别为
5 cm和3 cm,它们的周长之差为12 cm,那么大三角形的周长为?( )
A.14 cm B.16 cm C.18 cm D.30 cm
一、选择题
答案????D 根据题意得两个相似三角形的周长比为5∶3,
设这两个相似三角形的周长分别为5x cm,3x cm,
则5x-3x=12,解得x=6,
所以5x=30,即大三角形的周长为30 cm.故选D.
2.(2018重庆中考B卷,5,★★☆)制作一块3 m×2 m的长方形广告牌的成
本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都
扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是?( )
A.360元 ????B.720元 ????C.1 080元 ????D.2 160元
答案????C ∵长方形广告牌的面积为3 m×2 m=6 m2,
∴每平方米的制作成本是120÷6=20元.
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,
则面积扩大为原来的9倍,
∴扩大后长方形广告牌的面积为9×6=54 m2,
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1 080元,
故选C.
3.(2016广西南宁中考,11,★★★)有3个正方形如图4-7-15所示放置,阴
影部分的面积依次记为S1,S2,则S1∶S2等于?( )
?
图4-7-15
A.1∶? ????B.1∶2 ????C.2∶3 ????D.4∶9
答案????D 如图,∵四边形EFNM是正方形,
∴EF=MN,∴?=?,∴EF=?AC,
∵?=?,∴CG=?AC,∴?=?=?,
易证△DEF∽△HCG,∴S1∶S2=4∶9,故选D.
4.(2016江苏宿迁中考,11,★☆☆)若两个相似三角形的面积比为1∶4,则
这两个相似三角形的周长比是 ????.
二、填空题
答案 1∶2
解析????∵两个相似三角形的面积比为1∶4,∴这两个相似三角形的相似
比为1∶2,∴这两个相似三角形的周长比是1∶2.
5.(2015辽宁本溪中考,17,★★☆)在△ABC中,AB=6 cm,AC=5 cm,点D、
E分别在AB、AC上.若△ADE与△ABC相似,且S△ADE∶S四边形BCED=1∶8,则
AD= ????cm.
答案 2或?
解析????∵S△ADE∶S四边形BCED=1∶8,
∴S△ADE∶S△ABC=1∶9,
∴△ADE与△ABC的相似比为1∶3.
①若∠AED对应∠B,则?=?,
∵AC=5 cm,∴AD=? cm;
②若∠ADE对应∠B,则?=?,
∵AB=6 cm,∴AD=2 cm.
故答案为2或?.
1.(2017重庆中考A卷,8,★★☆)若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对
应高的比为?( )
A.3∶2 ????B.3∶5
C.9∶4 ????D.4∶9
答案????A 相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.
2.(2017江苏连云港中考,4,★★☆)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=
1∶2,则下列等式一定成立的是?( )
?
A.?=? ???? B.?=?
C.?=? ????D.?=?
答案????D 已知△ABC∽△DEF且相似比为1∶2,A选项中BC与DF不是
对应边;B选项中的∠A和∠D是一对对应角,根据“相似三角形的对应
角相等”可得∠A=∠D;C选项,根据“相似三角形的面积比等于相似比
的平方”可得这两个相似三角形的面积比是1∶4;D选项,根据“相似三
角形的周长比等于相似比”可得这两个相似三角形的周长比是1∶2.因
此A、B、C选项错误,D选项正确.
1.如图4-7-16,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,△DBE∽
△FEC,3DE=CF.若S△ABC=48,则阴影部分的面积为 ????.
?
图4-7-16
答案 18
解析????∵△DBE∽△FEC,∴∠B=∠FEC,∠C=∠DEB,∴DE∥AC,EF∥
AD,∴四边形ADEF是平行四边形,∴DE=AF.∵3DE=CF,∴设DE=x,则
CF=3x,AC=4x.∵DE∥AC,∴△DBE∽△ABC,∴?=?,即?=
?,解得S△DBE=3.∵△DBE∽△FEC,3DE=CF,∴?=?,即?=
?,解得S△FEC=27,∴S阴影=S△ABC-S△DBE-S△FEC=48-3-27=18.
2.如图4-7-17,有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ=
PR=5 cm,QR=8 cm,点B、C、Q、R在同一条直线上,当C、Q两点重合
时,等腰三角形PQR以1 cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运
动,t s后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S cm2.
(1)当t=3时,求S的值;
(2)当t=5时,求S的值.
?
图4-7-17
解析????(1)作PE⊥QR于点E,如图.∵PQ=PR,∴QE=RE=?QR=4 cm.
在Rt△PQE中,根据勾股定理,得PE=?=?=3 cm.
当t=3时,QC=3 cm.
设PQ交CD于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,
∴?=?=?.
∵S△QEP=?·QE·PE=?×4×3=6 cm2,
∴S=?×6=?(cm2).
?
(2)当t=5时,点B与点Q重合,CR=3 cm,过P作PE⊥BC于E,设PR与DC交于
点M,如图.
∵PE∥DC,∴△RCM∽△REP.
同(1)可求出S△RCM=? cm2,∴S=S△PQR-S△RCM=2S△QEP-S△RCM=12-?=?(cm2).
1.如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩
形,A、B、C纸片的面积分别为S1、S2、S3(S1与S2,S2与S3的相似比相同),
相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,若S1>S2>S3,则这个矩形的面积一定可
以表示为?( )
?
A.4S1 ????B.6S2 ????C.4S2+3S3 ????D.3S1+4S3
答案????A 如图,由A、B、C三种直角三角形相似,设相似比为k,EF=m,
则GH=mk,FH=mk2.
?
∴EH=m(1+k2),FM=?,FK=km(1+k2),
则有km(1+k2)+mk=?,
整理得k4+k2-1=0,
∴k2=?或?(舍去),
∴S2=?S1,S3=?S1=?S1,
∴S2+S3=S1,
∴这个矩形的面积=2S1+2(S2+S3)=4S1.
2.(2015广东珠海中考)如图,在△A1B1C1中,已知A1B1=7,B1C1=4,A1C1=5,依
次连接△A1B1C1的三边中点,得△A2B2C2,再依次连接△A2B2C2的三边中
点,得△A3B3C3,……,则△A5B5C5的周长为 ????.
?
答案 1
解析????∵A2、B2、C2是△A1B1C1的三边中点,∴可证△A1B1C1∽△A2B2C2,
∴?=?,即△A2B2C2的周长=?△A1B1C1的周长;同理,△A3B3C3
的周长=?△A2B2C2的周长=?△A1B1C1的周长,…….
以此类推,△A5B5C5的周长=?△A1B1C1的周长=?×(7+4+5)=1.
3.课本中有一道作业题:
小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思,她又提出了如下的问题:
(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放
置的正方形所组成的,如图①,此时,这个矩形零件的两条邻边长又分别
为多少mm?请你计算;
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图②,这样,此矩形零件
的两条邻边长就不能确定,但这个矩形面积有最大值,求达到这个最大
值时矩形零件的两条邻边长.
?
图① 图②
解析????(1)设PQ=x mm,由题可知△APN∽△ABC,∴?=?,
∴?=?,解得x=?,∴PN=2x=? mm.
∴这个矩形零件的两条邻边长分别为? mm,? mm.
(2)设PQ=x mm,∵△APN∽△ABC,
∴?=?,∴?=?,
∴PN=?mm,
∴S矩形PQMN=x?=-?x2+120x=?-?(x-40)2+2 400?(mm2),
∴当x=40,即PQ=40 mm,PN=60 mm时,矩形面积最大.
