高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：21【基础】向量的概念及表示

【基础】向量的概念及表示
【学习目标】
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法.
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量.
4．理解两个向量共线的含义.
【要点梳理】
要点一：向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
要点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
要点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2.向量的表示方法:
(1)字母表示法:如等.
(2)几何表示法:以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.
要点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
要点三：向量的有关概念
1．向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
要点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2．零向量:长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．
3．单位向量:长度等于1个单位的向量.
要点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4．相等向量:长度相等且方向相同的向量.
要点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
要点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).
规定:与任一向量共线.
要点诠释：
1.零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
2.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．下列各题中，哪些是向量？哪些不是向量？
（1）密度；（2）浮力；（3）风速；（4）温度．
【思路点拨】抓住向量的两个特征：长度和方向进行辨析．
【解析】浮力和风速既有大小又有方向，所以是向量，其他的量只有大小没有方向，不是向量．故（2）（3）是向量，（1）（4）不是向量．
【总结升华】 实际问题中的一些量，如温度、电量等，尽管它们有正、负之分，但没有方向，故表示数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和数量是有本质区别的两个概念．
举一反三：
【变式1】下列物理量中，不能称为向量的是（ ）
A． 质量 B． 速度 C．位移 D．力
【答案】 A
例2．（2017春 山东梁山县期中）下列说法：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③共线向量一定相等；
④相等向量一定共线；
⑤长度相等的向量是相等向量；
⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量．
其中，说法错误的是________．
【答案】①②③⑤⑥
【解析】①平行向量不一定相等，因此①不正确；
②不相等的向量可能平行，因此②不正确；
③共线向量不一定相等，因此③不正确；
④相等向量一定共线，正确；
⑤长度相等的向量不一定是相等向量，因此⑤不正确；
⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量，不一定正确．例如：给出不共线的非零向量，，它们都与平行，此时，不共线．
综上可得：说法错误的是①②③⑤⑥．
故答案为：①②③⑤⑥
举一反三：
【变式1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量。
（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
（7）共线的向量一定相等；
（8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法正确的个数是( )
①向量，则直线直线
②两个向量当且仅当它们的起点相同，终点也相同时才相等；
③向量既是有向线段；
④在平行四边形中，一定有.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】C
类型二：向量的表示方法
例3．在如图所示的坐标系中，用直尺和圆规画出下列向量．
（1），点A在点O正西方向；
（2），点B在点O北偏西45°方向；
（3），点C在点O南偏东60°方向．
【解析】 如图所示．
/
【总结升华】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
例4．如下图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中：
/
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量平行的向量；
(3)与向量模相等的向量；
(4)与向量模相等、方向相反的向量．
【解析】(1)与向量相等的向量有.
(2)与向量平行的向量有、、、、.
(3)与向量模相等的向量有、、.
(4)与向量模相等、方向相反的向量有、.
举一反三：
【变式1】（2018 安徽泗县月考）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出与向量共线的向量．
【解析】（1）∵E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥BA，且，
又D是BA的中点，
∴，
∴与向量相等的向量是；
（2）∵D，F分别为BA，AC的中点，
∴DF∥BC，且，
又E是BC的中点，
∴，
∴与向量相等的向量是．
【变式2】（1）与向量相等的向量有多少个？并把这些向量写出来．
（2）是否存在与向量长度相等、方向相反向量？
（3）与向量共线的向量有哪些？
【解析】（1）3个 、、（2）存在 、、、
（3）向量共线的向量有：、、、、、、．

类型三：利用向量相等或共线进行证明
例5．如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且．
求证：．
【思路点拨】证明，要证明这两个向量的方向相同和大小相等．
【证明】 ∵，∴且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴且DA∥CB．
又∵与的方向相同，∴．
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴．
∵，，∴，
又与的方向相同，∴．
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系．若，则且AB∥CD．
举一反三：
【变式1】（2017 湖南芙蓉区模拟）在△ABC所在平面上有一点P，使得，试判断P点的位置．
【解析】∵，∴，
∴，所以与共线，即点A，P，C共线，
故点P为线段AC的三等分点处（靠近点A）．
【巩固练习】
1．下列物理量中不是向量的个数是（ ）．
（1）质量 （2）速度 （3）力 （4）加速度 （5）路程 （6）密度 （7）功 （8）电流强度
A．5 B．4 C．3 D．2
2．下列说法中错误的是（ ）．
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量与不共线，则与都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
3．（2018 合肥月考）设O是正△ABC的中心，则向量 ，，是　（　　）
A．有相同起点的向量　　　　　 B．平行向量
C．模相等的向量 D．相等向量
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有(　　)
/
A．6个　 B．7个
C．8个 D．9个
5．（2017春 浙江安吉县期中）设O为等边三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．有相同起点的向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．相等向量
6．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
7．四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是(　　)
/
A．||＝||
B. 与共线
C.与共线
D.与共线
8．下列命题正确的是(　　)
A．向量与共线，向量与共线，则向量与共线
B．向量与不共线，向量与不共线，则向量与不共线
C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
9．对于下列命题：
①相反向量就是方向相反的向量；②不相等的向量一定不平行；③相等的向量一定共线；④共线的单位向量一定相等；⑤共线的两个向量一定在同一条直线上。
其中真命题的序号为 。
10．已知、、为非零向量，且与不共线，若∥，则与必定________．
11．已知表示“向东方向航行1 km”，表示“向南方向航行1 km”，则表示“________”
12．一艘船以5的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．在直角坐标系中，画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求出终点坐标．
（1）||=2，的方向与x轴正方向夹角为60°，与y轴正方向夹角为30°；
（2）||=4，的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
（3），的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°．
14．（2018 太原月考）某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10m到达D点．
（1）作出向量，，（用1cm长的线段代表10m长）
（2）求．
15．（2018 四川宜宾模拟）如图所示，在△ABC中，已知D为AB的中点，E为AC的中点，试判断与是否共线．
/
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向性的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，（2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量，（1）（5）（6）（7）（8）只有大小没有方向，不是向量．
2．【答案】 C
【解析】方向相反的两个向量是共线向量．
3．【答案】C
【解析】向量，，分别是以三角形的顶点和中心为起点和终点的向量，因为O是正三角形的中心，所以O到三个顶点的距离相等，即，故选C．
4．【答案】D
【解析】与向量共线的向量有：，故共有9个．
5．【答案】C
【解析】如图所示：
/
O是等边△ABC的中心，
∴向量，，的模长相等．
故选：C．
6．【答案】D
【解析】所有的向量的终点均在半径为1的圆上．
7．【答案】C
【解析】∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线，又三点D、C、E共线，∴与共线，故A、B、D都正确．当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面．
8．【答案】D
【解析】当＝0时，A不对；如图＝，＝，与，与均不共线，但与共线，∴B错．
/
在?ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；
若与有一个为零向量，则与一定共线，∴，不共线时，一定有与都是非零向量，故D正确．
9．【答案】③
【解析】相反向量是方向相反、大小相等的向量。方向相同或相反的两个非零向量是共线（或平行）向量。
10．【答案】不共线
【解析】若与共线，即∥，又∥，则∥，这与已知与不共线相矛盾．
11．【答案】向东北方向航行km
【解析】∵表示“向东方向航行1 km”，表示“向南方向航行1 km”，
∴表示“向北方向航行1 km”，
∴表示“向东北方向航行km”，如图所示．
/
故答案为：向东北方向航行km．
12．【答案】10km/h km/h
13．【解析】如图所示．
/
14．【解析】（1）如图．
/
（2）因为，故四边形ABCD为平行四边形，所以（m）．
15．【解析】与共线，因为：
△ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，
所以，DE∥BC，
所以，与共线．