高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：22【提高】向量的概念及表示

【提高】向量的概念及表示
【学习目标】
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法．
3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量．
4．理解两个向量共线的含义．
【要点梳理】
要点一：向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。
要点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。
要点二：向量的表示法
1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。
2．向量的表示方法：
(1)字母表示法：如等．
(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）。如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
要点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
要点三：向量的有关概念
1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．
要点诠释：
（1）向量的模。
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小。
2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的。
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
要点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。
4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
要点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。
要点四：向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．
规定：与任一向量共线．
要点诠释：
1．零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。
【典型例题】
类型一：向量的基本概念
例1．判断下列各命题是否正确：
(1)若，则；
(2)若A、B、C、D是不共线的四点，若，则四边形为平行四边形；
(3)若，则
(4) 单位向量都相等。
【思路点拨】 相等向量即为长度相等且方向相同的向量．
【解析】(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，因此由推不出．
(2)正确，且．又A、B、C、D是不共线的四点，所以四边形是平行四边形．
(3)正确，的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同．故．
(4)不正确，对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．D错．
【总结升华】我们应该清醒的认识到，两个非零向量相等的充要条件应是长度相等且方向相同，向量相等是可传递的．复习向量时，要注意将向量与实数、向量与线段、向量运算与实数运算区别开来．
举一反三：
【变式1】判断下列命题的正误：
（1）零向量与非零向量平行；
（2）长度相等方向相反的向量共线；
（3）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；
（4）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；
（5）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量？
（6）若非零向量是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
（7）共线的向量一定相等；
（8）相等的向量一定共线．
【答案】√√√××××√
【变式2】下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同；
② 若非零向量与共线，则=；
③若=，则；
④向量与平行，则与的方向相同或相反．
其中正确的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B
【解析】 对于①，显然是错误的；
对于②，是错误的，两个非零向量共线，是说明这两个向量方向相同或相反，而两个向量相等是说这两个向量大小相等，方向相同，因而共线向量不一定是相等向量，但相等向量却一定是共线向量；
对于③，是正确的，因为向量相等，即大小相等、方向相同；
对于④，是错误的，这是因为若为零向量，则与平行，但零向量的方向可以是任意的．
类型二：向量的表示方法
例2．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米达到D点．
（1）作出向量，，；
（2）求．
【解析】 （1）如图所示．
（2）由题意，易知与方向相反，故与共线即AB∥CD．
又，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴（千米）．
【总结升华】（1）准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
（2）要注意能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型．“数学建模”能力是今后能力培养的主要方向，需要在平时的学习中不断积累经验．
举一反三：
【变式1】如图，在平面四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是（ ）．
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】C
【变式2】（2018春 安徽泗县月考）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出与向量共线的向量．
【答案】（1），；（2），．
【解析】（1）∵E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥BA，且，
又D是BA的中点，
∴，
∴与向量相等的向量是，；
（2）∵D，F分别为BA，AC的中点，
∴DF∥BC，且，
又E是BC的中点，
∴，
∴与向量相等的向量是，．
【变式3】如图是4×3的矩形（每个方格都是单位正方形），在起点与终点都在小方格的顶点处的向量中，
试问：（1）与相等的向量有几个（不含）？
（2）与平行且模为的向量有几个？
（3）与同向且模为有几个？
【答案】（1）5（2）24（3）2
类型三：利用向量相等或共线进行证明
例3． 如图所示，四边形ABCD中，，N、M分别是AD、BC上的点，且。
求证：。
证明：∵，∴且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴且DA∥CB。
又∵与的方向相同，∴。
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴。
∵，，∴，
又与的方向相同，∴。
【总结升华】本题主要目的是应用四边形的判定定理体会向量与几何的联系。若，则且AB∥CD。
举一反三：
【变式1】如图，在△ABC中，已知向量，，求证：．
【解析】因为，所以D为AB的中点．又，所以DF∥BE且DF=BE，所以F为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，从而E是BC的中点，所以DE∥AF，且DE=AF．又DE与AF不共线，所以．
类型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例4．（2018春 杭州期中）一条宽为km的河，水流速度为2 km／h，在河两岸有两个码头A、B，已知km，船在水中最大航速为4 km／h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
【解析】如图所示，设为水流速度，为航行速度，
以AC和AD为邻边作平行四边形ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸．
根据题意AC⊥AE在Rt△ADE和平行四边形ACED中，
，，∠AED=90°．
∴，
∴，∴∠EAD=30°，用时0.5 h．
答：船实际航行速度大小为km／h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时半小时．
举一反三：
【变式1】（2018 汉中月考）某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50 m后，又以15 km／h的速度，沿北偏东45°前行5 min，又以10 km／h的速度，沿北偏东60°前行8 min，最后摆脱了反潜收音机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．
【解析】由题意作示意图如下，
/
【巩固练习】
1．下列说法中正确的有（ ）．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量与向量平行，则、方向相同或相反；③若向量、满足，且与同向，则；④若=，则，的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在同一平面上，把所有长度为1的向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）．
A．一条线段 B．一段圆弧 C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为1的圆
3．（2018春 福建晋江市期中）如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心，则下列判断错误的是（ ）
/
A． B． C． D．
4．若是任一非零向量，是单位向量，则下列式子正确的是（ ）．
A．＞ B．∥ C．＞0 D．
5．如图，点D是正六边形ABCDEF的中心，则以A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线且模相等的向量共有（ ）．
A．2个 B．3个 C．6个 D．7个
6．正多边形有n条边，它们对应的向量依次为，，…，，则这n个向量（ ）．
A．都相等 B．都共线 C．都不共线 D．模都相等
7．（2018 潍坊月考）已知A={与共线的向量}，B={与长度相等的向量}，C={与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，则下列命题中错误的是　（　　）
/A．C?A　　　　　　　 B．A∩B={}
C．C?B D．A∩B?{}
8．下列命题正确的是(　　)
A．向量与共线，向量与共线，则向量与共线
B．向量与不共线，向量与不共线，则向量与不共线
C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线
D．向量与不共线，则与都是非零向量
9．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，，则__________．
10．（2018春 浙江安吉县期中）如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，则与相等的向量有________．
11．（2018 浙江月考）在如图所示的向量，，，，中（小正方形的边长为1）
/
（1）是共线向量的有　　　　　．
（2）模相等的向量有　　　　　．
12．一艘船以5的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为 ，水流速度的大小为 。
13．（2018 广东模拟）如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A、B．点C为小正方形的顶点，且．
/
（1）画出所有的向量；
（2）求的最大值与最小值．
14．若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：．
15．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行l 000应km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】①错误．把共线向量与平面几何中的共线“混淆”．
②错误．忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定．
③错误．把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小．
④错误．由=，只能说明、的长度相等，确定不了方向．
⑤错误．不清楚零向量的概念．规定零向量与任一向量平行．故选A．
2．【答案】D
【解析】 所有的向量的终点均在半径为1的圆上．
3．【答案】D
【解析】由图可知，，但、不共线，故，
故选D．
4．【答案】C
【解析】 非零向量模长一定大于零．
5．【答案】D
【解析】共线向量有：，，，，，，7个．
6．【答案】D
【解析】由于正多边形的n条边都相等．
7．【答案】B．
【解析】与共线的向量是与其方向相同或相反的向量，所以C?A，故A对；A∩B={，}，故B错；因为B中的向量与的长度相同，方向任意，故C?B，故C对；A∩B={，}，所以{}?A∩B，故D对．故选B．
D错．
8．【答案】D
【解析】当时，A不对；如图＝，＝，与，与均不共线，但与共线，∴B错．
/
在?ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；
若与有一个为零向量，则与一定共线，∴，不共线时，一定有与都是非零向量，故D正确．
9．【答案】
【解析】 ，∴．
10．【答案】和
【解析】在平行四边形ABCD中，BC∥AD，且BC=AD，
∴；
同理，在平行四边形BCED中，；
∴与相等的向量是和，
故答案为：和．
11．【答案】（1）与d，与
（2），，
【解析】（1）因为向量与，与方向相反，故共线．
（2）向量，，的模相等．
12．【答案】10km/h km/h
13．【解析】（1）画出所有的向量如图所示；
/
（2）由（1）所画的图知，
①当点C在于点或时，取得最小值；
②当点C在于点或时，取得最大值．
∴的最大值为，最小值为．
14．【解析】如图所示，连接AC，在△DAC中，
∵N、M分别是AD、CD的中点，
∴，且与的方向相同．同理可得且与的方向相同，故有，且与的方向相同，∴．
15．【解析】如图所示，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形．
∴AC=2000 km．
又∵∠ACD=45°，．
∴△ACD为等腰直角三角形，即km，∠CAD=45°．
答：丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地km．