高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：28【提高】向量的数量积

【提高】向量的数量积
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
【要点梳理】
要点一： 平面向量的数量积
1. 平面向量数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.
2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.
要点诠释：
1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出.因为其中有可能为0.
2. 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0(时投影为；当=180(时投影为.
要点二：平面向量数量积的几何意义
数量积表示的长度与在方向上的投影的乘积，这是的几何意义。图所示分别是两向量夹角为锐角、钝角、直角时向量在向量方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影是向量的数量，即。
事实上，当为锐角时，由于，所以；当为钝角时，由于，所以；当时，由于，所以，此时与重合；当时，由于，所以；当时，由于，所以。
要点三：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.
1.
2.
3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或
4.
5.
要点四：向量数量积的运算律
1.交换律：
2.数乘结合律：
3.分配律：
要点诠释：
1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；
2.在实数中，有(a(b)c=a(b(c)，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
要点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量，，
2.设，则或
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).
要点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题，利用
(4)求线段的长度，可以利用或
【典型例题】
类型一：平面向量数量积的运算
例1． （1）已知||=4，||=5，向量与的夹角为，求①·；②(+)2；③2―2；④(2+3)·(3―2)；
（2）若向量++=0，且||=3，||=1，||=4，求·+·+·的值。
【思路点拨】（1）(+)2=，(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2 把模和数量积代入可得。（2）(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)，把模和数量积代入可得。
【答案】（1）10 61 －9 ―4（2）―13
【解析】 （1）①。
②(+)2=||2+2·+||2=61。
③2―2=||2―||2=－9。
④(2+3)·(3―2)=6||2+5·―6||2=―4。
（2）∵(++)2=2+2+2+2(·+·+·)，
∴。
【总结升华】（1）此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题，特别要灵活应用2=||2。
（2）在解题中，利用了(++)2=2+2+c2+2(·+·+·)这一关系式，类似于实数的运算。
举一反三：
【变式1】已知||=5，||=4，〈，〉=，求（+）·.
【答案】35
【解析】
原式=
=
=35
例2．（1）若||=4，·=6，求在方向上的投影；
（2）已知||=6，为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60°、90°、120°时，求出在方向上的正投影，并画图说明。
【答案】（1）（2）略
【解析】 （1）∵·=|| ||cos=6，又||=4，
∴4||cos=6，∴。
（2）在方向上的投影为||·cos。

如上图所示，当=60°时，在方向上的正投影的数量为||·cos60°=3；
当=90°时，在方向上的投影的数量为||·cos90°=0；
当=120°时，在方向上的正投影的数量为||·cos120°=－3。
【总结升华】 要注意在方向上的投影与在方向上的投影不是相同的。
类型二：平面向量模的问题
例3．已知||=||=4，向量与的夹角为，求|+|，|―|。
【思路点拨】已知两个向量的模和夹角，把|+|和|―|用向量的模和夹角的来表示，所以先求出和，然后再开方即可。
【答案】4，
【解析】 因为2=||2=16，2=||2=16，
，
所以。
同事可求。
【总结升华】关系式2=||2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化。因此欲求|+|，可求(+)·(+)，并将此式展开。由已知||=||=4，得·=·=16，·也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值。
举一反三：
【变式1】已知，求。
【答案】
【解析】
，
同理，
【变式2】已知的夹角为，， ，则 等于( )
A 5 B. 4 C. 3 D. 1
【解析】， ，解得，故选B.
【总结升华】涉及向量模的问题一般利用，注意两边平方是常用的方法.
类型三：向量垂直（或夹角）问题
例4．（2017 上海月考）已知，，
（1）若，求与的夹角；
（2）若与的夹角为60°，试确定实数k，使与垂直．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，，，
∴
，
∴，
∴，
∴与的夹角为．
（2）∵，，与的夹角为60°，与垂直，
∴，
∴9k+(1－k)×3×4×cos60°－16=0，
解得．
举一反三：
【变式1】已知与为两个不共线的单位向量，k为实数，若向+与向量k－垂直，则k=________。
【答案】1
【变式2】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角.
【解析】法一：将两边平方得
，
则， 故的夹角为30°.
法二： 数形结合
因为，如图
作，则，
是等边三角形，
延长至C，使AC=AB，，
与的夹角为，易知大小为30°。
【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.
【变式3】已知为非零向量，且，，
求证：。
【证明】由，得
， （1）
同理： （2）
由（1）、（2）式得：，
例5．（1）已知量、、满足++=0，且||=5，||=7，||=10，求、的夹角的余弦值；
（2）已知||=2，||=3，与的夹角为60°，若+与+的夹角为锐角，求实数的取值范围。
【答案】（1）（2）
【解析】 （1）由++=0知，+=－，
∴|+|=||，(+)2=2，
即2+2·+2=2。
∴。
则。
故、的夹角的余弦值为。
（2）由题意可得。
又(+)·(+)= 2+(2+1) ·+2，
而+与+的夹角为锐角，
∴2+(2+1) · +2＞0，
而2=||2=4，2=||2=9，·=3，
∴32+13+3＞0，
解得或。
但是当=1时，+与+共线，其夹角不为锐角。
故的取值范围是。
【总结升华】（1）已知两向量的模，欲求它们的夹角，一般是先求它们的数量积，然后利用向量的数量积的定义求其夹角。
（2）求向量，的夹角范围，可转化为·与零的关系来确定，本题要注意排除两向量+与+共线且同向的情况。因为此时两向量夹角为0°，非锐角。两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，反之若两向量数量积大于零，则夹角不一定为锐角，还可能存在两夹角为0°的情况。
举一反三：
【变式1】 对于两个非零向量，，求使|+t|的值最小时t的值，并求此时与+t的夹角。
【答案】90°
【解析】 |+t|2=2+2(2·)t+t22=||2+2(·)t+t2||2
。
当时，|+tb|2取得最小值，即|+tb|取得最小值，
此时，。
又∵≠0，(+t)≠0，∴⊥(+t)。
∴与+t的夹角为90°。
【总结升华】本题中字母较多，求|+t|的最小值是转化为关于t的一元二次函数的最值问题，同时应用数量积进行化简也是必不可少的 。
类型四：平面向量数量积的坐标表示及运算
例6．（2017 安徽模拟）已知向量．
（1）若，求实数x的值；
（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值．
【思路点拨】（1）根据向量的数量积和向量的模，先求出，再根据向量的垂直即可求出x的值．
（2）根据二次函数的性质即可求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，
∴，
解得 或
当时，
∴，
∵，
∴3(4x―1)―(2―3x)=0，
解得，
当时，
∴，
∵，
∴3(5x－2)+1=0，
解得
（2）设与的夹角θ
由（1）可知，当时，，
则，
当时，取最小值，则，
∴，
∴，
当时，，
则，
当时，取最小值，则，
∴，
∴
【总结升华】关于向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式
举一反三：
【变式1】（2017 湖南衡阳县一模）已知，，是同一平面内的三个向量，其中
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
【答案】（1），或；（2）θ=π
【解析】（1）关于，，是同一平面内的三个向量，其中，
若，且，可设，则由，
可得=±2，∴，或．
（2）∵，且与垂直，
∴，
化简可得，即，∴cosθ=－1，
故与的夹角θ=π．
【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解。
例7．在△ABC中，，，且△ABC的一个内角为直角，求k的值。
【思路点拨】△ABC中的哪一个内角为直角并不明确，因此要分类讨论，分类讨论的时候要分类明确，不重不漏。
【解析】
（1）当∠A=90°时，，故2×1+3k=0，即。
（2）当∠B=90°时，，，
故2×(―1)+3(k―3)=0，。
（3）当∠C=90°时，。由（2）得。
故―1+k(k―3)=0，k2―3k―1=0，。
故当或或时，△ABC为直角三角形。
【总结升华】直角边所形成的两向量互相垂直，故可借此构造关于k的方程。
举一反三：
【变式1】已知=（1，1），=（0，―2）当k为何值时，
（1）k―与+共线；
（2）k―与+的夹角为120°。
【答案】（1）－1（2）
【解析】∵=（1，1），=（0，―2），k―=k（1，1）―（0，―2）=（k，k+2）。
+=（1，1）+（0，―2）=（1，―1）。
（1）∵k－与+共线，∴k+2―(―k)=0。∴k=－1。
（2）∵，，
(k―)·(+)=(k，k+2)·(1，―1)=k―k―2=―2，而k―与+的夹角为120°，
∴，
即。
化简，整理得k2+2k―2=0，解之得。
类型五：平面向量数量积的综合应用
例8. 平面内有向量，，，点M为直线OP上的一个动点。
（1）求当取最小值时，求的坐标；
（2）当点M满足（1）的条件和结论时，求cos∠AMB的值。
【解析】 （1）如图，设M（x，y）。则，
∵点M在直线OP上，∴向量与共线。
又，∴x·1－y·2=0，即x=2y。∴。
又，，∴。
同理。
于是，=4y2―12y+5+y2―8y+7=5y2―20y+12
由二次函数的知识，可知当时，有最小值―8，此时。
（2）当，即y=2时，有，，，，
，
∴。
【总结升华】平面向量的共线关系、垂直或数量积关系式常和函数、三角函数、解析几何中的直线、直线与曲线的位置关系等知识联系起来解决问题。
举一反三:
【变式1】如图，点P是以AB为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，。
（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；
（2）求的最大值和最小值。
【答案】（1）（2）、
【解析】
（1）以直径所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系。
因为P是弧靠近点B的三等分点，
连接OP，则，
点P坐标为。
又点A坐标是，点B坐标是，
所以，
所以。
（2）设则
所以
所以
=
=
=
当有最小值，
当有最大值。
【巩固练习】
1．若〈，〉=60°，||=4，(+2)·(―3)=―72，则向量的模是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．12
2．若向量=（1，2），=（1，―1），则2+与―的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2017 广东汕头模拟）已知向量满足：，那向量的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知=（－3，2），=（―1，0），向量+与―2垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2017 甘肃靖远县三模）已知平面向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．5
6．设，，且，则锐角为（ ）
A． B． C． D．
7.设，，为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
8．平面上三点A、B、C ，若，则等于（ ）．
A．25 B． C．50 D．
9．已知〈，〉=30°，||=2，，则向量和向量的数量积·=____．
10.已知，均为单位向量，〈，〉=60°，那么|+3|= .
11．（2017秋 福建三明月考）若，且，则与的夹角大小为________．
12.设向量，，满足++=0,( -)⊥, ⊥,若||=1，则||2+||2+||2的值是 ．
13．（2018 福建晋江市期末）已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角θ的余弦值．
14．（2017春 江苏泰兴市期末）已知向量，．
（1）若向量，的夹角为60°，求·的值；
（2）若，求·的值；
（3）若，求，的夹角．
15．已知O（0，0），A（2，0），B（0，2），C（cos，sin），且0＜＜π．
（1）若，求与的夹角；
（2）若，求tan的值．
【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】 (+2)·(―2)= 2―62―·=―72，即||2―6×42―2||=―72，∴||=6．
2．【答案】C
【解析】2+=（3，3），－=（0，3），则cos＜2+，，
故夹角为，选C．
3．【答案】C
【解析】设向量的夹角为θ，θ∈[0，π]
则由题意可得，
解之可得，故θ=60°
故选C．
4．【答案】A
【解析】向量+=（―3―1，2），―2=（―1，2），因为两个向量垂直，故（―3－1，2）·（―1，2）=0，即3+1+4=0，解得，故选A．
5．【答案】A
【解析】∵向量，∴1×k―2×(―2)=0，∴ k=―4．
∴．
∴．
故选A．
6．【答案】B
【解析】， ，所以
7.【答案】A
【解析】由与在方向上的投影相同，可得：，
即 ，.选A.
8．【答案】B
9．【答案】3
【解析】 由题意知．
10.【答案】
11．【答案】0或π
【解析】∵，，
∴，∴，
∴，∴，
∵和不会同时为0，∴，
∴与的夹角为0或π
故答案为：0或π
12. 【答案】4
【解析】由++=0，得= －－，又(-b)⊥，(－)·（－－）=0，
－||2－·+ ·+||2=0,
||=||=1.
又= －－，
||2=|－－ |2= (－－)·（－－）=||2 + 2·+||2=2
||=
综上，||2+||2+||2=2
13．【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）∵，且，∴可设，k为实数．
再根据，可得k=±2，
∴或．
（2）∵与垂直，∴．
再根据，可得，
∴，
故要求的与的夹角θ的余弦值为．
14．【解析】（1）当向量，的夹角为60°时，
；
（2）∵，，
∴由，得
解之得；
（3）∵
∴，设，的夹角为
则，可得．
15．【解析】（1）因为，，所以(2+cos)2+sin2=7．
所以．又∈（0，π），所以，即．又，所以与的夹角为．
（2），，因为，所以，
即 ①．
所以．所以．
因为，所以．又，
，所以 ②．
由①②得，，从而．