高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：29【基础】向量应用

【基础】向量应用
【学习目标】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力．
【要点梳理】
要点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
要点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了．
要点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决．
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质．
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程．
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件．
（4）夹角问题：利用公式．
要点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
【典型例题】
类型一：向量在平面几何中的应用
例1．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．
已知：如下图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°．
/
证明：联结OP，设向量，则且，
，即∠APB＝90°．
【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示．当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
举一反三：
【变式1】P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
A．外心　 B．内心　 C．重心　 D．垂心
【答案】D
【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.
【解析】==1
=
=
= （F是E点在上的投影）

当F与C点重合时，上式取到等号．
例2．如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：.
/
【思路点拨】如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证.
【解析】以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，
，则，/，/，，
于是，，
∵
∴.
举一反三：
【变式1】（2018 南通模拟）平面直角坐标系xOy中，已知向量，且．
（1）求x与y之间的关系式；
（2）若，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）x+2y=0；（2）16
【解析】（1）由题意得，
因为，
所以(x+4)y―(y―2)x=0，即x+2y=0， ①
（2）由题意得，
因为，
所以(x+6)(x―2)+(y+1)(y―3)=0，即x2+y2+4x―2y―15=0， ②
由①②得 或 ．
当时，，
则
当时，，
则，
所以，四边形ABCD的面积为16．
类型二：向量在解析几何中的应用
例3．（2017 房山区模拟）已知点A（0，1），B，C是x轴上两点，且|BC|=6（B在C的左侧）．设△ABC的外接圆的圆心为M．
（1）已知，试求直线AB的方程；
（2）当圆M与直线y=9相切时，求圆M的方程．
【答案】（1）y=x+1或；（2）
【解析】（1）设B（a，0），则C（a+6，0）．
∵A（0，1），∴，，
由得a(a+6)+1=―4，
解得：a=―1或―5，
所以，直线AB的方程为y=x+1或
（2）设圆心为（a，b），半径为r，则，
解之得：a=±4，b=4，r=5，
所以，圆的方程为．
【总结升华】本题考查轨迹方程，解题的关键是利用向量条件确定动点坐标之间的关系，属于中档题．
举一反三：
【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．
（1）求直线DE、EF、FD的方程；
（2）求AB边上的高CH所在直线的方程．
【答案】（1）x―y+2=0，x+5y+8=0，x+y=0（2）x+y+4=0
【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），
设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则．，．
∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，
即x―y+2=0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x+5y+8=0，x+y=0．
（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则．
∴．又，．
∴4(x+6)+4(y―2)=0，
即x+y+4=0为所求直线CH的方程．
【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．
类型三：向量在物理学中“功”的应用
例4．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|=2 N，方向为北偏东30°；|F2|=4 N，方向为北偏东60°；|F3|=6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
【答案】
【解析】 以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正半轴建立直角坐标系．
如图，则，，，
则．
又位移，
合力F所做的功为（J）．
∴合力F所做的功为J．
【总结升华】用向量的方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来，再根据它的物理意义建立数学模型，将物理问题转化为数学问题求解，最后将数学问题还原为物理问题．
举一反三：
【变式1】已知一物体在共点力的作用下产生位移，则共点力对物体所做的功为（ ）
A、4 B、3 C、7 D、2
【答案】C
【解析】对于合力，其所做的功为.因此选C.
类型四：向量在力学中的应用
例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G．两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为．
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围．
【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，
则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，
∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cos在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大．
（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为．
（3）由题意，，
∴，即．
由于y=cos在[0°，180°]上为减函数，∴，
∴∈[0°，120°]为所求．
【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释．
举一反三：
【变式1】两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ）
A、40N B、 C、 D、
【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.
【解析】对于两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N时，这二个力的大小都是N，对于它们的夹角为时，由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N. 正确答案为B.
【总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是，这样就会错选答案D.
类型五：向量在速度中的应用
例6．在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
【思路点拨】这是航行中的速度问题，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法，处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则.
【答案】，北偏西60°
【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，．
所以，．
从而，∠CAD=30°．
所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°．
【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用．此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考．
举一反三：
【变式1】（2017春 陕西永寿县期中）一船以8 km／h的速度向东航行，船上的人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北方向来，求风速的大小及方向．
【答案】风的方向为西北方向，大小为km／h．
【解析】分别取正东、正北方向上的单位向量，为基底，设风速可表示为，
第一次船速为，第二次船速为，
则由题意可得，
，
∴x=8，y=－8，
∴即风的方向为西北方向，大小为km／h．
【总结升华】对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行，当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向
【巩固练习】
1．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（ ）
A．―2 B． C．―1 D．
2．（2017 长春模拟）在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知两力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为（ ）
A．N B．5 N C．10 N D．N
4．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，20km/h B．北偏西，20km/h
C．北偏东，20km/h D．北偏东，20km/h
5．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C． 菱形 D．等腰梯形
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为 ( )
A.(-2，4) B.(-30，25) C.(10，-5) D.(5，-10)
7．（2018 上海宝山区一模）P是△ABC所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（ ）
A．△ABC内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
8．用力F推动一物体，使其沿水平方向运动s，F与垂直方向的夹角为，则F对物体所做的功为（ ）
A．F·s·cos B．F·s·sin C．|F|·|s|·cos D．|F|·|s|·sin
9.直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的轨迹方程是__________.
10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：
①；②；
③；④
其中正确的序号是________．（写出所有正确的序号）
11．（2018 红桥区月考）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________海里／小时．
/
12．（2017春 安徽寿县期中）一物体在力，，的共同作用下从点A（1，1）移动到点B（0，5）．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．
13．已知两恒力F1=（3，4），F2=（6，―5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）．试求：
（1）力F1，F2分别对质点所做的功；
（2）F1，F2的合力对质点所做的功．
14．（2017秋 广东惠城区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的对角线AD的长；
（2）设实数t满足，求t的值．
15．所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点（不包括端点），E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA=EF．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵·=0，且，，均为单位向量，
∴，||=1．
∴(―)·(―)=·―(+)·+2．
设+与的夹角为，
则．
故(―)·(―)的最小值为．
2．【答案】B
【解析】由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，
/
且，点D在AB边的中位线上，
且为靠近BC边的三等分点处，
从而有，
，有．
故选B．
3．【答案】B
【解析】由题作出示意图，如下图，有．
/
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
【解析】5秒后点P的坐标为(-10，10)+5(4，-3)= (10，-5)
7．【答案】B
【解析】∵，，
∴，则，
∴，即与共线，
∴P点一定在AC边所在直线上，
故选B．
8．【答案】D
【解析】F与水平方向的夹角为，故F对物体所做的功为．
9. 【答案】x+2y-4=0
【解析】∴(1，2)·(x，y)=4，∴x+2y-4=0.
10．【答案】①②④
【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；
对于③，；
对于④，且，设，，
．即，．
11．【答案】15
【解析】根据题意得：海里，∠ADC=60°，∠BDC=30°，DC⊥AC，
∴∠DBC=60°，∠BDA=∠A=30°，∴海里，
∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，，
∵从C到D行驶了半小时，∴速度为海里／小时
故答案为15．
12．【答案】―40
【解析】∵，，，
∴合力，
则，
即三个力的合力所做的功等于为―40；
故答案为：―40．
13．【解析】（1），从而W1=F1·s=（3，4）·（―13，－15）=3×（－13）+4×（―15）=―99，W2=F2·s=（6，―5）·（―13，―15）=6×（―13）+（―5）×（―15）=―3．
（2）W=（F1+F2）·s=F1·s+F2·s=W1+W2=―102．
14．【解析】（1）由题设知，，
则．
所以，
故以线段AB、AC为邻边的平行四边形的对角线AD的长为．
（2）由题设知，．
由，得(3+2t，5+t)·(―2，―1)=0，
从而5t=―11，所以．
15．【证明】建立如题图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，，
则A（0，1），，，，
∴，，
∴，
，
∴，∴PA=EF．