高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：30【提高】向量应用
文档属性
| 名称 | 高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：30【提高】向量应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 575.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-06-28 18:57:15 | ||
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文档简介
【提高】向量应用
【学习目标】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。
【要点梳理】
要点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）。
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）。
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式。
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。
要点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。
要点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。
（4）夹角问题：利用公式。
要点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积。
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论。
【典型例题】
类型一：向量在平面几何中的应用
例1．（2018 苏州月考）已知A（3，2）、B（―2，1），C（1，―1），且
（1）证明：△ABC是等腰直角三角形；
（2）求cos∠APC．
【思路点拨】（1）由题意得，由，能够证明△ABC是等腰直角三角形．
（2）设点P（x，y），则．由，知x―3=4+2x且y―2=2y―2，由此能求出cos∠APC．
【答案】（1）略；（2）
【证明】（1）由题意得
因为，
所以CA⊥CB
所以△ABC是直角三角形
又∵，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形
（2）设点P（x，y），
则
∵，
∴x―3=4+2x且y―2=2y―2，
解得x=―7，y=0，
∴P（－7，0），
∴
∴，
，
∴．
【总结升华】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用．
举一反三：
【变式1】平面内△ABC及一点O满足，，则点O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】D
【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.
【答案】1 1
【解析】==1
=
=
= （F是E点在上的投影）
当F与C点重合时，上式取到等号。
例2．四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F。
求证：AF=AE。
【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量和，证明=。
【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1，1），B（0，1），若设E（x，y）（x＞0），则，。
因为BE∥AC，即，所以x+y―1=0。
又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0。
由，得，即。
又设F（x＇，1），由和共线，
得，解得，
所以。
所以，。
所以。
所以AF=AE。
【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。
举一反三：
类型二：向量在解析几何中的应用
例3．（2017秋 黑龙江泰来县月考）已知点P（―3，0），点Q在x轴上，点A在y轴上，且，．当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
【思路点拨】设Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，由建立关系式得到．由等式解出a、b关于x、y的表达式，代入前一个式子化简即得动点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】设Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，则
，，，
∴…①
∵，可得，∴…②
将②代入①，化简得．
所以动点M的轨迹方程为．
【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。
举一反三：
【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。
（1）求直线DE、EF、FD的方程；
（2）求AB边上的高CH所在直线的方程。
【答案】（1）x―y+2=0 x+5y+8=0， x+y=0（2）x+y+4=0
【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），
设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则。，。
∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，
即x―y+2=0为直线DE的方程。
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x+5y+8=0，x+y=0。
（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则。
∴。又，。
∴4(x+6)+4(y―2)=0，
即x+y+4=0为所求直线CH的方程。
【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算。
（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等。
类型三：向量在物理学中“功”的应用
例4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m。问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m / s2）
/
【答案】 ―22
【解析】 设木块的位移为s，
则W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×（J）。
F在竖直方向上的分力的大小为。
则（N）。
则f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）。
即F与f所做的功分别是J与―22 J。
【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题。
举一反三：
【变式1】三个力F1=i+j，F2=4i―5j，F3作用于同一质点，使该质点从点A（20，15）平移到点B（7，0），其是i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，求该过程中，
（1）F1，F2分别对质点做的功；
（2）F1，F2的合力对质点做的功。
【答案】（1）―28，23；（2）―5
【解析】。
（1）F1做的功，
F2做的功。
（2）F=F1+F2=5i―4j，故合力F做的功W=F·s=（5，―4）·（―13，―15）=5×（―13）+（―4）×（―15）=―5。
类型四：向量在力学中的应用
例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G。两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为。
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围。
【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，
则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，
∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cos在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大。
（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为。
（3）由题意，，
∴，即。
由于y=cos在[0°，180°]上为减函数，∴，
∴∈[0°，120°]为所求。
【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释。
举一反三：
【变式1】（2017春 安徽亳州期末）如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则=________．
【答案】；（5，4）．
【解析】由题中图可得两个力的大小和方向，可得两个力的坐标为
，，
∴利用两向量的坐标加法运算，
，
从而得合力的坐标（5，4）以及大小．
故填：；（5，4）．
类型五：向量在速度中的应用
例6．某人骑摩托车以20 km / h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40 km / h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向及风速的大小。
【答案】西南方向
【解析】设a表示车的速度20 km / h，在无风时，此人感受到风速度为―a，实际风速为b时，此人所感受到的风速为b―a，如图，令，，实际风速为b。因为，所以，这就是当车的速度为20 km / h时，人感受到的由正南方向吹来的风速。因为，所以，这就是当车的速度为40 km / h时，人感到的风速，由题意得∠CBD=45°，CA⊥BD，BA=AD，所以△BCD为等腰三角形，CB=CD，∠CDA=45°，∠ACD=45°，所以CD=CB=DA=。所以km / h，b的方向是西南方向。
答：实际风向是西南方向，风速的大小为km / h。
【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用。此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考。在本题中，人感到的风速在无风时与车速a互为相反向量，当实际风速为b时，此人感受到的风速是b―a，这一点要搞清，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法。
举一反三：
【变式1】在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
【答案】 北偏西60°
【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，。
所以，。
从而，∠CAD=30°。
所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°。
【巩固练习】
1．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，则与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
2．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（ ）
A．―2 B． C．―1 D．
3．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C． 菱形 D．等腰梯形
4．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状状，已知，成60°角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
A．6 B．2 C． D．
5．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，20km/h B．北偏西，20km/h
C．北偏东，20km/h D．北偏东，20km/h
6．已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C． 等腰非等边三角形 D．等边三角形
7．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．垂心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
8．（2017 哈尔滨三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
9．（2018 惠州模拟）设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则________．
10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：
①；②；
③；④
其中正确的序号是________。（写出所有正确的序号）
11．一艘船以5 km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h。
12．（2017 浙江嘉兴一模）若△ABC的重心为G，AB=3，AC=4，BC=5，动点P满足（0≤x，y，z≤1），则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________．
13．（2017春 山东济宁期中）某人在静水中游泳，速度为公里／小时，他在水流速度为4公里／小时的河中游泳．
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
14．如图，边长为2的正方形OABC的顶点O在对角线OB上，DE⊥OA于点E，DF⊥AB于点F，连接CD、EF。
（1）求证：CD⊥EF；
（2）当OD=OC时，求经过点C且与向量平行的直线的方程。
/
15．（2018 辽宁期末）如图，已知，设Z是直线OP上的一动点．
（1）求使取最小值时的；
（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．
/
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】由向量的三角形法则得：，，，上面三式相加得：。
2．【答案】D
【解析】 ∵·=0，且，，均为单位向量，、、
∴，||=1。
∴(―)·(―)= ·―(+)·+2。
设+与的夹角为，
则。
故(―)·(―)的最小值为。
3. 【答案】B
4．【答案】D
【解析】，∴，∴。
5．【答案】A
6. 【答案】D
【解析】设, ,则| |+| |=1。
由已知（+）
，
B=C
又由已知·=
| |·| |，，又
，为等边三角形。
7．【答案】C
【解析】 如图，∵，∴。
依向量加法的平行四边形法则，知，故N为重心。
∵，∴，
同理，，∴点P为△ABC的垂心。
由，知O为△ABC的外心。
8．【答案】A
【解析】
变为．
如图，D，E分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，
故 ①
在正三角形ABC中，
∵，
且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，
故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，
故， ②
由①②得．
故选A．
9．【答案】2
【解析】∵
∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等
因此，四边形ABDC为矩形
/
∵M是线段BC的中点，
∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得
∵，得，即
∴
故答案为2
10．【答案】①②④
【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；
对于③，；
对于④，且，设，，
。即，。
11．【答案】
【解析】如图，船速v1=5，水流v2，实际速度v=10，∴
12．【答案】12
【解析】由题意，点P的轨迹所覆盖的区域如图所示，恰好△ABC面积的2倍，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴△ABC为直角三角形，面积为6，
因此点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为12．
故答案为：12．
13．【解析】（1）如图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为
/
由勾股定理知
且在Rt△ACO中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里／小时．
（2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为，
在Rt△AOD中，，，，
∴．
故此人沿与河岸成的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为公里／小时．
14．（1）【证明】根据题意，，
设，则，，，
，
因为，
所以，因此CD⊥EF。
（2）解：当OD=OC时，即，
∴，，即，
所以可设直线方程为，
又直线经过点C（0，2）。
所以直线的方程为。
15．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵Z是直线OP上的一点，
∴，
设实数t，使，
∴，
则，
．
∴．
当t=2时，有最小值－8，
此时．
（2）当t=2时，，
．
故．
【学习目标】
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。
【要点梳理】
要点一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）。
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）。
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式。
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。
要点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。
要点二：向量在解析几何中的应用
在平面直角坐标系中，有序实数对（x，y）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。
常见解析几何问题及应对方法：
（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。
（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。
（3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件。
（4）夹角问题：利用公式。
要点三：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象。
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积。
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论。
【典型例题】
类型一：向量在平面几何中的应用
例1．（2018 苏州月考）已知A（3，2）、B（―2，1），C（1，―1），且
（1）证明：△ABC是等腰直角三角形；
（2）求cos∠APC．
【思路点拨】（1）由题意得，由，能够证明△ABC是等腰直角三角形．
（2）设点P（x，y），则．由，知x―3=4+2x且y―2=2y―2，由此能求出cos∠APC．
【答案】（1）略；（2）
【证明】（1）由题意得
因为，
所以CA⊥CB
所以△ABC是直角三角形
又∵，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形
（2）设点P（x，y），
则
∵，
∴x―3=4+2x且y―2=2y―2，
解得x=―7，y=0，
∴P（－7，0），
∴
∴，
，
∴．
【总结升华】本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意平面向量数量积的坐标运算的灵活运用．
举一反三：
【变式1】平面内△ABC及一点O满足，，则点O是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【答案】D
【变式2】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________；的最大值为________.
【答案】1 1
【解析】==1
=
=
= （F是E点在上的投影）
当F与C点重合时，上式取到等号。
例2．四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F。
求证：AF=AE。
【思路点拨】建立直角坐标系，写出向量和，证明=。
【证明】如下图，以点C为坐标原点，以DC边所在直线为x轴，建立直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（－1，1），B（0，1），若设E（x，y）（x＞0），则，。
因为BE∥AC，即，所以x+y―1=0。
又因为AC=CE，所以x2+y2―2=0。
由，得，即。
又设F（x＇，1），由和共线，
得，解得，
所以。
所以，。
所以。
所以AF=AE。
【总结升华】通过建立坐标系，将几何问题代数化，根据向量的相关运算，使问题得以解决。
举一反三：
类型二：向量在解析几何中的应用
例3．（2017秋 黑龙江泰来县月考）已知点P（―3，0），点Q在x轴上，点A在y轴上，且，．当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
【思路点拨】设Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，由建立关系式得到．由等式解出a、b关于x、y的表达式，代入前一个式子化简即得动点M的轨迹方程．
【答案】
【解析】设Q（a，0），A（0，b），M（x，y）是曲线上任意一点，则
，，，
∴…①
∵，可得，∴…②
将②代入①，化简得．
所以动点M的轨迹方程为．
【总结升华】该题的难点是向量条件的转化与应用，解决此题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何的基本方法——坐标法，在解题过程中应该注意结合向量的有关运算技巧，先化简后运算。
举一反三：
【变式1】已知△ABC的三个顶点A（0，―4），B（4，0），C（―6，2），点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。
（1）求直线DE、EF、FD的方程；
（2）求AB边上的高CH所在直线的方程。
【答案】（1）x―y+2=0 x+5y+8=0， x+y=0（2）x+y+4=0
【解析】 （1）由已知得点D（―1，1），E（―3，―1），F（2，―2），
设M（x，y）是直线DE上任意一点，
则。，。
∴(－2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0，
即x―y+2=0为直线DE的方程。
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x+5y+8=0，x+y=0。
（2）设点N（x，y）是CH所在直线上任意一点，则。
∴。又，。
∴4(x+6)+4(y―2)=0，
即x+y+4=0为所求直线CH的方程。
【总结升华】（1）利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算。
（2）要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等。
类型三：向量在物理学中“功”的应用
例4．如图所示，已知力F与水平方向的夹角为30°（斜向上），大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m。问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？（g=10 m / s2）
/
【答案】 ―22
【解析】 设木块的位移为s，
则W=F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×（J）。
F在竖直方向上的分力的大小为。
则（N）。
则f·s=|f|·|s|cos180°=1.1×20×(―1)=―22（J）。
即F与f所做的功分别是J与―22 J。
【总结升华】向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题。
举一反三：
【变式1】三个力F1=i+j，F2=4i―5j，F3作用于同一质点，使该质点从点A（20，15）平移到点B（7，0），其是i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，求该过程中，
（1）F1，F2分别对质点做的功；
（2）F1，F2的合力对质点做的功。
【答案】（1）―28，23；（2）―5
【解析】。
（1）F1做的功，
F2做的功。
（2）F=F1+F2=5i―4j，故合力F做的功W=F·s=（5，―4）·（―13，―15）=5×（―13）+（―4）×（―15）=―5。
类型四：向量在力学中的应用
例5．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G。两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为。
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围。
【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，
则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，
∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cos在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大。
（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为。
（3）由题意，，
∴，即。
由于y=cos在[0°，180°]上为减函数，∴，
∴∈[0°，120°]为所求。
【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释。
举一反三：
【变式1】（2017春 安徽亳州期末）如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则=________．
【答案】；（5，4）．
【解析】由题中图可得两个力的大小和方向，可得两个力的坐标为
，，
∴利用两向量的坐标加法运算，
，
从而得合力的坐标（5，4）以及大小．
故填：；（5，4）．
类型五：向量在速度中的应用
例6．某人骑摩托车以20 km / h的速度向东行驶，感到风从正南方向吹来，而当速度为40 km / h时，感到风从东南方向吹来，求实际风向及风速的大小。
【答案】西南方向
【解析】设a表示车的速度20 km / h，在无风时，此人感受到风速度为―a，实际风速为b时，此人所感受到的风速为b―a，如图，令，，实际风速为b。因为，所以，这就是当车的速度为20 km / h时，人感受到的由正南方向吹来的风速。因为，所以，这就是当车的速度为40 km / h时，人感到的风速，由题意得∠CBD=45°，CA⊥BD，BA=AD，所以△BCD为等腰三角形，CB=CD，∠CDA=45°，∠ACD=45°，所以CD=CB=DA=。所以km / h，b的方向是西南方向。
答：实际风向是西南方向，风速的大小为km / h。
【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用。此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考。在本题中，人感到的风速在无风时与车速a互为相反向量，当实际风速为b时，此人感受到的风速是b―a，这一点要搞清，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法。
举一反三：
【变式1】在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
【答案】 北偏西60°
【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，。
所以，。
从而，∠CAD=30°。
所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°。
【巩固练习】
1．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，则与( )
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
2．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（ ）
A．―2 B． C．―1 D．
3．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C． 菱形 D．等腰梯形
4．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状状，已知，成60°角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（ ）
A．6 B．2 C． D．
5．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，20km/h B．北偏西，20km/h
C．北偏东，20km/h D．北偏东，20km/h
6．已知非零向量与满足且，则为（ ）
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C． 等腰非等边三角形 D．等边三角形
7．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．垂心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
8．（2017 哈尔滨三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
9．（2018 惠州模拟）设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则________．
10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：
①；②；
③；④
其中正确的序号是________。（写出所有正确的序号）
11．一艘船以5 km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h。
12．（2017 浙江嘉兴一模）若△ABC的重心为G，AB=3，AC=4，BC=5，动点P满足（0≤x，y，z≤1），则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________．
13．（2017春 山东济宁期中）某人在静水中游泳，速度为公里／小时，他在水流速度为4公里／小时的河中游泳．
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
14．如图，边长为2的正方形OABC的顶点O在对角线OB上，DE⊥OA于点E，DF⊥AB于点F，连接CD、EF。
（1）求证：CD⊥EF；
（2）当OD=OC时，求经过点C且与向量平行的直线的方程。
/
15．（2018 辽宁期末）如图，已知，设Z是直线OP上的一动点．
（1）求使取最小值时的；
（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．
/
【答案与解析】
1．【答案】A
【解析】由向量的三角形法则得：，，，上面三式相加得：。
2．【答案】D
【解析】 ∵·=0，且，，均为单位向量，、、
∴，||=1。
∴(―)·(―)= ·―(+)·+2。
设+与的夹角为，
则。
故(―)·(―)的最小值为。
3. 【答案】B
4．【答案】D
【解析】，∴，∴。
5．【答案】A
6. 【答案】D
【解析】设, ,则| |+| |=1。
由已知（+）
，
B=C
又由已知·=
| |·| |，，又
，为等边三角形。
7．【答案】C
【解析】 如图，∵，∴。
依向量加法的平行四边形法则，知，故N为重心。
∵，∴，
同理，，∴点P为△ABC的垂心。
由，知O为△ABC的外心。
8．【答案】A
【解析】
变为．
如图，D，E分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，
故 ①
在正三角形ABC中，
∵，
且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，
故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，
故， ②
由①②得．
故选A．
9．【答案】2
【解析】∵
∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等
因此，四边形ABDC为矩形
/
∵M是线段BC的中点，
∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得
∵，得，即
∴
故答案为2
10．【答案】①②④
【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；
对于③，；
对于④，且，设，，
。即，。
11．【答案】
【解析】如图，船速v1=5，水流v2，实际速度v=10，∴
12．【答案】12
【解析】由题意，点P的轨迹所覆盖的区域如图所示，恰好△ABC面积的2倍，
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴△ABC为直角三角形，面积为6，
因此点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为12．
故答案为：12．
13．【解析】（1）如图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为
/
由勾股定理知
且在Rt△ACO中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里／小时．
（2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为，
在Rt△AOD中，，，，
∴．
故此人沿与河岸成的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为公里／小时．
14．（1）【证明】根据题意，，
设，则，，，
，
因为，
所以，因此CD⊥EF。
（2）解：当OD=OC时，即，
∴，，即，
所以可设直线方程为，
又直线经过点C（0，2）。
所以直线的方程为。
15．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵Z是直线OP上的一点，
∴，
设实数t，使，
∴，
则，
．
∴．
当t=2时，有最小值－8，
此时．
（2）当t=2时，，
．
故．