高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：33【基础】两角差的余弦公式

【基础】两角差的余弦公式
【学习目标】
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.
2．通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
3.通过教学活动，使学生经历发现、猜想、论证的数学化的过程，并体验到数学学习的严谨、求实的科学态度，逐步培养学生探索问题的精神。
【要点梳理】
要点一：两角差的余弦公式
1．两角差的余弦公式的推导：
（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则
/
由向量数量积的概念，有
，结合向量数量积的坐标表示，有
所以= （*）
（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的。为此，我们讨论如下：
由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使。
①若，则。
②若，则，且
由以上的讨论可知，对于任意的，都有：
=
2．公式的记忆
右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反。
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角。
(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即。
(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦。
要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用
1．逆用
=
要点诠释：
公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
。
2．角变换后使用
。
3．移项运用
4．特殊化使用
5．以代
即
【典型例题】
类型一：利用差角的余弦公式进行证明
例1．求证：
（1）
（2）
【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开。（2）利用及两角和的余弦公式可证得。
【证明】（1）=
=
（2）
=
=
=
=
举一反三：
【变式1】
证明：
=
=
=
=
=
类型二：利用两角差的余弦公式化简三角函数式
例2．化简：
【答案】 0
【解析】
原式
。
【总结升华】化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用公式。对于三角函数式的化简，要求：（1）能求出值的应求出值；（2）使三角函数的种类最少；（3）使项数尽量少；（4）尽量使分母中不含有三角函数；（5）尽量使被开方数不含有三角函数。对于本题我们看到，化简前与化简后相比，化简后显然简洁得多，而且关系也清晰得多。
举一反三：
【变式1】化简：。
【答案】
【解析】
原式=
=
=
=
=
类型三：利用差角的余弦公式求值
例3．求值：
（1）
（2）
（3）cos(－35°)·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；
【思路点拨】（1）利用求解（2）利用两角差的余弦公式（3）把－35°和25°+看作一个整体，利用两角差的余弦公式。
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
（1）
=
=
（2）原式
（3）原式。
【总结升华】两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（3）中的（）可视为一个整体。分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型。
举一反三：
【变式1】求值：cos15°cos105°+sin15°sin105°
【解析】原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0
【变式2】求值：
【解析】原式=
=
=
=
=
例4．已知
【思路点拨】若展开，又由，从而可得出关于的方程求解.
经观察：，故又可直接由代入求解.
【答案】
【解析】由
由
故
【总结升华】 仔细分析角与角之间的关系是利用两角差的余弦公式求值的关系，解这类题时要“一看角、二看名、三看结构”。
举一反三：
【变式1】已知，，求。
【答案】
【解析】 ∵，，∴，
则。
【总结升华】依据角的范围确定函数的符号，再利用差角公式求解，是一种常见的题型。
【变式2】已知，，。求。
【答案】
【解析】 由题意得，。
∴，
，
∴
。
【巩固练习】
1．=（ ）
．
2．已知，则=（ ）
3．= （ ）
4．cos(α－55°)cos(5°＋α)＋sin(α－55°)sin(5°＋α)的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C．－ D.
5．在平面直角坐标系中，已知两点A（cos800,sin800）,B(cos200,sin200),则|AB|的值是（ ）
A． B． C． D． 1
6．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．的值是 ( )
A. B. C.1 D.
8．已知A.B均为钝角,,,则A+B的值为( )
A. B. C. D.
9．sinα＝，α∈(，π)，则cos(－α)的值为 ．
10．sin100°sin380°＋cos80°cos20°的值为________．
11．已知平面向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，α、β∈(0，)且α＞β，若a·b＝，则α－β＝________.
12．设其中，则 .
13．已知，，求的值．
14．若a＝(sin193°，sin313°)，b＝(sin223°，－sin103°)，试求a·b的值．
15．已知α、β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．

【答案与解析】
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】B
【解析】原式＝cos[(α－55°)－(α＋5°)]＝cos60°＝.
5．【答案】D
6．【答案】B
【解析】由．
．
两式相加得，∴．
7．【答案】A
【解析】=
= =
8. 【答案】A
【解析】
=
又
9．【答案】
10．【答案】
【解析】原式＝sin80°sin20°＋cos80°cos20°＝cos60°＝.
11．【答案】
【解析】a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝，
又α、β∈(0，)，α>β，∴0<α－β<，∴α－β＝.
12．【答案】
13．【解析】由已知得：，而，所以，
．
14．解：a·b＝(sin193°，sin313°)·(sin223°，－sin103°)
＝sin193°·sin223°－sin313°sin103°＝sin(180°＋13°)·sin(180°＋43°)－sin(360°－47°)·sin(180°－77°)
＝sin13°sin43°＋sin47°sin77°
＝sin13°sin43°＋cos43°cos13°
＝cos(43°－13°)＝cos30°
＝
15．【解析】∵α、β均为锐角，
∴sinα＝，sinβ＝.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝
=
又sinα∴－<α－β<0.故α－β＝－.