高中数学必修四知识讲解，巩固练习（复习补习，期末复习资料）：34【提高】两角差的余弦公式

【提高】两角差的余弦公式
【学习目标】
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.
2．通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.
【要点梳理】
要点一：两角差的余弦公式
1．两角差的余弦公式的推导：
（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则
由向量数量积的概念，有
，结合向量数量积的坐标表示，有
所以= （*）
（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的．为此，我们讨论如下：
由于是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角，使．
①若，则．
②若，则，且
由以上的讨论可知，对于任意的，都有：
=
2．公式的记忆
右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．
要点诠释：
(1)公式中的都是任意角．
(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即．
(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦．
要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用
1．逆用
=
要点诠释：
公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由能迅速地想到
．
2．角变换后使用
．
3．移项运用
4．特殊化使用
5．以代
即
【典型例题】
类型一：利用差角的余弦公式进行证明
例1．求证：
（1）
（2）
【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开．（2）利用及两角和的余弦公式可证得．
【证明】（1）=
=
（2）
=
=
=
=
举一反三：
【变式1】
证明：
=
=
=
=
=
类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式
例2．（1）；
（2）．
【解析】
（1）原式
．
（2）原式=
=
=
=
=
【总结升华】 两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（）可视为一个整体．分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型．
举一反三：
【变式1】（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°；
（2）cos(－35)°·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；
（3）cos 40°cos70°+cos20°cos50°；
（4）；
【解析】（1）原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0．
（2）原式．
（3）原式．
（4）原式

类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）
例3．已知，，，均为锐角，求．
【思路点拨】
【解析】∵，均为锐角，∴，，
由，，
易知，．
∴
．
【总结升华】
举一反三：
【变式1】已知，，且、、均为锐角，求的值
【解析】因为、均为锐角，故，，均在（0，π）内，所以，．
而，
所以
．
例4．已知、均为锐角，且，，求的值．
【思路点拨】先求，然后根据确定的范围．
【答案】
【解析】 ∵、均为锐角，且，，
∴，，
∴
．
又∵，，，
而，∴，即，
∴，∴．
【总结升华】 此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
举一反三：
【变式1】 已知、为锐角，，，求角的值．
【解析】 ∵为锐角且，
∴．
又为锐角，∴，
又，∴．
∴．
∴
．
又为锐角，．
【总结升华】（1）本题运用了角的变换技巧，抓住条件角与结论角的关系解题．（2）应注意运用三角函数值的大小关系这一隐含条件来研究角的范围．
【变式2】若，，求的值．
【解析】
（1）
（2）
（1）2+（2）2得：2+2=1

类型四：两角差的余弦公式在向量运算中的应用
例5．已知三点、、．若向量（k为常数，且0＜k＜2），求的最大、最小值及相应的k值．
【思路点拨】由题意得，因为要求的最值，所以想法消去可解得．
【答案】当k=1时，最大值；当或时，最小值－1．
【解析】 由已知得．
移项得．
①2+②2得．
∴
∵0＜k＜2，故k=1时，有最大值，
又，∴的最小值为－1，
此时，解得或．
综上所述，当k=1时，有最大值；
当或时，有最小值－1．
【总结升华】（1）向量与三角函数有机结合，是近几年高考的一个亮点，希望引起足够的重视．
（2）形如的一类问题，平方相加或相减，或者先移项再平方相加而消元，是解决此类问题的常用方法．
举一反三：
【变式1】设A、B为锐角三角形ABC的两个内角，向量，，若a，b的夹角为60°，则A－B等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
a·b=
又|a|=，|b|=
又
【巩固练习】
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．=(????? )
　　A.　　 B.　　 C.　　 D.
3．设,若,则( )
A. B. C. D.
4．等于( )
A. B. C. D.
5．已知、都是锐角，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么|a－b|等于(　　)
A. B.
C. D．1
7．的值是 ( )
A. B. C.1 D.
8．已知A.B均为钝角,,,则A+B的值为( )
A. B. C. D.
9．cos555°的值为 ．
10． .
11．若
12．若则的取值范围. .
13．若a＝(sin193°，sin313°)，b＝(sin223°，－sin103°)，试求a·b的值．
14．已知cos(α＋β)＝－，cos2α＝－，α、β均为钝角，求cos(α－β)的值．
15．求值：．
16．已知，，且，，求角的值．


【答案与解析】
1．【答案】C
【解析】原式=cos45°cos75°+sin45°sin75°=cos(－30°)=．
2．【答案】A
3．【答案】B
【解析】∵,,∴,
原式==
4. 【答案】B
【解析】原式
=
5．【答案】A
【解析】、、，，，
．
6．【答案】D
【解析】|a－b|＝
＝＝1.
7．【答案】A
【解析】=
= =
8. 【答案】A
【解析】
=
9．【答案】B
【解析】cos555° ＝cos(720°－165°)＝cos165°
＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)
＝－.
10．【答案】
【解析】
原式=
=
=
==
11．【答案】
【解析】（1），（2），（1）2+（2）2得：．
12．【答案】
【解析】令,
则
13．【解析】a·b＝(sin193°，sin313°)·(sin223°，－sin103°)
＝sin193°·sin223°－sin313°sin103°
＝sin(180°＋13°)·sin(180°＋43°)－sin(360°－47°)·sin(180°－77°)
＝sin13°sin43°＋sin47°sin77°
＝sin13°sin43°＋cos43°cos13°
＝cos(43°－13°)＝cos30°＝.
14．【解析】∵α、β∈(90°，180°)，
∴α＋β∈(180°，360°)，2α∈(180°，360°)．
∵cos(α＋β)＝－＜0，cos2α＝－＜0.
∴α＋β∈(180°，270°)，2α∈(180°，270°)．
∴sin(α＋β)＝－＝－
＝－，
sin2α＝－＝－＝－.
∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]
＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)
＝(－)×(－)＋(－)×(－)＝.
15．【解析】原式
．
16．【解析】由且，得．
又由，且，得．
．
又∵，．
∴，则．